2020-2021學年湖南省衡陽市衡陽縣七年級（下）期末數學試卷

一、選擇題（每小題3分，共36分）

1.（3分）（2021春?衡陽縣期末）下列結論錯誤的是（）

ab

A.右a=b,貝lj〃-c=Z?-cB.右a=b,則f—=——

c2+lc2+l

C.若x=2,則D.若ux=bx,則ci=b

2.（3分）（2021春?衡陽縣期末）下列方程變形正確的是（）

%—1x

A.方程——--=1化成5（x-1）-2x=l

25

B.方程3-x=2-5（x-1）,去括號，得3-x=2x-15

C.方程3x-2=2x+l移項得3x-2*=l+2

D.方程|r=|,未知數系數化為1,得f=l

3.（3分）（2021春?衡陽縣期末）若x=-3是關于x的方程2x+a=l的解，則a的值為（）

A.-7B.-5C.7D.5

4.（3分）（2021春?衡陽縣期末）下列圖形，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）

凌

5.（3分）（2021春?衡陽縣期末）不等式組的解集在數軸上表示為（）

A.01

B.01f

C.節~~

,A

D.012

6.（3分）（2021春?衡陽縣期末）若a>b,則下列不等式中一定成立的是（)

ab

A.a-c>b-cB.c-a>c-bC.ac>bcD.—>一

cc

7.（3分）（2021春?衡陽縣期末）如果一個等腰三角形的兩邊長為4、9,則它的周長為（）

A.17B.22C.17或22D.無法計算

8.（3分）（2021?荔灣區三模）如圖擺放一副三角尺，尸=90°,點E在AC上,

點。在BC的延長線上，EF//BC,ZA=30°,ZF=45°,則NCED=（）

A.15°B.20°C.25°D.30°

9.（3分）（2021春?衡陽縣期末）下列四組多邊形：①正三角形與正方形；②正三角形與正

十二邊形；③正方形與正六邊形；④正八邊形與正方形，其中能鋪滿地面的是（）

A.①③④B.①②④C.②③D.②③④

10.（3分）（2021春?衡陽縣期末）如圖，在△ABC中，NB=34°,將△ABC沿直線，〃翻

折，點8落在點。的位置，則］（/I-/2）的度數是（）

A.68°B.64°C.34°D.32°

11.（3分）（2021?寶安區二模）為響應“科教興國”的戰略號召，某學校計劃成立創客實

驗室，現需購買航拍無人機和編程機器人.已知購買2架航拍無人機和3個編程機器人

所需費用相同，購買4個航拍無人機和7個編程機器人共需3480元.設購買1架航拍無

人機需x元，購買1個編程機器人需y元，則可列方程組為（）

A（2x=3y（3x=2y

[4x+7y=3480（4x+7y=3480

r（2x=3y[3x=2y

J\7x+4y=3480（7x+2y=3480

12.（3分）（2021春?衡陽縣期末）“垃圾分類做得好，明天生活會更好”，學校需要購買分

類垃圾桶10個，放在校園的公共區域，市場上有A型和8型兩種分類垃圾桶，A型分類

垃圾桶350元/個，8型分類垃圾桶400元/個，總費用不超過3650元，則不同的購買方

式有（）

A.2種B.3種C.4種D.5種

二、填空題（每小題3分，共18分）

13.（3分）（2021春?衡陽縣期末）如果關于x的方程（zn-7）x版「6+9=0是一元一次方程,

則m=.

14.（3分）（2021?陽西縣模擬）已知x、y滿足方程組心；二；二;2,則苫+y的值為.

15.（3分）（2021春?衡陽縣期末）關于x的不等式2x+“Wl恰有2個正整數解，則“的取

值范圍是.

16.（3分）（2021?盤龍區一模）一個正多邊形的內角和是外角和的2倍,則它的邊數為.

17.（3分）（2021春?衡陽縣期末）如圖，將長方形紙片48co折疊，使點。與點B重合,

點C落在點C處，折痕為E凡若NABE=30°,則NEFC的度數為

18.（3分）（2021春?衡陽縣期末）如圖所示，把△ABC的三邊BA、CB和AC分別向外延

長一倍，將得到的點A‘、夕、C'順次連接成B'C,若AABC的面積是4,

則AA'B'C的面積是.

A'

/A1\

C

B

B'C

三、解答題

19.（6分）（2021春?衡陽縣期末）解方程:

⑵解方程組:

（3（x+2）>x-2

20.（6分）（2021春?衡陽縣期末）解不等式組：i+x，并將解集在數軸上表示

出來.

-5-4-3-2-1~6~~1~2~3"""4~5^

21.（6分）（2021春?衡陽縣期末）如圖所示，AE為△A8C的角平分線，C。為aABC的高，

若NB=30°,NACB為.

