概率論與數理統計習題集及答案1-《概率論與數理統計》作業集及答案第1章概率論的基本概念§1.1隨機試驗及隨機事件1.(1)一枚硬幣連丟3次，觀察正面H﹑反面T出現的情形.樣本空間是：S=；(2)一枚硬幣連丟3次，觀察出現正面的次數.樣本空間是：S=；2.(1)丟一顆骰子.A：出現奇數點，則A=；B：數點大于2，則B=.(2)一枚硬幣連丟2次，A：第一次出現正面，則A=；B：兩次出現同一面，則=；C：至少有一次出現正面，則C=.§1.2隨機事件的運算1.設A、B、C為三事件，用A、B、C的運算關系表示下列各事件：(1)A、B、C都不發生表示為：.(2)A與B都發生,而C不發生表示為：.(3)A與B都不發生,而C發生表示為：.(4)A、B、C中最多二個發生表示為：.(5)A、B、C中至少二個發生表示為：.(6)A、B、C中不多于一個發生表示為：.2.設：則（1），（2），（3），（4）=，（5）=。§1.3概率的定義和性質已知，則(1),(2)()=,(3)=.2.已知則=.§1.4古典概型1.某班有30個同學,其中8個女同學,隨機地選10個,求:(1)正好有2個女同學的概率,(2)最多有2個女同學的概率,(3)至少有2個女同學的概率.2.將3個不同的球隨機地投入到4個盒子中,求有三個盒子各一球的概率.§1.5條件概率與乘法公式1．丟甲、乙兩顆均勻的骰子，已知點數之和為7,則其中一顆為1的概率是。2.已知則。§1.6全概率公式有10個簽，其中2個“中”，第一人隨機地抽一個簽，不放回，第二人再隨機地抽一個簽，說明兩人抽“中‘的概率相同。第一盒中有4個紅球6個白球，第二盒中有5個紅球5個白球，隨機地取一盒，從中隨機地取一個球，求取到紅球的概率。§1.7貝葉斯公式某廠產品有70%不需要調試即可出廠，另30%需經過調試，調試后有80%能出廠，求（1）該廠產品能出廠的概率，（2）任取一出廠產品,求未經調試的概率。將兩信息分別編碼為A和B傳遞出去，接收站收到時，A被誤收作B的概率為0.02，B被誤收作A的概率為0.01，信息A與信息B傳遞的頻繁程度為3:2，若接收站收到的信息是A，問原發信息是A的概率是多少？§1.8隨機事件的獨立性1.電路如圖，其中A,B,C,D為開關。設各開關閉合與否相互獨立，且每一開關閉合的概率均為p,求L與R為通路（用T表示）的概率。ABLRCD甲，乙,丙三人向同一目標各射擊一次，命中率分別為0.4,0.5和0.6，是否命中，相互獨立，求下列概率:(1)恰好命中一次,(2)至少命中一次。第1章作業答案§1.11：（1）；（2）2：（1）；（2）正正，正反正正，反反正正，正反，反正}。§1.21：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)或；2：(1)；(2)；(3)；（4）或；（5）。§1.31：(1)=0.3,(2)=0.2,(3)=0.7.2：)=0.4.§1.41：(1),(2)(,(3)1-(.2：.§1.51：.2/6；2：1/4。§1.61：設A表示第一人“中”，則P(A)=2/10設B表示第二人“中”，則P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)=兩人抽“中‘的概率相同,與先后次序無關。2：隨機地取一盒，則每一盒取到的概率都是0.5，所求概率為：p=0.5×0.4+0.5×0.5=0.45§1.71：（1）94%（2）70/94；2：0.993；§1.8.1：用A,B,C,D表示開關閉合，于是T=AB∪CD,從而，由概率的性質及A,B,C,D的相互獨立性P(T)=P(AB)+P(CD)-P(ABCD)=P(A)P(B)+P(C)P(D)–P(A)P(B)P(C)P(D)2：(1)0.4(1-0.5)(1-0.6)+(1-0.4)0.5(1-0.6)+(1-0.4)(1-0.5)0.6=0.38；(2)1-(1-0.4)(1-0.5)(1-0.6)=0.88.