廣西壯族自治區河池市金谷中學高三數學理下學期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知非零向量、，若與互相垂直，則等于（

）

A．

B．4

C．

D．2參考答案：D因為與互相垂直，所以（）·（）=0，從而，，，因此，故選擇D。注意結論：（）·（）的應用。2.復數Z的共軛復數為，且(i是虛數單位)，則在復平面內，復數Z對應的點位于(

)A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限參考答案：A∵∴，即.∴∴復數的對應點位于第一象限故選A.

3.在由四條直線圍成的區域內任取一點，這點沒有落在和軸所圍成區域內的概率是A．

B.

C.

D.

參考答案：A略4.已知正實數滿足，則以下不等式成立的是（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：C略5.設等比數列的公比，前項和為，則的值為

A.

B.

C.

D.參考答案：A略6.已知函數的定義域為，滿足，當時,，則函數的大致圖象是(

)參考答案：A7.已知直線，和平面，且．則“”是“”的（

）． A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：B由，若，則直線可能在平面內，可能，但當，時，可得，故“”是“”的必要不充分條件．故選．8.設是定義在R上的可導函數,當x≠0時,,則關于x的函數的零點個數為(

)A．l B．2 C．0 D．0或2參考答案：C

9.（）（A） （B） （C）

（D）參考答案：B略10.函數y=x+（x＞0）的最小值是（）A．1B．2C．﹣2D．以上都不對參考答案：B考點：基本不等式．專題：不等式的解法及應用．分析：利用基本不等式的性質即可得出．解答：解：∵x＞0，∴y=x+=2，當且僅當x=1時取等號．∴函數y=x+（x＞0）的最小值是2．故選：B．點評：本題考查了基本不等式的性質，屬于基礎題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在中，已知分別為，，所對的邊，為的面積．若向量滿足，則=

．參考答案：12.（幾何證明選做題）如圖，已知圓中兩條弦AB與CD相交于點F，E是AB延長線上一點，且DF=CF=，AF：FB：BE=4：2：1，若CE與圓相切，則線段CE的長為___．參考答案：13.已知函數f（x）=x3+ax2+bx﹣a2﹣7a在x=1處取得極大值10，則a+b的值為

．參考答案：3【考點】利用導數研究函數的極值．【專題】方程思想；分析法；導數的綜合應用．【分析】求得函數的導數，由題意可得f（1）=10，且f′（1）=0，解a，b的方程可得a，b的值，分別檢驗a，b，由極大值的定義，即可得到所求和．【解答】解：函數f（x）=x3+ax2+bx﹣a2﹣7a的導數為f′（x）=3x2+2ax+b，由在x=1處取得極大值10，可得f（1）=10，且f′（1）=0，即為1+a+b﹣a2﹣7a=10，3+2a+b=0，將b=﹣3﹣2a，代入第一式可得a2+8a+12=0，解得a=﹣2，b=1或a=﹣6，b=9．當a=﹣2，b=1時，f′（x）=3x2﹣4x+1=（x﹣1）（3x﹣1），可得f（x）在x=1處取得極小值10；當a=﹣6，b=9時，f′（x）=3x2﹣12x+9=（x﹣1）（3x﹣9），可得f（x）在x=1處取得極大值10．綜上可得，a=﹣6，b=9滿足題意．則a+b=3．故答案為：3．【點評】本題考查導數的運用：求極值，注意運用極值的定義，考查化簡整理的運算能力，注意檢驗，屬于基礎題和易錯題．14.已知全集，若集合，則=_____參考答案：15.若是夾角為的兩個單位向量，，則的夾角為

．參考答案：.

因為是夾角為的兩個單位向量,,所以||=|2+|=,||=|-3+2|=,·=則cos<,>==,所以<,>=.16.將正整數1，3，5，7，9…排成一個三角形數陣：按照以上排列的規律，第n行（n≥3）的所有數之和為．參考答案：n3【考點】歸納推理．【專題】計算題；轉化思想；綜合法；推理和證明．【分析】求出前幾行中每行的所有數之和，即可得出結論．【解答】解：由題意，第1行的所有數之和為1；第2行的所有數之和為3+5=23；…第n行（n≥3）的所有數之和為n3，故答案為：n3．【點評】本題考查歸納推理，考查學生的計算能力，比較基礎．17.已知函數，若，則實數a的取值范圍是

；參考答案：因函數為增函數，且為奇函數，，，解得.

