專題06含指數式的極值點偏移問題近幾年全國各地模擬試題?高考試題中頻繁出現一類考查函數導數的題型：在給定區間內研究兩函數之間的不等關系．要解決這類問題，往往是直接構造某個新函數，或者分離變量之后構造新的函數，通過研究構造的新函數的單調性來求出最值或者得到我們想要的不等關系．這一類問題多數與指數函數有關，解題時除了直接構造一元函數求解，還可將問題轉化為對數問題，再用對數平均不等式求解，本文對此類問題做一探究．★（2016年新課標I卷理數壓軸21題）1.已知函數有兩個零點．證明：．【答案】證明見解析.【解析】【分析】由參變分離得，，求導，得在遞減，在遞增，由，得.設，，進而設，，求導判斷，從而得，令，代入上式即可證得.【詳解】由函數有兩個零點，得，不難發現，，故可整理得：，設，則，求導得，當時，，單調遞減；當時，，單調遞增．設，構造代數式：，設，，則，故單調遞增，有．因此，對于任意的，．由可知?不可能在的同一個單調區間上，不妨設，則必有，令，則有，而在上單調遞增，因此：，整理得：．【點睛】方法點睛：已知函數有零點（方程有根）證明不等式成立的常用方法：（1）構造部分對稱函數；（2）參變分離再構造差量函數；（3）參變分離再構造對稱函數；（4）構造加強函數；（5）利用“對數平均”不等式.★（2010天津理）2.已知函數，如果，且．證明：．【答案】證明見解析.【解析】【分析】利用導數，求得函數的單調性，由，化簡得，令，整理得，進而得到，轉化為證明：，構造函數，利用導數求得函數的單調性與最值，即可求解.【詳解】由題意，函數，可得，當時，；當時，，可得函數在上單調遞增，在上單調遞減，因為，得，化簡得…①，不妨設，可得，令，則，代入①式，可得，解得，則，故要證，即證，又因為，等價于證明：…②，構造函數，則，故在上單調遞增，，從而也在上單調遞增，，即證②式成立，也即原不等式成立．【點睛】本題主要考查導數在函數中的綜合應用，以及不等式的證明，著重考查了轉化與化歸思想、分類討論、及邏輯推理能力與計算能力，對于此類問題，通常要構造新函數，利用導數研究函數的單調性與最值，從而求出參數的取值范圍；也可分離變量，構造新函數，直接把問題轉化為函數的最值問題．3.設函數，其圖象與軸交于兩點，且．證明：（為函數的導函數）．【答案】證明見解析.【解析】【分析】由題意，，兩式相減，得到，記，將轉化為，再由導數求出其單調性，從而得到，再由是單調增函數，得到.【詳解】因為兩式相減得.記，則，設，則，所以是單調減函數，則有，而，所以.又是單調增函數，且；所以.【點睛】方法點睛：利用導數研究函數的單調性、極值、最值，零點存在定理，關鍵是換元法構造新函數，涉及知識點較多，題目較綜合，屬于難題.招式演練：4.已知函數.（Ⅰ）若，求曲線在處的切線方程；（Ⅱ）若，為函數的兩個極值點，求的取值范圍并證明.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；證明見解析.【解析】【分析】（Ⅰ）將代入方程，求導可得，利用導數的幾何意義，求得切線的斜率，再求得的值，代入直線方程，即可得答案；（Ⅱ）依題意，，是方程的兩個實數根，設，求導，判斷的單調性，結合的圖像與性質，即可求得a的范圍；根據，可解得，利用作差法比較與a的大小關系，即可得證.【詳解】（Ⅰ）依題意，，，故，而，故所求切線方程為，即.（Ⅱ）依題意，，是方程的兩個實數根，不妨設，設，則，則單調遞增，由得，由得，故函數在上單調遞減，在上單調遞增，因為當時，，當時，，所以要使方程有兩個實數根，只需，所以.由得，故，要證，則證明即可.，設，則，所以，設，則，當時，易知，所以，所以函數在上單調遞減，故，從而可得，故原不等式成立.【點睛】本題考查導數的幾何意義、利用導數研究函數的性質，考查數學運算、邏輯推理，數學抽象的核心素養，綜合較強，計算難度偏大，屬難題.5.已知f（x）＝me2x﹣2x（x+1）ex，其中e為自然對數的底數，且函數f（x）恰有兩個極值點x1，x2.（1）求實數m的取值范圍；（2）求證：3＜x1x2﹣（x1+x2）＜8.【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）求得導數，構造函數，將問題轉化為值域的求解，利用導數處理即可；（2）構造函數，據此求得的范圍，借助基本不等式求得的范圍，即可證明.