專題復習（一）數列

（-）知識梳理

1、等差數列（其中犯〃,p,q,kGN+）

（1）等差數列的通項公式：4=%+（〃—1）4推廣形式：an=am+（n-m）d

（2）等差數列的前n項和公式：=

〃+。

（3）a,b,c成等差數列=2/j=a+c或》=幺」

2

（4）已知｛4｝為等差數列，^m+n-p+q,則+=4+4.

特別地，若〃?+〃=2左，則am+an=2ak.

（5）若｛a,,｝為等差數列，前n項和為S.，

則S“，52n-5?,S3n-S2n,……也成等差數列?

（6）等差數列的判定：

①定義法：*-a.=d（常數）=>數列｛%｝為等差數列.

②等差中項法：24=??_1+an+ln數列｛%｝為等差數列.

（7）等差數列前n項和S“=〃q+曳pd,則使S,最大（或最小）的序號n的求法:

方法一：前n項和公式可以寫成S“=g〃2+（%—：1）〃，

因此可以利用二次函數來求n的值；

a>0

方法二：①當4>0,d<0時，前n項和有最大值，由"一八求得n的值；

1??+1《。

an<0

②當qvO,d>0時，前n項和有最小值，由〃八求得n的值.

1-N0

2、等比數列（其中叫n,p,q,kwN.）

nn

（1）等比數列的通項公式：a“=%qi推廣形式：an=an,q-'

na^q=1

（2）等比數列的前n項和公式：Slt=<4（l—q"）_a「a“q°豐1

.1-q="q"

(3)a,b,c成等比數列n。？=ac或/?=±J^Z

(4)已知｛%｝為等比數列，若m+n=p+q,則a“=4,4.

特別地，若，”+〃=23則anian=a；.

(5)若｛%｝為等比數列，前n項和為5.，

則S“，S2n-Sn,Sin-S2n.....也成等比數列.

(6)等比數列的判定：

①定義法：智=q(常數)=數列｛a,,｝為等比數列.

②等比中項法：4=a,-a?+l=>數列｛q｝為等比數列.

3、求數列通項公式的常用方法

(1)已知數列｛%｝的前n項和S“=2〃2+〃+l,求數列｛%｝的通項公式.

分析：可以利用公式為[c進行求解.

解：當“22時，=S?-S?_,=2n2+n+1-[2(n-1)2+(n-1)+1]

=2n2+〃+l—(2/-4n+2+n—1+1)

=2n2+n+\—2n2+3n-2

=4n-l①

當幾=1時，4=S]=4不適合①式

4〃=1

數列｛q｝的通項公式為%=<9

[4n-l,n>2

(2)已知數列｛4｝的前n項和S.=2a”+3,求數列｛4｝的通項公式.

S,,n=1

分析：可以利用公式q'。進行求解.

⑸-S"22

解：當〃22時，an=Sn-Sn_x=2an+3-(2an_t+3)=2an-2an_x

/.an-2a〃_i即2-=2(fi>2

2

當〃=1時，q=S[=2q+3ax=—3

.,.數列｛%｝是首項為-3,公比為2的等比數列..?.%=—3X2"T(〃GM)

(3)已知數列｛4｝中，q=l,且a,用一a,,=2",求數列｛%｝的通項公式.

分析：形如a?+1-a?=/(〃)可以利用累加法進行求解.

解：%-a”=2"

a2-4=2

q一出=2~

%一%=2'

將以上各式累加，得4—4=2+2?+23+2〃-|=苫三11=2"一2

，q,=2"-2+1=2”—1(〃22)①顯然％=1適合①式

G

二數列｛4｝的通項公式為an=2"—1(“NJ

(4)已知數列｛4｝中，q=l,且第=島，求數列｛4｝的通項公式.

