概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程(第二版)-魏宗舒-第一章第一章事件與概率1.1寫(xiě)出下列隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間及表示下列事件的樣本點(diǎn)集合。(1)10件產(chǎn)品中有1件是不合格品，從中任取2件得1件不合格品。(2)一個(gè)口袋中有2個(gè)白球、3個(gè)黑球、4個(gè)紅球，從中任取一球，(ⅰ)得白球，(ⅱ)得紅球。(3)甲、乙兩人從裝有個(gè)白球與個(gè)黑球的口袋中輪流摸取一球，甲先取，乙后取，每次取后都有不放回，直到兩人中有一人取到白球時(shí)停止，甲先取到白球。解(1)記9個(gè)合格品分別為，記不合格為次，則(2)記2個(gè)白球分別為，，3個(gè)黑球分別為，，，4個(gè)紅球分別為，，，。則{，，，，，，，，}(ⅰ){，}(ⅱ){，，，}（3）表示白，表示黑白，表示黑黑白，…，則樣本空間{，，…，}，當(dāng)b被奇數(shù)時(shí)：當(dāng)b為偶數(shù)時(shí)：1.2在數(shù)學(xué)系的學(xué)生中任選一名學(xué)生，令事件A表示被選學(xué)生是男生，事件B表示被選學(xué)生是三年級(jí)學(xué)生，事件C表示該生是運(yùn)動(dòng)員。(1)敘述的意義。(2)在什么條件下成立？(3)什么時(shí)候關(guān)系式是正確的？(4)什么時(shí)候成立？解(1)事件表示該是三年級(jí)男生，但不是運(yùn)動(dòng)員。(2)等價(jià)于，表示全系運(yùn)動(dòng)員都有是三年級(jí)的男生。(3)當(dāng)全系運(yùn)動(dòng)員都是三年級(jí)學(xué)生時(shí)。(4)當(dāng)全系女生都在三年級(jí)并且三年級(jí)學(xué)生都是女生時(shí)`。1.3一個(gè)工人生產(chǎn)了個(gè)零件，以事件表示他生產(chǎn)的第個(gè)零件是合格品（）。用表示下列事件：(1)沒(méi)有一個(gè)零件是不合格品；(2)至少有一個(gè)零件是不合格品；(3)僅僅只有一個(gè)零件是不合格品；(4)至少有兩個(gè)零件是合格品。解(1);(2);(3);(4)原事件即“至少有兩個(gè)零件是合格品”，可表示為；1.4在分別寫(xiě)有2、4、6、7、8、11、12、13的八張卡片中任取兩張，把卡片上的兩個(gè)數(shù)字組成一個(gè)分?jǐn)?shù)，求所得分?jǐn)?shù)為既約分?jǐn)?shù)的概率。解樣本點(diǎn)總數(shù)為。所得分?jǐn)?shù)為既約分?jǐn)?shù)必須分子分母或?yàn)?、11、13中的兩個(gè)，或?yàn)?、4、6、8、12中的一個(gè)和7、11、13中的一個(gè)組合，所以事件“所得分?jǐn)?shù)為既約分?jǐn)?shù)”包含個(gè)樣本點(diǎn)。于是。1.5一個(gè)小孩用13個(gè)字母作組字游戲。如果字母的各種排列是隨機(jī)的（等可能的），問(wèn)“恰好組成“MATHEMATICIAN”一詞的概率為多大？解顯然樣本點(diǎn)總數(shù)為，事件“恰好組成“MATHEMATICIAN”包含個(gè)樣本點(diǎn)。所以1.6一幢10層樓的樓房中的一架電梯，在底層登上7位乘客。電梯在每一層都停，乘客從第二層起離開(kāi)電梯，假設(shè)每位乘客在哪一層離開(kāi)電梯是等可能的，求沒(méi)有兩位及兩位以上乘客在同一層離開(kāi)的概率。解每位乘客可在除底層外的9層中任意一層離開(kāi)電梯，現(xiàn)有7位乘客，所以樣本點(diǎn)總數(shù)為。