二項式定理教學設計【5篇】二項式定理教學設計二項式定理篇一學習必備歡迎下載二項式定理教學目標：知識與技能：進一步掌握二項式定理和二項展開式的通項公式過程與方法：能解決二項展開式有關的簡單問題情感、態(tài)度與價值觀：教學過程中，要讓學生充分體驗到歸納推理不僅可以猜想到一般性的結果，而且可以啟發(fā)我們發(fā)現一般性問題的解決方法。教學重點：二項式定理及通項公式的掌握及運用教學難點：二項式定理及通項公式的掌握及運用授課類型：新授課課時安排：3課時教具：多媒體、實物投影儀二項式定理是初中乘法公式的推廣，是排列組合知識的具體運用，是學習概率的重要基定內容分析：礎．這部分知識具有較高應用價值和思維訓練價值．理本身，通項公式，楊輝三角，二項式系數的性質等．通過二項式定理的學習應該讓學生掌握有關知識，近似計算等方面形成技能或技巧；正確情感、態(tài)度和世界觀的培養(yǎng)和形成．二項式定理本身是教學重點，因為它是后面一切結果的基礎．殊化方法等意義重大而深遠，所以也應該是重點．二項式定理的證明是一個教學難點．組合數的性質這是因為，證明中符號比較抽象、以發(fā)揮他們的自主精神；需要恰當地運用2、需要用到不太熟悉的數學歸納法．盡量創(chuàng)造讓學生活動以盡量引導學生的發(fā)展和創(chuàng)造意識，通項公式，楊輝三角，特同時在求展開式、其通項、證恒等式、重視學生進一步體會過程分析與特殊化方法等等的運用；中學教材中的二項式定理主要包括：在教學中，努力把表現的機會讓給學生，使他們能在再創(chuàng)造的氛圍中學習．教學過程：一、復習引入：⑴(a⑵(a⑶(a的機會，以讓學生在直接體驗中建構自己的知識體系；b)b)b)2aa22abbCa02CabCa03312Cb；CabCab3ab3abb)(abCb3334(ab)(a4b)(ab)的各項都是4次式，24即展開式應有下面形式的各項：展開式各項的系數：上面恰有a，ab，ab，ab，b，00即C4種，a的系數是C4；4個括號中，每個都不取b的情況有1種，14種，1個取b的情況有C24，恰有ab的系數是C，恰有2個取b的情況有C1424種，ab的系22數是C3個取b的情況有C種，ab的系數是C，有4都取b的情況有C種，b的系數是C4，4學習必備歡迎下載∴(ab)C4a04C4abC4ab222C4abC4b．44二、講解新課：二項式定理：(a⑴(ab)nCa0nnCab1nnCarnnrbrCb(nnnnN)n)b的展開式的各項都是n次式，即展開式應有下面形式的各項：nra，ab，…，a⑵展開式各項的系數：每個都不取恰有1個取恰有r個取有n都取∴(annb，…，b，rnb的情況有1種，即C種，a的系數是C；b的情況有C種，ab的系數是Cb的情況有Cn種，annrnrr1nn1n，……，0nn0nb的系數是Cn，……，nrb的情況有Cn種，b的系數是Cn，Ca0nnb)nCab1nnCarnnrbrCb(n(annnN)，n)b的二項展開式，⑶它有n1這個公式所表示的定理叫二項式定理，項，各項的系數⑷Cnarnrr右邊的多項式叫C(rrn0,1,n)叫二項式系數，Tr1表示，即通項Trnb叫二項展開式的通項，用a1,bCaCxrnrnnrb．xnr⑸二項式定理中，設三、講解范例：x，則(1x)1Cx1nr14例1．展開(1)．x解一：(11x1x)4)4解二：（11C()C()C()xxx14144413()(x1)()xC4xxx2343()xxCx162x43x14．xCx4x6x1x4x31x．例2．展開(2x)．解：(2x1x)1x(2x1)學習必備歡迎下載1x[(2x)C(2x)5C(2x)C(2x)C(2x)C(2x)1]64x192x240x1606012xx4項1x．例3．