第三節連續型隨機變量的概念本節主要學習目標[知識目標]

掌握連續型隨機變量的概念。

掌握連續型隨機變量的概率密度具有的性質。

熟練掌握連續型隨機變量在某區間上的概率計算。

[能力目標]

能熟練選擇出連續型隨機變量的概率密度函數。

能熟練計算連續型隨機變量的概率。

連續型隨機變量2定義2.4若隨機變量X的所有可能取值為某一區間,則稱隨機變量X為連續型隨機變量連續型隨機變量3考慮一群成年男子中任意一個人的體重X,它可以取區間[m,M]的一切值,其中m為這群成年男子中的最輕體重,M為這群成年男子中的最重體重,任意一個人的體重X當然是一個連續型隨機變量這時考察它取某個值的概率沒有什么實際意義,因為人們不會關心一個人體重恰好為50kg的概率為多少這類問題,而關心一個人體重在50kg~60kg之間的概率為多少這類問題連續型隨機變量4因此在實際工作中,將連續型隨機變量X的所有可能取值區間[m,M]分成若干個組,即分成若干個首尾相連的小區間,每個小區間含左端點,不含右端點小區間長度稱為組距,研究連續型隨機變量X在每個小區間上取值的可能性現在測量100個成年男子的體重,得到100個體重數據,將這100個體重數據按測量順序列表如表連續型隨機變量56060.5807764.5595143466180.583495052707162624047.571.5858642496364657249.565.5484850.56667738787.5886868.5535973.5695654.54949.57475909178764759.557.569.56945505763647979.599.59074.55858.5666576779475606162.548.56367767574.59764.567.568.565595358895654連續型隨機變量6盡管數據較多,但容易找出其最小值為40,最大值為99.5,于是可以認為這些數據分布在區間[40,100)上將這100個數據分成5個組,即將區間[40,100)分成5個首尾相連的小區間:[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,100)然后用選舉唱票的方法,將這100個數據不重不漏逐一分到各組,容易得到屬于上述5個組的人數即頻數依次為15,20,30,20,15由于連續型隨機變量X在各組范圍內取值的頻率等于各組頻數除以總人數100,于是上述5個組相應的頻率依次為0.15,0.20,0.30,0.20,0.15連續型隨機變量7注意到盡管連續型隨機變量X在區間[40,50)上取值的頻率與在區間[80,100)上取值的頻率相等,皆為0.15,但這兩個區間長度即組距是不相同的,前者組距為10,后者組距為20說明連續型隨機變量X在前者單位組距上取值的頻率大于在后者單位組距上取值的頻率,即前者頻率密集程度比后者要高頻率密度8為了說明各組頻率密集的程度,應該考慮連續型隨機變量X在各組單位組距上取值的頻率連續型隨機變量X在各組單位組距上取值的頻率稱為頻率密度,即

于是上述5個組相應的頻率密度依次為0.015,0.020,0.030,0.020,0.0075頻率密度9將上述計算結果列表如表分組編號12345體重分組[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,100)人數1520302015頻率0.150.200.300.200.15頻率密度0.0150.0200.0300.0200.0075頻率密度10若將體重x作為自變量,則頻率密度為自變量x的函數,這個函數是具有間斷點的分段函數,它的圖形是由5條平行于x軸的直線段構成的,每條平行于x軸的直線段含左端點,不含右端點在頻率密度函數圖形的兩端及間斷處,向下引垂直于x軸的直線至x軸,得到一排豎著的長方形,這樣一排豎著的長方形稱為頻率密度的直方圖,如圖頻率密度11根據頻率密度的計算公式,有頻率=組距×頻率密度頻率密度12說明連續型隨機變量X在各組范圍內取值的頻率等于各組組距乘以相應的頻率密度在頻率密度直方圖中,組距為相應長方形的底,頻率密度為相應長方形的高,而底乘以高恰好就是相應長方形的面積,于是連續型隨機變量X在各組范圍內取值的頻率等于相應長方形的面積如連續型隨機變量X在區間[70,80)上取值的頻率為0.20,它等于組距10乘以相應的頻率密度0.020,即為相應長方形的面積頻率密度13每測量一個人的體重得到一個數據,就是做一次試驗;測量很多人的體重得到多個數據,就是做多次重復試驗若重復試驗次數無限增多,即得到測量數據無限增多,并且在數據分組時使得組數無限增多,且各組組距都趨于零概率密度曲線14則連續型隨機變量X在某區間上取值的頻率就在其概率附近擺動,且擺動的幅度很微小,相應頻率密度圖形中各平行于x軸的直線段長度都趨于零,而且在某條曲線附近擺動自然把作為頻率密度曲線擺動中心的這條曲線稱為概率密度曲線,概率密度記作φ(x),如圖概率密度曲線15概率密度曲線16這時,如連續型隨機變量X在區間[70,80)上取值的頻率化為概率,頻率密度直方圖中相應長方形的面積化為概率密度曲線φ(x)(70≤x<80)下的曲邊梯形面積由于連續型隨機變量X在區間[70,80)上取值的頻率等于頻率密度直方圖中相應長方形的面積,所以連續型隨機變量X在區間[70,80)上取值的概率等于概率密度曲線φ(x)(70≤x<80)下的曲邊梯形面積概率密度曲線17根據定積分的概念,概率密度曲線φ(x)(70≤x<80)下的曲邊梯形面積等于概率密度φ(x)在區間[70,80)上的定積分,于是有概率