（1）求NCAF的度數：

（2）求/AFC的度數.

22.（8分）（2021春?衡陽縣期末）如圖，點尸為正方形ABC。內一點，ABFC繞點8逆時

針旋轉后與△BE4重合.

（1）判斷△8EF的形狀，并說明理由；

（2）若NBFC=90°,證明AE〃BE

23.（8分）（2⑼春?衡陽縣期末）若關于“的二元一次方程組以的解x

>0>y>0,試確定整數。的值.

24.（8分）（2021春?衡陽縣期末）△ABC在網格中的位置如圖所示.

（1）請畫出△A8C繞著點0逆時針旋轉90°后得到的△AiBiCi；

（2）若網格中每一個小正方形的邊長為1,請求出AABC的面積;

（3）在MN上找一點P,使以+PC最小（不寫法，保留作圖痕跡）.

25.（12分）（2021春?衡陽縣期末）星光櫥具店購進電飯煲和電壓鍋兩種電器進行銷售，其

進價與售價如表：

進價（元/個）售價（元/個）

電飯煲

電壓鍋

（1）一季度，櫥具店購進這兩種電器共30臺，用去了5600元，并且全部售完，問櫥具

店在該買賣中賺了多少錢？

（2）為了滿足市場需求，二季度櫥具店決定用不超過9000元的資金采購電飯煲和電壓

鍋共50個，且電飯煲的數量不少于23個，問櫥具店有哪幾種進貨方案？并說明理由；

（3）在（2）的條件下，請你通過計算判斷，哪種進貨方案櫥具店賺錢最多？

26.（12分）（2021春?衡陽縣期末）如圖①，在△A8C中，與/AC8的平分線相交

于點P.

（1）如果N）=80°,求NBPC的度數；

（2）如圖②，作△ABC外角/M8C,NNCB的角平分線交于點Q,試探索/。、NA之

間的數量關系.

（3）如圖③，延長線段BP、QC交于點E,△BQE中，存在一個內角等于另一個內角的

2倍，求NA的度數.

2020-2021學年湖南省衡陽市衡陽縣七年級（下）期末數學試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（每小題3分，共36分）

1.（3分）（2021春?衡陽縣期末）下列結論錯誤的是（）

ab

A.若a=b,則a-c=6-cB.若a=〃，則一;—=——

c2+lc2+l

C.右x=2,則/=2xD.右cix—bx,則ci—b

【考點】等式的性質.

【分析】根據等式的基本性質可判斷出選項正確與否.

【解答】解：A、根據等式性質1,等式兩邊都減c,即可得到a-c="c；

B、根據等式性質2,等式兩邊都除以不等于0的數。2+1,即可得到廠一=/一；

c2+lc2+l

C、根據等式性質2,等式兩邊都乘x,即可得到f=2x；

D、根據等式性質2,兩邊都除以x時，需xWO才可得到

故選：D.

【點評】主要考查了等式的基本性質.

等式性質：1、等式的兩邊同時加上或減去同一個數或字母，等式仍成立；

2、等式的兩邊同時乘以或除以同一個不為。數或字母，等式仍成立.

2.（3分）（2021春?衡陽縣期末）下列方程變形正確的是（）

%—1X

A.方程---——=1化成5（x-1）-2x=1

25

B.方程3-x=2-5（x-1）,去括號，得3-x=2x-15

C.方程3x-2=2x+l移項得3x-2x=l+2

D.方程|f=?，未知數系數化為1,得

【考點】等式的性質；解一元一次方程.

【專題】一次方程（組）及應用；運算能力.

【分析】各方程整理得到結果，即可作出判斷.

%—1X

【解答】解：A.方程二"一二=1化成5（x-1）-2x=10,不符合題意；

B.方程3-x=2-5（x-1）,去括號，得3-x=2-5x+5,不符合題意；

C.方程3x-2=2x+l移項得3x-2x=1+2,符合題意；

D.方程|/=|，未知數系數化為1,得仁小不符合題意；

故選：C.

【點評】此題考查了解一元一次方程，以及等式的性質，熟練掌握方程的解法是解本題

的關鍵.

3.（3分）（2021春?衡陽縣期末）若x=-3是關于x的方程2x+“=l的解，則。的值為（）

A.-7B.-5C.7D.5

【考點】一元一次方程的解.

【專題】一次方程（組）及應用；運算能力.

【分析】把X=-3代入己知方程，列出關于。的新方程，通過解新方程來求4的值.

【解答】解：?.”=-3是關于x的方程2x+n=l的解，

A2X（-3）+a=l,

解得a=1.

故選：C.

【點評】本題考查了一元一次方程的解的定義.方程的解就是能夠使方程左右兩邊相等

的未知數的值.

4.（3分）（2021春?衡陽縣期末）下列圖形，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）

【考點】軸對稱圖形；中心對稱圖形.