求(x解：(xa)的展開式中的倒數第a)的展開式中共13項，它的倒數第4項是第10項，912912T91Cxa9Cxa312220xa．2a)的展開式中的第3項．39例4．求（1）(2a解：（1）T2（2）T23b)，（2）(3bC(2a)(3b)2160ab，4C(3b)(2a)4860ba．6點評：(2a3b)，(3b2a)的展開后結果相同，但展開式中的第r項不相同例5．（1）求（x33xr3x)的展開式常數項；9（2）求（x3)的展開式的中間兩項32解：∵TrC()x9r（3x)rCr92r9x9r，∴（1）當3xr0,r6時展開式是常數項，即常數項為T7C2268；（2）（x3)的展開式共10項，它的中間兩項分別是第1525項、第6項，T5C3x242x3，T6C31099x378x3例6．（1）求(12x)的展開式的第（2）求4項的系數；(x1x7)9的展開式中x的系數及二項式系數3解：(12x)的展開式的第四項是∴（17T31C(2x)280x，32x)的展開式的第四項的系數是280．學習必備歡迎下載（2）∵∴9(x2rx3，r)的展開式的通項是Tr3，3Cxr99r（1x39)r(1)Cxrr992r，∴x的系數(1)C例7．求(x284，x的二項式系數C84．3x4)的展開式中x的系數才可以用二項式分析：要把上式展開，必須先把三項中的某兩項結合起來，看成一項，定理展開，然后再用一次二項式定理，項式定理展開解：（法一）(x2，也可以先把三項式分解成兩個二項式的積，再用二3xC(x4)[(x3x)4]4C(x043x)3x)4C(xx的項，C3x)C(x3x)4C4，4顯然，上式中只有第四項中含∴展開式中含（法二）：(xx的項的系數是3x3434)]768(x1)(x1344)Cx[(x1)(xCx4)4(Cx04CxC)(CxC404Cx4CxCx4C4)4∴展開式中含x的項的系數是2xmC4n768．N)的展開式中含x項的系數為36，*例8．已知f(x)求展開式中含14x(m,nx項的系數最小值x項的系數是關于2分析：展開式中含可得m,n的關系式，由展開式中含x項的系數為36，2m4n36，從而轉化為關于2xmnm或n的二次函數求解解：114x展開式中含x的項為1nC1m2x1mC1n4x(2C1m4C)x1n∴(2C4C)m36，即m2n18，n12x14xC42n展開式中含x的項的系數為2t∵C22m2m2m8n8n，m2n18，∴m182n，2(182n)2∴t2(182n)8n8n16n148n612學習必備歡迎下載16(n∴153n)，∴當n44378時，t取最小值，但nN，5,m8．*n5時，t即x2項的系數最小，最小值為x12xn272，此時n例9．已知()的展開式中，前三項系數的絕對值依次成等差數列，（2）求展開式中所有的有理項（1）證明展開式中沒有常數項；解：由題意：2Cxn112221Cn()，即n22（12x9nr480，∴nr8(n1舍去）∴TrCr88r)r（128r)Cxrr8x1C2r8rx163r40r8rZ163r0，即163r1是常數項，則4∵rZ，這不可能，∴展開式中沒有常數項；163r②若Tr1是有理項，當且僅當為整數，4①若Tr∴00，r8,rZ，∴r0,4,8，T1x，T54即展開式中有三項有理項，分別是：例10．求0.998的近似值，使誤差小于解：0.998x，T981x2560.001．(10.002)C06C(0.002)C(0.002)，666展開式中第三項為略不計，∴0.998C0.0020.00006，小于0.001，以后各項的絕對值更小，可忽(10.002)Cn06C(0.002)0.998，一般地當a較小時(1a)四、課堂練習：1.求2.求1na2a3b的展開式的第3項。3b2a的展開式的第3項。3663.寫出(x12x3)的展開式的第r+1項。n4.