專題04一元二次方程的應用【典例分析】【考點1】二次三項式的分解1、在實數范圍內因式分解：＝.【考點】實數范圍內分解因式【專題】一元二次方程的應用【分析】令式子為0解出兩個解后因式分解．【解答】解：令∴∴ 故填：【點評】此題考查了一元二次方程的應用，解題的關鍵是解出方程的兩個解因式分解。2、分解因式：＝.【考點】實數范圍內分解因式【專題】一元二次方程的應用【分析】令式子為0解出兩個解后因式分解．【解答】解：令∴∴故填：【點評】此題考查了一元二次方程的應用，解題的關鍵是解出方程的兩個解因式分解。3.在實數范圍內分解因式：．【考點】實數范圍內分解因式【專題】一元二次方程的應用【分析】令式子為0解出兩個解后因式分解．【解答】解：令∴∴故填：【點評】此題考查了一元二次方程的應用，解題的關鍵是解出方程的兩個解因式分解。【考點2】增長率問題1．棗莊購物中心某商品兩次價格下調后，單價從6元變為4.86元，則兩次平均下調的百分率為（

A

）A． B． C． D．【考點】增長率問題【專題】一元二次方程的應用【分析】設平均下調的百分率為是x，則第一次調價后的價格是，第二次后的價格是，據此即可列出方程，從而求解．【解答】解：設平均每次下調的百分率為x，由題意可列方程為：，解得：（不合題意舍去），，那么平均下調的百分率為．故選A．【點評】本題考查了一元二次方程的實際問題-增長率問題，熟悉增長率問題等量關系是關鍵，注意要驗根．2．某企業年盈利萬元，年盈利萬元，該企業盈利的年平均增長率不變．設年平均增長率為x，根據題意，可列出方程______．【考點】增長率問題【專題】一元二次方程的應用【分析】直接利用增長率公式代入解答即可．【解答】解：∵年平均增長率為x，∴根據題意可得，故答案為：【點評】此題主要考查了由實際問題抽象出一元二次方程，關鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關系．3．新冠肺炎疫情讓餐飲業的外賣變得更加火熱，某餐飲店今年元月份外賣贏利3000元，三月份外賣贏利是3630元，若從元月到三月，每月贏利的平均增長率都相同．求每月贏利的平均增長率．【考點】增長率問題【專題】一元二次方程的應用【分析】設每月贏利的平均增長率為，根據題意，列方程求解即可．【解答】解：設每月贏利的平均增長率為，根據題意可得：解得或（舍去）答：每月贏利的平均增長率為．【點評】此題考查了一元二次方程的應用，解題的關鍵是理解題意，正確列出一元二次方程．【考點3】面積問題1．1275年，我國南宋數學家楊輝在《田畝比類乘除算法》中提出這樣一個問題：直田積八百六十四步，只云闊不及長一十二步，問闊及長各幾步？意思是：矩形面積為864平方步，寬比長少12步，問寬和長各幾步？設長為步，可列方程為（A）A． B．C． D．【考點】面積問題【專題】一元二次方程的應用【分析】設長為步，則寬為步，根據題意，列方程．【解答】解：設長為步，則寬為步，由題意可得：，故選：A【點評】此題考查了一元二次方程的應用，解題的關鍵是理解題意，正確列出一元二次方程．2．如圖，在寬為m，長為m的矩形地面上修筑同樣寬的道路（圖中陰影部分），余下的部分種上草坪．要使草坪的面積為，求道路的寬．如果設小路寬為xm，根據題意，所列方程正確的是（