事件“沒(méi)有兩位及兩位以上乘客在同一層離開(kāi)”相當(dāng)于“從9層中任取7層，各有一位乘客離開(kāi)電梯”。所以包含個(gè)樣本點(diǎn)，于是。1.7某城市共有10000輛自行車(chē)，其牌照編號(hào)從00001到10000。問(wèn)事件“偶然遇到一輛自行車(chē)，其牌照號(hào)碼中有數(shù)字8”的概率為多大？解用表示“牌照號(hào)碼中有數(shù)字8”，顯然，所以-1.8有5雙不同的鞋子，從中任取4只，問(wèn)沒(méi)有一雙配對(duì)的概率。解：鞋子都不同，所以樣本點(diǎn)總數(shù)為.A表示“沒(méi)有一雙配對(duì)”，則有利樣本空間為.所以1.9袋中裝有個(gè)黑球與個(gè)白球，把球隨機(jī)一只一只地摸出來(lái)（不放回），求第k次（）摸出黑球的概率。策略一:把a(bǔ)只黑球和b只白球都看成是不同的,將所有的球一一摸出來(lái)依次放在排成一直線的個(gè)位置上,則所有不同的排法有,作為基本事件全體;而其中第k個(gè)位置排黑球的方法有,故所求概率為策略二:把a(bǔ)只黑球和b只白球都看成是不同的,前k次摸出球的所有不同可能為,將其作為基本事件全體;而第k個(gè)位置排黑球的方法有,故所求概率為1.10任取一個(gè)正數(shù)，求下列事件的概率：(1)該數(shù)的平方的末位數(shù)字是1；(2)該數(shù)的四次方的末位數(shù)字是1；(3)該數(shù)的立方的最后兩位數(shù)字都是1；解(1)考慮一個(gè)數(shù)的平方的末位數(shù)字，只與這個(gè)數(shù)的末位數(shù)字有關(guān)，即末位數(shù)字的樣本總空間為10.當(dāng)該數(shù)的末位數(shù)是1、9之一時(shí)，事件A“該數(shù)平方的末位數(shù)是1”。即。(2)考慮一個(gè)數(shù)的四次方的末位數(shù)字，只與這個(gè)數(shù)的末位數(shù)字有關(guān)，即末位數(shù)字的樣本總空間為10.當(dāng)該數(shù)的末位數(shù)是1、3、7、9之一時(shí)，事件B“該數(shù)四次方的末位數(shù)是1”。即。(3)一個(gè)正整數(shù)的立方的最后兩位數(shù)字決定于該數(shù)的最后兩位數(shù)字，所以樣本空間包含個(gè)樣本點(diǎn)。用事件C表示“該數(shù)的立方的最后兩位數(shù)字都是1”，則該數(shù)的最后一位數(shù)字必須是1，設(shè)最后第二位數(shù)字為，則該數(shù)的立方的最后兩位數(shù)字為1和3的個(gè)位數(shù)，要使3的個(gè)位數(shù)是1，必須，因此C所包含的樣本點(diǎn)只有71這一點(diǎn)，于是.1.11一個(gè)人把6根草掌握在手中，僅露出它們的頭和尾。然后請(qǐng)另一個(gè)人把6個(gè)頭兩兩相接，6個(gè)尾也兩兩相接。求放開(kāi)手以后6根草恰好連成一個(gè)環(huán)的概率。并把上述結(jié)果推廣到根草的情形。解(1)6根草的情形。取定一個(gè)頭，它可以與其它的5個(gè)頭之一相接，再取另一頭，它又可以與其它未接過(guò)的3個(gè)之一相接，最后將剩下的兩個(gè)頭相接，故對(duì)頭而言有種接法，同樣對(duì)尾也有種接法，所以樣本點(diǎn)總數(shù)為。用表示“6根草恰好連成一個(gè)環(huán)”，這種連接，對(duì)頭而言仍有種連接法，而對(duì)尾而言，任取一尾，它只能和未與它的頭連接的另4根草的尾連接。再取另一尾，它只能和未與它的頭連接的另2根草的尾連接，最后再將其余的尾連接成環(huán)，故尾的連接法為。