江蘇省泰州市興化合陳鎮高級中學高三數學理模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.函數f（x）的定義域為D，若對于任意x1,x2∈D，當x1<x2時都有f（x1）≤f（x2），則稱函數f（x）在D上為非減函數，設f（x）在[0,1]上為非減函數，且滿足以下條件：（1）f（0）=0；（2）f（）=f（x）；（3）f（1-x）=1-f（x），則f（）+f（）=（

）

A．

B．

C．1

D．參考答案：A略2.已知、、為直線上不同的三點，點直線，實數滿足關系式，有下列命題：①；

②；③的值有且只有一個；

④的值有兩個；⑤點是線段的中點．則正確的命題是

．（寫出所有正確命題的編號）參考答案：

①③⑤

3.把函數f(x)的圖象向右平移一個單位長度，所得圖象恰與函數的反函數圖像重合，則f(x)=（

）A.

B.

C.

D.參考答案：D略4.等比數列｛an｝的首項a1＝－1，前n項和為Sn，若，則等于(

)A．

B．1

C．-

D．不存在參考答案：C5.已知定義在R上的函數f（x）=2|x﹣m|﹣1（m為實數）為偶函數，記a=f（2﹣3），b=f（3m），c=f（log0.53），則（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a參考答案：A【考點】對數函數圖象與性質的綜合應用．【分析】由題意可得m=0，可得f（x）=2|x|﹣1在（0，+∞）單調遞增，在（﹣∞，0）單調遞減，比較三個變量的絕對值大小可得．【解答】解：∵定義在R上的函數f（x）=2|x﹣m|﹣1（m為實數）為偶函數，∴f（﹣1）=f（1），即2|﹣1﹣m|﹣1=2|1﹣m|﹣1，解得m=0，∴f（x）=2|x|﹣1在（0，+∞）單調遞增，在（﹣∞，0）單調遞減，∵2﹣3=∈（0，1），3m=1，|log0.53|=log23＞1，∴f（2﹣3）＜f（3m）＜f（log0.53），即a＜b＜c故選：A6.有二種產品，合格率分別為0.90，0.95，各取一件進行檢驗，恰有一件不合格的概率為（）A． 0.45 B． 0.14 C． 0.014 D． 0.045參考答案：B略7.函數f（x）=ln（x+1）+ln（x﹣1）+cosx的圖象大致是（）A． B．C． D．參考答案：A【考點】函數的圖象．【分析】先求出函數的定義域，排除CD，再根據函數值得變化趨勢判斷即可【解答】解：函數f（x）=ln（x+1）+ln（x﹣1）+cosx，則函數的定義域為x＞1，故排除C，D，∵﹣1≤cosx≤1，∴當x→+∞時，f（x）→+∞，故選：A．8.設z=1–i（i是虛數單位），則復數的虛部是A．1

B．－1

C．i

D．－i參考答案：A因為z=1–i（i是虛數單位），所以復數，所以復數的虛部是1.9.已知的展開式中常數項為－40,則a的值為（

）A.2

B.－2

C.±2

D.4參考答案：C10.已知復數(其中i為虛數單位)，則其共軛復數的虛部是（

）A．i

B． 1 C．－i

D．－1參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知tan=，tan（）=，則tan=

．參考答案：12.曲線在點的切線方程是________________．參考答案：略13.若不等式成立的充分不必要條件是，則實數的取值范圍是

.

參考答案：14.如右圖,設A、B、C、D為球O上四點，若AB、AC、AD兩兩互相垂直，且，，則A、D兩點間的球面距離

。參考答案：因為AB、AC、AD兩兩互相垂直，所以分別以AB、AC、AD為棱構造一個長方體，在長方體的體對角線為球的直徑，所以球的直徑，所以球半徑為,在正三角形中，，所以A、D兩點間的球面距離為.15.一組樣本數據的莖葉圖如右：，則這組數據的平均數等于________________．參考答案：略16.已知，，則．參考答案：略17.已知

