第04講一元一次不等式（組）的實際應用能夠用一元一次不等式解決一些簡單的實際問題熟能能夠用一元一次不等式組解決實際問題知識點一：根據實際問題列出一元一次不等式；知識點二：積分、分配和行程問題積分問題分類問題行程問題，常用等量關系：路程=速度×時間知識點三：經濟與方案問題1.經濟問題：常見等量關系：利潤=售價-成本.利潤率=（售價-成本）/成本X100%.售價=成本X（1+利潤率）2.方案問題【題型1：根據實際問題列一元一次不等式】【典例1】（2023春?西安月考）“x的3倍與2的差是正數”用不等式可以表示為（）A．3x﹣2＞0 B．（3+2）x＞0 C．3x﹣2≥0 D．3x+2＜0【變式1-1】（2023春?定遠縣校級月考）根據“x的2倍與5的和小于3”列出的不等式是（）A．2x+5≥3 B．2x+5≤3 C．2x+5＞3 D．2x+5＜3【變式1-2】（2023?邯山區校級一模）語句“x的與x的差不超過3”可以表示為（）A． B． C． D．【變式1-3】（2023春?桐柏縣校級月考）“m的2倍與8的和不大于2與m的差”用不等式表示為．【題型2：積分問題】【典例2】（2022秋?洪江市期末）我校舉行數學競賽，一共有25道題，滿分100分，每答對一題得4分，答錯扣一分，不答記0分．（1）某同學只有一道題未作答，最后滿分86分，則該生一共答對多少題？（2）若規定參賽者每題必須作答，得分大于或等于90分，才可以評為一等獎，則參賽者至少答對多少題才能獲評一等獎？【變式2-1】（2023春?定遠縣校級月考）某大學舉辦“學習強國”知識競賽，規定答對一題得20分，答錯一題扣10分，在8道必答題中，得分不低于100分即可進入下一輪，冉冉進入了下一輪，則冉冉答錯題數最多為．【變式2-2】（2022春?唐河縣期中）為了慶祝中國共產黨的生日，增進廣大師生對中國共產黨發展歷程的了解，加強同學們愛國愛黨的意識，某校開展了題為“學黨史，慶黨生，銘黨恩，跟黨走”的知識競賽，本次知識競賽共25題，答對一題得10分，答錯一題或不答題扣5分，設小凌同學在這次競賽中答對了x道題．（1）根據所給的條件，補全表格：答題情況題數（題）每題得分（分）得分（分）答對x1010x答錯或不答（25﹣x）﹣5﹣5（25﹣x）（2）若小凌同學的競賽成績不低于150分，則小凌至少要答對幾道題？【變式2-3】（2022秋?雨花區期中）為了慶祝中共二十大勝利召開，雅禮某初中舉行了以“二十大知多少”為主題的知識競賽，一共有25道題，滿分100分，每一題答對得4分，答錯扣1分，不答得0分．（1）若某參賽同學有2道題沒有作答，最后他的總得分為82分，則該參賽同學一共答對了多少道題？（2）若規定參賽者每道題都必須作答且總得分大于或等于92分才可以被評為“二十大知識小達人”，則參賽者至少需答對多少道題才能被評為“二十大知識小達人”？．【題型3：分配問題】【典例3】（2022春?番禺區期末）把一部分書分給幾名同學，如果每人分3本，則余8本；如果前面的每名同學分5本，那么最后一人就分不到3本（包含分不到書的情況），這些書有多少本？共有多少人？【變式3-1】（2021春?高明區校級期末）現在有住宿生若干名，分住若干間宿舍，若每間住4人，則還有19人無宿舍住；若每間住6人，則有一間宿舍不空也不滿．若設宿舍間數為x，則可以列得不等式組為．【變式3-2】（2022春?嘉定區校級期中）某校學生志愿服務小組在“學雷鋒”活動中購買了一批牛奶到敬老院慰問老人．如果分給每位老人4盒牛奶，那么剩下28盒牛奶；如果分給每位老人5盒牛奶，那么最后一位老人分得的牛奶不足4盒，但至少1盒．問該敬老院的老人至少有多少人？【變式3-3】（2020春?崇川區校級期中）啟秀中學初一年級組計劃將m本書獎勵給本次期中考試取得優異成績的n名同學，如果每人分4本，那么還剩下78本；如果每人分8本，那么最后一人分得的書不足8本，但不少于4本，最終，年級組經討論后決定，給這n名同學每人發6本書，那么將剩余多少本書？【題型4：行程問題】【典例4】（2019春?