第2章隨機變量及其分布§2.1隨機變量的概念，離散型隨機變量1一盒中有編號為1，2，3，4，5的五個球，從中隨機地取3個，用X表示取出的3個球中的最大號碼.,試寫出X的分布律.2某射手有5發子彈，每次命中率是0.4，一次接一次地射擊，直到命中為止或子彈用盡為止，用X表示射擊的次數,試寫出X的分布律。§2.2分布和泊松分布1某程控交換機在一分鐘內接到用戶的呼叫次數X是服從λ=4的泊松分布，求(1)每分鐘恰有1次呼叫的概率；(2)每分鐘只少有1次呼叫的概率；(3)每分鐘最多有1次呼叫的概率；2設隨機變量X有分布律：X23,Y～π(X),試求：p0.40.6（1）P(X=2,Y≤2)；(2)P(Y≤2)；(3)已知Y≤2,求X=2的概率。§2.3貝努里分布一辦公室內有5臺計算機，調查表明在任一時刻每臺計算機被使用的概率為0.6，計算機是否被使用相互獨立，問在同一時刻(1)恰有2臺計算機被使用的概率是多少？(2)至少有3臺計算機被使用的概率是多少？(3)至多有3臺計算機被使用的概率是多少？(4)至少有1臺計算機被使用的概率是多少？2設每次射擊命中率為0.2，問至少必須進行多少次獨立射擊，才能使至少擊中一次的概率不小于0.9？§2.4隨機變量的分布函數1設隨機變量X的分布函數是：F(x)=求P(X≤0)；P；P(X≥1)，(2)寫出X的分布律。2設隨機變量X的分布函數是：F(x)=,求（1）常數A,(2)P.§2.5連續型隨機變量1設連續型隨機變量的密度函數為：（1）求常數的值；（2）求X的分布函數F(x)，畫出F(x)的圖形，（3）用二種方法計算P(-0.5<X<0.5).2設連續型隨機變量的分布函數為：F(x)=求X的密度函數，畫出的圖形，(2)并用二種方法計算P(X>0.5).§2.6均勻分布和指數分布1設隨機變量K在區間(0,5)上服從均勻分布,求方程4+4Kx+K+2=0有實根的概率。2假設打一次電話所用時間（單位：分）X服從的指數分布，如某人正好在你前面走進電話亭，試求你等待：（1）超過10分鐘的概率；（2）10分鐘到20分鐘的概率。§2.7正態分布1隨機變量X～N(3,4),(1)求P(2<X≤5),P(-4<X≤10),P(|X|>2),P(X>3)；確定c，使得P(X>c)=P(X<c)。2某產品的質量指標X服從正態分布，μ=160，若要求P(120<X<200)≥0.80，試問σ最多取多大？§2.8隨機變量函數的分布1設隨機變量的分布律為；X012p0.30.40.3Y=2X–1,求隨機變量的分布律。2設隨機變量的密度函數為：，；求隨機變量Y的密度函數。3.設隨機變量服從（0，1）上的均勻分布，，求隨機變量Y的密度函數。第2章作業答案§2.11：X345p0.10.30.62：X12345p0.40.6×0.40.6×0.6×0.40.6×0.6×0.6×0.40.6×0.6×0.6×0.6×1§2.21：(1)P(X=1)=P(X≥1)–P(X≥2)=0.981684–0.908422=0.073262,(2)P(X≥1)=0.981684,(3)P(X≤1)=1-P(X≥2)=1–0.908422=0.091578。2：(1)由乘法公式：P(X=2,Y≤2)=P(X=2)P(Y≤2|X=2)=0.4×()=2（2）由全概率公式：P(Y≤2)=P(X=2)P(Y≤2|X=2)+P(X=3)P(Y≤2|X=3)=0.4×5+0.6×=0.27067+0.25391=0.52458（3）由貝葉斯公式：P(X=2|Y≤2)=§2.31：設X表示在同一時刻被使用的臺數，則X～B(5,0.6),(1)P(X=2)=(2)P(X≥3)=(3)P(X≤3)=1-(4)P(X≥1)=1-2：至少必須進行11次獨立射擊.§2.41：（1）P(X≤0)=0.5；P=0.5；P(X≥1)=0.5，(2)X的分布律為：X-11P0.50.52：(1)A=1,(2)P=1/6§2.51：（1），（2）；（3）P(-0.5<X<0.5)=；或=F(0,5)–F(-0.5)=。2：（1）（2）§2.61：3/52：§2.71：(1)0.5328,0.9996,0.6977,0.5；(2)c=3，2：σ≤31.25。