臨澧一中2022屆高三數(shù)學(xué)解答題突破專項訓(xùn)練立體幾何02（空間角的相關(guān)問題）1．如圖，在四棱錐中，平面，，，，為中點，．（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值．2．如圖在四棱錐中，底面是梯形，，，，．（1）證明：平面；（2）若，當(dāng)四棱錐的體積最大時，求直線與平面所成角的正弦值．3．在四棱錐中，平面平面，底面為梯形，，，且，，．（1）求證：；（2）求二面角的余弦值．4．如圖，四棱錐中，平面，四邊形是邊長為2的正方形，是等腰直角三角形，為棱上一點，且．（1）當(dāng)時，證明：直線平面；（2）當(dāng)時，求二面角的余弦值．5．如圖，在直三棱柱中，，，，，分別為，，的中點．（1）證明：與在同一平面內(nèi)；（2）已知異面直線與所成的角為，求直線與平面所成角的大小． 6．如圖，在三棱錐中，，，，設(shè)頂點在底面上的射影為．（1）求證：；（2）設(shè)為棱上的一點，且二面角的余弦值為，求三棱錐的體積．7．如圖，在四棱錐中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，為棱上的點，且．（1）若為棱的中點，求證：平面；（2）（ⅰ）求證平面；（ⅱ）設(shè)為棱上的點（不與，重合），且直線與平面所成角的正弦值為，求的值．8．如圖，在直三棱柱中，，，為的中點．（1）若為上的一點，且，求證：；（2）在（1）的條件下，若異面直線與所成的角為，求直線與平面所成角的余弦值．9．如圖，在四棱錐中，為正三角形，底面為直角梯形，，，，，點，分別在線段和上，且．（1）求證：平面；（2）設(shè)二面角大小為，若，求直線和平面所成角的正弦值．參考答案1．（1）證明：因為，，∴，∴．又，∴．又平面且平面，所以平面．（2）過點作的垂線交于點．因為平面，所以，，以點為坐標(biāo)原點，以，，分別為，，軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，則，0，，，2，，，2，，，0，，，，．因為為的中點，，，．所以，，，，2，，，2，．設(shè)平面的法向量為，，，則，令，得，1，．設(shè)直線與平面所成的角為，所以．所以直線與平面所成角的正弦值為．2．（1）證明：取，中點，，連接，，．由，得，，所以平面．又由，知：四邊形是平行四邊形，則．由，得平面平面，所以平面．（2）法一：由，知：四邊形是以的等腰梯形．連接，則，平面，于是點在底面內(nèi)的射影在上．取中點，則，于是當(dāng)?shù)酌鏁r，四棱錐的體積最大．連接，則．計算得，，則，故，解得，則．即直線與平面所成角的正弦值為．法二：由，知：四邊形是以的等腰梯形．連接，則，平面，于是點在底面內(nèi)的射影在上．取中點，則，于是當(dāng)?shù)酌鏁r，四棱錐的體積最大．如圖，以為原點，分別以射線，，為，，軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系．由題意得，0，，，，，．所以，，．設(shè)平面的法向量，由，得，取，則．即直線與平面所成角的正弦值為．3．（1）證明：因為平面平面，平面平面，平面，且，所以平面；又因為平面，所以；（2）因為，，所以．由（1）得平面，所以，所以、、兩兩垂直．以為原點，，，所在直線分別為，，軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，則，0，，，0，，，2，，，2，；因為平面，所以平面的一個法向量是，0，．而，0，，，2，，設(shè)平面的一個法向量為，，，則由，得；取，有，，，所以，．由題知，二面角為銳角，所以二面角的余弦值為．4．（1）證明：連接交于，連接，因為四邊形是正方形，所以為的中點．因為，所以為的中點，所以，因為平面，平面，所以平面．（2）因為平面，四邊形是邊長為2的正方形，是等腰直角三角形，所以．以為原點，分別以射線，，為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，0，，，2，，，0，，由可得，因為平面，所以平面的一個法向量為．設(shè)平面的法向量為，因為，，所以，取，得，，所以，所以，因為二面角為銳二面角，所以二面角的平面角的余弦值為．5．（1）證明：連接，，，分別為，中點，，，，在同一平面內(nèi)，設(shè)為，則，，，，，，與在同一平面內(nèi)．（2），為異面直線，所成的角，，設(shè)，則，以為坐標(biāo)原點，以，，所在的直線分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，則，所以平面的一個法向量由因為，設(shè)直線與平面所成角為，則，又，所以．6．（1）證明：因為頂點在底面上的射影為，所以平面，又平面，則，又，且，則平面，又平面，故，同理可得，則四邊形為矩形，又，則四邊形為正方形，故；（2）由（1）知為正方形，以為坐標(biāo)原點，，，所在直線分別為，，軸建立如圖所示坐標(biāo)系，則，0，，，8，，，0，，，8，，在直角三角形中，因為，，所以，則，0，，設(shè)，則，所以，故，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，又平面的一個法向量為因為二面角的余弦值為，所以，解得，則，故，設(shè)點到平面的距離為，則，故三棱錐的體積為．7．（1）取的中點，連接，，，，，，所以，∴四邊形為平行四邊形，∴，又平面，平面，∴平面；（2）（ⅰ）∵平面，平面，平面，∴，，又因為，則以為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．由已知可得，0，，，0，，，4，，，2，，，0，，，1，，∴，，，，4，，，0，，∵，，∴，，由，平面，平面，∴平面．（ⅱ）由（ⅰ）可知平面，，，可作為平面的法向量，設(shè)，即，，，所以，，，即有，，，因為直線與平面所成角的正弦值為，所以，．即，解得，即．8．（1）證明：取中點，連接，，有，因為，所以，因為三棱柱為直三棱柱，所以平面平面，因為平面平面，所以平面，因為平面，所以．因為為的四等分點，為的中點，所以，又因為，，所以，又，所以面，，．（2）如圖以為坐標(biāo)原點，分別以，，為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)，由條件可知，所以，所以，所以，所以，設(shè)平面的法向量為，，，則，即，則的一組解為，所以．所以直線與平面所成角的余弦值為．9．（1）證明：連接，交于點，因為，，所以，，因為，則，則，故，又平面，平面，故平面；（2）取的中點，連接，，因為為正三角形，則，，因為為直角梯形，，，，故四邊形為矩形，則，又，，平面，所以平面，又平面，故平面平面，所以為二面角的平面角，故，且，設(shè)，由余