【分析】根據軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念對各選項分析判斷即可得解.

【解答】解：A、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項錯誤；

8、既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，故本選項正確：

C、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故本選項錯誤；

D,是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項錯誤.

故選:B.

【點評】本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱

軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180度后兩部分

重合.

5.（3分）（2021春?衡陽縣期末）不等式組卜>1的解集在數軸上表示為（）

<2

【考點】在數軸上表示不等式的解集.

【分析】先求出不等式組的解集，再在數軸上表示出來即可.

【解答】解：???不等式組卜>1的解積為l〈xW2,

...在數軸上表示為：

~0§勺

故選：A.

【點評】本題考查的是在數軸上表示不等式的解集，熟知實心原點與空心原點的區別是

解答此題的關鍵.

6.（3分）（2021春?衡陽縣期末）若a>b,則下列不等式中一定成立的是（）

ab

A.a-c>b-cB.c-a>c-bC.ac>bcD.—>—

cc

【考點】不等式的性質.

【專題】一元一次不等式（組）及應用；運算能力.

【分析】根據不等式的性質逐項判斷可求解.

【解答】解：??,4>4

:.a-c>b-c,故A符合題意；

c-a<c-by故3不符合題意；

當cVO時，ac<bc,故不符合題意；

當c=o時，也無意義，故不符合題意.

CC

故選：A.

【點評】本題主要考查不等式的性質，掌握不等式的性質是解題的關鍵.

7.（3分M2021春?衡陽縣期末）如果一個等腰三角形的兩邊長為4、9,則它的周長為（）

A.17B.22C.17或22D.無法計算

【考點】三角形三邊關系；等腰三角形的性質.

【專題】三角形：運算能力.

【分析】求等腰三角形的周長，即是確定等腰三角形的腰與底的長求周長；題目給出等

腰三角形有兩條邊長為4和9,而沒有明確腰、底分別是多少，所以要進行討論，還要應

用三角形的三邊關系驗證能否組成三角形.

【解答】解：（1）若4為腰長，9為底邊長，

由于4+4V9,則三角形不存在；

（2）若9為腰長，則符合三角形的兩邊之和大于第三邊.

所以這個三角形的周長為9+9+4=22.

故選：B.

【點評】本題考查了等腰三角形的性質和三角形的三邊關系：題目從邊的方面考查三角

形，涉及分類討論的思想方法.求三角形的周長，不能盲目地將三邊長相加起來，而應

養成檢驗三邊長能否組成三角形的好習慣，把不符合題意的舍去.

8.（3分）（2021?荔灣區三模）如圖擺放一副三角尺，NB=NEDF=90°,點E在AC上，

點。在BC的延長線上，EF//BC,ZA=30°,ZF=45°，則NCE￡>=（）

A.15°B.20°C.25°D.30°

【考點】平行線的性質；三角形內角和定理.

【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力.

【分析】由三角形內角和定理可知，NDEF=45°,NAC8=60°,再由平行線的性質

可得，NCEF=60°,最后可得結論.

【解答】解：如圖,

VZEDF=9Q°,NF=45°,

：.ZDEF=45°,

VZB=90°,NA=30°,

AZACB=60°,

■:EF//BC,

：.ZCEF^ZACB=60°,

ZCED=ZCEF-NDEF=15°.

故選：A.

【點評】本題主要考查平行線的性質，三角形內角和定理，根據題目中的條件找到角之

間的關系是解題關鍵，是一道比較簡單的題目.

9.（3分）（2021春?衡陽縣期末）下列四組多邊形：①正三角形與正方形；②正三角形與正

十二邊形；③正方形與正六邊形；④正八邊形與正方形，其中能鋪滿地面的是（）

A.①③④B.①②④C.②③D.②③④

【考點】平面鑲嵌（密鋪）.

【專題】幾何圖形；應用意識.

【分析】能夠密鋪地面的關鍵是看一看拼在同一頂點處的幾個角能否構成周角.

【解答】解：①正三角形內角為60°,正方形內角為90°,可以由3個正三角形和2個

正方形可以密鋪；

②正十二邊形一個內角150°,兩個正十二邊形與一個正三角形可平密鋪；

③正六邊形和正方形無法密鋪；

④正八邊形內角為135°,正方形內角為90°,2個正八邊形和1個正方形可以密鋪.

綜上可得①②④正確.

故選：B.

【點評】本題考查了平面密鋪的知識，幾何圖形鑲嵌成平面的關鍵是：圍繞一點拼在一

起的多邊形的內角加在一起恰好組成一個周角.

10.（3分）（2021春?衡陽縣期末）如圖，在△ABC中，Zfi=34°,將△ABC沿直線機翻

折，點B落在點。的位置，則［（N1-/2）的度數是（）

A

A.68°B.64°C.34°D.32°

【考點】三角形內角和定理.

