第14講函數的值域與最值第14講函數的值域與最值知識梳理與應用類型一：分式類型函數最一般形式：常見的為：分子分母中至多有一個為2次多項式基本思路：1.換元：分子或分母為一次多項式時，可換元；復合函數，外層為分式函數時，內層可換元；2.分離整式：即可得到反比例函數形式、對勾函數形式或蝴蝶函數形式；3.單調性或基本不等式：如果滿足平均值不等式的使用條件可直接應用求最值；若不滿足可根據單調性求值域/最值；示例： （1）即可判斷單調性 （2） 亦可換元： 令，則即可使用平均值不等式或判斷單調性； （3） 定義域：且，換元：令則且, ， 時，；（注意分類討論，0不能做除數） 時，即可判斷單調性【例1】（2018·上海普陀區·曹楊二中高三月考）★☆☆☆☆函數，的值域是________.【答案】；【詳解】,因為,故，故.【例2】（2017·上海市洋涇中學高一月考）★★☆☆☆已知，函數的值域為___________.【答案】.【詳解】.因為，所以，當且僅當時取“”.所以.故答案為：.【例3】（2019?復旦附中高一上期末10）★★★★☆對于函數，若對于任意的，，，，，為某一三角形的三邊長，則稱為“可構造三角形函數”，已知函數是“可構造三角形函數”，則實數的取值范圍是．【答案】，【解答】解：不妨設，由題意可得恒成立分離整式：由于，單調性：①當，，此時，，，都為1，構成一個等邊三角形的三邊長，滿足條件．②當，在上是減函數，值域為由，可得，解得．③當，在上是增函數，值域為，由，可得，解得．綜上可得，，故實數的取值范圍是，.【練習】（2017·上海市松江二中高一月考）★★★☆☆函數的值域為_________________．【答案】[－1,1)【解析】由題可得，由易得0<≤2，故y∈[－1,1)，所以函數的值域為[－1,1)．【練習】（2021·上海楊浦區·復旦附中高一期末）★★★☆☆若函數的值域為，則實數的取值范圍是__________.【答案】【詳解】由題意，當，即時，函數在單調遞增，故，值域為恒成立；當，即時，，當且僅當，即時取等，又在單調遞增，且，若值域為，則有，解得，綜上所述，的取值范圍為，故答案為：.

類型二：含絕對值類型函數含有絕對值的函數，一般都可以通過寫成分段函數去絕對值來解決問題.但有些特殊的形式出在客觀題位置時，可以直接應用結論：，形式若，開口向上，有最小值，為；若，開口向下，有最大值，為；若，就最大值為，也有最小值為，形式若,最大值為，最小值需判斷和的位置關系若,最小值為，最大值需判斷和的位置關系證明： 不妨設則所以圖像如下， ，【例4】（2021·上海市大同中學高一期末）★★★☆☆函數的最大值為3，則的取值范圍為______________.【答案】【詳解】解法一：根據上述結論，最大值為，則，解得.解法二：當時，；當時，；當時，；所以函數式可化為函數圖象如圖所示：因為時最大值為3，又當時，，當時，；由圖知，.【例5】（2021·上海黃浦區·高三二模）★★★★☆已知，函數的最小值為，則由滿足條件的的值組成的集合是_______________.【答案】【詳解】分以下三種情況討論：①若時，即當時，，所以，函數在上單調遞減，且，當時，，此時，函數無最小值；②若時，即當時，，當時，，當時，.，所以，，整理可得，，解得（舍去）；③當時，即當時，，當時，，當時，.因為，所以，，整理可得，，解得或（舍去）.綜上所述，實數的取值集合為.故答案為：.【練習】（2020華師大二附中高二期末）★★★☆☆已知的最小值為，則的值__________.【答案】【詳解】解：，根據上述結論，其最小值為.得，，得，舍去.故.【練習】（2019·上海位育中學高二期末）★★★☆☆已知函數，若當時，函數都能取到最小值，求實數的取值范圍.【答案】【詳解】當時，，若函數都能取到最小值，則不是的子集，當是的子集時，，解得，因為不是的子集，所以或；同理：當時，，因為不可能是的子集，所以此時函數都能取到最小值當時，，其在時明顯有最小值，綜上所述：的取值范圍是.類型三：含根式類型函數【例6】（2015·上海理工大學附屬中學高一月考）★★★☆☆函數的值域是____________.【答案】【詳解】解：由得，即函數的定義域為，設，則，且，即，則原函數等價為，，，即函數的值域為，故答案為：【例7】（2018·上海市市西中學高三期中）★★★☆☆函數的值域是________.【答案】【詳解】由題，又故的值域是，故答案為：.【練習】（2018·上海浦東新區·高三三模）★★★☆☆的值域是_________.【答案】.【詳解】令，則令，，則，或，所以值域為，故答案為.【練習】（2019·上海市第二中學高二期末）★★★☆☆已知函數，，則函數的值域______．【答案】【詳解】解：因為函數，，所以，又且，解得：，即，，則，又，則，即，又，即，即函數的值域為，故答案為：.

1、（2019秋?控江中學高一上期末）★★★☆☆已知常數，函數，若的最大值與最小值之差為2，則．【答案】【解答】解法一：定義域：，換元：令，，則分離整式：時，；時，基本不等式：在時恒大于0，且值域為在時恒小于0，且值域為所以的值域為所以的最大值為，最小值為由題意有，解得解法二：（判別式法：使用條件較為苛刻，需定義域為）注意到本題，故可使用判別式法令，所以題目轉化為求的范圍使得該關于的