【詳解】（1），函數f（x）恰有兩個極值點x1，x2，則有兩個變號零點，當時，，其，故此時有兩個變號零點，滿足題意；當時，，令，故可得，故當或時，，單調遞減，當時，，單調遞增.且當時，恒成立，當趨近于正無窮時，趨近于0，又趨近于負無窮時，趨近于正無窮；且，故當時，只有一個極值點，不滿足題意；當時，有三個極值點，不滿足題意；當時，有兩個極值點，滿足題意；當時，沒有極值點，不滿足題意.綜上所述，（2）令，則，不妨設，由（1）可得：，令，則，故在單調遞減.故當時，，即.令，則，又，故，又因為，且在單調遞減，故，即.故，由（1）知，則故，即.綜上可得：，.故3＜x1x2﹣（x1+x2）＜8即證.【點睛】本題考查利用導數由函數極值點個數求參數范圍，以及用導數研究雙變量問題，涉及極值點偏離思路的應用，屬綜合困難題.6.已知函數.（1）若曲線在處的切線與直線平行，求的單調區間；（2）當時，若，且，證明：.【答案】（1）的單調遞增區間為；單調遞減區間為；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）由題意先求出的值，再利用導函數分析函數的單調性，即可得出結論；（2）先代入數值求導，構造函數，求導得出的單調性，整理已知條件，再次構造函數，求導分析函數的單調性，利用單調性整理即可得出結論.【詳解】（1），，則，，令，得或；令，得；所以的單調遞增區間為；單調遞減區間為；（2）證明：，，令，則，所以在上為增函數；，，與同號，不妨設，設，則，，，，在上為增函數，，，，又在上為增函數，，即.【點睛】本題主要考查了利用導數求函數的單調區間以及構造函數證明不等式問題.考查了學生分析問題和解決問題的能力，做題時要注意對條件的利用.屬于較難題.7.已知函數.（1）判斷函數的單調性；（2）若方程有兩個不同的根，求實數a的取值范圍；（3）如果，且，求證：.【答案】（1）在上單調遞增，在上單調遞減；（2）；（3）證明見解析.【解析】【分析】（1）根據導數和函數單調性的關系即可求出；（2）由（1）可求出函數的值域，再根據數形結合，即可求出的范圍；（3）構造函數，利用導數可證函數在上單調遞增，可證對恒成立，由，則，利用函數單調性，可證，再根據函數單調性，即可證明．【詳解】解：（1）因為，所以，.可得函數在上單調遞增，在上單調遞減.（2）由（1）可知函數在處取得最大值，，所以函數的圖象大致如下：.易知函數的值域為.因為方程有兩個不同的根，所以，即，，解得.即實數a的取值范圍為（3）證明：由，，不妨設，構造函數，，則，所以在上單調遞增，，也即對恒成立.由，則，所以，即，又因為，，且在上單調遞減，所以，即.【點睛】本題考查導數的綜合應用，利用導數求函數的單調性及最值，考查不等式與函數單調性的應用，考查轉化思想，是一道綜合題．8.已知函數，.（1）若函數是上的增函數求的取值范圍；（2）若函數恰有兩個不等的極值點、，證明：.【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）問題轉化為對恒成立.求導后分離參數得到，設，利用導數研究單調性，求得最小值，根據不等式恒成立的意義得到所求范圍；（2）由，為兩個極值點不妨設，聯立極值點的條件，并結合要證不等式，消去a,將要證不等式轉化為只含有，的不等式，適當變形轉化為只含有的不等式，作換元，轉化為關于t的不等式，構造函數，利用導數研究單調性，進而證明即可.【詳解】解：（1），在上增函數等價于對恒成立.即，設，，0－0+極小值，故（2）由，由，為兩個極值點不妨設則兩式相減得要證明：等價于證明即兩邊同除等價于證明：，設即，設由（1）可知：當時，恒成立，成立，即，∴∴在單調遞減∴故成立.【點睛】本題考查利用導數研究函數的單調性，涉及不等式恒成立中的參數范圍，考查利用導數研究函數的極值點，以及關于極值點的不等式的證明問題，涉及消參思想和換元思想，構造函數，并利用導數研究函數的最值解決不等式相關問題，是典型題.9.已知函數(其中e是自然對數的底數，k∈R)．(1)討論函數的單調性；(2)當函數有兩個零點時，證明：．【答案】（1）見解析；（2）見解析.【解析】【詳解】試題分析：本題考查導數與函數單調性的關系以及用導數證明不等式的問題．（1）求導數后，根據導函數的符號判斷出函數的單調性．