【專題】計算題；三角形；應用意識.

【分析】由折疊的性質可得到N8與/O的關系，再利用外角與內角的關系求出（N1-

Z2）的度數.

【解答】解：?.?△EFD是由△EF8沿，〃翻折后的圖形，

；./。=/8=34°.

=Z3=Z2+ZD,

AZ1=ZB+Z2+ZD=68°+Z2.

AZI-/2=68°.

【點評】本題考查了折疊的性質及三角形外角與內角的關系，掌握外角與內角的關系是

解決本題的關鍵.

11.（3分）（2021?寶安區二模）為響應“科教興國”的戰略號召，某學校計劃成立創客實

驗室，現需購買航拍無人機和編程機器人.已知購買2架航拍無人機和3個編程機器人

所需費用相同，購買4個航拍無人機和7個編程機器人共需3480元.設購買1架航拍無

人機需x元，購買1個編程機器人需y元，則可列方程組為（）

（2x=3y（3x=2y

{4x+7y=3480（4%+7y=3480

（2x=3y[3x=2y

\7x+4y=3480（7x+2y=3480

【考點】由實際問題抽象出二元一次方程組.

【專題】一次方程（組）及應用；應用意識.

【分析】根據“購買2架航拍無人機和3個編程機器人所需費用相同，購買4個航拍無

人機和7個編程機器人共需3480元”，即可得出關于x,y的二元一次方程組，此題得解.

【解答】解：依題意得：{^；7y=3480-

故選：A.

【點評】本題考查了由實際問題抽象出二元一次方程組，找準等量關系，正確列出二元

一次方程組是解題的關鍵.

12.（3分）（2021春?衡陽縣期末）“垃圾分類做得好，明天生活會更好”，學校需要購買分

類垃圾桶10個，放在校園的公共區域，市場上有A型和B型兩種分類垃圾桶，A型分類

垃圾桶350元/個，B型分類垃圾桶400元/個，總費用不超過3650元，則不同的購買方

式有（）

A.2種B.3種C.4種D.5種

【考點】一元一次不等式的應用.

【專題】應用題；一元一次不等式（組）及應用；運算能力；應用意識.

【分析】設購買A型分類垃圾桶尤個，則購買B型分類垃圾桶（10-x）個，根據總價=

單價X數量，結合總費用不超過3650元，即可得出關于x的一元一次不等式，解之即可

得出x的取值范圍，再結合x,（10-x）均為非負整數，即可得出x的可能值，進而可得

出購買方案的數量.

【解答】解：設購買A型分類垃圾桶x個，則購買B型分類垃圾桶（10-x）個，

依題意，得：350x+400（10-x）W3650,

解得：x27.

Vx,（10-x）均為非負整數,

.?.X可以為7,8,9,10,

???共有4種購買方案.

故選：c.

【點評】本題考查了一元一次不等式的應用，根據各數量之間的關系，正確列出一元一

次不等式是解題的關鍵.

二、填空題（每小題3分，共18分）

13.（3分）（2021春?衡陽縣期末）如果關于x的方程Cm-7）?n|-6+9=0是一元一次方程，

則m=-7.

【考點】絕對值；一元一次方程的定義.

【專題】一次方程（組）及應用；運算能力.

【分析】只含有一個未知數（元），并且未知數的指數是1（次）的整式方程叫做一元一

次方程.它的一般形式是ax+〃=0（a,匕是常數且aWO）.

【解答】解：根據題意得,〃?-7#0,且|刑-6=1,

解得：m--7.

故答案是：-7.

【點評】本題主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一個未知數，且未知數的指

數是1,一次項系數不是0,這是這類題目考查的重點.

14.（3分）（2021?陽西縣模擬）已知x、y滿足方程組貝|科）.的值為5.

【考點】二元一次方程組的解；解二元一次方程組.

【專題】一次方程（組）及應用；運算能力.

【分析】將兩式相加即可.

【解答】解：兩式相加得3x+3y=15,

x+y=5.

故答案為：5.

【點評】本題主要考查解二元一次方程組，利用加減消元法求解是解題的關鍵.

15.（3分）（2021春?衡陽縣期末）關于x的不等式2x+“Wl恰有2個正整數解，則〃的取

值范圍是-5<aW-3.

【考點】一元一次不等式的整數解.

【專題】一元一次不等式（組）及應用；運算能力.

【分析】首先解不等式求得不等式的解集，然后根據不等式只有兩個正整數解即可得到

一個關于a的不等式，求得a的值.

【解答】解：解不等式2x+aWl得：xW寧，

不等式有兩個正整數解，一定是1和2,

根據題意得：2〈號<3,

解得：-5<aW-3.