番禺區期末）張翔上午7：30出發，從學校騎自行車去縣城，路程全長20km，中途因道路施工步行一段路他步行的平均速度是5km/h．（1）若張翔騎車的平均速度是15km/h，當天上午9：00到達縣城，則他騎車與步行各用多少時間？（2）若張翔必須在當天上午9：00之前趕到縣城，他的步行平均速度不變，則他騎車的平均速度應在什么范圍內？【變式4-1】（2020春?嘉祥縣期末）某人要完成2.1千米的路程，并要在18分鐘內到達，已知他每分鐘走90米．若跑步每分鐘可跑210米，問這人完成這段路程，至少要跑（）A．3分鐘 B．4分鐘 C．4.5分鐘 D．5分鐘【變式4-2】（2021春?市南區校級期中）甲、乙兩地相距45km，小李要從甲地到乙地辦事，若他以7km/h的速度可按時到達，現在小李走了4h后因有事停留了0.5h，為了不遲到，小李后來的速度至少是多少？【題型5：經濟問題】【典例5】（2022秋?碑林區校級期末）新年到來之際，百貨商場進行促銷活動，某種商品進價1000元，出售時標價為1400元，本次打折銷售要保證利潤不低于5%，則最多可打（）A．六折 B．七折 C．七五折 D．八折【變式5-1】21.（2022?牡丹江一模）某種商品每件的進價為120元，商場按進價提高50%標價，為增加銷量，準備打折銷售，但要保證利潤率不低于5%，則至多可以打_______折（）A．7 B．7.5 C．8 D．8.5【變式5-2】（2022春?上蔡縣期中）某種商品進價為20元，標價為30元出售，商場規定可以打折銷售，但其利潤率不能少于5%這種商品最多可以按幾折銷售？設這種商品打x折銷售，則下列符合題意的不等式是（）A．30x﹣20≥20×5% B．30x﹣20≤20×5% C．30×﹣20≥20×5% D．30×﹣20≤20×5%【典例6】（2023?大連模擬）學校為了獎勵在“詩詞大賽”中獲獎同學，準備購買甲、乙兩種獎品，已知購買1件甲獎品、4件乙獎品，共需240元；購買2件甲獎品、1件乙獎品，共需165元．（1）求每件甲獎品和每件乙獎品各多少元？（2）如果學校準備購買甲、乙兩種獎品共40件，總費用不超過2140元，那么至少購買多少件乙獎品？【變式6-1】（2023?高新區模擬）某文具店經銷甲、乙兩種筆記本，每次購買同一種筆記本的單價相同，購進筆記本的具體信息如表：進貨批次甲種筆記本數量（單位：本）乙種筆記本數量（單位：本）購買總費用（單位：元）第一次1520640第二次3025980（1）求甲、乙兩種筆記本的購買單價；（2）若第三次計劃用不超過920元購買甲、乙兩種筆記本共50本，求至少購買甲種筆記本多少本？【變式6-2】（2023?蜀山區校級模擬）某超市現有甲、乙兩種商品，已知一個甲商品比一個乙商品貴20元，購買甲、乙兩種型號各10個共需1760元．（1）求甲、乙兩種商品的單價各是多少元？（2）為吸引顧客，該超市準備對甲商品進行打折促銷活動．已知甲商品的進價為49元/個，為保證打折后利潤率不低于20%，至多可打幾折．【題型6：方案問題】【典例7】（2023?林州市模擬）某初級中學為了提高教職工的身體素質，舉辦了“堅持鍛煉，活力無限”的健身活動，并準備購買一些體育器材為活動做準備．已知購買2副乒乓球拍和4副羽毛球拍共需要350元，購買6副乒乓球拍和3副羽毛球拍共需要420元．（1）購買一副乒乓球拍和一副羽毛球拍各需多少元？（2）已知該中學需要購買兩種球拍共80副，羽毛球拍的數量不超過40副．現商店推出兩種購買方案，方案A：購買一副羽毛球拍贈送一副乒乓球拍；方案B：按總價的八折付款．試說明選擇哪種購買方案更實惠．【變式7】（2022?長垣市一模）書法是中華民族的文化瑰寶，是人類文明的寶貴財富，是我國基礎教育的重要內容．某學校準備為學生的書法課購買一批毛筆和宣紙，已知購買40支毛筆和100張宣紙需要280元；購買30支毛筆和200張宣紙需要260元．（1）求毛筆和宣紙的單價；（2）某超市給出以下兩種優惠方案：方案A：購買一支毛筆，贈送一張宣紙；方案B：購買200張宣紙以上，超出的部分按原價打八折，毛筆不打折．