2022年江蘇省常州市金壇第一高級中學高一數學文測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.要得到y=sin（2x﹣）的圖象，需要將函數y=sin2x的圖象（）A．向左平移個單位 B．向右平移個單位C．向左平移個單位 D．向右平移個單位參考答案：D【考點】HJ：函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．【分析】由左加右減上加下減的原則可確定函數y=sin2x到的路線，進行平移變換，推出結果．【解答】解：將函數y=sin2x向右平移個單位，即可得到的圖象，就是的圖象；故選D．2.已知集合，則圖中陰影部分表示的集合為A．{1} B．{–1，0} C．{0，1} D．{–1，0，1}參考答案：B3.下列函數是偶函數的是（） A．y=x2，x∈[0，1] B．y=x3 C．y=2x2﹣3 D．y=x參考答案：C【考點】函數奇偶性的判斷． 【專題】計算題；函數的性質及應用． 【分析】利用偶函數的性質判斷即可． 【解答】解：A、y=x2，x∈[0，1]，圖象不關于y軸對稱，不是偶函數； B、f（﹣x）=（﹣x）3=﹣x3=﹣f（x），此函數為奇函數； C、f（﹣x）=2×（﹣x）2﹣3=2x2﹣3=f（x），此函數為偶函數； D、f（﹣x）=﹣f（x），此函數為奇函數， 故選：C． 【點評】此題考查了函數奇偶性的判斷，熟練掌握偶函數的定義是解本題的關鍵．4.某單位有職工750人，其中青年職工350人，中年職工250人，老年職工150人，為了了解該單位職工的健康情況，用分層抽樣的方法從中抽取樣本．若樣本中的青年職工為7人，則樣本容量為（）A．7

B．25

C．15

D．35參考答案：C5.已知函數f(x)=，則f[f()]的值是（）A． B．9 C．﹣9 D．﹣參考答案：A【考點】函數的值．【分析】由已知條件利用分段函數的性質求解．【解答】解：∵，∴f（）==﹣2，∴=3﹣2=．故答案為：．故選：A．【點評】本題考查函數值的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意函數性質的合理運用．6.方程的解所在區間是

(

)A.(0,2)

B.(1,2)

C.(2,3)

D.(3,4)參考答案：C略7.若函數f(x)是定義在R上的偶函數，在上是減函數，且f(2)=0，則使得f(x)<0的x的取值范圍是 (

) (A)(-￥,2)；(B)(2,+￥)；(C)(-￥,-2)è(2,+￥)； (D)(-2,2)。參考答案：D略8.如右上圖所示的方格紙中有定點，則

A．

B．

C．

D．參考答案：C9.已知定義在上的函數的圖象是連續不斷的，且有如下對應值表：1234.5-2.9-3那么函數一定存在零點的區間是（

）A.(-∞，1)

B.(1，2)

C.(2，3)

D.(3，+∞)

參考答案：B10.若函數y＝的定義域為R，則實數m的取值范圍是()A．(0，] B．(0，)C．[0，]

D．[0，)參考答案：D∵y＝的定義域為R，當m＝0，∴mx2＋4mx＋3＝3滿足題意．當m>0時，Δ＝16m2－12m<0，解得0<m<，綜上，0≤m<，即m∈[0，)．答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數f（x）=ax﹣1+4的圖象恒過定點P，則P點坐標是

．參考答案：（1，5）【考點】指數函數的單調性與特殊點．【分析】根據指數函數y=ax的圖象恒過定點（0，1），即可求出P點的坐標．【解答】解：函數f（x）=ax﹣1+4，令x﹣1=0，解得x=1；當x=1時，f（1）=a0+4=5；所以函數f（x）的圖象恒過定點P（1，5）．即P點坐標是（1，5）．故答案為：（1，5）．【點評】本題考查了指數函數y=ax的圖象恒過定點（0，1）的應用問題，是基礎題目．12.已知函數的定義域是，值域是，則的最大值是_____參考答案：令，可得或者，的值為……兩個相鄰的值相差，因為函數的值域是,所以的最大值是，故答案為.13.已知等比數列{an}的公比為q，若，，則a1=_____；q=____．參考答案：

3【分析】用通項公式代入解方程組.【詳解】因為，，所以，，解得.【點睛】本題考查等比數列的通項公式.14.函數的定義域是

，值域是

。參考答案：，.15.已知角α終邊上一點P（-4，3），則的值為_________.參考答案：16.給出下列四個命題：①函數為奇函數；②奇函數的圖像一定通過直角坐標系的原點；③函數的值域是；④若函數的定義域為，則函數的定義域為；⑤函數的單調遞增區間是．其中正確命題的序號是

．（填上所有正確命題的序號）參考答案：①④⑤17.化簡：

參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本題滿分12分）已知函數是二次函數，且，．（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）求證在區間上是減函數.參考答案：

解：（Ⅰ）設又結合已知得

（Ⅱ）證明：設任意的且則又由假設知而在區間上是減函數.

19.(本題滿分10分)已知數列為等差數列，，，數列的前項和為，且有（1）求、的通項公式；（2）若，的前項和為，求.參考答案：解：（1）∵是等差數列，且，，設公差為.