B

）A． B．C． D．【考點】面積問題【專題】一元二次方程的應用【分析】設小路寬為x米，利用平移把不規則的圖形變為規則圖形即可列出答案．【解答】解：平移原圖可變為如圖所示，設小路寬為，則種草面積長為寬為，由題意可得，，故選B．【點評】此題主要考查了由實際問題抽象出一元二次方程，這類題目體現了數形結合的思想，需利用平移把不規則的圖形變為規則圖形，進而即可列出方程．3．如圖某小區要建一個長方形的花園，花園的一邊靠墻(墻長)，另三邊用木欄圍成，并留出一個寬的入口，木欄長．花園的面積能達到嗎？如果能，請你給出設計方案；如果不能，請說明理由．【考點】面積問題【專題】一元二次方程的應用【分析】設學校這次到該景點參加秋游活動的學生有x人，則人均秋游費用為元，根據該學校共支付給旅行社36000元（隨隊的領隊、教師費用除外且人均秋游費用沒有達最低費用），即可得出關于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值即可得出結論．【解答】解：設學校這次到該景點參加秋游活動的學生有x人，則人均秋游費用為元，依題意得：，整理得：，解得：，當時，，符合題意；當時，，不符合題意，舍去．答：學校這次到該景點參加秋游活動的學生有200人．【點評】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．【考點4】營銷問題1．文博會期間，某公司調查一種工藝品的銷售情況，下面是兩位調查員和經理的對話．小張：該工藝品的進價是每個20元；小李：當銷售價為每個36元時，每天可售出150個；當銷售價降低3元時，平均每天將能多售出90個．經理：為了實現平均每天3600元的銷售利潤，這種工藝品的銷售價應降低多少元？設這種工藝品的銷售價每個應降低x元，由題意可列方程為（C）A． B．C． D．【考點】營銷問題【專題】一元二次方程的應用【分析】根據題意，求得每天的售價以及對應的銷售量，即可求解．【解答】解：設這種工藝品的銷售價每個應降低x元，則每個售價為元，每個利潤為元，對應的每天銷售量為個，則由題意可得：，故選：C【點評】此題考查了一元二次方程的應用，解題的關鍵是理解題意，正確求得每件的售價、利潤以及每天的銷售量．2.某水果商場經銷一種高檔水果，原價每千克50元．若每千克盈利10元，每天可售出500千克，經市場調查發現，在進貨價不變的情況下，商場決定采取適當的漲價措施，但商場規定每千克漲價不能超過8元，若每千克漲價1元，日銷售量將減少20千克，現該商場要保證每天盈利6000元，那么每千克應漲價多少元？【考點】營銷問題【專題】一元二次方程的應用【分析】設每千克應漲價x元，根據每千克漲價1元，銷售量將減少20千克，每天盈利6000元，列出方程，求解即可．【解答】解：設每千克應漲價x元，由題意，得，整理，得，解得：，因為規定每千克漲價不能超過8元，所以符合題意．答：該商場要保證每天盈利6000元，那么每千克應漲價5元．【點評】本題考查了一元二次方程的應用，解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據題目給出的條件，找出合適的等量關系，列出方程，再求解．3．某單位組織職工觀光旅游，旅行社的收費標準是：如果人數不超過30人，人均旅游費用為200元；如果超過30人，每增加1人，人均旅游費用降低2元，但人均旅游費用不低于100元．該單位按旅行社的收費標準組團，結束后，共支付給旅行社8400元．求該單位這次共有多少人參加旅游？【考點】營銷問題【專題】一元二次方程的應用【分析】設該單位這次共有x人參加旅游，由題意可知，且可列出關于x的一元二次方程，解出x，再由x的值求出此時人均旅游費用，進行判斷即可．【解答】設該單位這次共有x人參加旅游，∵，∴．根據題意有：，解得：．當時，，符合題意，當時，，符合題意．∴該單位這次共有60或70人參加旅游．【點評】本題考查一元二次方程的實際應用．理解題意，找出等量關系，列出等式是解題關鍵．【考點5】傳播、握手問題1．某校舉行一次羽毛球比賽，每一個球隊都和其他球隊進行一場比賽，共進行了28場比賽，如果設有x個球隊，根據題意列出方程可以為（

C

）A． B． C． D．【考點】握手問題【專題】一元二次方程的應用【分析】賽制為單循環形式（每兩隊之間都賽一場），x個球隊比賽總場數，即可列方程求解．【解答】解：設有x個隊，每個隊都要賽場，但兩隊之間只有一場比賽，根據題意得：，故C正確．故選：C．【點評】本題主要考查了一元二次方程的應用，根據比賽場數與參賽隊之間的關系為：2．秋冬季節是流感高發期，有1人患了流感，經過兩輪傳染后共有121人患了流感，每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人？設每輪傳染中平均一個人傳染了個人，則可列方程為（