（2）根據題意將證明的問題轉化為證明，即證，構造函數，利用函數的單調性證明即可．試題解析：（1）解：∵∴．①當時，令，解得，∴當時，，單調遞減；當時，，單調遞增．②當時，恒成立，∴函數在R上單調遞增.綜上，當時，在上單調遞減，在上單調遞增．當時，在R上單調遞增.（2）證明：當時，由（1）知函數單調遞增，不存在兩個零點．所以．設函數的兩個零點為，則，設，解得，所以，要證，只需證，設設單調遞增，所以，所以在區間上單調遞增，所以，故．10.已知函數，．（1）討論的單調性；（2）若存在兩個極值點，，，證明：．【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）先求導，再對分和兩種情況即得函數的單調性；（2）分析得到所以，，再化簡得到，構造函數，得到，不等式即得證.【詳解】（1）．因為.當時，，此時在上單調遞減；當時，由解得或，∵是增函數，∴此時在和單調遞減，在單調遞增．（2）由（1）知，∴，所以，所以，∵，∴，，令，∴，∴在上是減函數，，∴，即．所以原不等式得證.【點睛】本題主要考查利用導數研究函數的單調性，考查利用導數證明不等式，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.11.已知函數．（1）判斷函數的單調性；（2）若方程有兩個不同的根，求實數的取值范圍；（3）如果，且，求證：．【答案】（1）在上單調遞增，在上單調遞減.；（2）；（3）證明見解析.【解析】【分析】（1）根據導數和函數單調性的關系即可求出；（2）先求出函數的值域，即可求出的范圍；（3）構造函數，判斷函數的單調性，即可證明．【詳解】解：（1）因為，所以，令，解得，令，解得，即函數在上單調遞增，在上單調遞減．（2）由（1）可得函數在處取得最大值，，所以函數的圖象大致如下：．易知函數的值域為．因為方程有兩個不同的根，所以，即，，解得．即實數的取值范圍為．（3）證明：由，，不妨設，構造函數，，，則，所以在，上單調遞增，，也即對，恒成立．由，則，，所以，即，又因為，，且在上單調遞減，所以，即證．即．【點睛】本題考查導數的綜合應用，利用導數求函數的單調性及最值，考查不等式與函數單調性的應用，考查轉化思想，屬于中檔題．12.已知函數有三個極值點，（1）求實數的取值范圍；（2）求證：.【答案】（1）且；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）函數有3個零點等價于有3個變號零點，由于，且，所以可得有兩個不為0，－1的實根，再對求導討論其單調性可得結果；（2）由（1）可知有一個零點為0，所以不妨設，，而，所以，因此要證，即證而，，而在上遞減，，所以只需證，即，然后構造函數，只需證此函數值恒大于零即可.【詳解】解：（1）利用的極值點個數即為的變號零點個數，，設，由已知，方程有兩個不為0，－1的實根，當時，在上遞增，至多一個實根，故所以在上遞減，在上遞增，因為，所以時，有兩個實根，解得且（2）由（1）不妨設，，∵，∴.要證，即證而，由在上遞減，在上遞增，且故只要證，又，故只要證即證設∴∴遞增，∴即∴【點睛】此題考查函數的極值點問題，極值點偏移問題，利用導數求函數的單調區間，利用導數證明不等式恒成立等，考查了數學轉化思想，屬于較難題.13.已知函數（1）求函數的極值；（2）若直線與函數的圖象有兩個不同交點，，求證：【答案】（1）極小值為，無極大值；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）直接利用導數求函數的單調性，極值；（2）由時，，結合（1）中極值，可設，要證，需證，由，，且在是單調遞減函數，即只需證：，即只需證，再構造函數，，利用導數證得即可.【詳解】（1）∵，∴變化時，與變化情況如下－1－0+單調遞減極小值單調遞增∴當時，有極小值為∴極小值為，無極大值.（2）由時，，設，由（1）知，，欲證：，需證：由，，且在是單調遞減函數即證：∵，即證：令，，當時，，∴單調遞增∴，∴時，由時，∴，∴，得證【點睛】本題考查了利用導數求函數的極值，分析法的應用，利用導數研究函數的單調性，并證明不等式，還考查了學生的分析推理能力，轉化思想的運用，難度較大.14.已知函數，其中是自然對數的底數．