§2.81：Y-113p0.30.40.32：，3：；第3章多維隨機變量§3.1二維離散型隨機變量設盒子中有2個紅球，2個白球，1個黑球，從中隨機地取3個，用X表示取到的紅球個數，用Y表示取到的白球個數，寫出(X,Y)的聯合分布律及邊緣分布律。設二維隨機變量的聯合分布律為：XY012試根椐下列條件分別求a和b的值；00.10.2a(1)；10.1b0.2(2)；(3)設是的分布函數，。§3.2二維連續型隨機變量的聯合密度函數為：求（1）常數k；（2）P(X<1/2,Y<1/2)；(3)P(X+Y<1)；(4)P(X<1/2)。2．的聯合密度函數為：求（1）常數k；（2）P(X+Y<1)；(3)P(X<1/2)。§3.3邊緣密度函數設(X,Y)的聯合密度函數如下，分別求與的邊緣密度函數。2.設(X,Y)的聯合密度函數如下，分別求與的邊緣密度函數。§3.4隨機變量的獨立性(X,Y)的聯合分布律如下，XY123試根椐下列條件分別求a和b的值；11/61/91/18(1)；2ab1/9(2)；（3）已知與相互獨立。(X,Y)的聯合密度函數如下，求常數c，并討論與是否相互獨立？第3章作業答案§3.11：XY122：(1)a=0.1b=0.310.40.30.7(2)a=0.2b=0.220.30.0.3(3)a=0.3b=0.10.70.31§3.21：(1)k=1；(2)P(X<1/2,Y<1/2)=1/8；(3)P(X+Y<1)=1/3；(4)P(X<1/2)=3/8。2：(1)k=8；(2)P(X+Y<1)=1/6；(3)P(X<1/2)=1/16。§3.31：；；2：；；§3.41：（1）a=1/6b=7/18；(2)a=4/9b=1/9；（3）a=1/3,b=2/9。2：c=6,X與Y相互獨立。第4章隨機變量的數字特征§4.1數學期望1．盒中有5個球，其中2個紅球，隨機地取3個，用X表示取到的紅球的個數，則EX是：（A）1；（B）1.2；（C）1.5；（D）2.設有密度函數：,求,并求大于數學期望的概率。設二維隨機變量的聯合分布律為：XY012已知，00.10.2a則a和b的值是：10.1b0.2（A）a=0.1,b=0.3；（B）a=0.3,b=0.1；（C）a=0.2,b=0.2；（D）a=0.15,b=0.25。4．設隨機變量(X,Y)的聯合密度函數如下：求。§4.2數學期望的性質1．設X有分布律：X0123則是：p0.10.20.30.4（A）1；（B）2；（C）3；（D）4.設有，試驗證，但與不相互獨立。§4.3方差丟一顆均勻的骰子，用X表示點數，求.有密度函數：，求D(X).§4.4常見的幾種隨機變量的期望與方差設,,相互獨立，則的值分別是：-1.6和4.88；（B）-1和4；（C）1.6和4.88；（D）1.6和-4.88.2.設，與有相同的期望和方差，求的值。（A）0和8；（B）1和7；（C）2和6；（D）3和5.§4.6獨立性與不相關性矩1．下列結論不正確的是（）（A）與相互獨立，則與不相關；（B）與相關，則與不相互獨立；（C），則與相互獨立；（D），則與不相關；2．若，則不正確的是（）（A）；（B）；（C）；（D）；3．（）有聯合分布律如下，試分析與的相關性和獨立性。XY－101.－11/81/81/801/801/811/81/81/84．是與不相關的（）（A）必要條件；（B）充分條件：（C）充要條件；（D）既不必要，也不充分。5.是與相互獨立的（）必要條件；（B）充分條件：（C）充要條件；（D）既不必要，也不充分。6.設隨機變量(X,Y)有聯合密度函數如下：試驗證與不相關，但不獨立。第4章作業答案§4.11：B；2：3/2,2,3/4,37/64；3：D；4：2/3，4/3，17/9；§4.21：D；§4.31：7/2,35/12；2：11/36；§4.41：A；2：B；§4.51：0.2，0.355；2：－1/144,－1/11；§4.61：C；2：C；3：與不相關，但與不相互獨立；4：C；5：A；第5章極限定理*§5.1大數定理§5.2中心極限定理一批元件的壽命（以小時計）服從參數為0.004的指數分布，現有元件30只，一只在用，其余29只備用，當使用的一只損壞時，立即換上