分析：形如&a=/(〃)可以利用累乘法進行求解.

a2_1

%2

&=2

a23

幺=3

?34

3

4」T

%n

將以上各式累乘，得女堂幺2=1x2x3—,即&=,

a

a｝a2%n-\234na｝n

a=—(n>2)①顯然4=1適合①式

nn

數列｛4｝的通項公式為a?=：(〃€—)

(5)已知數列｛4｝中，4=1,且4川=24+3,求數列｛4｝的通項公式.

分析：形如?,=+左可以通過構造一個等比數列｛《,+進行求解.

1+1manp｝

解：。,用=2%+3:.設a.+i+p=2@,+p'

即4+1=24+〃p=3；.。,什］+3=2幻+3

即一用+3=2又4+3=1+3=

4+3

二數列｛《,+3｝是首項為4,公比為2的等比數列.

二n+i

a“+3=4x2"T=2T:.an=2e/y

(6)已知數列&｝中，q=l,且見+產景R，求數列｛4｝的通項公式?

分析：通過取倒數進行求解.

兩邊取倒數，得二一=冬山=2+'-——-=2

%a?a,.all+lan

而L=i數列]-L是首項為i,公差為2的等差數列.

4la,.]

=1+(H-1)X2=2H-1.?.q,=—^―(〃eN+)

a.2〃-1

4

求數列通項公式練習題

(1)已知數列｛4｝的前n項和Sn=3/+〃，求數列｛q｝的通項公式.

(2)已知數列｛4｝的前n項和5?=3all+]+4,求數列｛4｝的通項公式.

(3)已知數列｛”“｝中，4=1,且4川=2〃，求數列｛?,｝的通項公式.

(4)已知數列｛4｝中，q=l,且誓=號，求數列｛《,｝的通項公式?

(5)已知數列｛q｝中，q=1,且4,=4??_,+3(〃>2),求數列｛q｝的通項公式.

(6)已知數列｛q｝中，q=l,且勺=(〃N2),求數列｛%｝的通項公式.

3a“_1+1

5

4、數列求和的常用方法

<1>分組求和法：就是將數列的項分成二項，而這兩項往往是常數或是等差（比）數列，進而利用等差

數列或等比數列的求和方法分別求和，然后再合并，從而得到該數列的和.

例題：若數列｛叫的通項公式為為=2"+2〃，求數列｛4｝的前n項和5“.

解：S?=q+4+?3+

=2'+2xl+22+2x2+23+2x3++2"+2〃

=(21+22+23++2")+2(1+2+3++〃)

2x(1—2")“〃(1+〃)

=----------+2x-------

1-22

=2m—2+〃(〃+1)

<2>裂項相消法：將數列中的每項（通項）分解，然后重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和

的目的.

適用范圍：通項公式是一個分式的形式，并且分母是兩個一次因式的乘積.

常見裂項公式：-------=-------

------------=~(~-----------)

(2n-l)(2n+l)22〃-12〃+1

---=-(-------)

〃(〃+%)knn+k

I-------產=~+Z-Vn)

+kk

例題：已知數列｛%｝的通項公式為4“J+2），求數列｛%｝的前n項和1,.

11

解：a”)

〃(〃+2)2nn+2

1

——(Id----

22n+1n+2

3?2+5〃

4(〃+l)5+2)

6

<3>錯位相減法：①列出前n項和②乘公比③錯位相減④整理得到前n項和的值

適用范圍：適用于｛q｝是等差數列，他,｝是等比數列，求數列｛4d｝的前n項和7；.

例題：已知數列｛4｝的通項公式為。“=〃最，求數列｛4｝的前n項和7；,.

解：7；=lx；+2x*+3x*+(〃-1)擊+①

=lxJ+2x—+%—++我/"國②

1(一)

①-②得匕」+一〃一〃+2

11=LL23+-L-nJn-+l=2__2_L+'=i_L

，行22222"2112"2"2向

1--

2

FC〃+2

??1=2-----

〃2"

(二)歷年高考真題訓練

1、（2011年高考全國卷I）等比數列｛4｝的各項均為正數，且24+34=1，后=9a2a6.