求x32x的展開式的第4項的二項式系數，并求第4項的系數。5.用二項式定理展開：學習必備歡迎下載（1）(ab)；（2）（5x2（12x).1156.化簡：（1）(17．x)52x)；（2）(2x3x2)4(2x3x2)4xxxlgx5展開式中的第2n3項為10，求x．8．求1x展開式的中間項42答案：1.T22.T2C(2a)(3b)2160abC(3b)rn(2a)4860abC(x)nr（12x3)Crn2rCxrn34.展開式的第4項的二項式系數35，第4項的系數C228025.（1）(ax2b)a)5a132xb10axb10ab5ab3bbb；xxxx2（2）（2xx)xx5xxx.6.（1）(1(1124x)220x10x；4（2）(2x3x)(2x3x)192x32lgx432x67.xx2lgx5展開式中的第3項為Cxlgx1052x32lgx52lgx3lgx52n01,lgxx10,x1010008.x1x展開式的中間項為(1)Cnn2n五、小結：二項式定理的探索思路式的特點:觀察——歸納——猜想——證明；二項式定理及通項公六、課后作業(yè)：P36習題1.3A組1.2.3.4七、板書設計（略）二項式定理教學設計篇二1．3．1二項式定理一、教學目標1．知識目標：掌握二項式定理及其簡單應用2．過程與方法：培養(yǎng)學生觀察、歸納、猜想能力，發(fā)現問題，探求問題的能力，邏輯推理能力以及科學的思維方式。3．情感態(tài)度和價值觀：培養(yǎng)學生勇于探索，勇于創(chuàng)新的個性品質，感受和體驗數學的簡潔美、和諧美和對稱美。二、教學重點、難點重點：二項式定理的發(fā)現、理解和初步應用及通項公式難點：展開式中某一項的二項式系數與該項的系數的區(qū)別三、教學過程創(chuàng)設問題情境：今天是星期三，15天后星期幾，30天后星期幾，8100天后星期幾呢？前面幾個問題全班所有學生都大聲地回答出來了，最后一個問題大家都很迷惑，有些學生試圖用計算器算，還是覺得很復雜，學習完這節(jié)課我們就知道答案了，并且我們不用查日歷就能知道未來任何一天是星期幾新課講解：問題1abdc的展開式有多少項？有無同類項可以合并？由于這一節(jié)是在學生學習了兩個計數原理和排列組合知識之后學習的，所以學生能夠快速的說出答案。問題2abb的ab原始展開式有多少項？有幾項是同類項？項是怎樣構成a的？有規(guī)律嗎？學生根據乘法展開式也很快得出結論問題3abbaa2bab的3原始展開式有多少項？經合并后又只能有幾項？是哪幾項？學生仍然根據乘法公式算出了答案問題4abbaaba的bab的原始展開式有多少項？44問題5你能準確快速地寫出ab的原始展開式的16項嗎？經合并后，又只能有哪幾項？此時，學生能說出其中的一兩項，并不能全部回答出來所有的項，思維覺察到麻煩，困難，易出錯——借此“憤悱”之境，有效的實現思維的烘熱）啟發(fā)類比：4個袋中有紅球a，白球b各一個，每次從4個袋子中各取一個球，有什么樣的取法？各種取法有多少種？在4個括號（袋子）中0（1）若每個括號都不取b，只有一種取法得到a，即C4種1（2）若只有一個括號取b，共有C4種取法得到ab2（3）若只有兩個括號取b，共有C4種取法得到ab3（4）若只有三個括號取b，共有C4種取法得到ab4（5）若每個括號都取b，共有C4種取法得到b4134322引導學生發(fā)現：原始展開式中確有同類項存在，且確實可省去“合并”04132223344因此ab3C4aC4abC4abC4abC4b4問題6其個數，為何恰好應為該項的系數？nrr問題7ab在合并后的展開式中，ab的系數應該是多少？有理由嗎？n問題8那么，該如何將ab輕松、清晰地展開？請同學們歸納猜想學生們快速地說出nabn0n1n1n2n22knkknnCnaCnabCnabCnabCnbnN*我們數學講究邏輯地嚴密性和知識的嚴謹性，大家猜想地很正確，那么我們怎么來證明呢？