故答案為：-5<aW-3.

【點評】本題考查了不等式的整數解，正確解不等式，求出解集是解答本題的關鍵.解

不等式應根據不等式的基本性質.

16.（3分）（2021?盤龍區一模）一個正多邊形的內角和是外角和的2倍,則它的邊數為6.

【考點】多邊形內角與外角.

【專題】多邊形與平行四邊形；推理能力.

【分析】根據多邊形的內角和公式2）780°以及外角和定理列出方程，然后求解即

可.

【解答】解：設這個正多邊形的邊數是〃，

根據題意得，（"-2）780°=2X360°,

解得"=6,

故答案為：6.

【點評】本題考查了多邊形的內角和公式與外角和定理，需要注意，多邊形的外角和與

邊數無關，任何多邊形的外角和都是360°.

17.（3分）（2021春?衡陽縣期末）如圖，將長方形紙片4BCD折疊，使點。與點B重合,

點C落在點C處，折痕為EF,若NABE=30°,則NEFC的度數為120°.

【考點】平行線的性質.

【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力.

【分析】由折疊的性質知：/EBC'、ZBCF都是直角，因此8E〃C'F,那么/EFC'

和互補，欲求/EFC'的度數，需先求出/8EF的度數；根據折疊的性質知/BEF

=NOEF,而NA￡B的度數可在Rt^ABE中求得，由此可求出/BEF的度數，即可得解.

【解答】解：RtZ\ABE中，/A8E=30°,

ZA￡fi=60°；

由折疊的性質知：NBEF=NDEF；

而NBEZ）=180°-ZAEB=120°,

：.ZBEF=60°；

由折疊的性質知：ZEBC=ND=NBC'F=NC=90°,

：.BE//C'F,

：.ZEFC'=180°-ZBEF=120°.

故答案為：120.

【點評】本題考查圖形的翻折變換以及平行線的性質的運用，解題過程中應注意折疊是

一種對稱變換，它屬于軸對稱，根據軸對稱的性質，折疊前后圖形的形狀和大小不變.

18.（3分）（2021春?衡陽縣期末）如圖所示，把△ABC的三邊BA、CB和AC分別向外延

長一倍，將得到的點A‘、8,、C'順次連接成B'C,若AABC的面積是4,

則4A'B'C的面積是28.

【專題】三角形；推理能力.

【分析】連接AH、BC、CA',根據題意可得點B、A、C分別為BA\AC的中點,

所以可得SS^A'AC=S^A'CC=SABCC=SMB'B=S^B'A'A=S&CBB=SAABC=4,貝I]△A'B'C的面

積=7S”BC=7X4=28.

【解答】解：如圖，連接BC、CA,

根據題意可得點8、A、C分別為C8、BA\AC的中點，

S^AB'B=SAABC=4,SAB'A'A=SCAB'S-4,

同理可得：SAA,AC=S^A'CC—S^BCC—S&AB'B—SAB'A'A—S^CB'B—S&ABC—4,

故△AEC的面積=7SAABC=7X4=28,

故答案為：28.

【點評】本題考查了三角形中線的性質（三角形中線將三角形分成面積相等的兩個三角

形），作出正確的輔助線轉化為利用三角形中線性質求面積是關鍵.

三、解答題

19.（6分）（2021春?衡陽縣期末）解方程:

⑵解方程組:修駕三1°.

【考點】解一元一次方程：解二元一次方程組.

【專題】一次方程（組）及應用；運算能力.

【分析】（1）方程去分母、去括號、移項、合并同類項、系數化為1即可;

（2）方程組利用加減消元法求解即可.

【解答】解：（1）x+空=1一等L

O5

去分母得，6x+（2x+l）=6-2（2x-1）,

去括號的，6x+2x+l=6-4x+2,

移項得，6x+2x+4x=6+2-1,

合并同類項得，12x=7,

系數化為1得，x=

（,）+5y=2①

~-3y=-10（2）,

①-②X2得，lly=22,

解得y—2,

把y=2代入①得，8x+10=2,

解得x=-1,

故方程組的解為：

【點評】本題考查了解一元一次方程以及解二元一次方程組，能把二元一次方程組轉化

成一元一次方程是解二元一次方程組的關鍵.

3(%+2)>x-2

1l+x，并將解集在數軸上表示

出來.

-5-4-3-2-1~6~1~2"34~5^

【考點】在數軸上表示不等式的解集；解一元一次不等式組.

【專題】一元一次不等式(組)及應用；運算能力.

【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據口訣：同大取大、同小取小、大小小大中

間找、大大小小找不到確定不等式組的解集.

【解答】解：解不等式3(x+2)>x-2,得x>-4；

解不等式貴，得xW3,

將不等式組的解集表示在數軸上如下：

-5-4-3-2-10

二不等式組的解集為-4VxW3.