(I)求數列｛a,,｝的通項公式；

(II)設b“=log,O]+log3%+...+log3求數列，—,的前n項和.

7

2、(2014年高考全國卷I)已知數列｛叫的前〃項和為S“，4=1,「0,tzA+1=2S?-l,其中

4為常數.

(I)證明:an+2-an=2；

(II)是否存在4,使得｛4｝為等差數列？并說明理由.

3、(2014年高考全國卷H)已知數列｛3｝滿足％=1,an+i=3an+\.

(I)證明是等比數列，并求｛《,｝的通項公式：

1113

(H)證明一+—+

4a2a?2

8

4、(2015年高考全國卷I)S?為數列｛4｝的前〃項和，已知4>0,。；+2%=4s“+3.

(I)求也｝的通項公式；

(II)設％=」一錯誤!未找到引用源。，求數列｛"｝的前〃項和.

《4+1

5、(2016年高考全國卷HI)已知數列｛4｝的前n項和S“=I+%,,其中4x0

(I)證明｛q｝是等比數列，并求其通項公式；

31

(II)若既=一，求X.

9

歷年高考真題訓練參考答案

1、解：（I）設數列｛%｝的公比為q,

由抬=9〃2。6，得=9。：=/==§

由己知可得為>0,故4

由2〃1+3%=1,得2q+3qq=1=>q=；

數列｛《｝的通項公式為4=9(y=..

(H)由(I)知，a.《

b“=log3%+log3a2+...+log3an=log,1+log3"++log3*

=-(1+2++”)

n(n+l)

-r~

i2〃

???數歹！］｛'｝的前n項和為——

bn〃+1

aa,=AS-1①

2、解：（I）證明：當2時，（〃川+n―

①-②，得必,用一%4=4(5”一5,1)=4,(%—4-)=%,

4產°?,?4+「4-1=2，即4+2—4=丸?

（II）存在.

理由如下：假設存在4,使得｛%｝為等差數列，則有2%

10

由已知有4=1,44-1.,.生=2-1

由(I)知，q=/l+l

2(4—1)=l+A+l=>/1=4+2—an=4

二數列｛4一1｝是首項為1，公差為4的等差數列，=1+("-1)X4=4〃—3=2(2〃-1)-1

數列｛4“｝是首項為3,公差為4的等差數列，4“=3+(〃—l)x4=4〃-l=2x(2〃)—l

對于任意的〃eN*,an=2n-\又an+x-an=2

：.數列｛%｝是首項為1.公差為2的等差數列.

假設成立，故存在％=4使得數列｛%｝為等差數列.

3、解：(I)

(法一)證明:4+i=3a“+l..?設+/L=30“+；l

a.,“+=13an+2/12A=k=>A=—2

1

+-

11%2

a,用+]=3(a“+5)=>—3

1

a+—

一-,,2

又q+LO

1222

二數列”,+g3

是首項為大,公比為3的等比數列.

2

a.+；=|x3"T_3"3"1_3"-1

222

3〃_1

數列｛a,｝的通項公式為a?=y.

(法二)證明：all+i=3an+]

1c.10/1、

a+

?+i23%+1+53(a“+-)

r=1-=r~=3

an+a，，+2""+2

數列是首項為g,公比為3的等比數列.

11

13n-l

2-2

3"-1

.??數列｛q,｝的通項公式為%=35」.

3"-112

(H)證明：由(I)知凡-

'2a3"-]

n>l=>n-l>03n-1>3°=8一至一"3

I<--------

3n-l2X3"T

1,111"(1一三)313

+—<l+-+-r++—r=--------=-(1-----------)<-

2

an333"TJ_123"2

~3

±3

+2

4、解：（I）當〃=1時，《+冽=45]+3=44+3=4=3或4=一1（舍去）.

a-+3①

當“22時，+2??_.=45?_,+3②

①-②，得a；+2q,-(a；_]+2a,l_l)=4atl

(??+?,.->)=2(a“+

??>0=2

數列&｝是首項為3,公差為2的等差數列.