思路：證明中主要運用了計數原理！①展開式中為什么會有那幾種類型的項？abn是n個ab相乘，展開式中的每一項都是從這n個ab中各任取一個字母相nk乘得到的，每一項都是n次的。故每一項都是a②展開式中各項的系數是怎么來的？bk的形式，k0,1,2,,nkankbk是從n個ab中取k個b，和余下nk個a相乘得到的，有Cn種情況可以得到kankbk，因此，該項的系數為Cn定義：一般地，對于任意正整數n，上面的關系式也成立，即有abn0n1n1n2n22knkknnCnaCnabCnabCnabCnbnN*n注：（1）公式左邊叫做二項式，右邊叫做ab的二項展開式（2）定理中的a,b僅僅是一種符號，它可以是任意的數或式子什么的，只要是兩項相加的n次冪，就能用二項式定理展開例：把b換成b，則abn0n1n1n2n22knkknnCnaCnabCnab1Cnab1CnbnN*kn練習：令a1,bx，則1xn01122kknnCnCnxCnxCnxCnxnN*問題9二項式定理展開式中項數、指數、系數特點是什么？哪一項最有代表性公式特征：（1）項數：共有n1項（2）指數規(guī)律：①各項的次數都等于二項式的系數n（關于a與b的齊次多項式）②字母a按降冪排列，次數由n遞減到0；字母b按升冪排列，次數由0遞增到nknkk（3）二項式展開式的通項：Tk1Cnab，k0,1,2,,n012knk（4）二項式系數：依次為Cn。這里Cn（k0,1,2,,n）稱為二，Cn,Cn,Cn,Cn項式系數現在同學們能告訴老師8100天后星期幾嗎？思考了一會兒，馬上有同學大聲喊：把8寫成7+1，再進行展開，余數是多少，就是星期幾老師故意問：為什么要寫成7+1，這時，所有學生都明白了，因為一個星期7天，所以n810071展開式中除了最后一項外，其余的項都是7的倍數，因此余數為Cn1，故100應為星期四。1例1求2x的展開式x方法一：直接展開112技巧：將根式先化成冪的形式，再進行計算，要簡單很多。即原式變成2xx266方法二：先合并化簡，再展開建議用第二種方法簡單些。變式一：展開式中的常數項是多少？變式二：展開式中的第3項是多少？變式三：展開式中的第3項的系數是多少？變式四：展開式中的第3項二項式系數是多少？注意：二項式系數和系數是兩個不同的概念，二項式系數就是一個組合數，與a,b無關；系數與a,b有關。例2（1）求(12x)7的展開式的第4項的系數和第4項的二項式系數13（2）x的展開式中x的系數和中間項x例3求(xa)12的展開式中的倒數第4項9小結：（1）注意二項式定理中二項展開式的特征（2）區(qū)別二項式系數、項的系數（3）掌握用通項公式求二項式系數、項的系數及項。作業(yè)：P374，5教學反思：本節(jié)課先用今天星期幾的問題創(chuàng)設問題情境，一下子把全班學生的學習積極性都調動起來了，當大家不知道老師葫蘆里賣的什么藥時，老師由淺入深的提問，最后問到8100天后星期幾，從而引出今天的課題：二項式定理。給大家設置這個懸念后，緊接著又進行一系列的問題教學，讓學生自己去探究去回答，最后學生之間合作交流歸納猜想出二項式定理的展開式，整個過程順理成章地完成。二項式定理教學設計篇三二項式定理一、教學目標1．知識目標：掌握二項式定理及其簡單應用2．過程與方法：培養(yǎng)學生觀察、歸納、猜想能力，發(fā)現問題，探求問題的能力，邏輯推理能力以及科學的思維方式。3．情感態(tài)度和價值觀：培養(yǎng)學生勇于探索，勇于創(chuàng)新的個性品質，感受和體驗數學的簡潔美、和諧美和對稱美。二、教學重點、難點重點：二項式定理的發(fā)現、理解和初步應用及通項公式難點：展開式中某一項的二項式系數與該項的系數的區(qū)別三、教學過程創(chuàng)設問題情境：今天是星期三，15天后星期幾，30天后星期幾，8100天后星期幾呢？