學校準備購買毛筆50支，宣紙若干張（超過200張）．選擇哪種方案更劃算？請說明理由．【典例8】（2023春?新城區校級月考）學校準備購進一批甲、乙兩種辦公桌若干張．若學校購進20張甲種辦公桌和15張乙種辦公桌共花費17000元，購買10張甲種辦公桌比購買5張乙種辦公桌多花費1000元．（1）求甲、乙兩種辦公桌每張各多少元；（2）若學校購買甲、乙兩種辦公桌共40張，甲種辦公桌數量不多于乙種辦公桌數量的3倍，且總費用不超過18400元，那么有幾種購買方案？【變式8-1】（2023春?長沙月考）某商店從批發商處購進甲、乙兩種產品，購進5件甲產品和8件乙產品需要成本170元，購進2件甲產品和4件乙產品需要成本80元．銷售時，每件甲產品售價為20元，每件乙產品售價為35元．（1）求每件甲產品和每件乙產品的成本價；（2）若商店從批發商處購進甲、乙兩種產品共100件，購進時總成本不超過1300元，且全部銷售完以后利潤不低于1580元，請問有幾種購進方案？【變式8-2】（2022秋?長沙期中）我市在創建全國文明城市過程中，決定購買A，B兩種樹苗對某路段道路進行綠化改造，已知購買A種樹苗8棵，B種樹苗2棵，需要900元；購買A種樹苗5棵，B種樹苗4棵，需要700元．（1）求購買A，B兩種樹苗每棵各需多少元？（2）考慮到綠化效果和資金周轉，購進A種樹苗不能少于32棵，且用于購買這兩種樹苗的資金不能超過5750元，若購進這兩種樹苗共80棵，則有哪幾種購買方案？1．（2021?攀枝花）某學校準備購進單價分別為5元和7元的A、B兩種筆記本共50本作為獎品發放給學生，要求A種筆記本的數量不多于B種筆記本數量的3倍，不少于B種筆記本數量的2倍，則不同的購買方案種數為（）A．1 B．2 C．3 D．42．（2021?臺灣）美美和小儀到超市購物，且超市正在舉辦摸彩活動，單次消費金額每滿100元可以拿到1張摸彩券．已知美美一次購買5盒餅干拿到3張摸彩券；小儀一次購買5盒餅干與1個蛋糕拿到4張摸彩券．若每盒餅干的售價為x元，每個蛋糕的售價為150元，則x的范圍為下列何者？（）A．50≤x＜60 B．60≤x＜70 C．70≤x＜80 D．80≤x＜903．（2023?懷化）某中學組織學生研學，原計劃租用可坐乘客45人的A種客車若干輛，則有30人沒有座位；若租用可坐乘客60人的B種客車，則可少租6輛，且恰好坐滿．（1）求原計劃租用A種客車多少輛？這次研學去了多少人？（2）若該校計劃租用A、B兩種客車共25輛，要求B種客車不超過7輛，且每人都有座位，則有哪幾種租車方案？（3）在（2）的條件下，若A種客車租金為每輛220元，B種客車租金每輛300元，應該怎樣租車才最合算？4．（2022?內江）為貫徹執行“德、智、體、美、勞”五育并舉的教育方針，內江市某中學組織全體學生前往某勞動實踐基地開展勞動實踐活動．在此次活動中，若每位老師帶隊30名學生，則還剩7名學生沒老師帶；若每位老師帶隊31名學生，就有一位老師少帶1名學生．現有甲、乙兩型客車，它們的載客量和租金如表所示：甲型客車乙型客車載客量（人/輛）3530租金（元/輛）400320學校計劃此次勞動實踐活動的租金總費用不超過3000元．（1）參加此次勞動實踐活動的老師和學生各有多少人？（2）每位老師負責一輛車的組織工作，請問有哪幾種租車方案？（3）學校租車總費用最少是多少元？5．（2022?遂寧）某中學為落實《教育部辦公廳關于進一步加強中小學生體質管理的通知》文件要求，決定增設籃球、足球兩門選修課程，需要購進一批籃球和足球．已知購買2個籃球和3個足球共需費用510元；購買3個籃球和5個足球共需費用810元．（1）求籃球和足球的單價分別是多少元；（2）學校計劃采購籃球、足球共50個，并要求籃球不少于30個，且總費用不超過5500元．那么有哪幾種購買方案？1．（2023?濱江區一模）如圖，用40m長的籬笆圍成一邊靠墻（墻足夠長）的矩形ABCD菜園，若6m≤AB≤10m，則BC的取值范圍為．