專題35尺規作圖【十五大題型】TOC\o"1-3"\h\u【題型1尺規作圖-作線段】 4【題型2尺規作圖-作一個角等于已知角】 6【題型3尺規作圖-作角的和、差】 11【題型4尺規作圖-過直線外一點作這條線的平行】 16【題型5尺規作圖-作角平分線】 21【題型6尺規作圖-作三角形】 25【題型7尺規作圖-作三角形的中線與高】 31【題型8尺規作圖-作垂直平分線】 36【題型9尺規作圖-畫圓】 40【題型10尺規作圖-找圓心】 44【題型11尺規作圖-過圓外一點作圓的切線】 49【題型12尺規作圖-作外接圓】 55【題型13尺規作圖-作內切圓】 60【題型14尺規作圖-作圓內接正多邊形】 65【題型15尺規作圖-格點作圖】 68【知識點尺規作圖】1.尺規作圖的要求只用不帶刻度的直尺和圓規通過有限次操作，完成畫圖的一種作圖方法．尺規作圖不一定要寫作圖步驟，但必須保留作圖痕跡.2.五種基本尺規作圖作一條線段等于已知線段步驟：1.作射線OP；2.在OP上截取OA=a，OA即為所求線段作角的平分線步驟：1.以點O為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交OA.OB于點N.M；2.分別以點M.N為圓心，大于MN的長為半徑作弧，相交于點P；3.畫射線OP,OP即為所求角平分線作線段的垂直平分線步驟：1.分別以點A.B為圓心，以大于AB的長為半徑，在AB兩側作弧；2.連接兩弧交點所成直線即為所求線段的垂直平分線作一個角等于已知角步驟：1.在∠α上以點O為圓心.以適當的長為半徑作弧，交∠α的兩邊于點P.Q；2.作射線O′A；3.以O′為圓心.OP長為半徑作弧，交O′A于點M；4.以點M為圓心，PQ長為半徑作弧，交前弧于點N；5.過點N作射線O′B，∠BO′A即為所求角過一點作已知直線的垂線步驟：1.在直線另一側取點M；2.以P為圓心，以PM為半徑畫弧,交直線于A.B兩點；3.分別以A.B為圓心，以大于12AB長為半徑畫弧，交M同側于點N；4.連接PN,則直線PN即為所求垂線步驟：1.以點O為圓心，任意長為半徑向點O兩側作弧，交直線于A.B兩點；2.分別以點A.B為圓心，以大于AB長為半徑向直線兩側作弧，交點分別為M.N；3.連接MN，MN即為所求垂線【題型1尺規作圖-作線段】【例1】（2023·山西太原·校聯考一模）如圖，已知線段a，b．（1）請用尺規作圖法，在射線OA上作OB=a，（2）在（1）的基礎上，延長BC到點D，使BC=CD．如果線段a，b的長度分別是3cm和4cm，求線段【答案】（1）見詳解；（2）5cm【分析】(1)用圓規在射線OA上截取線段OB=a，OC=b(2)先求出BC的長，再由BC=CD即可求出線段OD的長．【詳解】解：（1）所作圖形如圖所示.（2）如圖所示，∵OB=a=3∴BC=OC-OB=4-3=1∴CD=BC=1∴OD=OC+CD=4+1=5【點睛】本題考查了復雜作圖，求線段的長度，解決本題的關鍵是用尺規畫線段．【變式1-1】（2023·河北邯鄲·校考二模）用尺規作圖，已知三邊作三角形，用到的基本作圖是（

）A．作一個角等于已知角 B．作已知直線的垂線C．作一條線段等于已知線段 D．作角的平分線【答案】C【分析】根據作一條線段等于已知線段即可解決問題．【詳解】解：根據三邊作三角形用到的基本作圖是：作一條線段等于已知線段．故選：C．【點睛】本題考查基本作圖，解題的關鍵是熟練掌握五種基本作圖．【變式1-2】（2023·浙江湖州·統考二模）如圖，∠MON＝35°，點P在射線ON上，以P為圓心，PO為半徑畫圓弧，交OM于點Q，連接PQ，則∠QPN＝．【答案】70°/70度【分析】由作圖可知，PO＝PQ，根據等腰三角形的性質以及三角形的外角的性質解決問題即可．【詳解】解：由作圖可知，PO＝PQ，∴∠PQO＝∠O＝35°，∴∠QPN＝∠O+∠PQO＝70°，故答案為：70°．【點睛】本題考查了作圖－基本作圖，三角形的外角性質，等腰三角形的性質等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．【變式1-3】（2023·廣東佛山·校聯考一模）如圖，在△ABC中，AB=AC．(1)在BC上求作點E，使AD=AE，點D與點E不重合（尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)求證：BD=CE．【答案】(1)畫圖見解析(2)證明見解析【分析】（1）以A為圓心，以AD的長為半徑畫弧交BC于E（不與D重合），點E即為所求；（2）過點A作AH⊥BC于H，根據三線合一定理得到BH=CH，DH=EH，由此即可證明【詳解】（1）解：如圖所示，點E即為所求；（2）證明：如圖所示，過點A作AH⊥BC于H，∵AD=AE，AB=AC，∴BH=CH，∴BH-DH=CH-EH，∴BD=CE．【點睛】本題主要考查了尺規作圖—作線段，三線合一定理，熟知三線合一定理是解題的關鍵．【題型2尺規作圖-作一個角等于已知角】【例2】（2023·四川成都·模擬預測）如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=4．根據尺規作圖痕跡，作射線CE，與AB相交于點F．當AF=3時，AB的長是