）【考點】傳播問題【專題】一元二次方程的應用A． B．C． D．【分析】根據有1人患了流感，經過兩輪傳染后共有121人患了流感，列出方程即可．【解答】解：設每輪傳染中平均一個人傳染了個人，由題意，得：；故選D．【點評】本題考查一元二次方程的應用．根據題意，正確的列出一元二次方程，是解題的關鍵．【考點6】其他問題1．某學校組織初三學生到該市某旅游景點舉行秋游活動．下面是該校領隊與旅行社導游就收費標準的一段對話．領隊：學校組團到該景點秋游每人收費是多少？導游：如果正常成年人的人均費用為300元，學生票打八折；而且人數超過100人，還有優惠．領隊：超過100人怎樣優惠呢？導游：如果超過100人，每增加10人，人均秋游費用降低6元，但旅行社規定：人均秋游費用不得低于150元．該學校按旅行社的收費標準組團去該景點秋游活動結束后，共支付給旅行社36000元（隨隊的領隊、教師費用除外且人均秋游費用沒有達最低費用）．請你根據上述信息，求學校這次到該景點參加秋游活動的學生有多少人？【考點】其他問題【專題】一元二次方程的應用【分析】設學校這次到該景點參加秋游活動的學生有x人，則人均秋游費用為元，根據該學校共支付給旅行社36000元（隨隊的領隊、教師費用除外且人均秋游費用沒有達最低費用），即可得出關于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值即可得出結論．【解答】解：設學校這次到該景點參加秋游活動的學生有x人，則人均秋游費用為元，依題意得：，整理得：，解得：，當時，，符合題意；當時，，不符合題意，舍去．答：學校這次到該景點參加秋游活動的學生有200人．【點評】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．2．從盛滿升純藥液的容器中，倒出升藥液后，用水加滿；混合后，第二次又倒出升的混合藥液，再用水加滿，此時容器內的藥液濃度為，則根據題意所得的方程正確的是（

）A． B．C． D．【考點】其他問題【專題】一元二次方程的應用【分析】設每次倒出液體x升，則第一次倒出后容器內剩下純藥液升，加滿水后藥液的濃度為，利用第二次倒出后容器內剩下純藥液的數量=第二次倒出后容器內剩下藥液的數量×此時藥液的濃度，即可得出關于x的一元二次方程，此題得解．【解答】解：設每次倒出液體x升，則第一次倒出后容器內剩下純藥液升，加滿水后藥液的濃度為，依題意得：即．故選B．【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．【課后練習】1．在實數范圍內分解因式：＝.【考點】實數范圍內分解因式【專題】一元二次方程的應用【分析】令式子為0解出兩個解后因式分解．【解答】解：令∴∴故填：【點評】此題考查了一元二次方程的應用，解題的關鍵是解出方程的兩個解因式分解。2．在實數范圍內分解因式：＝.【考點】實數范圍內分解因式【專題】一元二次方程的應用【分析】令式子為0解出兩個解后因式分解．【解答】解：令∴∴故填：【點評】此題考查了一元二次方程的應用，解題的關鍵是解出方程的兩個解因式分解。3．在實數范圍內因式分解：2x2﹣2xy﹣y2=．【考點】實數范圍內分解因式【專題】一元二次方程的應用【分析】令式子為0解出兩個解后因式分解．【解答】解：令2x2﹣2xy﹣y2=0∴∴ 故填：【點評】此題考查了一元二次方程的應用，解題的關鍵是解出方程的兩個解因式分解。4．某區7月份工業生產值達120億元，7月、8月、9月三個月總產值為450億元，求8月、9月平均每月的增長率是多少？設平均每月增長的百分率為，根據題意得方程（