所以包含的樣本點(diǎn)數(shù)為，于是(2)根草的情形和(1)類(lèi)似得1.12某公共汽車(chē)站每隔5分鐘有一輛汽車(chē)到達(dá)，乘客到達(dá)汽車(chē)站的時(shí)刻是任意的，求一個(gè)乘客候車(chē)時(shí)間不超過(guò)3分鐘的概率。解：以x，y分別表示汽車(chē)和乘客到達(dá)車(chē)站的時(shí)間，則事件A“若乘客在候車(chē)時(shí)間不超過(guò)三分鐘能坐上車(chē)”時(shí)，滿足以下條件，在平面上建立直角坐標(biāo)系，則（x，y）的所有可能結(jié)果是邊長(zhǎng)為5的正方形，而滿足事件A的情況由陰影部分所表示，這是一個(gè)幾何概率問(wèn)題，由等可能性知所求概率為。1.13在中任取一點(diǎn)，證明的面積之比大于的概率為。解截取，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)落入之內(nèi)時(shí)的面積之比大于，因此所求概率為。1.14在線段上任取三點(diǎn)，求：(1)位于之間的概率。(2)能構(gòu)成一個(gè)三角形的概率。解(1)(2)1.15己知不可能事件的概率為零，現(xiàn)在問(wèn)概率為零的事件是否一定為不可能事件？試舉例說(shuō)明之。解概率為零的事件不一定是不可能事件。例如向長(zhǎng)度為1的線段內(nèi)隨機(jī)投點(diǎn)。則事件“該點(diǎn)命中的中點(diǎn)”的概率等于零，但不是不可能事件。1.16設(shè)、為兩個(gè)隨機(jī)事件，證明：(1);(2).證明(1)=(2)由(1)和得第一個(gè)不等式，由概率的單調(diào)性和半可加性分別得第二、三個(gè)不等式。1.17對(duì)于任意的隨機(jī)事件、、，證明：證明1.18設(shè)A,B,C是三個(gè)隨機(jī)事件，且,.求。解：因?yàn)椋浴t1.19在某城市中共發(fā)行三種報(bào)紙：甲、乙、丙。在這個(gè)城市的居民中，訂甲報(bào)的有45%，訂乙報(bào)的有35%，訂丙報(bào)的有30%，同時(shí)訂甲、乙兩報(bào)的有10%，同時(shí)訂甲、丙兩報(bào)的有8%，同時(shí)訂乙、丙兩報(bào)的有5%，同時(shí)訂三種報(bào)紙的有3%，求下述百分比：(1)只訂甲報(bào)的；(2)只訂甲、乙兩報(bào)的；(3)只訂一種報(bào)紙的；(4)正好訂兩種報(bào)紙的；(5)至少訂一種報(bào)紙的；(6)不訂任何報(bào)紙的。解事件表示訂甲報(bào)，事件表示訂乙報(bào)，事件表示訂丙報(bào)。(1)==30%(2)(3)++=++=73%(4)(5)(6)1,20設(shè)為n個(gè)隨機(jī)事件，證明：（1）(2)證明：（1）應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法當(dāng)n=1,2時(shí)等式成立，假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，等式成立，即當(dāng)n=k+1時(shí)，而則上式=所以當(dāng)n=k+1時(shí)也成立。綜上所述，（1）式成立。同理可得（2）。1.21某班有個(gè)學(xué)生參加口試，考簽共N張，每人抽到的考簽用后即放回，在考試結(jié)束后，問(wèn)至少有一張考沒(méi)有被抽到的概率是多少？解用表示“第張考簽沒(méi)有被抽到”，。要求。，，……，，……所以1.22從階行列式的一般展開(kāi)式中任取一項(xiàng)，問(wèn)這項(xiàng)包含主對(duì)角線元素的概率是多少？