薛定諤波動(dòng)方程2.4薛定諤波動(dòng)方程

一、含時(shí)薛定諤方程薛定諤圖像，坐標(biāo)表象的狀態(tài)隨時(shí)間演化為為厄米算符，且為局域的，即為的實(shí)函數(shù)以后我們會(huì)討論含時(shí)的非局域但可分離的勢(shì)，與動(dòng)量相關(guān)的勢(shì)，,等等。由而得含時(shí)薛定諤方程為基于上式的量子力學(xué)有時(shí)稱(chēng)為波力學(xué)，是當(dāng)時(shí)態(tài)矢在坐標(biāo)表象下薛定諤方程的特殊形式。二、不含時(shí)薛定諤方程

對(duì)A和H的共同本征初態(tài),對(duì)能量本征態(tài)得定態(tài)薛定諤方程：束縛態(tài)：要解方程需加邊界條件，假設(shè)要求的解，合適的邊條件為當(dāng)即粒子被限于一定的空間內(nèi)，或稱(chēng)束縛態(tài)。由偏微分方程理論知滿(mǎn)足該邊界條件的非平凡解，有分立的一組E值。定態(tài)薛定諤方程

能級(jí)的量子化。可見(jiàn)由定態(tài)薛定諤方程尋求微觀(guān)物理體系的能級(jí)與尋求彈簧的特征頻率相仿，都是數(shù)學(xué)物理的邊界值解問(wèn)題。三、波函數(shù)的解釋

波函數(shù)是態(tài)矢在坐標(biāo)本征函數(shù)的展開(kāi)系數(shù)，其模平方是幾率密度，在附近的體積內(nèi)找到該粒子的幾率為由含時(shí)方程可推出連續(xù)性方程該結(jié)果依賴(lài)于勢(shì)能算符的厄米性即實(shí)勢(shì)能。對(duì)復(fù)勢(shì)能，結(jié)果會(huì)變化，可解釋粒子的消失，如入射粒子被核吸收。幾率流與動(dòng)量有關(guān)：連續(xù)性方程與無(wú)源無(wú)漏區(qū)的流體力學(xué)連續(xù)性方程相似，因此曾被認(rèn)為是物質(zhì)密度，是實(shí)際電荷密度。非物理圖像：一原子的電子可看作連續(xù)分布的物質(zhì)，占據(jù)核附近的一定空間。測(cè)量使得電子處于某一特定點(diǎn)時(shí)，這一連續(xù)分布的物質(zhì)突然收縮為點(diǎn)狀無(wú)空間延伸的粒子。Born提出了合理解釋?zhuān)礊閹茁拭芏鹊慕y(tǒng)計(jì)解釋。四、波函數(shù)的相位S為實(shí)數(shù)，ρ是幾率密度。S的含義？由得：可見(jiàn)相位S具有重要的信息：波函數(shù)相位的空間變化表征了幾率流量。相位變化越激烈，則流量越強(qiáng)。流量的方向與該點(diǎn)上等相位面垂直。對(duì)平面波雖然形式上我們有但將解釋成需要坐標(biāo)與速度的同時(shí)精確測(cè)量而不可能（測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系）。五、經(jīng)典極限

據(jù)薛定諤方程有：若可看成小量，并設(shè)等，則上方程中不含的部分有與分析力學(xué)的Hamilton-Jacobi方程相同，其中是Hamilton的主函數(shù)。因此，薛定諤波力學(xué)在極限下給出經(jīng)典力學(xué)。若將S解釋成Hamilton的主函數(shù)，對(duì)不含時(shí)Hamilton量，主函數(shù)S具有可分離的形式，稱(chēng)為Hamilton的特征函數(shù)。隨著時(shí)間的轉(zhuǎn)移，等S面的空間演化與波動(dòng)光學(xué)中的常相位面即波前變化相同.六、半經(jīng)典(WKB)近似：一維定態(tài)薛定諤方程的近似解經(jīng)典Hamilton-Jacobi方程的解是對(duì)定態(tài)由連續(xù)性方程得故與經(jīng)典中在某處找到粒子的幾率反比于速度一致WKB解：七、WKB近似成立條件：條件對(duì)應(yīng)于：

即或者說(shuō)必須比勢(shì)變化的特征長(zhǎng)度小,即半經(jīng)典圖像在短波極限下是可信的。八、完整的WKB解對(duì)區(qū)，有對(duì)上述解不成立,需要將上述兩解以適當(dāng)方式連接。標(biāo)準(zhǔn)步驟是：1．在附近將V(x)線(xiàn)性化。2．解微分方程得與階Bessel函數(shù)相關(guān)的嚴(yán)格解。該解適用于x0附近3.將這一第三個(gè)解通過(guò)選擇合適的積分常數(shù)與另兩解匹配這里不討論這些步驟的細(xì)節(jié)而只給出結(jié)果：波函數(shù)在E>V(x)區(qū)振蕩，在E<V(x)區(qū)指數(shù)衰減。匹配條件I與II區(qū)：II與III區(qū)：波函數(shù)的唯一性意味著這兩個(gè)cos的變量最多差π的整數(shù)倍。故有自洽性（量子化）條件：除部分外,該條件與舊量子理論中的量子化條件相同九、量子化條件應(yīng)用舉例勢(shì)阱中粒子的近似能級(jí)經(jīng)典轉(zhuǎn)折點(diǎn)為：由于無(wú)限高勢(shì)壘，解在x<0區(qū)必為0.對(duì)x>0區(qū)的解，可通過(guò)求解修正勢(shì),的對(duì)稱(chēng)解得到該問(wèn)題的WKB轉(zhuǎn)折點(diǎn)為,量子化條件變?yōu)榧?/p>

與本征能態(tài)的嚴(yán)格解：非常接近（-λ是Airy函數(shù)為零的根）十、遂穿幾率由WKB解知：粒子速率：碰撞頻率：f=v/2x0遂穿幾率：簡(jiǎn)諧振子的時(shí)間演化

x，p的Heisenberg運(yùn)動(dòng)方程可表示為這對(duì)耦合方程等價(jià)于和的獨(dú)立微分方程：即或得解為與經(jīng)典x、p的運(yùn)動(dòng)形式相同。x、p算符像其經(jīng)典對(duì)應(yīng)量一樣振蕩振子的時(shí)間演化（直接解法）由算符的時(shí)間演化直接求出x(t)，p(t)：利用Baker-Hausdorff引理