D

）A． B．C． D．【考點】增長率問題【專題】一元二次方程的應用【分析】設平均每月增長的百分率為，則8月工業生產值為，9月工業生產值為，根據“7月、8月、9月三個月總產值為450億元，”列出方程，即可求解．【解答】解：設平均每月增長的百分率為，根據題意得：．故選：D【點評】本題主要考查了一元二次方程的應用，明確題意，準確得到等量關系是解題的關鍵．5．一個容器盛滿純藥液，第一次倒出一部分純藥液后用水加滿，第二次又倒出同樣多的藥液，再加水補滿，這時容器內剩下的純藥液是，若設每次倒出液體為，則可列方程為（

）A． B． C． D．【分析】設每次倒出液體xL，則第一次倒出后容器內剩下純藥液，加滿水后藥液的濃度為，利用第二次倒出后容器內剩下純藥液的數量=第二次倒出后容器內剩下藥液的數量×此時藥液的濃度，即可得出關于x的一元二次方程，此題得解．【考點】其他問題【專題】一元二次方程的應用【解答】解：設每次倒出液體xL，則第一次倒出后容器內剩下純藥液，加滿水后藥液的濃度為，依題意得：即．故選B．【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵6．為防控疫情，我們應該做到有“禮”有“距”，于是用“碰肘禮”代替“握手”的問候方式逐漸流行．某次會議上，每兩個參會者都相互行了一次“碰肘禮”，經統計共碰肘28次，若設有人參加這次會議，則可列方程為___________【考點】握手問題【專題】一元二次方程的應用【分析】利用碰肘的總次數參會人數（參會人數），即可得出關于的一元二次方程，此題得解．【解答】解：依題意得，故答案為：．【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．7．某化肥廠5月份生產某種化肥噸，6月份因部分設備檢修，產量比5月份減少了．從7月份起產量逐月上升，8月份達到噸．該廠7，8兩個月產量的平均月增長率是多少？【考點】增長率問題【專題】一元二次方程的應用【分析】設該廠7，8兩個月產量的平均月增長率是x，再根據等量關系：六月份的產量×=八月份的產量列方程求解即可．【解答】解：設該廠7，8兩個月產量的平均月增長率是x，根據題意，得：，解得：，（舍去），答：該廠7，8兩個月產量的平均月增長率是．【點評】本題考查一元二次方程的應用，理解題意，正確列出方程并正確求解是解答的關鍵．8．2019年年底以來，湖北省武漢市發現一種新型冠狀病毒引起的急性呼吸道傳染疾病。(1)在新冠初期，人們因為不了解這種病毒所以也沒有及時進行隔離，若有1人感染后經過兩輪的傳染將會有144人感染了“新冠”，求每一輪傳染后平均一個人會傳染了幾個人?(2)后來，大家眾志成城，全都隔離在家，但玲玲爺爺種的糖心蘋果遇到了滯銷，于是玲玲在朋友圈幫爺爺銷售，糖心蘋果的成本為8元/千克，她發現當售價為12元/千克時，每天可賣出40千克，而每漲1元時，每天就少賣出10千克.如果每天要達到150元的利潤而且又最大限度地幫爺爺增加銷量，請你幫玲玲確定銷售單價．【考點】營銷、傳播題【專題】一元二次方程的應用【分析】（1）設每輪傳染中平均一個人傳染了人，根據1人感染“新冠”經過兩輪傳染后共有144人感染“新冠”，列出一元二次方程，解之取其正值即可得出結論．（2）設小玲應該將售價定為元，則每天可以賣出千克，根據總利潤=每斤的利潤銷售數量，列出一元二次方程，解之取其較小值即可得出結論．【解答】（1）解：設每輪傳染中平均一個人傳染了人，依題意，得：，即解得：，（不合題意，舍去）．答：每輪傳染中平均一個人傳染了11人．（2）解：設玲玲應該將售價定為元，則每天可以賣出千克，依題意得：，整理，得：，解得：，∵最大限度的幫爺爺增加銷量，∴小玲應該將售價定位11元，答：小玲應該將售價定為11元．