《數學專題選講》教學大綱《數學專題選講》教學大綱

《數學專題選講》教學大綱第一部分大綱說明一、課程性質與任務：《數學專題選講》是數學與應用數學、信息與計算科學、經濟管理類等各專業的一門專業拓展課。通過課程的學習，幫助學生鞏固前期所學的微積分理論，引導學生對微積分的深入學習，從而提高學生的微積分綜合素質，更好地培養學生的數學能力與數學思維,為將來學生后繼的專業學習和研究奠定堅實的理論基礎。二、教學對象：數學，信息與計算科學、經濟管理類本科各個專業二、三年級年級以上在校大學生三、教學目的和要求：夯實基礎。較全面講透微積分的經典理論和方法，幫助學生理解其中的深刻內涵；重點講授方法，強調運算和證明的技巧；強化訓練過程，提高學生應用數學知識解決問題的能力。四、先修課程：微積分、高等數學、數學分析五、使用教材及參考資料：使用教材：自編講義。參考資料：[1]《高等數學》（第七版），同濟大學數學系，高等教學出版社,2016年。[2]《微積分》（第四版），趙樹嫄，人民大學出版社，2016年。[3]《2022版張宇考研數學基礎30講》，張宇主編，北京理工大學出版社，2020年。[4]《考研數學歷年真題全精解析》，李永樂，西安交通大學出版社，2018年[5]《數學歷年真題全精解析（數學三）》，李永樂主編，西安交通大學出版社，2021年。[6]《數學基礎過關660題（數學三）》，李永樂等編著，中國農業出版社，2020年。六、教學形式、教學方法及實踐性環節：教學形式：課堂教學；網絡課程教學教學方法：講授七、考核：考核形式：考察；成績評定：期末考試（50%），平時考核（50%）；八、課時分配表：《數學專題選講》章目教學內容教學課時第一講函數、極限、連續12第二講一元函數微分學14第三講一元函數積分學14第四講多元函數微分學8第五講二重積分8第六講無窮級數8第七講常微分方程與差分方程8九、教學進度表：周次學時教學內容第一周4高等數學預備知識第二周4數列極限、函數極限與連續性第三周4函數極限與連續性第四周4中秋放假、一元函數微分學的概念與計算第五周4一元函數微分學的概念與計算、一元函數微分學的幾何應用第六周4國慶放假第七周4中值定理第八周4零點問題與微分不等式、一元函數積分學的概念與計算第九周4一元函數積分學的概念與計算第十周4一元函數積分學的幾何應用第十一周4積分等式與積分不等式、多元函數微分學第十二周4多元函數微分學第十三周4二重積分第十四周4常微分方程第十五周4常微分方程第十六周4無窮級數第十七周4無窮級數、數學三專題內容第十八周4數學三專題內容、期末考試十、主講教師：朱存斌(副教授),葛莉(副教授),李清棟(講師)等。第二部分教學內容第一講函數、極限與連續基本教學內容與要求了解：1.函數的定義及性質；2.基本初等函數、初等函數的概念；3.經濟學中的常用函數；4.數列和函數極限概念；5.無窮小和無窮大的概念；6.極限的運算法則，極限存在準則與兩個重要極限；7.初等函數的連續性；8.閉區間上連續函數的性質，理解：1.復合函數與分段函數的概念；2.無窮小量的概念和基本性質；3.函數連續性；掌握：1.函數的表示法；2.極限的四則運算；3.利用洛必達法則求未定式極限；4.利用兩個重要極限求極限；5.無窮小的比較。教學重點、難點1.數列、函數極限的計算方法；2.函數的連續性判斷及間斷點類型的判斷；3.閉區間上連續函數性質的應用。具體內容（1）函數的概念及表示法、簡單應用問題的函數關系的建立.

（2）函數的性質：有界性、單調性、周期性和奇偶性.

（3）復合函數、反函數、分段函數和隱函數、基本初等函數的性質及其圖形、初等函數.

（4）數列極限與函數極限的定義及其性質、函數的左極限與右極限.

（5）無窮小和無窮大的概念及其關系、無窮小的性質及無窮小的比較.

（6）極限的四則運算、極限存在的單調有界準則和夾逼準則、兩個重要極限.

（7）函數的連續性（含左連續與右連續）、函數間斷點的類型.

（8）連續函數的性質和初等函數的連續性.

（9）閉區間上連續函數的性質(有界性、最大值和最小值定理、介值定理).第二講一元函數微分學導數、微分及其應用基本教學內容與要求了解：1.導數的定義及幾何意義；2.高階導數；3.微分的概念；4.邊際與彈性；5.柯西中值定理，泰勒定理。理解：1.可導和連續之間的關系；2.函數的極值與最值；3.羅爾中值定理，拉格朗日中值定理；掌握：1.導數的幾何意義；2.分段函數，反函數與隱函數的導數；3.簡單函數的高階導數；4.函數的微分；5.利用函數導數判斷函數的單調性和凹凸性；6.求函數的極值與最值；7.微分中值定理的應用。教學重點、難點1.導數和高階導數的求解；2.中值定理的應用；3.單調性的判斷、凹凸性的判斷、極值最值的求法。具體內容（1）導數和微分的概念、導數的幾何意義和物理意義、函數的可導性與連續性之間的關系、平面曲線的切線和法線.

