第九章統(tǒng)計一、數(shù)學抽象學生能更好地理解數(shù)學概念、命題、方法和體系，能通過抽象、概括去認識、理解、把握事物的數(shù)學本質，能逐漸養(yǎng)成一般性思考問題的習慣.在本章中，數(shù)學抽象主要體現(xiàn)在隨機抽樣中.培優(yōu)一隨機抽樣【例1】（1）一名交警在高速公路上隨機觀測了6輛車的行駛速度（單位：km/h），然后做了一份報告，結果如表.車序號123456速度666571546958①交警采取的是（填“普查”或“抽樣調查”）；

②這次調查的總體是，樣本是.

（2）假設要考查某公司生產(chǎn)的狂犬疫苗的劑量是否達標，現(xiàn)從500支疫苗中抽取50支進行檢驗，利用隨機數(shù)表抽取樣本時，先將500支疫苗按000，001，…，499進行編號，如果從隨機數(shù)表第1行第8列的數(shù)開始向右讀，請寫出第3支疫苗的編號.

84421753315724550688770474476721763350258392120676 6301637859 1695566719 98105071751286735807 4439523879 3321123429 7864560782解析（1）①一名交警在高速公路上隨機觀測了6輛車的車速，然后他給出了一份報告，交警采用的是抽樣調查的調查方式.②這個調查的總體是高速公路上所有車的行駛速度，樣本是6輛車的行駛速度，個體是每輛車的行駛速度.（2）從隨機數(shù)表第1行第8列的數(shù)開始向右讀，編號分別為331，455，068，則第3支疫苗的編號為068.答案（1）①抽樣調查②高速公路上所有車的行駛速度6輛車的行駛速度（2）068二、數(shù)學運算數(shù)學運算是解決數(shù)學問題的基本手段，是計算機解決問題的基礎.在本章中，數(shù)學運算主要體現(xiàn)在計算百分位數(shù)、平均數(shù)、中位數(shù)、方差和標準差中.培優(yōu)二百分位數(shù)的計算【例2】（1）某射擊運動員7次的訓練成績分別為：86，88，90，89，88，87，85，則這7次成績的第80百分位數(shù)為（）A.88.5B.89C.91 D.89.5（2）某學校組織學生參加數(shù)學測試，成績頻率分布直方圖如圖，則60分為成績的第百分位數(shù).

解析（1）7次的訓練成績從小到大排列為：85，86，87，88，88，89，90，7×80%＝5.6，所以第80百分位數(shù)為從小到大排列的數(shù)據(jù)中的第6個數(shù)據(jù)，即89.故選B.（2）因為分數(shù)位于[20，40）和[40，60）的頻率之和為（0.005＋0.010）×20＝0.3，所以60分為成績的第30百分位數(shù).答案（1）B（2）30培優(yōu)三平均數(shù)、中位數(shù)的計算【例3】統(tǒng)計局就某地居民的月收入（單位：元）情況調查了10000人，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫出了樣本頻率分布直方圖（如圖），每個分組包括左端點，不包括右端點，如第一組表示月收入在[2500，3000）內.（1）為了分析居民的收入與年齡、職業(yè)等方面的關系，必須按月收入再從這10000人中用分層隨機抽樣的方法抽出100人作進一步分析，則月收入在[4000，4500）內的應抽取多少人？（2）根據(jù)頻率分布直方圖估計樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)；（3）根據(jù)頻率分布直方圖估計樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù).解（1）因為（0.0002＋0.0004＋0.0003＋0.0001）×500＝0.5，所以a＝0.51000＝0.0005.又0.0005×500＝0.25，所以月收入在[4000，4500）內的頻率為0.25，所以100人中月收入在[4000，4500）內的人數(shù)為（2）因為0.0002×500＝0.1，0.0004×500＝0.2，0.0005×500＝0.25，0.1＋0.2＝0.3＜0.5，0.1＋0.2＋0.25＝0.55＞0.5，所以中位數(shù)在區(qū)間[3500，4000）內，所以樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)是3500＋0.5-(0.（3）樣本平均數(shù)為（2750×0.0002＋3250×0.0004＋3750×0.0005＋4250×0.0005＋4750×0.0003＋5250×0.0001）×500＝3900（元）.三、數(shù)據(jù)分析數(shù)據(jù)分析是指針對研究對象獲取數(shù)據(jù)，運用數(shù)學方法對數(shù)據(jù)進行整理、分析和推斷，形成關于研究對象知識的素養(yǎng).數(shù)據(jù)分析過程主要包括：收集數(shù)據(jù)，整理數(shù)據(jù)，提取信息，構建模型，進行推斷，獲得結論.在本章中，數(shù)據(jù)分析主要體現(xiàn)在頻率分布直方圖及總體集中趨勢的估計中.培優(yōu)四頻率分布直方圖【例4】為了了解某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品情況，從該工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機抽取一個容量為20的樣本，測量它們的尺寸（單位：mm），并分為[92，94），[94，96），[96，98），[98，100），[100，102），[102，104），[104，106]七組，其頻率分布直方圖如圖所示：（1）求圖中x的值；（2）根據(jù)頻率分布直方圖，估計200件該產(chǎn)品中尺寸在[98，100）內的個數(shù)；（3）記產(chǎn)品尺寸在[98，102）內的為優(yōu)等品，每件可獲利5元；在[92，94）內的為不合格品，每件虧損2元；其余的為合格品，每件可獲利3元.已知每臺機器一個月共生產(chǎn)3000件產(chǎn)品.以樣本的頻率代替總體在各組的頻率，若每臺機器生產(chǎn)的產(chǎn)品一個月所獲得的利潤未達到11000元，則需要對該工廠設備實施升級改造.試判斷是否需要對該工廠設備實施升級改造.解（1）由（0.02＋0.04＋0.06＋0.07＋0.09＋0.10＋x）×2＝1，解得x＝0.12.（2）估計200件該產(chǎn)品中尺寸在[98，100）內的個數(shù)為200×0.09×2＝36.（3）由題意可得，這批產(chǎn)品中優(yōu)等品有3000×（0.18＋0.20）＝1140（件），不合格品有3000×0.04＝120（件），合格品有3000－1140－120＝1740（件），所以每臺機器生產(chǎn)的產(chǎn)品一個月所獲得的利潤為1140×5＋1740×3－120×2＝10680（元），因為10680＜11000，所以需要對該工廠設備實施升級改造.培優(yōu)五總體集中趨勢的估計【例5】（1）一條產(chǎn)品生產(chǎn)線平均每天的產(chǎn)量為3700件，標準差為50件.如果某一天的產(chǎn)量低于或高于平均產(chǎn)量，并落在±2個標準差的范圍之外，就認為該生產(chǎn)線失去控制.下表是該生產(chǎn)線一周各天的產(chǎn)量，問該生產(chǎn)線在星期失去了控制？