(1)求的單調區間；(2)當時若方程存在兩個不同的根，求證:【答案】（1）見解析；（2）見解析．【解析】【分析】（1）對函數求導，得出，對實數分兩種情況和討論，結合導數的符號得出函數的單調區間；（2）解法一：構造函數，，利用導數分析函數的單調性，并構造函數，利用導數分析該函數的單調性，再由，可得出，由函數的單調性可證明，由，得出，通過因式分解得出，可得出所成的結論；解法二：構造函數，，利用導數分析函數的單調性，通過對等式變形得出轉化為證不等式，并構造函數，利用導數證明，于是得出，再通過因式分解以及基本不等式等手段可得出，于此證明結論．【詳解】（1），，，當時，則，所以，函數的單調遞增區間為；當時，由，得；由，得．所以，函數的單調遞減區間為，單調遞增區間為．綜上所述：當時，函數的增區間為；當時，函數的減區間為，增區間為；（2）證明：令，，則，令，得；由，得；由，得．所以，函數在上單調遞減，在上單調遞增，當時，；當，．不妨設，則，，且．先證明．構造函數，其中，則，因為，則，，，所以，函數在上單調遞減，，所以，，即，因為，所以，，，，且在上單調遞增，所以，，即．再證：．因為，所以，，且，所以，，所以，，即．所以，，所以，．綜上所述，；解法二：（1）同解法一；（2）證明：令，，則，令，得；由，得；由，得．所以，函數在上單調遞減，在上單調遞增，當時，；當，．不妨設，則，，且．由，得，由得：，因為，所以，，，所以，，即，，，由得，，下面證明：，即證，構造函數，，則，所以，函數在上單調遞減，當時，，即，所以，．所以．因為，，，所以，，即，因為，所以，即，所以，．綜上所述，．【點睛】本題考查函數單調性與導數、函數的零點、以及利用導數來證明函數不等式，對代數式變形、化簡以及根據不等式結構構造新函數是本題的難點所在，在處理這類問題時，也要注意極值點偏移問題的處理方法，考查分類討論思想以及函數方程思想，屬于難題．15.已知函數，其中，，e為自然對數的底數.(1)若，且當時，總成立，求實數a的取值范圍；(2)若，且存在兩個極值點，，求證：【答案】(1)；(2)見解析.【解析】【分析】(1)由已知可得，只需對與0的大小關系分類討論，確定函數的單調性，從而確定函數的最小值，即可求出實數a的取值范圍；(2)根據，是的根，可得與的關系及其范圍，進而可將用含有的式子表示，構造函數即可證出.【詳解】(1)若，則，所以，因為，，所以當，即時，，所以函數在上單調遞增，所以，符合題意；當，即時，時，；時，，所以函數在上單調遞減，在上單調遞增，所以，不符合題意，綜上：實數a的取值范圍為.(2)若，則，所以，因為存在兩個極值點，所以，所以，令，得，所以是方程的兩個根，所以，，且，，不妨設，則，所以，令，所以，所以在上單調遞增，所以，所以，又，所以.【點睛】本題主要考查導數的綜合應用，考查函數的單調性、最值問題，考查學生分析問題解決問題的能力，屬于中檔題.16.已知函數.（1）求的單調區間；（2）若存在，使得，證明：.【答案】（1）單調遞減區間為，單調遞增區間為；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）對函數直接求導，得，通過討論導函數的正負來得出的單調性，即可得出結論.（2）先找到關于的對稱點，構造函數利用單調性發現，再結合條件及（1）的結論在上單調遞減，可得.【詳解】（1）由題可知，令，得，當時，，在上單調遞減；當時，，在上單調遞增.綜上，的單調遞減區間為，單調遞增區間為.（2）當時，..令，則.∴在上單調遞增.又，∴當時，，即.∵，∴.∵，∴.而由知，∵，由（1）知在上單調遞減，∴，∴.【點睛】本題主要考查導數的綜合應用，考查學生的運算能力及轉化思想.屬于較難題.17.已知函數.（1）若曲線在處切線的斜率為，判斷函數的單調性；（2）若函數有兩個零點、，證明，并指出的取值范圍.【答案】（1）為上的增函數；（2）證明見解析，的取值范圍是.【解析】【分析】（1）求出函數的導數，結合題意求出的值，從而求出函數的單調區間；（2）通過討論的范圍，求出函數的單調區間，從而判斷函數的零點的個數，利用單調性證明不等式后，即可確定滿足條件的的取值范圍，然后構造函數，利用導數分析得出為的減函數，可得出，再由以及結合函數在區間上的單調性可證得結論成立.【詳解】（1），，則，得，此時，由得.