?'.a”=3+（九一l）x2=2〃+l.

(II)由(I)知,—：—=____：____=_(_I____2_)

(2〃+1)(2〃+3)22n+l2〃+3

.??數列｛2｝前n項和為:

4+4++b=-——)+++(------------)]=—(-------—)=---.

”235572〃+12〃+3232〃+36〃+9

5、解：(I)由題意得a[=&=1+初

故2w1,4=------4w0

1-291

12

，=1+4①

當〃22時，5?_,=1+^?_,②

①-②，得瑪=幽,一2%_]=>4（2-1）=%1

由4聲0,得。”/0.?.嗅=工一.

a

n力-1

1J

；.數列他“｝是首項為士，公比為E的等比數列.

）n-'.

"1-22-1

122

（II）由（I）得S〃=l+；l—!-（3）"T=l—（3）”

"i-z2-rz-r

由勒=||得i-（/產得

32A—13Z

即（￡）5=（，解得2=—1.

專題復習（二）——三角函數

（-）知識梳理

TT

1=---rad~0.01745rad

180

1、角度制與弧度制的互化<

?57.30

①弧長/=aR

弧度制土191（。為弧度）

②扇形面積S=-aR-=-lR

22

扇形公式〈〃兀R

①弧長/=

180

角度制（〃為角度）

②扇形面積s=M

360

13

sina-±A/1-COS2a

?sin2cjf+cos2a=1=><cosa-±Vl-sin2a

(其中“土”由a所在象限確定)

②tana=2

3、同角三角函數恒等式1

“土”由a所在象限確定）

sin(a+2k7i)=sinasin()+a)=-sina

公式一<cos(6r+2k7v)=cosa公式二<cos(i+a)=-cosa

tan(a+2k兀)=tanatan(乃+a)=tana

sin(-a)=-sinasin(〃一a)=sina

公式三1cos(-of)=cosa公式四｛cos(乃一a)=-cosa

tan(-a)=tanatan(〃一a)=—tana

誘導公式sin(-----a)=cosasin(——F?)=cosa

2

公式五公式六,一

/冗X.

cos(--a)=sinacos(—+a)=-sina

加

s一./乃、

2-a)=-cos?sin(—+a)=-cosa

推論1

AKin(

冽推論2

cOS一,3萬、.

2-a)=~sinacos(—+a)=sma

I

cos(cr-/?)=cosacos夕+sinasin0

余余正正號相反

cos(a+夕)=cosacos/?一sinasin(3

sin(a一夕)=sinacosp-cosasin0

正余余正號相同

5、差(和)角公式sin(a+￡)=sinacos夕+cosasina

/八、tana—tan￡

tan(a.0)=---------------

1+tanortanp

/c、tanQ+tan

tan(Q+J3)=---------------

1-tanatan0

14

sin2a=2sinacosansinacosa=—sin2a

2

cos2a=cos2a-sin2a

22

6、二倍角公式（倍角公式）.COc2/y-17cinzy—seinzy-'-COS2a

一,一2

-c2i21+cos2a

cos2a=2cos-?-1=>cosa=---------

2

32tana

1-tana

①，一=上-==2R（R為A/1BC外接圓的半徑）

sinAsinBsinC

②。=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC

7、正弦定理及推論.@sinA=—,sinB=—,sinC--

2R2R2R

@a:/?:c=sinA:sinB:sinC

有。sinAasinAbsinB

bsinBcsinCcsinC

2/2,b2+c2-a2

a=b+c-2Z?ccosA=>cosA=----------

2bc

8、余弦定理及推論.h2=a2+c2-2accosB=>cosB=-———

lac

22^,2a2+b2-c2

c=a+h-29?PACOSC=>cosrC=----------

lab

S=L"（a為底,h為高）

2

三角形面積公式』（人+）（為內切圓的半徑）

9、Js=ra+crA4BC

2

S=—absinC=—acsinB=—hesinA

222

尸AsinM+e）+A）最小正周期為廣普

10、求最小正周期的公式|y=Acos（s+8）+k/囪

y=Atan（s+e）+左的最小正周期為丁二g

15

(1)定義域：R，值域:[-1,1]

在+2%)二+2丘],ZeZ單調遞增;

(2)單調性22；

在-+2k7v,—+2k7r，4eZ單調遞減

當且僅當產y+2k兀(keZ)時，y

11、正弦函數丫二§也、ma!