（2）基本初等函數的導數、導數和微分的四則運算、一階微分形式的不變性.

（3）復合函數、反函數、隱函數以及參數方程所確定的函數的微分法.

（4）高階導數的概念、分段函數的二階導數、某些簡單函數的n階導數.

（5）微分中值定理，包括羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理.

（6）洛必達(L’Hospital)法則與求未定式極限.

（7）函數的極值、函數單調性、函數圖形的凹凸性、拐點及漸近線(水平、鉛直和斜漸近線)、函數圖形的描繪.

（8）函數最大值和最小值及其簡單應用.

第三講一元函數積分學不定積分、定積分及其應用基本教學內容與要求了解：1.定積分的概念、性質；2.微積分中值定理；3.反常積分的概念；理解：1.原函數與不定積分的概念、性質；2.積分上限函數；掌握：1.不定積分、定積分的計算法；2.積分上限函數的導數；3.定積分的幾何應用；4.反常積分的計算。教學重點、難點1.不定積分的計算；2.定積分的性質和計算；3.定積分的幾何應用。具體內容（1）原函數和不定積分的概念.

（2）不定積分的基本性質、基本積分公式.

（3）定積分的概念和基本性質、定積分中值定理、變上限定積分確定的函數及其導數、牛頓-萊布尼茨(Newton-Leibniz)公式.

（4）不定積分和定積分的換元積分法與分部積分法.

（5）有理函數、三角函數的有理式和簡單無理函數的積分.

（6）廣義積分.

（7）定積分的應用：平面圖形的面積，旋轉體的體積，平行截面面積為已知的立體體積，函數的平均值．

第四講多元函數微分學基本教學內容與要求了解：1.多元函數的概念；2.二元函數的幾何意義；3.二元函數的極限與連續的概念；4.多元函數的偏導數與全微分的概念概念；5.偏導數及其在經濟分析中的應用；理解：1.多元復合函數的求導法則及隱函數的求導公式；2.二元函數極值存在的充分條件；掌握：1.求多元復合函數一階、二階偏導數；2.求多元隱函數的偏導數；3.二元函數無條件極值和條件極值；4.簡單多元函數的最值，并解決簡單的應用問題。教學重點、難點1.偏導數的定義及計算；2.多元復合函數的求導法則及隱函數的求導公式；4.多元函數的極值最值及其應用。具體內容（1）多元函數的概念、二元函數的幾何意義.

（2）二元函數的極限和連續的概念、有界閉區域上多元連續函數的性質.

（3）多元函數偏導數和全微分、全微分存在的必要條件和充分條件.

（4）多元復合函數一階、二階偏導數

（5）隱函數求導公式（6）多元函數極值和條件極值、拉格朗日乘數法、多元函數的最大值、最小值及其簡單應用.

第五講二重積分基本教學內容與要求了解：1.二重的概念和基本性質；2.無界區域上簡單的反常二重積分；理解：二重積分的幾何意義；掌握：1.二重積分的計算方法（直角坐標，極坐標）。教學重點、難點1.二重的計算；2.二重積分的積分次序交換。具體內容（1）二重積分概念及性質、二重積分的計算(直角坐標、極坐標)

（2）直角坐標系下二重積分的計算，對稱性在二重積分中的應用（3）直角坐標系下二重積分的積分次序交換

（4）極坐標系下二重積分的計算

第六講無窮級數基本教學內容與要求了解：1.常數項級數的斂散性的概念；2.任意項級數絕對收斂與條件收斂的概念；3.交錯級數的萊布尼茲判別法；4.冪級數在其收斂區間的基本性質；掌握：1.p級數的收斂與發散的條件；2.正項級數收斂的判別法；3.冪級數的收斂半徑、收斂域及和函數；4.簡單函數的冪級數展開。教學重點、難點1.正項級數及其審斂法；2.任意項級數的絕對收斂與條件收斂的判定；3.冪級數的收斂半徑、收斂區間和收斂域的求解；4.簡單冪級數的和函數的求解；5.間接展開法將函數展開為冪級數。具體內容（1）常數項級數的收斂與發散、收斂級數的和、級數的基本性質與收斂的必要條件.

（2）幾何級數與p級數及其收斂性、正項級數收斂性的判別法、交錯級數與萊布尼茨(Leibniz)判別法.

（3）任意項級數的絕對收斂與條件收斂.

（4）函數項級數的收斂域與和函數的概念.

（5）冪級數及其收斂半徑、收斂區間（指開區間）、收斂域與和函數.

（6）簡單冪級數的和函數的求法.

（7）初等函數的冪級數展開式.

第七講常微分方程與差分方程基本教學內容與要求了解：1.常微分方程的基本概念；2.線性微分方程解的性質及解的結構定理；3.差分方程的基本概念；掌握：1.一階變量分離方程，齊次方程，線性微分方程的求解；2.二階常系數線性微分方程的求解；3.用微分方程求解簡單的經濟應用問題；4.一階常系數線性差分方程的求解。教學重點、難點1.一階微分方程（變量分離方程，齊次方程，線性方程）的解法；2.二階常系數線性微分方