2020-2021學年廣東省陽江市高一（下）期末數學試卷

一、選擇題（共8小題）.

1.已知集合A={X|X2-X-2W0},集合8為整數集，則（）

A.{-1,0,1,2}B.{-2,-1,0,1}C.{0,1}D.{-1,0}

2.不等式Q/一（Q+2）X+220（〃V0）的解集為（）

A.隹，1]B.[1,2]

aa

C.（-CO,2]U[1,+8）D.（-CO,1]U[-1,-KJO）

aa

3.已知募函數y=/（x）的圖象過點（4,2）,則/（16）=（）

A.2B.4C.2或-2D.4或-4

4.在天文學中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述.兩顆星的星等與亮度滿足加2

E,

-如=三5四甘，其中星等為儂的星的亮度為&（左=1,2）.已知太陽的星等是-26.7,

e

22

天狼星的星等是-1.45,則太陽與天狼星的亮度的比值為（）

A.IO10-1B.10.1C.ZglO.lD.10101

5.已知非零向量Z,E滿足后1=4蜀，且（2*a+b^,則Z與E的夾角為（）

D.--

.3

6.已知復數％上二，貝”=（）

z3-i

二』D.二二

7.如圖，AABC的斜二側直觀圖為等腰RtAA'B'C,其中A'B'=2,則AABC的面積為（）

A.c=30-2bB.c=-3&+2bC.c--2a+3D.c—2a-3

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。

9.在下列函數中，最小值是2的是（）

A.y=x+一

X

B.y=2x+2'x

C.y=sinx^―;----x€（o,看）

smx

D.y=x2-2x+3

7T

10.已知函數f（x）=sin（3x+@）（3〉0,I。的最小正周期為m將該函數的

JT

圖象向左平移2個單位后，得到的圖象對應的函數為偶函數，則下列說法正確的是

6

）

A.

B.函數y=/（x）的圖象關于直線x：對稱

0

C.函數y=/（x）的圖象關于點（需，0）對稱

JF

D.函數y=/（x）的圖象關于直線xp對稱

11.設向量彳=（k,-2）,石=（1，-1），則下列敘述錯誤的是（）

A.若％<-2時，則；與三的夾角為鈍角

B.I』的最小值為2

C.與E共線的單位向量只有一個為

D.若|；|=2后,則k=2后或-2加

12.如圖，在正四棱錐S-ABC。中，E,M,N分別是BC,CD,SC的中點，動點尸在線

段MN上運動時，下列四個結論中恒成立的為（）

A.EP±ACB.EP//BDC.EP〃面SBDD.￡尸，面SAC

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.設OWaWm不等式8x2-(8sina)x+cos2aN0對xeR恒成立，則a的取值范圍

為.

14.若函數y=log2(x2-2ax+a)的值域為R,則實數a的取值范圍是.

15.在△ABC中，。是AB的中點，NACO與互為余角，AO=2,AC=3,則sinA

的值為.

16.在銳角△ABC中，tanA=2,點。在邊BC上，且△ABO與△ACD面積分別為2和4,

過。作于E,DFLACF,則。￡?。尸的值是.

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.已知集合Af={x|2x-4=0},集合N={Mx2-3x+wz=0}.

(1)當，"=2時，求MCN,MUN；

(2)當MnN=M時，求實數加的值.

18.一個經銷鮮花產品的微店，為保障售出的百合花品質，每天從云南鮮花基地空運固定數

量的百合花，如有剩余則免費分贈給第二天購花顧客，如果不足，則從本地鮮花供應商

處進貨.今年四月前10天，微店百合花的售價為每支2元，云南空運來的百合花每支進

價L6元，本地供應商處百合花每支進價L8元，微店這10天的訂單中百合花的需求量

(單位：支)依次為：251,255,231,243,263,241,265,255,244,252.