【答案】8【分析】本題考查了基本作圖，勾股定理．先根據勾股定理求出CF，再根據等角對等邊及線段的和差求解．【詳解】解：在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=4，AF=3∴CF=A由作圖得：∠B=∠BCF，∴BF=CF=5，∴AB=AF+BF=8，故答案為：8．【變式2-1】（2023·福建泉州·校考模擬預測）（1）如圖1，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=3，BC=4，D為BC邊上一點，CD=32．求證：AD

（2）如圖2，矩形ABCD中，AB=5，BC=4，點E是CD邊上一點，DE=2，連接AE，請用無刻度的直尺和圓規在AB邊上找一點F，使得∠AFD=2∠DAE．（保留作圖痕跡，不要求寫出作法）

【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）過點D作DE⊥AB于點E，根據勾股定理先求出AB=5，用面積法求出DE的長即可求解；（2）作∠GAE=∠DAE，交DC于點G，②作∠ADF=∠AGD，交AB于點F．根據直角三角形兩個銳角互余即可證明∠AFD=∠GAD=2∠DAE．【詳解】（1）證明：如圖1，過點D作DE⊥AB于點E，在Rt△ACB中，∠C=90°∵AC=3，BC=4，∴AB=A∵12∴3×3∴DE=3∴CD=DE，∴AD平分∠CAB．

（2）如圖2，點F即為所求．作法：①作∠GAE=∠DAE，交DC于點G，②作∠ADF=∠AGD，交AB于點F．理由：∵∠ADF+∠AFD=90°,∠AGD+∠GAD=90°，∴∠AFD=∠GAD=2∠DAE．【點睛】本題考查了作圖-復雜作圖，角平分線的判定，勾股定理，矩形的性質，解決本題的關鍵是掌握基本作圖方法．【變式2-2】（2023·廣東佛山·西南中學校考三模）如圖，在△ABC中，P為AC邊上任意一點，按以下步驟作圖：①以點A為圓心，以任意長為半徑作弧，分別交AP、AB于點M，N；②以點P為圓心，以AM長為半徑作弧，交PC于點E；③以點E為圓心，以MN長為半徑作弧，在△ABC內部交前面的弧于點F；④作射線PF交BC于點Q．若∠A=60°，∠C=40°，則

A．100° B．80° C．60° D．40°【答案】B【分析】先由三角形內角和定理得到∠B=80°，再根據作圖方法可知∠CPQ=∠A，則PQ∥AB，由此即可得到∠PQC=∠B=80°．【詳解】解：∵∠A=60°，∴∠B=180°-∠A-∠C=80°，由作圖方法可知∠CPQ=∠A，∴PQ∥AB，∴∠PQC=∠B=80°，故選B．【點睛】本題主要考查了三角形內角和定理，平行線的性質與判定，尺規作圖—作與已知角相等的角，證明PQ∥AB是解題的關鍵．【變式2-3】（2023·重慶沙坪壩·重慶南開中學校考二模）如圖，在△ABC中，AB=AC，點D為CB延長線上一點，CD=AB，連接AD．