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數，求的值參考答案：因為，令，則，從而所以19.在△ABC中，=m（0＜m＜1），AC=3，AD=，C=．（Ⅰ）求△ACD的面積；（Ⅱ）若cosB=，求AB的長度以及∠BAC的正弦值．參考答案：【考點】HT：三角形中的幾何計算．【分析】（Ⅰ）在△ADC中，利用余弦定理即可求得丨CD丨，則S=×丨AC丨×丨CD丨，即可求得△ACD的面積；（Ⅱ）由正弦定理即可求得丨AB丨，sin∠BAC=sin（B+C）利用兩角和的正弦公式及同角三角函數的基本關系即可求得sin∠BAC．【解答】解：（Ⅰ）在△ADC中，由余弦定理可知：cosC===，整理得：丨CD丨2﹣3丨CD丨+2=0，解得：丨CD丨=1或丨CD丨=2，當丨CD丨=1時，△ACD的面積S=×丨AC丨×丨CD丨=×3×1×=，當丨CD丨=2時，△ACD的面積S=×丨AC丨×丨CD丨=×3×2×=，∴△ACD的面積或；（Ⅱ）由C=，則sinC=，cosC=，cosB=，sinB==由正弦定理可知：=，則丨AB丨==6，sin∠BAC=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=×+×=，∠BAC的正弦值．【點評】本題考查正弦定理及余弦定理的應用，考查三角形的面積公式，兩角和的正弦公式，考查計算能力，屬于中檔題．20.已知冪函數為偶函數，且在區間上是單調減函數.(1)

求函數；（2）討論的奇偶性.參考答案：【知識點】冪函數在區間上是單調減函數的條件，函數奇偶性的條件.

B4

B8【答案解析】（1）；（2）①且非奇非偶②且為偶函數③且為奇函數④且既是奇函數又是偶函數解析：（1）在單調遞減，當時不合題意，當時合乎題意

-------6分（2）①且非奇非偶②且為偶函數③且為奇函數④且既是奇函數又是偶函數

-------12分【思路點撥】（1）由在單調遞減可得：，解出m進行檢驗可得結果.（2）由（1）得，所以可得結果.21.已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的兩個焦點分別為F1（﹣2，0），F2（2，0），離心率為．過焦點F2的直線l（斜率不為0）與橢圓C交于A，B兩點，線段AB的中點為D，O為坐標原點，直線OD交橢圓于M，N兩點．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）當四邊形MF1NF2為矩形時，求直線l的方程．參考答案：【考點】K4：橢圓的簡單性質．【分析】（I）由已知可得：，解得即可得出；（II）由題意可知直線l的斜率存在，設直線l方程為y=k（x﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2），M（x3，y3），N（﹣x3，﹣y3）．與橢圓方程聯立化為（1+3k2）x2﹣12k2x+12k2﹣6=0，．利用根與系數的關系、中點坐標公式可得：線段AB的中點D，可得直線OD的方程為：x+3ky=0（k≠0）．與橢圓方程聯立，解得=，x3=﹣3ky3．利用四邊形MF1NF2為矩形，可得=0，解出即可．【解答】解：（I）由已知可得：，解得a2=6，b2=2，∴橢圓C的方程為；（II）由題意可知直線l的斜率存在，設直線l方程為y=k（x﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2），M（x3，y3），N（﹣x3，﹣y3）．聯立，化為（1+3k2）x2﹣12k2x+12k2﹣6=0，∴x1+x2=，y1+y2=k（x1+x2﹣4）=，∴線段AB的中點D，∴直線OD的方程為：x+3ky=0（k≠0）．聯立，解得=，x3=﹣3ky3．∵四邊形MF1NF2為矩形，∴=0，∴（x3﹣2，y3）?（﹣x3﹣2，﹣y3）=0，∴=0，∴=0，解得k=，故直線方程為y=．22.（本題滿分13分）為了保護環境，某工