(I)求今年四月前10天訂單中百合花需求量的平均數和眾數，并完成頻率分布直方圖;

(H)預計四月的后20天，訂單中百合花需求量的頻率分布與四月前10天相同，百合

花進貨價格與售價均不變，請根據(I)中頻率分布直方圖判斷(同一組中的需求量數

據用該組區間的中點值作代表，位于各區間的頻率代替位于該區間的概率)，微店每天

從云南固定空運250支，還是255支百合花，四月后20天百合花銷售總利潤會更大？

頻率/縝蛇

0.04--,[??]一-?；???：

0.03：-：:

0.。2…5---T——?---：

o.oi—:—W—

ol-----5-----------------

230240250260270仃介花已沛求堆佐￡

19.為了美化環境，某公園欲將一塊空地規劃建成休閑草坪，休閑草坪的形狀為如圖所示的

四邊形ABCD.其中AB=3百米，4。=加百米，且△BC。是以。為直角頂點的等腰直

角三角形.擬修建兩條小路AC,8。(路的寬度忽略不計),設/54D=。，0eTT).

(1)當cose=」J5時，求小路AC的長度；

5

(2)當草坪ABCQ的面積最大時，求此時小路8。的長度.

20.如圖，在長方體ABC。-ABCLDI中，點E,歹分別在棱DDi,BBi上,S.2DE=EDi,

BF=2FBi.證明：

(1)當AB=BC時，EF±AC；

(2)點G在平面AEF內.

21.在銳角△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,8C邊上的中線AO=m,且滿

足a1+2bc=4m2.

(1)求/R4C的大小；

(2)若。=2,求AABC的周長的取值范圍.

22.已知函數/(x)=ax+~(1-x)(a>0),且/(x)在［0,1］上的最小值為g

a

求g(a)的最大值.

參考答案

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的。

1.已知集合4={小27一2忘0},集合2為整數集，貝1]4口3=()

A.{-1,0,1,2}B.{-2,-1,0,1}C.{0,1}D.{-1,0}

解：A={R-1W尤W2},B=Z,

.\AAB={-1,0,1,2).

故選：A.

2.不等式辦2-(a+2)x+220(a<0)的解集為()

A.隹，1]B.[1,2]

aa

c.(-8,2]U[1,+8)D.(-8,1]U[1,-KDO)

aa

解：不等式一(〃+2)x+220可化為

-2)(x-1)20,

u：a<0,

.,?原不等式可化為

p

(x-----)(x-1)WO,

a

解得ZwxWi,

a

?,?原不等式的解集為[2,i].

a

故選：A.

3.已知哥函數y=/(x)的圖象過點(4,2),則/(16)=()

A.2B.4C.2或一2D.4或一4

解：設基函數y=/(x)=%%由函數圖象過點(4,2),

所以4a=2,解得oc="1>

1

所以/(x)=5，

X

11

所以/(16)=~=萬=4.

x16

故選：B.

4.在天文學中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述.兩顆星的星等與亮度滿足m2

5Ei、

_■丁,其中星等為妹的星的亮度為&(Z=l,2).已知太陽的星等是-26.7,

2叼

天狼星的星等是-1.45,則太陽與天狼星的亮度的比值為()

A.IO10-1B.10.1C./glO.lD.10101

解：設太陽的星等是如=-26.7,天狼星的星等是儀=-1.45,

5E1

由題思可得：-1.45-(-26.7)=7?1=一,

???12=空，10.1，貝目

故選：A.

5.已知非零向量；，E滿足后|=4|』，且二，(2'a+b),則Z與E的夾角為()

解：由已知非零向量；，5滿足￡|=4|』，且7，(2彳+三)，設兩個非零向量；，%的夾

角為0,

所以1(2彳+百=°，即27+|:||B|cos8=°，所以cose=-]，0e[O,n],所以

2打

9A~

故選：c.

.3

6.已知復數z=一，則z=()

32-i-,

A.--iB.—C.--------iD.—

222210101010

解：...復數②上11=篝=發生”=3孑,

z3-i3-1(3-i)(3+i)22

故選：B.

7.如圖，AABC的斜二側直觀圖為等腰RtAA'B'C,其中A'B'=2,則△ABC的面積為()

c.2V2D.V2

解：?.?氐△（7A斤是一平面圖形的直觀圖，直角邊長為AB=2,

直角三角形的面積是2X2=2，

因為平面圖形與直觀圖的面積的比為2夜，

原平面圖形的面積是2X2y=4?

故選：D.