(3)最值,

當且僅當x=-/+2^^eZ)時，ymin=-1.

(4)周期性：周期為24萬(％eZ且k/0),最小正周期為2乃.

(5)奇偶性：y=sinx為RE1的奇函數.

-①為軸對稱圖形，對稱軸為x=—+&肛ZeZ;

(6)對稱性《

②為中心對稱圖形，對稱中心為(k小G),keZ.

嚴sinxR

-^4n-3^\-2nM

(1)定義域：R,值域:[-1,1]

%、一’在[-萬+2癡,2版■],%eZ單調遞增;

(2)單倜性IL」

在[24匹萬+2Z司/eZ單調遞減.

⑶最值(當且僅當x=2而(keZ)時，)^=1；

(J))ExIS.\

12、余弦函數丫=?^「[當且僅當x=%+2"萬伏eZ)時，ymin=-1.

(4)周期性：周期為26'(ZeZ且4/0),最小正周期為2萬.

⑸奇偶性：y=cosx為R上的偶函數.

'①為軸對稱圖形，對稱軸為x=A;r,keZ;

(6)對稱性，rr

②為中心對稱圖形，對稱中心為(工+版■,()),AGZ.

I2

尸cosxR

16

⑴定義域:+Z肛ZeZ：，值域：R

(2)單調性：在開區間(-工+版■，工+%萬)次€2單調遞增.

22

13、正切函數丫=12城1(3)周期性：周期為的'(ZeZ且上。0),最小正周期為萬.

(4)奇偶性：y=tanx為奇函數.

'①不是軸對稱圖形；

(5)對稱性，k兀

②是中心對稱圖形，對稱中心為(絲,O)MwZ.

I2

14>簡諧運動y

①asinox+8coscox=Va2+h2sin（s+夕）（其中tan夕=-）

15、三角恒等變換之輔助角公式a

(其中a>0)②asina）x+bcoscox=\la2+b2cos（（yx-9）（其中tan（p=-）

b

輔助角公式的證明如下：

證明：asinCOX+bcosCOX=（2~+b~（―J,"/—sinCOX+―J,"/—cosCOX）,

ab

①令一,-=cos（D,-.-=sin（D,

貝（IasinCOX+bcosCOX=+b“（sinCOXcos（p+cosCOXsin（p）

17

yjCT+b~sin(COX+^?)(其中tanO=-)

a

b

②令/="sin5,j-------------------=cos(p，則

yja2+b2yja2+b2

da~+〃(sinCOXsin(p+cosCOXcos(p)

asinCOX+bcosCOX

cos(69%-9),(其中tan0=—)

b

b

注：其中0的大小可以由sin。、cos。的符號確定。的象限，再由tan0的值求出；或由tan0=一和

a

（a,b）所在的象限來確定.

例：化簡y=gsin2x+cos2x.

法一：逆用差（和）角公式

y=Gsin2x+cos2x=2(日sin2x+gcos2x)=2(sin2xcos+cos2xsin^-)=2sin(2x+令法

二：應用輔助角公式

y=A/3sin2x+cos2x=2sin(2x+—)(其中tan(p-)

6V336

（二）考點剖析

考點一：正、余弦定理，三角形面積公式的應用

An4

例1:在△A8C中，C=2B,77=1-

⑴求cosB；

（2）若BC=3,求S4ABC.