【點評】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎，熟知

“同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關鍵.

21.(6分)(2021春?衡陽縣期末)如圖所示，AE為△ABC的角平分線，8為AABC的高,

若NB=30°,/ACB為70°.

(1)求/CAF的度數;

(2)求/AFC的度數.

B

【考點】三角形的角平分線、中線和高；三角形內角和定理；三角形的外角性質.

【專題】三角形；推理能力.

【分析】(1)依據三角形內角和定理，即可得到/84C的度數，再根據角平分線的定義，

即可得到/CAF的度數；

(2)依據三角形內角和定理，即可得到NACF的度數，再根據三角形內角和定理，即可

得出/AFC的度數.

【解答】解：(1)；/8=30°,/ACB=70°,

AZSAC=180°-30°-70°=80°，

又平分NBAC,

11

AZCAF=^ZCAB=x80°=40°；

(2):CD為△ABC的高，ZCAD=80°,

.?.拉△AC。中，NACF=90°-80°=10°,

AZAFC=1800-ZACF-ZCAF=180°-10°-40°=130°.

【點評】本題主要考查了三角形內角和定理以及三角形的高線和角平分線，解題時注意：

三角形內角和是180°.

22.(8分)(2021春?衡陽縣期末)如圖，點F為正方形A8C。內一點，△8FC繞點B逆時

針旋轉后與△BE4重合.

(1)判斷aBEF的形狀，并說明理由；

(2)若/BFC=90°,證明AE〃BF.

【考點】正方形的性質；旋轉的性質.

【專題】矩形菱形正方形；推理能力.

【分析】(1)根據△2FC繞點3逆時針旋轉后與△3EA重合，得NE8F=/A5C=90°,

BE=BF,即可得出△BEF是等腰直角三角形；

(2)由旋轉得NAEB=NB?C=90°,則NAEB+NEBF=90°+90°=180°,得出結論

AE//BF.

【解答】（1）解：△BEF是等腰直角三角形，理由如下：

:四邊形ABCZ）是正方形，

ZABC=90Q,

繞點8逆時針旋轉后與△8E4重合，

:.NEBF=NABC=90°,BE=BF,

/\BEF是等腰直角三角形；

（2）證明：?.?△8FC繞點8逆時針旋轉后與△BEA重合，

NAEB=ZBFC,

■:NBFC=90°,

ZA￡fi=90°,

:.NAEB+NEBF=9Q°+90°=180°,

：.AE//BF.

【點評】本題主要考查了正方形的性質、旋轉的性質等知識，明確旋轉前后對應角相等、

對應邊相等是解題的關鍵.

23.（8分）（2021春?衡陽縣期末）若關于x、y的二元一次方程組=二的解x

>0、>>0,試確定整數a的值.

【考點】二元一次方程組的解；解一元一次不等式；一元一次不等式的整數解.

【專題】一次方程（組）及應用；一元一次不等式（組）及應用；運算能力.

【分析】通過解方程組得到f+,然后解不等式組即可求出a的取值范圍，再確

（3a-1>0

定整數。的值.

【解答】解：2+2y=7a-l&

（2%—y=-a+3@

①+②X2,得5x=5a+5,

解得x=a+l,

把x=a+l代入②，得2（a+l）-y=-〃+3,

解得y—3a-1,

又?.?關于X、y的二元一次方程組的解x>0、y>0,

Ja+1>0①

"l3a-1>0@'

解①得〃>-1,

解②得a>}

，不等式組的解集為a*,

整數。是不小于1的正整數.

【點評】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值

是一元二次方程的解.也考查了解二元一次方程組和不等式組.

24.（8分）（2021春?衡陽縣期末）△ABC在網格中的位置如圖所示.

（1）請畫出△ABC繞著點。逆時針旋轉90°后得到的△A1BC1；

（2）若網格中每一個小正方形的邊長為1,請求出aABC的面積；

（3）在上找一點P,使附+PC最小（不寫法，保留作圖痕跡）.

【專題】作圖題；幾何直觀.

【分析】（1）利用網格特點和旋轉的性質畫出A、B、C的對應點即可；

（2）用一個矩形的面積分別減去三個直角三角形的面積去計算AABC的面積；

（3）作C點關于直線MN的對稱點C',連接AC'交直線MN于P點，利用兩點之間

線段最短可判斷此時必+PC最小.

【解答】解：（1）如圖，△AiB。為所作；

Ill

（2）△ABC的面積=3X3-/1X2-/2X3-/3X1=3.5；

（3）如圖，點P為所作.

【點評】本題考查了作圖-旋轉變換：根據旋轉的性質可知，對應角都相等都等于旋轉

角，對應線段也相等，由此可以通過作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，

找到對應點，順次連接得出旋轉后的圖形.也考查了最短路徑問題.