用基底｛Z，E｝表示「則（）

-2a+3bD.c=2r-3b

1),b=(-2,3)，c=(7,-3),

x-2y=7/口

設W二xZ癡^則,得x=3,y=-2,

x+3y=-3

故c=3a-2b,

故選：A.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得。分。

9.在下列函數中，最小值是2的是（）

A.y=x+—

x

B.y=2x+2'x

ITT

C.y=sinx^—；--，x€（0,--）

smx2

D.,21+3

解：A：當xVO時顯然不符合題意；

B：由于2%>0,尸2%+2r22,故最小值2,符合題意；

C：由了€(0,4兀)可得sinxG(0,1),y=siiix+——>2,沒有最小值，不符合題

2smx

思；

D：y=x2-2x+3=(x-1)2+222即最小值2,符合題意.

故選：BD.

TT

10.已知函數f(x)=sin(3x+0)(3〉0,|。|<^)的最小正周期為m將該函數的

圖象向左平移」J「T個單位后，得到的圖象對應的函數為偶函數，則下列說法正確的是

6

()

A.f(O)弓

B.函數y=/(x)的圖象關于直線xd兀對稱

6

C.函數y=/(x)的圖象關于點(需，0)對稱

D.函數y=/(x)的圖象關于直線x*■對稱

解：由題意可得3=2,f(x)=sin(2x+(p),

將該函數的圖象向左平移看個單位后，得到的圖象對應的函數為g(x)=sin

(2x+yn+(p)為偶函數，

故函數圖象關于尤=0對稱，即當x=。時，函數取得最值，

所以<p+、*兀=+k兀，住z,

JT1JT

故叩=-^"+衍I，結合kp|v《兀可得(p=k，

626

f(x)、=sin(2x+-兀-),

A：f（0）=/,A正確；

當x=2L時，函數取得最大值，符合題意，故2正確；

6

當彳=萼時，2X+4=TT，符合對稱中心，c正確；

126

當尤=WIT時，2x+TT?7r=1:兀，不能取得最值，。錯誤.

1263

故選：ABC.

11.設向量W=（k,-2）,（1，T），則下列敘述錯誤的是（）

A.若k<-2時，則W與E的夾角為鈍角

B.I』的最小值為2

c.與E共線的單位向量只有一個為（李，平）

D.若|口=2后|,貝Uk=2加或-2亞

解：對于A,當a//b時，~T~~7-=i>,k=2,

所以當左<-2時，Z與E不共線，

又；E=k+2〈o，所以；與E的夾角為鈍角,故A正確.

對于8，設I啦%》2,當k=°時不等式取等號，所以laI的最小值為2,所以B正

確；

對于c,與E共線的單位向量為土即鳥，坐）或（平，與,所以C不

正確

對于，若|彳|=2|三|，可得八2+4=2&，解得左=2或％=-2,所以。不正確；

故選：CD.

12.如圖，在正四棱錐S-ABC。中，E,M,N分別是BC,CD,SC的中點，動點P在線

段上運動時，下列四個結論中恒成立的為（）

A.EP±ACB.EP//BDC.￡尸〃面SBDD.EP_L面SAC

解：如圖所示，連接AC、8。相交于點O,連接EM,EN.

由正四棱錐S-ABCD,可得SO_L底面ABCD,ACLBD,：.SO±AC.

\"SOQBD=O,；.AC_L平面SBD,VE,M,N分別是BC,CD,SC的中點，：.EM//

BD,MN//SD,而EMCMN=N,

平面EMN〃平面S3，...AC，平面EMN,：.AC±EP.故A正確.

由異面直線的定義可知：E尸與3。是異面直線，不可能EP〃加，因此2不正確；

平面EWN〃平面SB。，；.￡尸〃平面SB。，因此C正確.

EM_L平面SAC,若￡P_L平面SAC,則EP〃EM,與石尸^石知二石相矛盾，因此當尸與M

不重合時，EP與平面SAC不垂直.即。不正確.

故選：AC.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.設OWaWir,不等式8/-(8sina)x+cos2a20對xeR恒成立，則a的取值范圍為10,

66

解：由題意可得，△=64sin2(x-32cos2aW0,

得2sin2(x-(1-2sin2a)WO

:.sin2a^—,

4

-「Ws?maWv—1,

22

?.,OWaWn

(x￡[0,---]U[―---,Tt].