(1)用尺規完成以下基本作圖：在AD的右側作∠ADE=∠ACB，射線DE與AC延長線交于點E；（保留作圖痕跡，不寫作法，不下結論）(2)孟孟判斷CE=BD．她的證明思路是：利用等腰三角形的性質及外角定理，通過全等從而得到CE與BD相等．請根據孟孟的思路完成下面的填空：證明：∵①_____________，∴∠ABC=∠ACB，∵∠ADE=∠ACB∴②_______________，∵∠ABC=∠ADC+∠BAD又∠ADE=∠ADC+∠CDE，∴∠CDE=∠BAD∵D、B、C三點共線，∴∠ABD+∠ABC=180°∵A、C、E三點共線，∴③______________∴∠ABD=∠DCE，∵CD=AB∴④_____________ASA，∴CE=BD【答案】(1)見解析(2)AB=AC；∠ABC=∠ADE；∠ACB+∠DCE=180°；△ABD≌△DCE【分析】（1）根據作與已知角相等的角的尺規作圖方法作圖即可；（2）先根據等邊對等角得到∠ABC=∠ACB，則∠ABC=∠ADE，再利用三角形外角的性質證明∠CDE=∠BAD，再根據鄰補角的定義證明∠ABD=∠DCE，由此即可證明△ABD≌△DCE，則CE=BD．【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求；

（2）證明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵∠ADE=∠ACB∴∠ABC=∠ADE，∵∠ABC=∠ADC+∠BAD，又∵∠ADE=∠ADC+∠CDE，∴∠CDE=∠BAD，∵D、B、C三點共線，∴∠ABD+∠ABC=180°∵A、C、E三點共線，∴∠ACB+∠DCE=180°∴∠ABD=∠DCE，∵CD=AB∴△ABD≌△DCEASA∴CE=BD．故答案為：AB=AC；∠ABC=∠ADE；∠ACB+∠DCE=180°；△ABD≌△DCE．【點睛】本題主要考查了等邊對等角，三角形外角的性質，全等三角形的性質與判定，作與已知角相等的角，靈活運用所學知識是解題的關鍵．【題型3尺規作圖-作角的和、差】【例3】（2023·江蘇南京·模擬預測）如圖為一副三角尺，其中∠α=60°,∠β=45°，作∠ABC=120°,∠DEF=15°．（要求：尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）【答案】圖見解析【分析】本題考查尺規作角，根據尺規作角的方法，作圖即可．掌握尺規作角的方法，是解題的關鍵．【詳解】解：如圖，∠ABC,∠DEF即為所求；【變式3-1】（2023·江西吉安·模擬預測）已知∠α和∠β，作一個角等于∠α+2∠β．（保留作圖痕跡，不必寫作法）【答案】見解析【分析】先作∠AOB=α，再作∠BOC=2β，則∠AOC即為所求．【詳解】如圖所示，∠AOB=α，∠BOC=2β，則∠AOC即為所求．作法：①作射線OA，②以任意長度為半徑，∠α的頂點為圓心作弧MN，∠β的定點為圓心作弧PQ，以同樣長度為半徑，以O為圓心，作弧GD，交射線OA于點D，③以MN的長為半徑，D為圓心，作弧交GD弧于點E，過點E，作射線OB，則∠AOB=α，③以PQ的長為半徑，E為圓心，作弧交GD弧于點F，④以PQ的長為半徑，F為圓心，作弧交GD弧于點G，⑤過點G作射線OC，則∠BOC=2β∴∠AOB+∠BOC=α+2β=∠AOC【點睛】本題考查了作一個角等于已知角，角度的計算，掌握基本作圖是解題的關鍵．【變式3-2】（2023·合肥二模）如圖所示，已知∠α和∠β，利用尺規作∠AOB，使∠AOB＝2（∠α-∠β）．【答案】見解析．【分析】根據尺規作圖的基本步驟作圖即可．【詳解】作法：如圖所示．