同理,連續型隨機變量X在任一區間上取值的概率等于概率密度φ(x)在該區間上的積分概率密度18在實際工作中,不可能得到無窮多個測量數據,只要測量數據比較多,并且在數據分組時使得組數比較多,且各組組距都比較小,則把相應的頻率密度近似作為概率密度φ(x)說明概率密度φ(x)是對較多測量數據經過分組整理、列表計算、畫圖分析而得到的這樣對于連續型隨機變量,原則上都可以通過統計方面的工作得到它的概率密度φ(x).概率密度19若連續型隨機變量X的概率密度為φ(x),則記作X~φ(x)連續型隨機變量X的概率密度φ(x)顯然是非負的,而且事件-∞<X<+∞是必然事件,當然其對應的概率應當等于1概率密度的性質20所以連續型隨機變量X的概率密度φ(x)具有下列性質:性質1

φ(x)≥0

(-∞<x<+∞)

計算概率密度21連續型隨機變量X在區間[a,b)上取值的概率等于其概率密度曲線φ(x)(a≤x<b)下的曲邊梯形面積,當然等于其概率密度φ(x)在區間[a,b)上的定積分,即有

計算概率密度22如圖當a=b=x0時,根據定積分基本運算法則4,有概率

計算概率密度23說明連續型隨機變量取任一個值的概率一定等于零同時也說明連續型隨機變量在任一區間上取值的概率與是否含區間端點無關,即概率P{a<X<b}=P{a≤X<b}=P{a<X≤b}=P{a≤X≤b}

計算概率密度24作為這個計算概率公式的特殊情況,有概率

當連續型隨機變量的概率密度被確定后,可以通過計算積分求得連續型隨機變量在任一區間上取值的概率,所以連續型隨機變量的概率密度描述了相應的隨機試驗例125設連續型隨機變量X的概率密度為

則常數c=

.

解:根據連續型隨機變量概率密度的性質2,有關系式

例126注意到常量函數y=0在任何區間上的積分值一定等于零,計算分段函數的積分

例127因而有關系式

得到常數c=3例228設連續型隨機變量X的概率密度為

則常數r=(

).

例229解:根據連續型隨機變量概率密度的性質2,有關系式

注意到常量函數y=0在任何區間上的積分值一定等于零例230計算分段函數的積分

例231因而有關系式

注意到r>0,得到常數

例332下列函數中(

)可以作為連續型隨機變量X的概率密度

例333解:觀察函數y=sinx的圖形,如圖

說明函數f(x)與g(x)都滿足連續型隨機變量概率密度的性質1,函數h(x)與l(x)都不滿足連續型隨機變量概率密度的性質1,從而備選答案(c),(d)都落選例334繼續考慮備選答案(a):計算積分

=-(0-1)=1說明還滿足連續型隨機變量概率密度的性質2,從而備選答案(a)當選,所以選擇(a)例335至于備選答案(b):由于積分

=-(-1-1)=2≠1不滿足連續型隨機變量概率密度的性質2,從而備選答案(b)落選例436某單位每天用電量X萬度是連續型隨機變量,其概率密度為

若每天供電量為0.9萬度,求供電量不夠的概率例437解:供電量不夠,意味著用電量大于供電量,即X>0.9.根據計算概率公式,得到概率

=1-0.972=0.028所以供電量不夠的概率為0.028例538設連續型隨機變量X的概率密度為

試求:(1)常數k值;(2)概率P{0≤X<1}.例539解:(1)根據連續型隨機變量概率密度的性質2,有關系式

計算廣義積分

例540

=kπ因而有關系式kπ=1所以常數

例541(2)連續型隨機變量