66

故答案為：[0,——]U-,IT].

66

14.若函數y=log2(，-2ox+a)的值域為R,則實數〃的取值范圍是(-8,0]U[4,+

8).

解：???函數y=log2(%2-2QX+〃)的值域為R,

，方程爐-2ax+a—0的判別式

△20,

???(-2a)2-4心0,

.?.“WO或心1,

?,?實數。的取值范圍是(-8,O]U[L+8).

故答案為：(-8,Q]U[1,+8).

15.在AA5c中，。是A3的中點，NACO與NC8O互為余角，A0=2,AC=3,則sinA

的值為—?或冷_?

解：如圖所示：

TT

則:ZCBD=—-6,

2

32+CD2-45+CD2

利用余弦定理:=

2-3-CD6CD

CD二BD

在△BOC中，利用正弦定理：..71一°,兀八

故：

cos6cosA

CD=2

所以：5+CD2cosA,

6CD

”.10+2CD2

解得：cosA=----------

6CDZ

222

在△ACD中，利用余弦定理：cosA」+3二00

COSA2-2-3

10+2CD213-CD2

所以:

6CD212

整理得：CD4-9CD2+20=0

解得：CD=2或證.

10+2噸？3

①當CD—2時，cosA=

6?224

所以：sinA=YZ

4

10+2-52

C￡)=J^時，cosA=—,

6-53

所以：sinA=Y5

3

故答案為:

16.在銳角△ABC中，tanA=2,點。在邊2C上，且△ABD與△AC。面積分別為2和4,

過。作OE_LAB于E,DFIAC^F,則。的值是丑近_.

—15―

解：因為△A3。與△ACO面積分別為2和4；

?,-ylABl-lDE=2-/菽卜?而=4=屈=湍『麻=褸了

—?—?48

AlDENDFl=WW

VtanA=2,，皇弛《=2,結合si/A+cos2A=1,解得sinA=.乙\",COSA=K

cosA55

1?,ylABl,lAClsinA=6=1同，I菽I=6娓.

II4><81675

???LlDLEHDFl=-^=^

...DE?D尸的值為：丑返.

15

故答案為：理虧.

15

D

E

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.已知集合加={才2了-4=0},集合N={x|%2-3x+m=0}.

（1）當根=2時，求MCN,MUN；

（2）當時，求實數機的值.

解：（1）當m=2時，

集合M={x|2x-4=0}={2},集合N={x|尤2-3x+根=0}={1,2}.

.,.MnN={2},MUN={1,2}.

（2）當MAN=M時，MUN,

即x=2是方程尤2-3x+〃?=0的根，

代入可得根=2.

18.一個經銷鮮花產品的微店，為保障售出的百合花品質，每天從云南鮮花基地空運固定數

量的百合花，如有剩余則免費分贈給第二天購花顧客，如果不足，則從本地鮮花供應商

處進貨.今年四月前10天，微店百合花的售價為每支2元，云南空運來的百合花每支進

價1.6元，本地供應商處百合花每支進價1.8元，微店這10天的訂單中百合花的需求量

（單位：支）依次為：251,255,231,243,263,241,265,255,244,252.

（I）求今年四月前10天訂單中百合花需求量的平均數和眾數，并完成頻率分布直方圖;

（II）預計四月的后20天，訂單中百合花需求量的頻率分布與四月前10天相同，百合

花進貨價格與售價均不變，請根據（I）中頻率分布直方圖判斷（同一組中的需求量數

據用該組區間的中點值作代表，位于各區間的頻率代替位于該區間的概率），微店每天

從云南固定空運250支，還是255支百合花，四月后20天百合花銷售總利潤會更大？

頻率/縝跑

0.04----.-----?----

0.03---：---3----;

0.02---：——-j——?

0.01----：----W----

O1----：-----：-----------

230240250260270仃合花日而求卡,枝

解：（I）四月前10天訂單中百合需求量眾數為255,

_1

平均數（231+241+243+244+251+252+255+255+263+265）=250.