（1）作∠COD＝∠α；（2）以射線OD為一邊，在∠COD的外部作∠DOA，使∠DOA＝∠α；（3）以射線OC為一邊，在∠COA的內部作∠COE，使∠COE＝∠β；（4）以射線OE為一邊，在∠EOA內部作∠EOB，使∠EOB＝∠β，則∠AOB就是所求作的角．【點睛】本題考查作一個差角的倍數角，本題的做法有兩種：一種可以先做倍數角再做差角，如本題提供的答案；另一種也可以先做差角再做倍數角，熟練掌握作圖的基本步驟是解題的關鍵．【變式3-3】（2023·北京海淀·模擬預測）在Rt△ABC中，∠C=90°，令∠B=α<30°，線段BC的垂直平分線分別交線段AB、BC于點D，E(1)如圖1，用等式表示DE和AC之間的數量關系，并證明．(2)如圖2，將射線AC繞點A逆時針旋轉2α交線段DE于點F，①依題意補全圖形；②用等式表示AF，EF，DE之間的數量關系，并證明．【答案】(1)DE=1(2)①圖見解析；②AF=3DE-EF，證明見解析【分析】（1）根據線段垂直平分線的性質，得出DE⊥BC，點E是線段BC的中點，再根據平行公理，得出AC∥DE，進而得出DE是（2）①以點B為圓心，以任意長為半徑畫弧，交線段BC于點M，交線段BA于點N，再以點A為圓心，以相等長為半徑畫弧，交線段AC于點P，再以點P為圓心，以MN的長度為半徑畫弧，兩弧交于一點Q，再以點Q為圓心，以MN的長度為半徑畫弧，兩弧交于一點K，連接AK，并延長交DE于點F；②設AC旋轉后點C的對應點在AF上為點C'，連接CC'，根據等邊對等角和三角形的內角和定理，得出∠ACC'=∠AC'C=90°-α，再根據角之間的數量關系，得出∠C'CB=α，連接CD，根據線段垂直平分線的性質，得出DC=DB，再根據等邊對等角，得出∠DCB=∠B=α，再根據角相等，得出∠DCB=∠C'CB，進而得出點C、C'、D【詳解】（1）解：DE=1∵DE是線段BC的垂直平分線，∴DE⊥BC，點E是線段BC的中點，又∵∠C=90°，∴AC⊥BC，∴AC∥∴DE是△ABC的中位線，∴DE=1（2）解：①如圖，即為所求；②AF=3DE-EF，證明如下：設AC旋轉后點C的對應點在AF上為點C'，連接C∵∠CAC'=2α∴∠ACC又∵∠ACB=90°，∴∠C連接CD，∵DE是線段BC的垂直平分線，∴DC=DB，∴∠DCB=∠B=α，∴∠DCB=∠C∴點C、又∵DE是線段BC的垂直平分線，∴DE⊥BC，點E是線段BC的中點，又∵∠C=90°，∴AC⊥BC，∴AC∥∴DE是△ABC的中位線，∴DE=1∴AC∵AC∥∴∠ACC又∵∠ACC∴∠AC∴∠AC∴∠DC∴FC∴AF=A=2DE+DF=2DE+=3DE-EF，∴AF=3DE-EF．【點睛】本題考查了線段垂直平分線的性質、三角形中位線的性質、作圖—等角、等腰三角形的判定與性質、三角形的內角和定理、平行線的性質、對頂角相等，解本題的關鍵在正確作出輔助線，并熟練掌握相關的性質定理．【題型4尺規作圖-過直線外一點作這條線的平行】【例4】（2023·陜西寶雞·統考一模）如圖，在△ABC中，AC＝3，AB=5，請用尺規作圖法，在BC上求作一點O，使得S△AOC：S△AOB＝3：5．（不寫作法，保留作圖痕跡）【答案】見解析【分析】由題意作BM∥AC，在射線BM上截取BD，使得BD＝BA，連接AD交BC于點O，點O即為所求作．【詳解】解：如圖，點O即為所求作．【點睛】本題考查作圖-復雜作圖，相似三角形的性質與判定，三角形的面積等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．【變式4-1】（2023·湖北襄陽·統考模擬預測）如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，BD平分