25.（12分）（2021春?衡陽縣期末）星光櫥具店購進電飯煲和電壓鍋兩種電器進行銷售，其

進價與售價如表：

進價（元/個）售價（元/個）

電飯煲

電壓鍋

（1）一季度，櫥具店購進這兩種電器共30臺，用去了5600元，并且全部售完，問櫥具

店在該買賣中賺了多少錢？

（2）為了滿足市場需求，二季度櫥具店決定用不超過9000元的資金采購電飯煲和電壓

鍋共50個，且電飯煲的數量不少于23個，問櫥具店有哪幾種進貨方案？并說明理由：

（3）在（2）的條件下，請你通過計算判斷，哪種進貨方案櫥具店賺錢最多？

【考點】二元一次方程組的應用；一元一次不等式組的應用.

【分析】（1）設櫥具店購進電飯煲x臺，電壓鍋），臺，根據櫥具店購進這兩種電器共30

臺且用去了5600元，即可得出關于x、y的二元一次方程組，解之即可得出x、y的值，

再根據總利潤=單個利潤X購進數量即可得出結論；

（2）設購買電飯煲“臺，則購買電壓鍋（50-a）臺，根據櫥具店決定用不超過9000元

的資金采購電飯煲和電壓鍋共50個且電飯煲的數量不少于23個，即可得出關于〃的一

元一次不等式組，解之即可得出”的取值范圍，由此即可得出各進貨方案；

（3）根據總利潤=單個利潤X購進數量分別求出各進貨方案的利潤，比較后即可得出結

論.

【解答】解：（1）設櫥具店購進電飯煲x臺，電壓鍋y臺，

根據題意得：（200x+160y=5600,

解得：.翁

A20X（250-200）+10X（200-160）=1400（元）.

答：櫥具店在該買賣中賺了1400元.

（2）設購買電飯煲a臺，則購買電壓鍋（50-。）臺，

根據題意得:（200a+160（50-?）<9000）

解得：23WaW25.

又為正整數，

可取23,24,25.

故有三種方案：①購買電飯煲23臺，購買電壓鍋27臺；②購買電飯煲24臺，購買電壓

鍋26臺：③購買電飯煲25臺，購買電壓鍋25臺.

（3）設櫥具店賺錢數額為w元，

當a=23時，vv=23X50+27X40=2230；

當〃=24時，.=24X50+26X40=2240；

當。=25時，w=25X50+25X40=2250；

綜上所述，當。=25時，w最大，

即購進電飯煲、電壓鍋各25臺時，櫥具店賺錢最多.

【點評】本題考查了二元一次方程組的應用以及一元一次不等式組的應用，解題的關鍵

是：（1）找準等量關系，列出關于x、y的二元一次方程組；（2）根據數量關系，列出關

于“的一元一次不等式組；（3）根據總利潤=單個利潤X購進數量分別求出各進貨方案

的利潤.

26.（12分）（2021春?衡陽縣期末）如圖①，在△ABC中，NA8C與NACB的平分線相交

于點尸.

（1）如果/4=80°,求NBPC的度數；

（2）如圖②，作△4BC外角NMBC,/NC8的角平分線交于點°,試探索NQ、NA之

間的數量關系.

(3)如圖③，延長線段BP、QC交于點E,△BQE中，存在一個內角等于另一個內角的

2倍，求的度數.

【考點】三角形內角和定理；三角形的外角性質.

【分析】(I)運用三角形的內角和定理及角平分線的定義，首先求出N1+/2,進而求出

NBPC即可解決問題；

(2)根據三角形的外角性質分別表示出NM8C與再根據角平分線的性質可求

得NCBQ+/BCQ,最后根據三角形內角和定理即可求解；

(3)在aBOE中，由于N0=9O°求出NEBQ=90°,所以如果

△BQE中，存在一個內角等于另一個內角的2倍，那么分四種情況進行討論：①NE8Q

=2NE=90°；②N￡BQ=2NQ=90°；③ZQ=2NE；④NE=2NQ；分別列出方程，

求解即可.

【解答】(1)解：；14=80°.

AZABC+ZACB=\00°,

?.?點P是NABC和/ACB的平分線的交點，

11

.\ZP=180o一方(ZABC+ZACB)=180°一/100°=130°,

(2)???外角NM8C,NNC3的角平分線交于點。

???NQBC+/QCB=1(NMBC+NNCB)

(360。-AABC-NACB)

i

=*(180°+NA)

i

=90°+?乙4

/.Z0=18O°-(90°+1ZA)=90°一*A；

(3)延長3c至F,

VC0為△ABC的外角NNCB的角平分線，

JCE是AABC的外角ZACF的平分線，

/ACF=2/ECF,

丁族平分NA5C,

???/ABC=2/EBC,

?：NECF=NEBC+NE,

：.2ZECF=2ZEBC+2NE,

即ZACF=ZABC+2ZE,

又ZACF=ZABC+ZA,

AZA=2ZE,即/后=方乙4；

,/ZEBQ=/EBCMCBQ

11

=1(ZABC+ZA+ZACB)=90°.