10

頻率分布直方圖補充如下:

豌率，維距

（II）設訂單中百合花需求量為。（支），由（I）中頻率分布直方圖，

。可能取值為235,245,255,265,相應頻率分別為0.1,0.3,0,4,0.2,

.?.20天中4=235,245,255,265相應的天數為2天，6天，8天，4天.

①若空運250支，

a=235,當日利潤為235X2-250X1.6=70,

a=245,當日利潤為245X2-250X1.6=90,

a=255,當日禾I」潤為255X2-250X1.6-5X1.8=101,

a=265,當日利潤為265X2-250X1.6-15X1.8=103,

20天總利潤為：70X2+90X6+101X8+103義4=1900元.

②若空運255支

。=235,當日利潤為235X2-255X1.6=62,

0=245,當日利潤為245X2-255X1.6=82,

。=255,當日利潤為255X2-255X1.6=102,

a=265,當日利潤為265X2-255X1.6-10X1.8=104,

20天總利潤為：62X2+82X6+102X8+104X4=1848%.

?.T900>1848,.?.每天空運250支百合花四月后20天總利潤更大.

19.為了美化環境，某公園欲將一塊空地規劃建成休閑草坪，休閑草坪的形狀為如圖所示的

四邊形其中AB=3百米，4￡>=旄百米，且是以D為直角頂點的等腰直

角三角形.擬修建兩條小路AC,8。（路的寬度忽略不計），設0en）.

（1）當cos0=「/5時，求小路AC的長度；

5

(2)當草坪ABC。的面積最大時，求此時小路的長度.

解：(1)在△A3。中，由BD2=AB2+AD2-2AB?AO?cos0,

得BD2—14-6^/5COS0,

又cos0=小區，

5

：.BD=2疾......

延33

得：2=.'0，解得：sinZAZ)B=4,

sinZADB5

???△88是以D為直角頂點的等腰直角三角形,

?**/CDB=^~,且CD=BD=2

jrQ

cosXADC=cos(ZADB-f^-)=-sinZADB=-........................

在△AC。中，AC2=AD2+Z)C2-2AD?DC-cosZADC=(近)2+(2旄)2-2X

o

代x2泥x(*)=37,

0

解得：AC=V37.........................

(2)由(1)得：31)2=14-6泥cosB,

2

SABCD—S^ABD+S^BCD-X3X泥Xsin?-^BD—7Xsin?-3泥cos0

=7+*二(sin0-2cos0)=7+^-sin2當且

(0-<p),止匕時，sin(p=~j=^,coscp

22

<PE(o,

jrjr91

當6-<p=1丁時，四邊形ABCD的面積最大，即。=隼+-亍-,此時cos0=-一『￡sine=7m，

.?.3。2=]4-6*y^cos0=14-6A/^X(-^^-)=26,即BZ)=...............

答：(1)當cos8=，小路AC的長度為J后百米；

(2)草坪A3C。的面積最大時，小路2。的長度為屈百米.

20.如圖，在長方體ABC。-ASCLDI中，點E,P分別在棱DDi,BB,±,且2。￡=即1,

BF=2FBi.證明:

(1)當AB=BC時，EFLAC-,

(2)點G在平面AEF內.

解：(1)因為4BC。-4BC1O1是長方體，所以83」平面ABCD而ACu平面ABC。,

所以ACLBBi,

因為ABCD-A1B1GO1是長方體，S.AB=BC,所以ABCD是正方形，所以ACLBD,又

BDr\BB\=B.

所以AC,平面88。必，又因為點E,P分別在棱DDi,BBi上,所以所u平面

所以EF1AC.

(2)取A4i上靠近4的三等分點M,連接AM,QF,MF,GE.

因為點E在。。1,且2DE=EOi,所以ED〃AAf,且EDi=AM,

所以四邊形AEDiM為平行四邊形，所以￡)iM〃AE,且￡>iA/=AE,

又因為尸在上，且BF=2EBi,所以〃q1,且

所以A1B1尸M為平行四邊形，

所以FM=A\Bx,即EM〃C0i,FM=C\DX,

所以CiAMF為平行四邊形，

所以AM〃CbF,

所以AE〃GF,所以A,E,F,G四點共面.

所以點Ci在平面AEF內.