(1)尺規作圖：過點D作DE∥AB，DE交BC于(2)求證：四邊形ABED是菱形．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）作∠BDE=∠ABD，BE交BC于點E；（2）根據鄰邊相等的平行四邊形是菱形證明即可．【詳解】（1）解：圖形如圖所示：

（2）證明：∵AD∥BE，∴四邊形ABED是平行四邊形，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∵AD∥∴∠ADB=∠DBC，∴∠ADB=∠ABD∴AB=AD，∴四邊形ABED是菱形．【點睛】本題考查作圖-復雜作圖，菱形的判定，等腰三角形的判定等知識，解題的關鍵是理解題意，掌握菱形的判定定理．【變式4-2】（2023·福建·統考中考真題）如圖，已知線段MN=a,AR⊥AK，垂足為a．（1）求作四邊形ABCD，使得點B，D分別在射線AK,AR上，且AB=BC=a，∠ABC=60°，CD//（2）設P，Q分別為（1）中四邊形ABCD的邊AB,CD的中點，求證：直線AD,BC,PQ相交于同一點．【答案】（1）作圖見解析；（2）證明見解析【分析】（1）根據AB=a，點B在射線AK上，過點A作AB=a；根據等邊三角形性質，得AB=BC=AC，分別過點A、B，a為半徑畫圓弧，交點即為點C；再根據等邊三角形的性質作CD，即可得到答案；（2）設直線BC與AD相交于點S、直線PQ與AD相交于點S'，根據平行線和相似三角形的性質，得ADS'【詳解】（1）作圖如下：四邊形ABCD是所求作的四邊形；（2）設直線BC與AD相交于點S，∵DC//∴△SBA∽△SCD，∴SA設直線PQ與AD相交于點S'同理S'∵P，Q分別為AB,CD的中點，∴PA=12∴PA∴S'∴S'∴ADS∴S'∴點S與S'重合，即三條直線AD,BC,PQ【點睛】本題考查了尺規作圖、等邊三角形、直角三角形、平行線、相似三角形等基礎知識，解題的關鍵是熟練掌握推理能力、空間觀念、化歸與轉化思想，從而完成求解．【變式4-3】（2023·江蘇無錫·模擬預測）如圖1，點C為圓內一點，AB為該圓的一條弦．(1)請在圖1中用無刻度的直尺和圓規作圖：過點C作直線l與AB平行，分別交該圓于點D、E（點D在點(2)在（1）中，若AB與DE位于圓心異側，且AB=2,DE=42，若該圓的半徑為3，則該圓位于AB和DE之間的圖形的面積為______．（如需畫草圖，請使用試題中的圖2【答案】(1)作圖見解析；(2)9π【分析】（1）連接AC，再根據作一個角等于已知角即可；（2）過圓心O作OP⊥DE于點P，延長PO交AB于點Q，由AB∥DE則可知OQ⊥AB，由勾股定理和SSS，證明此題考查了無刻度直尺作圖，垂徑定理，全等三角形的性質與判定，扇形面積求法和勾股定理，熟練掌握以上知識的應用是解題的關鍵．【詳解】（1）如圖，①延長AC，②分別以A，C為半徑，任意長度為半徑畫弧，分別交于點M，N，G，③以G為圓心，MN長度為半徑畫弧，交弧于點H，④連接CH，∴直線l即為所求；（2）過圓心O作OP⊥DE于點P，延長PO交AB于點Q，∵AB∥∴OQ⊥AB，∴DP=PE=12DE=2在Rt△DPO中，由勾股定理得：OP=同理：OQ=22在△DPO和△OQA中，DP=OQPO=QA∴△DPO≌△OQASSS∴∠PDO=∠QOA，∵∠PDO+∠DOP=90°，∴∠AOQ+∠DOP=90°，∴∠AOD=90°，同理∠BOE=90°，∴該圓位于AB和DE之間的圖形的面積為：S扇形=90=9=故答案為：9π【題型5尺規作圖-作角平分線】【例5】（2023·內蒙古·統考中考真題）如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=60°，以點A為圓心，以AB的長為半徑畫弧交AC于點D，連接BD，再分別以點B，D為圓心，大于12BD的長為半徑畫弧，兩弧交于點P，作射線AP交BD于點M，交BC于點E，連接DE，則S△BDEA．1:2 B．1:3 C．2:5 D．【答案】A【分析】根據尺規作圖可得，AE是∠BAC的平分線，可得∠BAE=30°，由三角形內角和定理可得∠C=30°，由等腰三角形性質可得AE=CE，根據直角三角形的性質可得BE=12AE【詳解】解：由尺規作圖可得，AE是∠BAC的平分線，∴∠BAE=∠CAE=1∵∠ABC=90°，∠BAC=60°，∴∠C=30°，∴AE=CE，在Rt△ABE中，BE=∴BE=12EC∴S△BDE故選：A．【點睛】本題考查基本作圖，含30°角直角三角形的性質，等腰三角形的性質，三角形的面積等知識，30°角所對直角邊長度是斜邊的一半．【變式5-1】（2023·新疆·統考中考真題）如圖，在x軸，y軸上分別截取OA，OB，使OA=OB，再分別以點A，B為圓心，以大于12AB長為半徑畫弧，兩弧交于點P.若點P的坐標為a,2a-3，則a的值為

【答案】3【分析】根據作圖方法可知點P在∠BOA的角平分線上，由角平分線的性質可知點P到x軸和y軸的距離相等，結合點P在第一象限，可得關于a的方程，求解即可．【詳解】解：∵OA=OB，分別以點A，B為圓心，以大于12AB長為半徑畫弧，兩弧交于點∴點P在∠BOA的角平分線上，∴點P到x軸和y軸的距離相等，又∵點P在第一象限，點P的坐標為a,2a-3，∴a=2a-3，∴a=3．故答案為：3．【點睛】本題考查了角平分線的作法及其性質在坐標與圖形性質問題中的應用，明確題中的作圖方法及角平分線的性質是解題的關鍵．【變式5-2】（2023·湖北鄂州·統考中考真題）如圖，點E是矩形ABCD的邊BC上的一點，且AE=AD．