解階行列式的展開(kāi)式中，任一項(xiàng)略去符號(hào)不計(jì)都可表示為，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)呐帕兄写嬖谑箷r(shí)這一項(xiàng)包含主對(duì)角線元素。用表示事件“排列中”即第個(gè)主對(duì)角線元素出現(xiàn)于展開(kāi)式的某項(xiàng)中。則，……所以1.23已知一個(gè)家庭中有三個(gè)小孩，且其中一個(gè)是女孩，求至少有一個(gè)男孩的概率（假設(shè)一個(gè)小孩是男孩或是女孩是等可能的）。解用分別表示男孩和女孩。則樣本空間為：其中樣本點(diǎn)依年齡大小的性別排列。表示“有女孩”，表示“有男孩”，則1.24設(shè)件產(chǎn)品中有件是不合格品，從中任取兩件，(1)在所取產(chǎn)品中有一件是不合格品的條件下，求另一件也是不合格品的概率。(2)在所取產(chǎn)品中有一件是合格品的條件下，求另一件也是不合格品的概率。解（1）設(shè)表示“所取產(chǎn)品中至少有一件是不合格品”，表示“所取產(chǎn)品都是不合格品”，則(2)設(shè)表示“所取產(chǎn)品中至少有一件合格品”，表示“所取產(chǎn)品中有一件合格品，一件不合格品”。則1,25設(shè)，已知。證明：。證明：1.26設(shè),試證，且當(dāng)時(shí)，求。解：因?yàn)樗远?dāng)時(shí)，，則.1.27舉例說(shuō)明：對(duì)任意兩個(gè)事件A,B，無(wú)條件概率與條件概率之間沒(méi)有固定的大小關(guān)系。解：設(shè)，則且所以1.28個(gè)人用摸彩的方式?jīng)Q定誰(shuí)得一張電影票，他們依次摸彩，求：(1)已知前個(gè)人都沒(méi)摸到，求第個(gè)人摸到的概率；(2)第個(gè)人摸到的概率。解設(shè)表示“第個(gè)人摸到”，。(1)(2)1.29袋中裝有1個(gè)黑球和n-1個(gè)白球，每次從中隨機(jī)摸出一球，并放入白球，連續(xù)進(jìn)行，問(wèn)第k次摸到白球的概率是多少？解：設(shè)A為第k次摸到白球，則表示第k次摸到的不是白球，即黑球，那么前k-1次摸到的全為白球。那么1.30已知一個(gè)母雞生個(gè)蛋的概率為，而每一個(gè)蛋能孵化成小雞的概率為，證明：一個(gè)母雞恰有個(gè)下一代（即小雞）的概率為。解用表示“母雞生個(gè)蛋”，表示“母雞恰有個(gè)下一代”，則1.31某射擊小組共有20名射手，其中一級(jí)射手4人，二級(jí)射手8人，三級(jí)射手7人，四級(jí)射手一人，一、二、三、四級(jí)射手能通過(guò)選拔進(jìn)入決賽的概率分別是0.9、0.7、0.5、0.2，求在一組內(nèi)任選一名射手，該射手能通過(guò)選拔進(jìn)入決賽的概率。解用表示“任選一名射手為級(jí)”，，表示“任選一名射手能進(jìn)入決賽”，則1.32某工廠的車(chē)床、鉆床、磨床、刨床的臺(tái)數(shù)之比為9:3:2:1，它們?cè)谝欢〞r(shí)間內(nèi)需要修理的概率之比為1:2:3:1。當(dāng)有一臺(tái)機(jī)床需要修理時(shí)，問(wèn)這臺(tái)機(jī)床是車(chē)床的概率是多少？解設(shè)分別表示車(chē)床、鉆床、磨床、刨床，B表示有一個(gè)機(jī)床需要修理，則，，，，，，由貝時(shí)葉斯公式得1.33設(shè),，，求，問(wèn)事件A與事件B是否獨(dú)立，為什么？解：由，，知,知因?yàn)椋约碅與B不相互獨(dú)立。1.34若A,B相互獨(dú)立，證明:中的任何一個(gè)事件與中的任何一個(gè)事件是相互獨(dú)立的。證明：因?yàn)椋瑢?duì)于任意的一個(gè)事件C，①因?yàn)?,即所以與任何事件都獨(dú)立；②