解：（1）由C=23和正弦定理得

AB_2

sinC=2sinBcosB=2*~r?sinC*cosBcosB=2AC=3

(2)設AC=3x,則43=4x.

由余弦定理得

22222

(3X)=(4X)+3-2X4XX3COSBf即9x='16x+9-16x

9

A7x2-16x+9=0解得x=l或％=,

當x=l時,AC=3,AB=4.?.S^A6c=3BAxBCxsin3=：x4x3x坐=24.

當工=3時，AC=亨，AB=^-:.S△ABC=^AXBCXSIII6=；x竿x3x坐=^/^.

18

考點二：利用正、余弦定理判斷三角形的形狀

例2:在△ABC中,a,b,c分別為內角A,B,C的對邊,且3siiiA=(2b+c)sin3+(2c+b)sinC.

(1)求角A的大小；

(2)若sin3+sinC=L試判斷△ABC的形狀.

解：(1)2asinA=(2b+c)sin6+(2c+b)sinC

由正弦定理得2/=(28+c))+(2c+mc,即〃2=52+02+加①

由余弦定理得a2=fe2+c2—2bccosA

12萬

/.-2Z?ccosA=bc^>cosA-——又0<A<%A-——.

23

(2)由①得sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC

又sinB+sinC=1sinB=sinC=；

jrjr

又0<B<—,0<C<—：.B=C.1△ABC是等腰三角形.

22

考點三：三角恒等變換之輔助角公式：asincox+bcoscox=Ja)+〃sin(s+e)(其中tan(p=—

a

例3：已知函數f(x)=2sinxcosx+2cos2%,xeR

(1)求f(x)的最小正周期及最大值；

(2)求函數f(x)的單調遞增區間；

1T

(3)若xw0,-,求函數f(x)的值域.

_2_

解：f\x)-2sinxcosx+2cos2x=sin2x+cos2x+1=esin(2x+—)+1

4

(1)f(x)的最小正周期為T=,=7，最大值為/(幻3=0+1.

TTTTTT

(2)由一5+2左乃<2x+—<—+2k7r,kGZ

33冗I//冗[.

得-----FK714XW-----FK7T,k0兀

88

37r7T

二函數f(x)的單調遞增區間為—3+%巴3+%萬,k^Z

88

,、八兀R?71571

(3)0<x<—/.—<2xH——

2444

二-----<sin(2x+—)<10<OsinX邛4)1

244

即。<f(x)<72+1.??函數f(x)的值域為[0,V2+1]

19

即時訓練：已知函數y=(sinx+cos%)2+2>/§cos2x-G，xeR

(1)求函數f(x)的最小正周期、最小值及單調遞減區間;

7T

(2)當0<x<一時，求函數f(x)的值域.

2

(三)歷年高題真題訓練

1、(2012年高考全國卷I)已知仇c分別為AABC的三個內角A,8,C的對邊，

acosC+>/3asinC—b—c-Q.

(I)求A；

(II)若a=2,A48c的面積為石，求"c.

2、(2013年高考全國卷I)如圖，在△ABC中，ZABC=90°,AB=0BC=1,

尸為△ABC內一點，ZBPC=90°.

(I)若PB=一,求出；

2

(II)若NAP3=150。，求tanNPBA.

20

3、(2013年高考全國卷II)ZkABC在內角A、B、C的對邊分別為a,b,c,已知a=bcosC+csinB。

(I)求B；

(II)若b=2,求aABC面積的最大值。

4,(2015年高考全國卷II)△ABC中，。是8c上的點，40平分NK4C,

△ABD面積是△AOC面積的2倍.

sin/8

(I)求

sinNC'

(II)若40=1,OC=乎，求8。和AC的長.

21

5、(2016年高考全國卷I)ABC的內角A,B,C的對邊分別別為a,b,c,已知

2cosC(?cosB+bcosA)=c.

(I)求C；

(II)若c=ABC的面積為主8,求ABC的周長.

2

6、(2017年高考全國卷I)4A5C的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知△ABC的面積為一一