(1)尺規作圖（請用2B鉛筆）：作∠DAE的平分線AF，交BC的延長線于點F，連接DF(2)試判斷四邊形AEFD的形狀，并說明理由．【答案】(1)見解析(2)四邊形AEFD是菱形，理由見解析【分析】（1）根據題意結合尺規作角平分線的方法作圖即可；（2）根據矩形的性質和平行線的性質得出∠DAF=∠AFE，結合角平分線的定義可得∠EFA=∠EAF，則AE=EF，然后根據平行四邊形和菱形的判定定理得出結論．【詳解】（1）解：如圖所示：

（2）四邊形AEFD是菱形；理由：∵矩形ABCD中，AD∥∴∠DAF=∠AFE，∵AF平分∠DAE，∴∠DAF=∠EAF，∴∠EFA=∠EAF，∴AE=EF，∵AE=AD，∴AD=EF，∵AD∥∴四邊形AEFD是平行四邊形，又∵AE=AD，∴平行四邊形AEFD是菱形．【點睛】本題主要考查了尺規作角平分線，矩形的性質，平行線的性質，等腰三角形的判定，平行四邊形的判定以及菱形的判定等知識，熟練掌握相關判定定理和性質定理是解題的關鍵．【變式5-3】（2023·四川巴中·統考中考真題）如圖，已知等邊△ABC，AD⊥BC，E為AB中點．以D為圓心，適當長為半徑畫弧，交DE于點M，交DB于點N，分別以M、N為圓心，大于12MN為半徑畫弧，兩弧交于點P，作射線交AB于點G．過點E作EF∥BC交射線DP于點

(1)求證：四邊形BDEF是菱形．(2)若AC=4，求△AFD的面積．【答案】(1)見解析(2)3【分析】（1）先證明△BED是等邊三角形，得到BE=BD=DE，再根據角平分線的定義得到∠EDF=∠BDF，證明△EFD是等腰三角形，即可證明EF=BD，即可解答本題；（2）根據等邊三角形的性質求出AD，AG，再根據菱形的性質，求得FD，即可求出△AFD的面積．【詳解】（1）證明：∵等邊△ABC，AD⊥BC∴D是BC中點，∠ABC=∠C=60°，∵E是AB中點，∴DE∴∠EDB=∠C=60°，∴△BED是等邊三角形∴BE=BD=DE，∵由尺規作圖可知DF平分∠EDB，∴∠EDF=∠FDB∵EF∥∴∠EFD=∠FDB，∴∠EFD=∠EDF，∴EF=ED=BD，∵EF∥∴四邊形BDEF是平行四邊形，∵DE=BD，∴四邊形BDEF是菱形；（2）解：∵等邊△ABC，AD⊥BC，∴∠C=60°?∵AC=4∴BD=12∵四邊形BDEF是菱形，∴AG⊥FD,FG=GD，∵Rt∴DG=1∴FD=23∴S【點睛】本題考查了等邊三角形的性質，菱形的判定及性質，含有30°角的直角三角形的邊長關系，作圖-角平分線，熟知上述概念是解題的關鍵．【題型6尺規作圖-作三角形】【例6】（2023·山東濱州·統考中考真題）（1）已知線段m,n，求作Rt△ABC，使得∠C=90°,CA=m,CB=n（2）求證：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．（請借助上一小題所作圖形，在完善的基礎上，寫出已知、求證與證明．）

【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）作射線AP，在AP上截取AC=m，過點C作AC的垂線MN，在CN上截取CB=n，連接AB，則Rt△ABC（2）先根據題意畫出圖形，再證明．延長CD至E使CD=DE，連接AE、BE，因為D是AB的中點，所以AD=BD，因為CD=DE，所以四邊形ACBE是平行四邊形，因為∠ACB=90°，所以四邊形ACBE是矩形，根據矩形的性質可得出結論．【詳解】（1）如圖所示，Rt△ABC

（2）已知：如圖，CD為Rt△ABC中斜邊AB上的中線，∠ACB=90°，求證：CD=1證明：延長CD并截取DE=CD.