則時，，為增函數；時，，為增函數，且，所以為上的增函數；（2）①當時，由得或，若，由（1）知，為上的增函數，且，由，，所以只有一個零點，不符合題意；若，則當時，，為增函數；當時，，為減函數；時，，為增函數.而，故最多只有一個零點，不符合題意；若時，則當時，，為增函數；當時，，為減函數；當時，，為增函數，則，故最多只有一個零點，不符合題意；②當時，由得.由得，為減函數，由得，為增函數，則.先證明：當時，.構造函數，則當時，，所以，函數在區間上單調遞增，則，即.當且時，，則，又，所以，函數在區間和上各有一個零點，所以當時，始終有兩個零點、，不妨令，，構造函數，所以，由于時，，又，則恒成立，所以為的減函數，則，即，故有.又、是的兩個零點，則，所以，由于函數在區間上單調遞減，所以，，所以，所求的取值范圍是.【點睛】利用導數證明函數不等式，可從不等式的結構特點出發，構造函數，借助導數確定函數的性質，借助單調性或最值實現轉化，在證明（或）的極值點偏移的問題時，一般利用對稱性構造函數，通過利用導數分析函數的單調性實現轉化.18.已知函數有兩個不同的零點，（1）求實數a的取值范圍；（2）證明：【答案】（1）（2）證明見解析；【解析】【分析】(1)根據題意，轉化為，有兩個不同的零點有兩個不同的根，然后利用數形結合求解即可(2)由(1)得，，得，不妨設，則結合圖象易得，，然后，構造函數（），利用導數求出該函數的單調性，即可證明結論【詳解】（1）有兩個不同的零點有兩個不同的根.令，則，易得時，，函數單調遞減；時，，函數單調遞增.當時，，當時，，又，結合圖象可知，要使函數的圖象與直線有兩個不同的公共點，則，所以，實數的取值范圍為.（2）由(1)得，，不妨設，則結合圖象易得，，令（），則，所以單調遞增，故，所以（）.由條件知，又，，以及由(1)得，函數在時單調遞增，得，所以.【點睛】本題考查利用導數解決函數的零點問題，以及考查極值點偏移的相關題目，屬于難題19.已知函數．（1）討論的單調區間與極值；（2）已知函數的圖象與直線相交于，兩點（），證明：．【答案】（1）分類討論，答案見解析；（2）證明見解析．【解析】【分析】（1）求出導函數，利用確定增區間，確定減區間，從而可得極值；（2）由（1）知只有在且即時，函數的圖象與直線才有兩個交點，由得，可得，同時由消去參數，并設，都可用表示，要證不等式，只要證，即，只要證，引入新函數．利用導數的知識可證．【詳解】解：（1），①當時，，此時在上單調遞增，無極值；②當時，由，得.所以時，，單調遞減；時，，單調遞增.此時函數有極小值為，無極大值.（2）由題設可得，所以，且由（1）可知，，.，，∴，同理，由，可知，所以.由，得，作差得設（），由，得，所以，即，所以，要證，只要證，即，只要證.設（），則.所以在單調遞增，.所以.【點睛】本題考查用導數求函數的單調區間和極值，證明與方程根有關的不等式．考查轉化與化歸思想．對于與方程的解有關的不等式問題，關鍵是引入新參數，如，，象本題，此時的范圍是確定的，如、、等等，接著關鍵是把用表示（可用消參法建立關系），要證的不等式就變為關于的不等式，引入新函數后應用導數知識證明．20.已知函數，其中.（1）當時，求不等式在上的解；（2）設，關于直線對稱的函數為，求證：當時，；（3）若函數恰好在和兩處取得極值，求證：.【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）證明見解析.【解析】【分析】（1）當時，對求導，判斷導函數在上的正負號，說明函數在上的單調性，再利用，即可解出不等式.（2）根據題意求出，令，求出說明其大于0.則在上單調遞增，再結合，即可得證.（3）根據題意可知，是函數的兩個不同實根.不妨設，分別根據函數零點存在性定理可得，可得，則，要證即證.化簡得，令，再根據函數，求導說明函數在上是減函數，結合，即可得證.【詳解】（1）當時，，，，∴在上單調遞增，∴，∴在上單調遞增，又，∴的解集為；（2），∵關于直線對稱的函數為，∴∴令，，當且僅當時取“＝”，∵，故上式取不到“＝”，即，∴在上單調遞增，故，即，∴當時，，（3）證明：由已知，由，是函數的兩個不同極值點（不妨設）.即，是函數的兩個不同實根.即，∴，，兩式相減得：，于是要證明，即證明，兩邊同除以，即證，即證，即證令即證不等式當時恒成立.設，∴而，即，∴，∴在