【點評】此題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．9．如圖，要建一個面積為140平方米的倉庫，倉庫的一邊靠墻，這堵墻長16米；在與墻平行的一邊，要開一扇2米寬的門．已知圍建倉庫的現有木板材料可使新建板墻的總長為32米，那么這個倉庫設計的長和寬應分別為多少米？【考點】面積問題【專題】一元二次方程的應用【分析】設這個倉庫設計的長應該為米，則寬為米，根據題意，列方程求解即可．【解答】解：設這個倉庫設計的長應該為米，則，寬為米由題意可得：化簡可得：解得，∵∴答：這個倉庫設計的長和寬應分別為、米．【點評】此題考查了一元二次方程的應用，解題的關鍵是根據題意，找到等量關系，正確列出方程．10．如圖，在一面靠墻的空地上用長為24米的籬笆，圍成中間隔有二道籬笆的長方形花圃．設垂直于墻的一面籬笆長為x米，花圃的總面積為S平方米．(1)若圍成花圃的總面積為20平方米，請設計方案．(2)求S關于x的函數關系式，并求出最大面積．【考點】面積問題【專題】一元二次方程的應用【分析】（1）根據面積等于長乘寬即可解決問題（2）根據長方形的面積公式列出函數關系，根據二次函數的性質求得最大值即可求解．【解答】（1）解：，，解得：，∵4x＜24，，∴0＜x＜6，∴符合題意，答：圍成寬為1，長20米或寬為4米，長為5米的長方形．垂直于墻的一面籬笆長為1，或5米，注意垂直于墻的一面籬笆“長”的意思不是長方形的“長”．（2）解：,∴∴當時，面積最大最大值為平方米．【點評】本題考查了一元二次方程的應用，二次函數的應用，構建方程或函數關系式是解題的關鍵．11．光明中學準備在校園里利用圍墻（墻長）和長的籬笆墻圍建勞動實踐基地．該校某數學興趣小組設計了如下的圍建方案（除圍墻外，實線部分均為籬笆墻，且不浪費籬笆墻）：利用圍墻和籬笆圍成Ⅰ，Ⅱ兩塊矩形勞動實踐基地，且在Ⅱ區中留一個寬度的水池．已知，勞動基地的總面積（不包含水池）為，則的長是多少？【考點】面積問題【專題】一元二次方程的應用【分析】設的長為xm，則的長為2xm．構造方程求解即可．【解答】解：設的長為xm，則的長為2xm．由題意得解得∵∴，即∴不符合題意，舍去答：的長是．【點評】本題考查了一元二次方程的應用，根據題意，正確列出符合題意的方程是解題的關鍵．12．疫情反復，學校防疫是學校工作的重中之重．為了加快核酸檢測的速度，長沙縣一中決定新辟若干條核酸檢測通道．經調查發現：1條檢測通道最大檢測量是126人/小時，每增加1條檢測通道，每條檢測通道的最大檢測量將減少6人/小時，在不超過5條通道的醫療硬件前提下，我校共設置x條核酸檢測通道．(1)每條核酸檢測通道的最大檢測量是______人/小時（用含x的代數式表示，不寫取值范圍）；(2)若我校設置的全部核酸檢測通道每小時恰好能檢測432人，問需設置多少條檢測通道？【分析】（1）根據“1條檢測通道最大檢測量是126人/小時，每增加1條檢測通道，每條檢測通道的最大檢測量將減少6人/小時”列出代數式即可得；（2）根據“我校設置的全部核酸檢測通道每小時恰好能檢測432人”建立方程，結合，解方程即可得．【考點】其他問題【專題】一元二次方程的應用【解答】（1）解：由題意得：每條核酸檢測通道的最大檢測量是（人/小時），故答案為：．（2）解：由題意得：，解得或，醫療硬件不超過5條通道，，答：需設置4條檢測通道．【點評】本題考查了列代數式、一元二次方程的應用，正確建立方程是解題關鍵．13．某單位準備舉辦羽毛球邀請賽，賽制為單循環（每兩位選手之間各進行一場比賽），計劃一共舉行場比賽．(1)求該邀請賽的參賽選手人數；(2)為了保證比賽正常進行，該單位需要為每場比賽至少準備只