∵CD為AB邊中線，∴BD=AD，∴四邊形ACBE為平行四邊形.∵∠ACB=90°，∴平行四邊形ACBE為矩形，∴AB=CE=2CD，∴CD=【點睛】本題考查了作直角三角形，直角三角形的性質，矩形的性質與判定，解答此題的關鍵是作出輔助線，構造出矩形，利用矩形的性質解答．【變式6-1】（2023·安徽合肥·統考二模）知：A、B為直線l上兩點，請用尺規完成以下作圖（不寫作法，保留作圖痕跡）；(1)任作一個△ABP，使PA=PB；(2)作△ABQ，使AQ=BQ，且∠AQB=120°．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）作線段AB的垂直平分線，即可求解；（2）先作等邊三角形ABP，再作出∠APB和∠BAP的角平分線交于點Q，即可求解．【詳解】（1）解：如圖，△ABP即為所求；；（2）解：如圖，△ABQ即為所求；理由：根據作圖得：PC平分∠APB，AP=AB，PB=AB，AQ平分∠BAP，∴AP=AB=PB，∴△ABP為等邊三角形，∠BAQ=∠ABQ，∴∠BAP=60°，PC垂直平分AB，∴AQ=BQ，∵AQ平分∠BAP，∴∠BAQ=∠ABQ=30°，∴∠AQB=120°．【點睛】本題主要考查了尺規作圖——作已知線段的垂直平分線，作已知角的平分線，作三角形，熟練掌握尺規作圖的方法以及線段垂直平分線的性質，等邊三角形的判定和性質等知識是解題的關鍵．【變式6-2】（2023·北京·校考模擬預測）已知：∠MON，A為射線ON上一點．求作：△AOB，使得點B在射線OM上，且∠BAO=1作法：①以點O為圓心，OA長為半徑畫弧，交射線OM于點F，交射線ON的反向延長線于點E；②以E為圓心，AF長為半徑畫弧，交弧EF于點P；③連接AP，交射線OM于點B．所以△AOB就是所求作的三角形．(1)使用直尺和圓規，依作法補全圖形（保留作圖痕跡）；(2)完成下面的證明：證明：連接EP，AF，OP，∵點A，E，P在⊙O上，∴∠PAE=12∠POE∵在⊙O中，PE=AF，∴∠MON=______．（______）（填寫推理的依據）∴∠BAO=1【答案】(1)見解析(2)同弧(或等弧)所對的圓周角的度數等于圓心角度數的一半；∠POE；在同圓或等圓中，相等的弦所對的圓心角相等【分析】(1)根據題意即可作出圖；(2)根據圓周角定理及弦、弧、圓心角之間的關系即可解答．【詳解】（1）解：作圖如下：（2）證明：連接EP，AF，OP，∵點A，E，P在⊙O上，∴∠PAE=12∠POE．（同弧(∵在⊙O中，PE=AF，∴∠MON=∠POE．（在同圓或等圓中，相等的弦所對的圓心角相等）∴∠BAO=1故答案為：同弧(或等弧)所對的圓周角的度數等于圓心角度數的一半；∠POE；在同圓或等圓中，相等的弦所對的圓心角相等．【點睛】本題考查了圓周角定理及弦、弧、圓心角之間的關系，準確作出圖是解決本題的關鍵．【變式6-3】（2023·福建福州·模擬預測）如圖，點P是等邊三角形ABC內一點，連接PA，PB，PC，將△PAB繞點B逆時針旋轉60°得到△ODB，其中點P的對應點是Q．(1)請畫出△QDB（要求：尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)若AB=2，求PA+PB+PC的最小值．【答案】(1)見解析(2)2【分析】（1）以點B與點P為圓心，以BP長為半徑畫弧，交于點Q，同理，以點B與點A為圓心，以BA長為半徑畫弧，交于點D，連接BD，BQ，DQ，則△QDB為所求三角形；（2）過點D作BC的垂線，垂足為E，連接PQ，CD，由題可知△PAB≌△QDB，即可證得△PBQ是等邊三角形，根據△ABC是等邊三角形，即可得到BE、CE的長，繼而根據勾股定理求得DE、CD的長，于是根據由兩點之間，線段最短可得DQ+QP+PC≥CD，故當C，P，Q，D四點共線時，即可得到【詳解】（1）解：如圖所示，△QDB即為所求作的三角形．（2）解：過點D作BC的垂線，垂足為E，連接PQ，CD，∴∠BED=90°．∵△PAB繞點B逆時針旋轉60°得到△QDB，其中點P的對應點是Q，∴△PAB≌△QDB，∴PA=DQ，PB=QB，BD=AB=2，∴△PBQ是等邊三角形，∴PB=QP．∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=60°，BC=AB=2．∵∠ABC+∠ABD+∠DBE=180°，∴∠DBE=60°，∴∠BDE=30°，∴BE=12BD=1，在Rt△BDE中，DE=在Rt△CDE中，CD=由兩點之間，線段最短可得DQ+QP+PC≥CD，當且僅當C，P，Q，D四點共線時，等號成立，∴DQ+QP+PC≥23，即PA+PB+PC≥2∴PA+PB+PC的最小值是23【點睛】本題主要考查等邊三角形的判定與性質，勾股定理，旋轉的性質，尺規作三角形，掌握相關性質以及定理是解題的關鍵．【題型7尺規作圖-作三角形的中線與高】【例7】（2023·陜西西安·校考一模）如圖，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC．請用尺規作圖法，在BC邊上求作點【答案】見解析【分析】本題考查了作垂線，等腰三角形的性質，含30°的直角三角形的性質等知識，掌握含30°的直角三角形的性質是解題的關鍵．過點A作AD⊥AB交BC于點D，先利用等腰三角形的性質求出∠B=30°，然后利用含30°的直角三角形的性質即可判斷AD=1【詳解】解：如圖，點D即為所求，理由：由作圖，知AD⊥AB，∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=180°-∠BAC∴AD=1【變式7-1】（2023·廣西貴港·統考一模）尺規作圖（只保留作圖痕跡，不要求寫出作法）如圖，已知∠a和線段a、b求作：（1）△ABC，使∠A＝∠α，AB＝a，AC＝b．（2）在（1）的條件下，作AB邊上的中線CD．【答案】（1）如圖，△ABC為所作；見解析；（2）如圖，CD為所作；見解析．【分析】（1）先作∠BAC＝∠α，然后分別截取AB＝a，AC＝b，從而得到△ABC；（2）作AB的中垂線得到AB的中點，從而得到中線CD．【詳解】（1）如圖，△ABC為所作；（2）如圖，CD為所作．【點睛】本題考查作圖﹣復雜作圖：復雜作圖是在五種基本作圖的基礎上進行作圖，一般是結合了幾何圖形的性質和基本作圖方法．解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結合幾何圖形的基本性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．【變式7-2】（2023·廣西貴港·統考三模）如圖，在△ABC中，∠ABC=∠BAC=30°，(1)用尺規作圖過點A作BC的垂線，交BC的延長線于點E．（保留作圖痕跡，不要求寫作法）(2)求證：AD=AE．【答案】(1)詳見解析(2)詳見解析【分析】本題考查了作圖-復雜作圖、全等三角形的性質與判定，解決本題的關鍵是準確畫圖．（1）根據尺規作圖過點A作BC的垂線，交BC的延長線于點E即可；（2）根據∠ABC=∠BAC=30°,∠ADC=90°，即可證明：AD=AE．【詳解】（1）解：如圖，過點A作BC的垂線，交BC的延長線于點E；AE即為所求；（2）∵∠ABC=∠BAC=30°，∴∠ACE=60°,∵∠ADC=90°,∠AEC=90°,∴∠EAC=30°,∴∠DAC=∠EAC,∵∠ADC=∠AEC,AC=AC,∴△ADC≌△AEC(∴AD=AE.【變式7-3】（2023·重慶沙坪壩·重慶一中校考二模）如圖，在矩形ABCD中，DF平分∠ADC交BC于點F，連接AF．