前面幾個問題全班所有學生都大聲地回答出來了，最后一個問題大家都很迷惑，有些學生試圖用計算器算，還是覺得很復雜，學習完這節(jié)課我們就知道答案了，并且我們不用查日歷就能知道未來任何一天是星期幾新課講解：問題1abcd的展開式有多少項？有無同類項可以合并？由于這一節(jié)是在學生學習了兩個計數原理和排列組合知識之后學習的，所以學生能夠快速的說出答案。問題2abab的ab原始展開式有多少項？有幾項是同類項？項是怎樣構成的？有規(guī)律嗎？學生根據乘法展開式也很快得出結論問題3ababab的ab原始展開式有多少項？經合并后又只能有幾項？是哪幾項？學生仍然根據乘法公式算出了答案問題4abababab的ab的原始展開式有多少項？問題5你能準確快速地寫出ab的原始展開式的16項嗎？經合并后，又只能有哪幾項？此時，學生能說出其中的一兩項，并不能全部回答出來所有的項，思維覺察到麻煩，困難，易出錯——借此“憤悱”之境，有效的實現思維的烘熱）啟發(fā)類比：4個袋中有紅球a，白球b各一個，每次從4個袋子中各取一個球，有什么樣的取法？各種取法有多少種？在4個括號（袋子）中4423問題6其個數，為何恰好應為該項的系數？問題7ab在合并后的展開式中，annnrbr的系數應該是多少？有理由嗎？問題8那么，該如何將ab輕松、清晰地展開？請同學們歸納猜想學生們快速地說出abn0n1n1n2n22knkknnCnaCnabCnabLCnabLCnbnN*我們數學講究邏輯地嚴密性和知識的嚴謹性，大家猜想地很正確，那么我們怎么來證明呢？思路：證明中主要運用了計數原理！①展開式中為什么會有那幾種類型的項？abn是n個ab相乘，展開式中的每一項都是從這n個ab中各任取一個字母相nk乘得到的，每一項都是n次的。故每一項都是a②展開式中各項的系數是怎么來的？bk的形式，k0,1,2,L,nankbk是從n個ab中取k個b，和余下nk個a相乘得到的，有Cnk種情況可以得到ankbk，因此，該項的系數為Cnk定義：一般地，對于任意正整數n，上面的關系式也成立，即有abn0n1n1n2n22knkknnCnaCnabCnabLCnabLCnbnN*注：（1）公式左邊叫做二項式，右邊叫做ab的二項展開式（2）定理中的a,b僅僅是一種符號，它可以是任意的數或式子什么的，只要是兩項相加的n次冪，就能用二項式定理展開例：把b換成b，則nabn0n1n1n2n22knkknnCnaCnabCnabL1CnabL1CnbnN*kn練習：令a1,bx，則1xn01122kknnCnCnxCnxLCnxLCnxnN*問題9二項式定理展開式中項數、指數、系數特點是什么？哪一項最有代表性公式特征：（1）項數：共有n1項（2）指數規(guī)律：①各項的次數都等于二項式的系數n（關于a與b的齊次多項式）②字母a按降冪排列，次數由n遞減到0；字母b按升冪排列，次數由0遞增到nknkk（3）二項式展開式的通項：Tk1Cnab，k0,1,2,L,n012knk（4）二項式系數：依次為Cn,Cn,Cn,LCnL,Cn。這里Cn（k0,1,2,L,n）稱為二項式系數現在同學們能告訴老師8100天后星期幾嗎？思考了一會兒，馬上有同學大聲喊：把8寫成7+1，再進行展開，余數是多少，就是星期幾老師故意問：為什么要寫成7+1，這時，所有學生都明白了，因為一個星期7天，所以810071展開式中除了最后一項外，其余的項都是7的倍數，因此余數為Cnn1，故應為星期四。61001例1求2x的展開式x方法一：直接展開11技巧：將根式先化成冪的形式，再進行計算，要簡單很多。即原式變成2x2x26方法二：先合并化簡，再展開建議用第二種方法簡單些。變式一：展開式中的常數項是多少？變式二：展開式中的第3項是多少？