如果aBOE中，存在一個內角等于另一個內角的2倍，那么分四種情況:

①NEBQ=2NE=90°,則/E=45°,NA=2NE=90°；

②NEBQ=2NQ=90°,則NQ=45°,ZE=45°,NA=2NE=90°；

③NQ=2NE,則90°-1ZA=ZA,解得/4=60°；

@ZE=2ZQ,Plij|zA=2(90°-|zA),解得NA=120°.

綜上所述，乙4的度數是90°或60°或120°.

Q

圖③

【點評】本題是三角形綜合題，考查了三角形內角和定理、外角的性質，角平分線定義

等知識；靈活運用三角形的內角和定理、外角的性質進行分類討論是解題的關鍵.

考點卡片

1.絕對值

（1）概念：數軸上某個數與原點的距離叫做這個數的絕對值.

①互為相反數的兩個數絕對值相等；

②絕對值等于一個正數的數有兩個，絕對值等于0的數有一個，沒有絕對值等于負數的數.

③有理數的絕對值都是非負數.

（2）如果用字母a表示有理數，則數。絕對值要由字母。本身的取值來確定：

①當。是正有理數時，。的絕對值是它本身

②當a是負有理數時，”的絕對值是它的相反數-公

③當〃是零時，a的絕對值是零.

即|a|={a（a>0）0（a=0）-a（a<0）

2.等式的性質

（1）等式的性質

性質1、等式兩邊加同一個數（或式子）結果仍得等式；

性質2、等式兩邊乘同一個數或除以一個不為零的數，結果仍得等式.

（2）利用等式的性質解方程

利用等式的性質對方程進行變形，使方程的形式向x=a的形式轉化.

應用時要注意把握兩關：

①怎樣變形；

②依據哪一條，變形時只有做到步步有據，才能保證是正確的.

3.一元一次方程的定義

（1）一元一次方程的定義

只含有一個未知數（元），且未知數的次數是1,這樣的方程叫一元一次方程.

通常形式是ax+8=0（a,b為常數,且aWO）.一元一次方程屬于整式方程，即方程兩邊都

是整式.一元指方程僅含有一個未知數，一次指未知數的次數為1,且未知數的系數不為0.我

們將以+6=0（其中x是未知數，“、人是已知數，并且a#0）叫一元一次方程的標準形式.這

里a是未知數的系數，匕是常數，x的次數必須是1.

（2）一元一次方程定義的應用（如是否是一元一次方程，從而確定一些待定字母的值）

這類題目要嚴格按照定義中的幾個關鍵詞去分析，考慮問題需準確，全面.求方程中字母系

數的值一般采用把方程的解代入計算的方法.

4.一元一次方程的解

定義：使一元一次方程左右兩邊相等的未知數的值叫做一元一次方程的解.

把方程的解代入原方程，等式左右兩邊相等.

5.解一元一次方程

（1）解一元一次方程的一般步驟：

去分母、去括號、移項、合并同類項、系數化為1,這僅是解一元一次方程的一般步驟，針

對方程的特點，靈活應用，各種步驟都是為使方程逐漸向x=a形式轉化.

（2）解一元一次方程時先觀察方程的形式和特點，若有分母一般先去分母；若既有分母又

有括號，且括號外的項在乘括號內各項后能消去分母，就先去括號.

（3）在解類似于+bx=c”的方程時，將方程左邊，按合并同類項的方法并為一項即（a+6）

x=c.使方程逐漸轉化為or=b的最簡形式體現化歸思想.將以=匕系數化為1時，要準確

計算，一弄清求x時，方程兩邊除以的是a還是江尤其a為分數時；二要準確判斷符號，

a、匕同號x為正，〃、〃異號x為負.

6.二元一次方程組的解

（1）定義：一般地，二元一次方程組的兩個方程的公共解，叫做二元一次方程組的解.

（2）一般情況下二元一次方程組的解是唯一的.數學概念是數學的基礎與出發點，當遇到

有關二元一次方程組的解的問題時，要回到定義中去，通常采用代入法，即將解代入原方程

組，這種方法主要用在求方程中的字母系數.

7.解二元一次方程組

（1）用代入法解二元一次方程組的一般步驟：①從方程組中選一個系數比較簡單的方程，

將這個方程組中的一個未知數用含另一個未知數的代數式表示出來.②將變形后的關系式代

入另一個方程，消去一個未知數，得到一個一元一次方程.③解這個一元一次方程，求