2．（2023春?河西區期末）把一些書分給幾名同學，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每名同學分5本，那么最后一人就分不到3本，那么這些書共有本．3．（2023春?正陽縣期末）在我市中小學標準化建設工程中，某學校計劃購進一批電腦和電子白板，經過市場考察得知，購買1臺電腦和2臺電子白板需要3.5萬元，購買2臺電腦和1臺電子白板需要2.5萬元．（1）求每臺電腦、每臺電子白板各多少萬元？（2）根據學校實際，需購進電腦和電子白板共30臺，總費用不超過30萬元，但不低于28萬元，該校有幾種購買方案？（3）上面的哪種方案費用最低？按費用最低方案購買需要多少錢？4．（2023?安化縣二模）某禮品店準備購進A，B兩種紀念品，每個A種紀念品比每個B種紀念品的進價少20元，購買9個A種紀念品所需的費用和購買7個B種紀念品所需的費用一樣，請解答下列問題：（1）A，B兩種紀念品每個進價各是多少元？（2）若該禮品店購進B種紀念品的個數比購進A種紀念品的個數的2倍還多5個，且A種紀念品不少于18個，購進A，B兩種紀念品的總費用不超過5450元，則該禮品店有哪幾種進貨方案？5．（2023春?臨高縣期末）接種新冠病毒疫苗，建立全民免疫屏障，是戰勝病毒的重要手段．北京科興中維需運輸一批疫苗到我市疾控中心，據調查得知，2輛A型冷鏈運輸車與3輛B型冷鏈運輸車一次可以運輸600盒；5輛A型冷鏈運輸車與6輛B型冷鏈運輸車一次可以運輸1350盒．（1）求每輛A型車和每輛B型車一次可以分別運輸多少盒疫苗．（2）計劃用兩種冷鏈運輸車共12輛運輸這批疫苗，A型車一次需費用5000元，B型車一次需費用3000元．若運輸物資不少于1500盒，且總費用小于54000元．請你列出所有運輸方案，并指出哪種方案所需費用最少，最少費用是多少？6．（2023春?紅安縣期末）某市教育局對某鎮實施“教育精準扶貧”，為某鎮建了中、小兩種圖書館．若建立3個中型圖書館和5個小型圖書館需要30萬元，建立2個中型圖書館和3個小型圖書館需要19萬元．（1）建立一個中型圖書館和一個小型圖書館各需要多少萬元？（2）現要建立中型圖書館和小型圖書館共10個，小型圖書館的數量不多于中型圖書館的數量，且總費用不超過45萬元，請問有幾種方案？哪種方案所需費用最少？7．（2023春?東湖區校級期末）“文房四寶”是中國獨有的書法繪畫工具，即筆、墨、紙、硯，文房四寶之名，起源于南北朝時期．基本中學為了落實雙減政策，豐富學生的課后服務活動，開設了書法社團，計劃為學生購買甲、乙兩種型號“文房四寶”，經過調查得知：每套甲型號“文房四寶”的價格比每套乙型號的價格貴40元，買5套甲型號和10套乙型號共用1100元．（1）求每套甲、乙型號“文房四寶”的價格分別是多少？（2）若學校需購進甲、乙兩種型號“文房四寶”共120套，總費用不超過8600元，并且根據學生需求，要求購進乙型號“文房四寶”的數量必須低于甲型號“文房四寶”數量的3倍，問有幾種購買方案？最低費用是多少？8．（2023春?廣陽區期末）學校準備購進一批甲、乙兩種辦公桌若干張．若學校購進20張甲種辦公桌和15張乙種辦公桌共花費17000元，購買10張甲種辦公桌比購買5張乙種辦公桌多花費1000元．（1）求甲、乙兩種辦公桌每張各多少元；（2）若學校購買甲、乙兩種辦公桌共40張，甲種辦公桌數量不多于乙種辦公桌數量的3倍，且總費用不超過18400元，那么有幾種購買方案？9．（2023春?涇陽縣期中）某城市自來水收費實行階梯水價，收費標準如下表所示：月用水量不超過12噸的部分超過12噸不超過18噸的部分超過18噸的部分收費標準（元/噸）2.002.503.00（1）某戶5月份交水費45元，則該用戶5月份的用水量是多少？（2）要使月所繳水費控制在20元至30元之間，則該戶的月用水量應該控制在什么范圍內？10．（2023?浠水縣一模）某超市計劃同時購進一批甲、乙兩種商品，