變式三：展開式中的第3項的系數是多少？變式四：展開式中的第3項二項式系數是多少？注意：二項式系數和系數是兩個不同的概念，二項式系數就是一個組合數，與a,b無關；系數與a,b有關。例2（1）求(12x)7的展開式的第4項的系數和第4項的二項式系數13（2）x的展開式中x的系數和中間項x例3求(xa)12的展開式中的倒數第4項小結：（1）注意二項式定理中二項展開式的特征（2）區(qū)別二項式系數、項的系數（3）掌握用通項公式求二項式系數、項的系數及項。作業(yè)：P374，5教學反思：本節(jié)課先用今天星期幾的問題創(chuàng)設問題情境，一下子把全班學生的學習積極性都調動起來了，當大家不知道老師葫蘆里賣的什么藥時，老師由淺入深的提問，最后問到81009天后星期幾，從而引出今天的課題：二項式定理。給大家設置這個懸念后，緊接著又進行一系列的問題教學，讓學生自己去探究去回答，最后學生之間合作交流歸納猜想出二項式定理的展開式，整個過程順理成章地完成。1.知識與技能：(1)理解二項式定理是代數乘法公式的推廣。(2)理解并掌握二項式定理，能利用計數原理證明二項式定理。2.過程與方法：通過學生參與和探究二項式定理的形成過程，培養(yǎng)學生觀察、分析、概括的能力，以及化歸的意識與方法遷移的能力，體會從特殊到一般的思維方式．3.情感、態(tài)度與價值觀：培養(yǎng)學生的自主探究意識，合作精神，體驗二項式定理的發(fā)現和創(chuàng)造歷程，體會數學語言的簡潔和嚴謹．二、教學重點、難點重點：用計數原理分析的展開式，得到二項式定理．難點：用計數原理分析二項式的展開過程，發(fā)現二項式展開成單項式之和時各項系數的規(guī)律。一、說教材1、地位及作用：二項式定理安排在高中數學選修2-3第三節(jié)，是排列組合內容后的一部分內容，其形成過程是組合知識的應用，同時也為隨后學習的概率知識及概率與統(tǒng)計，作知識上的鋪墊。二項展開式與多項式乘法有密切的聯系，本節(jié)知識的學習，必然從更廣的視角和更高的層次來審視初中學習的關于多項式變形的知識。運用二項式定理可以解決一些比較典型的數學問題，例如近似計算、整除問題、不等式的證明等。2、重點難點分析：重點：（1）使學生參與并深刻體會二項式定理形成過程，掌握二項式系數的規(guī)律。（2）能夠應用二項式定理、對二項式進行展開。難點：運用多項式乘法以及組合知識推導二項式定理的過程。A.知識與技能（1）使學生參與并探討二項式定理的形成過程，掌握二項式系數、字母的冪次、展開式項數的規(guī)律。（2）能夠應用二項式定理對所給出的二項式進行正確的展開。B.過程與方法通過二項式定理的推導過程，培養(yǎng)學生觀察，猜想，歸納的能力。C.情感態(tài)度與價值觀（1）通過學生自主參與和探討二項式定理的形成過程，培養(yǎng)學生解決數學問題的興趣和信心。（2）通過學生自主參與和探討二項式定理的形成過程，使學生體會到數學內在的和諧對稱美。三﹑說教法和學法1、教法為了完成本節(jié)課的教學目標，讓學生主動探索展開式的由來是關鍵。本節(jié)課的教法貫穿啟發(fā)式教學原則，采用多媒體輔助教學方法，以“引導思考”為核心，設計課件展示，并引導學生沿著積極的思維方向，逐步達到即定的教學目標，發(fā)展學生的邏輯思維能力；同時，考慮到學生的個體差異，在教學的各個環(huán)節(jié)進行分層施教，實現“有差異”的發(fā)展。2、學法根據學生思維的特點，遵循“教必須以學為主”的教學理念，讓每一個學生自主參與整堂課的知識構建。在教學的各個環(huán)節(jié)中引導學生進行類比遷移，對照學習。3、教學手段二項式定理教學設計篇四《二項式定理》教學設計1．教學目標知識技能：理解二項式定理，記憶二項展開式的有關特征，能對二項式定理進行簡單應用．