∴，

解得

∴

（）

…3分

在中，∵

當時，，∴

當時，由及可得

，∴

∴是首項為1公比為2的等比數列

∴

（）

…7分（2）

①

②

①-②得

∴

（）

-----10分略20.已知函數，．（1）求的最小正周期；（2）求在上的最小值和最大值．參考答案：（1）;（2）最小值和最大值．試題分析：（1）由已知利用兩角和與差的三角函數公式及倍角公式將的解析式化為一個復合角的三角函數式，再利用正弦型函數的最小正周期計算公式，即可求得函數的最小正周期；（2）由（1）得函數，分析它在閉區間上的單調性，可知函數在區間上是減函數，在區間上是增函數，由此即可求得函數在閉區間上的最大值和最小值．也可以利用整體思想求函數在閉區間上的最大值和最小值．由已知，有的最小正周期．（2）∵在區間上是減函數，在區間上是增函數，，，∴函數在閉區間上的最大值為，最小值為．考點：1．兩角和與差的正弦公式、二倍角的正弦與余弦公式；2．三角函數的周期性和單調性．21.已知二次函數f（x）的最小值為1，且f（0）=f（2）=3．（1）求f（x）的解析式；（2）若f（x）在區間[3a，a+1]上不單調，求實數a的取值范圍；（3）在區間[﹣1，1]上，y=f（x）的圖象恒在y=2x+2m+1的圖象上方，試確定實數m的取值范圍．參考答案：【考點】二次函數的性質．【分析】（1）由已知可得二次函數f（x）關于直線x=1對稱，又由二次函數f（x）的最小值為1，故可設f（x）=a（x﹣1）2+1，求出a值可得f（x）的解析式；（2）若f（x）在區間[3a，a+1]上不單調，則3a＜1＜a+1，解得實數a的取值范圍；（3）在區間[﹣1，1]上，y=f（x）的圖象恒在y=2x+2m+1的圖象上方，即2x2﹣4x+3＞2x+2m+1在區間[﹣1，1]上恒成立，進而將其轉化為函數的最值問題可得答案．【解答】解：（1）∵f（0）=f（2），故二次函數f（x）關于直線x=1對稱，又由二次函數f（x）的最小值為1，故可設f（x）=a（x﹣1）2+1，由f（0）=3，得a=2，故f（x）=2x2﹣4x+3．…（2）要使函數不單調，則，…（3）若在區間[﹣1，1]上，y=f（x）的圖象恒在y=2x+2m+1的圖象上方，即2x2﹣4x+3＞2x+2m+1在區間[﹣1，1]上恒成立，即x2﹣3x+1﹣m＞0在區間[﹣1，1]上恒成立，設g（x）=x2﹣3x+1﹣m，則只要g（x）min＞0，而g（x）min=g（1）=﹣1﹣m，得m＜﹣1．…．22.已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，AA1=4．（Ⅰ）求證：BD⊥A1C；（Ⅱ）求二面角A﹣A1C﹣D1的余弦值；（Ⅲ）在線段CC1上是否存在點P，使得平面A1CD1⊥平面PBD，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．參考答案：【考點】與二面角有關的立體幾何綜合題；直線與平面平行的性質；直線與平面垂直的性質．【專題】空間角．【分析】（Ⅰ）由已知條件推導出BD⊥AA1，BD⊥AC，從而得到BD⊥平面A1AC，由此能證明BD⊥A1C．（Ⅱ）以D為原點建立空間直角坐標系D﹣xyz，利用向量法能求出二面角A﹣A1C﹣D1的余弦值．（Ⅲ）設P（x2，y2，z2）為線段CC1上一點，且=，0≤λ≤1．利用向量法能求出當=時，平面A1CD1⊥平面PBD．【解答】（本小題滿分14分）（Ⅰ）證明：∵ABCD﹣A1B1C1D1為正四棱柱，∴AA1⊥平面ABCD，且ABCD為正方形．…（1分）∵BD?平面ABCD，∴BD⊥AA1，BD⊥AC．…（2分）∵AA1∩AC=A，∴BD⊥平面A1AC．…（3分）∵A1C?平面A1AC，∴BD⊥A1C．…（4分）（Ⅱ）解：如圖，以D為原點建立空間直角坐標系D﹣xyz．則D（0，0，0），A（2，0，0），C（0，2，0），A1（2，0，4），B1（2，2，4），C1（0，2，4），D1（0，0，4），…（5分）∵=（2，0，0），=（0，2，﹣4）．設平面A1D1C的法向量=（x1，y1，z1）．∴．即，…（6分）令z1=1，則y1=2．∴=（0，2，1）．由（Ⅰ）知平面AA1C的法向量為=（2，2，0）．…（7分）∴cos＜＞==．…（8分）∵二面角A﹣A1C﹣D1為鈍二面角，∴二面角A﹣A1C﹣D1的余弦值為﹣．…（9分）（Ⅲ）解：設P（x2，y2，z2）為線段CC1上一點，且=，0≤λ≤1．∵=（x2，y2﹣2，z2