時間星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日產(chǎn)量/件3850367036903720361035903700（2）某中學將從甲、乙、丙3人中選一人參加全市中學男子1500米比賽，現(xiàn)將他們最近集訓中的10次成績（單位：秒）的平均數(shù)與方差制成如下表格：甲乙丙平均數(shù)280280290方差201616根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，該中學應選參加比賽.

解析（1）由題意知，當產(chǎn)量在（3700－2×50，3700＋2×50）即（3600，3800）之外時該生產(chǎn)線失去控制，由表中數(shù)據(jù)可知，該生產(chǎn)線在星期一和星期六兩天失去了控制.（2）因為方差越小，發(fā)揮越穩(wěn)定，且比賽成績是時間越短越好，所以選乙參加比賽.答案（1）一、六（2）乙培優(yōu)六統(tǒng)計在實際問題中的決策作用【例6】一次數(shù)學競賽中，兩組學生的成績（單位：分）如下表所示：分數(shù)/分5060708090100人數(shù)甲組251013146乙組441621212經(jīng)計算，兩組的平均分都是80分，請根據(jù)所學過的統(tǒng)計知識，進一步判斷這次競賽中哪個組更優(yōu)秀，并說明理由.解從不同的角度分析如下：①甲組成績的眾數(shù)為90分，乙組成績的眾數(shù)為70分，從成績的眾數(shù)這一角度看，甲組成績好些.②s甲2＝12+5+10+13+14+6×[2×（50－80）2＋5×（60－80）2＋10×（70－80）2＋13×（80－80）2＋14×（90－80）2＋6×（100－80）2]＝172.同理得s乙2＝256.因為s③甲、乙兩組成績的中位數(shù)、平均數(shù)都是80分，其中甲組成績在80分以上（含80分）的有33人，乙組成績在80分以上（含80分）的有26人，從這一角度看，甲組成績總體較好.④從成績統(tǒng)計表看，甲組成績大于或等于90分的有20人，乙組成績大于或等于90分的有24人，所以乙組成績在高分段的人數(shù)多.同時，乙組100分人數(shù)比甲組100分人數(shù)多6人，從這一角度看，乙組成績較好.【例7】寒假期間，很多同學都喜歡參加“迎春花市擺檔口”的社會實踐活動，下表是今年某個檔口某種精品的銷售數(shù)據(jù).日期2月14日2月15日2月16日2月17日2月18日銷售量/件白天3532433951晚上4642505260已知攤位租金900元/檔，售余精品可以按進貨價退回廠家.（1）求表中10個銷售數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)；（2）明年花市期間甲、乙兩位同學想合租一個攤位銷售同樣的精品，其中甲、乙分別承包白天、晚上的精品銷售，承包時間段內銷售所獲利潤歸承包者所有.如果其他條件不變，以今年的數(shù)據(jù)為依據(jù)，甲、乙兩位同學應如何分擔租金才較為合理？解（1）中位數(shù)為43+462＝44.5平均數(shù)為35+46+32+42+43+50+39+52