過程方法：通過從特殊到一般的探究活動，經歷“觀察—歸納—猜想—證明”的思維方法，養(yǎng)成合作的意識，獲得學習和成功的體驗．情感、態(tài)度和價值觀：通過對二項式定理的研究，掌握展開式的結構特點，體驗數學公式的對稱美、和諧美，了解楊輝、牛頓等數學家做出的巨大貢獻．2.教學過程探索研究二項式定理的內容從學生比較熟悉的完全平方公式入手，去觀察，猜想02122(ab)2a22abb2C2aC2abC2b三次方的讓學生按照多項式乘法進行運算在合并，不合并之前是幾項，為什么？（分步乘法計數原理）0312233(ab)3a33a2b3ab2b3C3aC3abC3ab2C3b每一項中字母a，b的指數和相同，項的個數有n1項00每個都不取b的情況有1種，即C4種，所以a4的系數是C4；11恰有1個取b的情況下有C4種，所以a3b的系數是C4；22恰有2個取b的情況下有C4種，所以a2b2的系數是C4；33恰有3個取b的情況下有C4種，所以ab3的系數是C4；444個都取b的情況下有C4種，所以b4的系數是C4；0413222344因此(ab)4C4aC4abC4abC4ab3C4b．歸納、猜想(ab)n0n1n12n22(ab)nCnaCnabCnabknkkCnabnnCnb(nN)設問：（1）將(ab)n展開，有多少項？（2）每一項中，字母a，b的指數有什么特點？（3）字母a，b指數和始終是多少？（4）如何確定ankbk的系數？教師引導學生觀察二項式定理，從以下幾方面強調：（1）項數規(guī)律：n1項；（2）次數規(guī)律：字母a，b的指數和為n，字母a的指數由n遞減至0，同時，字母b的指數由0遞增至n；（3）二項式系數規(guī)律：下標為n，上標由0遞增至n；knkk（4）通項：Tk1Cnab指的是第k1項，不是第k項，該項的二項式系k數是Cn板書以上幾點3.例題處理51例1：（1）在2x的展開式中x（1）請寫出展開式的通項。（2）求展開式的第4項。（3）請指出展開式的第4項的系數，二項式系數。3（4）求展開式中含x的項。課件展示解題過程自主探究：在12x的展開式中，求第4項，并指出它的二項式系數和系數7是什么？獨立完成，爬黑板01合作探究：設n為自然數，化簡Cn2nCn2n11Cnk2nk1Cnnkn分組討論，交流想法4.歸納小結學生的學習體會與感悟；教師強調：（1）主要探究方法：從特殊到一般再回到特殊的思想方法（2）從特殊情況入手，“觀察——歸納——猜想——證明”的思維方法，是人們發(fā)現事物規(guī)律的重要方法之一，要養(yǎng)成“大膽猜想，嚴謹論證”的良好習慣．（3）二項式定理每一項中字母a，b的指數和為n，a的指數從n遞減至0同時b的指數由0遞增至n，體現數學的對稱美、和諧美．二項式系數還有哪些規(guī)律呢？希望同學們在課下繼續(xù)研究、能夠有新的發(fā)現．5.作業(yè)（1）鞏固型作業(yè)：課本36頁習題1.3A組1、3、4（1）（2）5（2）思維拓展型作業(yè)：（查閱相關資料）查閱有關楊輝一生的主要成就。012探究二項式系數Cn,Cn,Cn,n有何性質。,Cn3二項式定理教學設計篇五二項式定理一、教學目標1．知識目標：掌握二項式定理及其簡單應用2．過程與方法：培養(yǎng)學生觀察、歸納、猜想能力，發(fā)現問題，探求問題的能力，邏輯推理能力以及科學的思維方式。3．情感態(tài)度和價值觀：培養(yǎng)學生勇于探索，勇于創(chuàng)新的個性品質，感受和體驗數學的簡潔美、和諧美和對稱美。二、教學重點、難點重點：二項式定理的發(fā)現、理解和初步應用及通項公式難點：展開式中某一項的二項式系數與該項的系數的區(qū)別三、教學過程創(chuàng)設問題情境：今天是星期三，15天后星期幾，30天后星期幾，8100天后星期幾呢？