.參考答案：

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.設f（x）=px﹣﹣2lnx．（Ⅰ）若f（x）在其定義域內為單調遞增函數，求實數p的取值范圍；（Ⅱ）設g（x）=，且p＞0，若在[1，e]上至少存在一點x0，使得f（x0）＞g（x0）成立，求實數p的取值范圍．參考答案：考點：利用導數求閉區間上函數的最值；利用導數研究函數的單調性．專題：綜合題；壓軸題．分析：（I）由f（x）=px﹣﹣2lnx，得=．由px2﹣2x+p≥0在（0，+∞）內恒成立，能求出P的范圍．（II）法1：g（x）=在[1，e]上是減函數，所以g（x）∈[2，2e]．原命題等價于[f（x）]max＞[g（x）]min=2，x∈[1，e]，由，解得p＞，由此能求出p的取值范圍．法2：原命題等價于f（x）﹣g（x）＞0在[1，e）上有解，設F（x）=f（x）﹣g（x）=px﹣﹣2lnx﹣，由=，知F（x）是增函數，由[F（x）]max=F（e）＞0，能求出p的取值范圍．解答： 解：（I）由f（x）=px﹣﹣2lnx，得=．…要使f（x）在其定義域（0，+∞）內為單調增函數，只需f′（x）≥0，即px2﹣2x+p≥0在（0，+∞）內恒成立，…從而P≥1．…（II）解法1：g（x）=在[1，e]上是減函數，所以[g（x）]min=g（e）=2，[g（x）]max=g（1）=2e，即g（x）∈[2，2e]．當0＜p＜1時，由x∈[1，e]，得x﹣，故，不合題意．…當P≥1時，由（I）知f（x）在[1，e]連續遞增，f（1）=0＜2，又g（x）在[1，e]上是減函數，∴原命題等價于[f（x）]max＞[g（x）]min=2，x∈[1，e]，…由，解得p＞，綜上，p的取值范圍是（，+∞）．…解法2：原命題等價于f（x）﹣g（x）＞0在[1，e）上有解，設F（x）=f（x）﹣g（x）=px﹣﹣2lnx﹣，∵=，∴F（x）是增函數，…∴[F（x）]max=F（e）＞0，解得p＞，∴p的取值范圍是（，+∞）．…點評：本題考查得用導數求函數最值的應用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．對數學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，是2015屆高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．19.設函數f(x)=(x－1)3－ax－b，x∈R，其中a，b∈R.（Ⅰ）求f(x)的單調區間；（Ⅱ）若f(x)存在極值點x0，且，其中x1≠x0，求證：x1+2x0=3；（Ⅲ）設a＞0，函數g(x)=|f(x)|，求證：g(x)在區間[0,2]上的最大值不小于.參考答案：（1）解：由，可得.下面分兩種情況討論：（a）當時，有恒成立，所以的單調遞增區間為.（b）當時，令，解得，或.當變化時，，的變化情況如下表：＋0－0＋單調遞增極大值單調遞減極小值單調遞增所以的單調遞減區間為，單調遞增區間為，.…3分（2）證明：因為存在極值點，所以由（1）知，且，由題意，得，即，所以.又，且，由題意及（1）知，存在唯一實數滿足，且，因此，所以；

………7分（3）證明：設在區間上的最大值為，表示兩數的最大值.下面分三種情況同理：（a）當時，，由（Ⅰ）知，在區間上單調遞減，所以在區間上的取值范圍為，因此，所以 .………9分（b）當時，，由（1）和（2）知，，，所以在區間上的取值范圍為，因此

.………10分（c）當時，，由（Ⅰ）和（Ⅱ）知，，，所以在區間上的取值范圍為，因此.綜上所述，當時，在區間上的最大值不小于.（其它解法請酌情給分。）……………12分20.（本小題滿分12分）

如圖，正四棱錐S-ABCD中，SA=AB，E、F、G分別為BC、SC、DC的中點，設P為線段FG上任意一點．

（l）求證：EP⊥AC;

（2）當直線BP與平面EFG所成的角取得最大值時，求二面角P-BD-C的大小．參考答案：(1)證：設AC交BD于O，

∵S－ABCD為正四棱錐，∴SO⊥底面ABCD，∴SO⊥AC

1分

又∵BD⊥AC，

又∵，∴. 4分(2)解：設AB=2，如圖建立空間直角坐標系，則

G(0，1，0)，E(1，0，0)，C(1，1，0)，S(0，0，)，F(，，)，B(1，，0) 5分

∴

設，

故點

∴ 6分

設面EFG的法向量為n=(abc)

∵

∴，令a=1得n=(1，1，0) 7分

設BP與平面EFG所成角為，則

= 8分

∵點P在線段FG上，∴，即=1時取最大值

此時點P與點F重合 9分

設二面角P－BD－C的大小為

∵點P到平面ABCD的距離為，點P到BD的距離為1 10分

則

∴二面角P－BD－C的大小為． 12分21.某地區有小學21所，中學14所，大學7所，現采取分層抽樣的方法從這些學校中抽取6所學校對學生進行視力調查．（1）求應從小學、中學、大學中分別抽取的學校數目．（2）若從抽取的6所學校中隨機抽取2所學校做進一步數據分析，求抽取的2所學校均為小學的概率．參考答案：考點：古典概型及其概率計算公式；分層抽樣方法．專題：概率與統計．分析：（1）先求出每個個體被抽到的概率，再用各個層的個體數乘以此概率，即得應從小學、中學、大學中分別抽取的學校數目．（2）根據所有的抽法共有=15種，其中抽取的2所學校均為小學的方法有=3種，由此求得抽取的2所學校均為小學的概率．解答： 解：（1）每個個體被抽到的概率等于=，故從小學、中學、大學中分別抽取的學校數目為21×=3，14×=2，7×=1．…（2）所有的抽法共有=15種，其中抽取的2所學校均為小學的方法有=3種，故抽取的2所學校均為小學的概率等于=．點評：本題主要考查分層抽樣的定義和方法，用每層的個體數乘以每個個體被抽到的概率等于該層應抽取的個體數，屬于基礎題．22.（本小題滿分12分）已知函數．（Ⅰ）求的最大值．（Ⅱ）對于數列，其前項和為，如果存在實數，使對任意成立，則稱數列是“收斂”的；否則稱數列的“發散”的．當時，請判斷數列是“收斂”的還是“發散”的？證明你的結論．參考答案：解：（Ⅰ）