前面幾個問題全班所有學生都大聲地回答出來了，最后一個問題大家都很迷惑，有些學生試圖用計算器算，還是覺得很復雜，學習完這節(jié)課我們就知道答案了，并且我們不用查日歷就能知道未來任何一天是星期幾新課講解：問題1abdc的展開式有多少項？有無同類項可以合并？由于這一節(jié)是在學生學習了兩個計數原理和排列組合知識之后學習的，所以學生能夠快速的說出答案。問題2abb的ab原始展開式有多少項？有幾項是同類項？項是怎樣構成a的？有規(guī)律嗎？學生根據乘法展開式也很快得出結論問題3abbaa2bab的3原始展開式有多少項？經合并后又只能有幾項？是哪幾項？學生仍然根據乘法公式算出了答案問題4abbaaba的bab的原始展開式有多少項？44問題5你能準確快速地寫出ab的原始展開式的16項嗎？經合并后，又只能有哪幾項？此時，學生能說出其中的一兩項，并不能全部回答出來所有的項，思維覺察到麻煩，困難，易出錯——借此“憤悱”之境，有效的實現思維的烘熱）啟發(fā)類比：4個袋中有紅球a，白球b各一個，每次從4個袋子中各取一個球，有什么樣的取法？各種取法有多少種？在4個括號（袋子）中問題6其個數，為何恰好應為該項的系數？問題7ab在合并后的展開式中，annnrbr的系數應該是多少？有理由嗎？問題8那么，該如何將ab輕松、清晰地展開？請同學們歸納猜想學生們快速地說出abn0n1n1n2n22CnaCnabCnabknkkCnabnnCnbnN*我們數學講究邏輯地嚴密性和知識的嚴謹性，大家猜想地很正確，那么我們怎么來證明呢？思路：證明中主要運用了計數原理！①展開式中為什么會有那幾種類型的項？abn是n個ab相乘，展開式中的每一項都是從這n個ab中各任取一個字母相nk乘得到的，每一項都是n次的。故每一項都是a②展開式中各項的系數是怎么來的？bk的形式，k0,1,2，nankbk是從n個ab中取k個b，和余下nk個a相乘得到的，有Cnk種情況可以得到ankbk，因此，該項的系數為Cnk定義：一般地，對于任意正整數n，上面的關系式也成立，即有abn0n1n1n2n22CnaCnabCnabknkkCnabnnCnbnN*注：（1）公式左邊叫做二項式，右邊叫做ab的二項展開式（2）定理中的a,b僅僅是一種符號，它可以是任意的數或式子什么的，只要是兩項相加的n次冪，就能用二項式定理展開例：把b換成b，則nabn0n1n1n2n22CnaCnabCnabknkk1Cnabknn1CnbnN*n練習：令a1,bx，則1xn01122CnCnxCnxkkCnxnnCnxnN*問題9二項式定理展開式中項數、指數、系數特點是什么？哪一項最有代表性公式特征：（1）項數：共有n1項（2）指數規(guī)律：①各項的次數都等于二項式的系數n（關于a與b的齊次多項式）②字母a按降冪排列，次數由n遞減到0；字母b按升冪排列，次數由0遞增到nknkk（3）二項式展開式的通項：Tk1Cnab，k0,1,2，n,n）稱為二（4）二項式系數：依次為Cn,Cn,Cn,012kCnnk,Cn。這里Cn（k0,1,2,項式系數現在同學們能告訴老師8100天后星期幾嗎？思考了一會兒，馬上有同學大聲喊：把8寫成7+1，再進行展開，余數是多少，就是星期幾老師故意問：為什么要寫成7+1，這時，所有學生都明白了，因為一個星期7天，所以810071展開式中除了最后一項外，其余的項都是7的倍數，因此余數為Cnn1，故應為星期四。61001例1求2x的展開式x方法一：直接展開11技巧：將根式先化成冪的形式，再進行計算，要簡單很多。即原式變成2x2x26方法二：先合并化簡，再展開建議用第二種方法簡單些。變式一：展開式中的常數項是多少？變式二：展開式中的第3項是多少？變式三：展開式中的第3項的系數是多少？變式四：展開式中的第3項二項式系數是多少？注意：二項式系數和系數是兩個不同的概念，二項