(1)用尺規作圖：過點F作AF的垂線，交CD于點E；（保留作圖痕跡，不寫作法）(2)小明同學準備在（1）問所作的圖形中，求證BF=CE．他的證明思路是：利用矩形和角平分線的性質，證明三角形全等解決問題．請根據小明的思路完成下列填空．證明：∵四邊形ABCD是矩形∴AD∥∴∠ADF=∠DFC∵①∴∠ADF=∠CDF∴∠DFC=∠CDF∴②∵AB=CD∴AB=FC∵AF⊥EF∴∠AFE=90°∴∠AFB+∠EFC=90°∵在△ABF中，∠B=90°∴③∴∠BAF=∠EFC在△ABF和△FCE中∠B=∠C∴△ABF≌△FCE∴BF=CE【答案】(1)見解析；(2)①AB∥CD，②CD=CF，③∠AFB+∠BAF=90°，【分析】（1）根據過直線上一點作已知直線的垂線的作法作圖即可；（2）根據AAS證明三角形全等，再根據全等的性質證明．【詳解】（1）解：如圖：EF好戲為所作．

（2）證明：∵四邊形ABCD是矩形∴AD∥∴∠ADF=∠DFC，∵DF平分∠ADC，∴∠ADF=∠CDF，∴∠DFC=∠CDF，∴CD=CF，∵AB=CD，∴AB=FC，∵AF⊥EF，∴∠AFE=90°，∴∠AFB+∠EFC=90°，在△ABF中，∠B=90°，∴∠AFB+∠BAF=90°，∴∠BAF=∠EFC，在△ABF和△FCE中，∠B=∠CAB=FC∴△ABF≌△FCE(ASA∴BF=CE．【點睛】本題考查了作圖-基本作圖，全等三角形的判定和性質，余角的性質，矩形的性質，正確地作出圖形是解題的關鍵．【題型8尺規作圖-作垂直平分線】【例8】（2023·福建福州·福建省福州第十六中學校考模擬預測）如圖，∠ABC中，∠ACB=90°，點D為CB邊上一點．

(1)求作四邊形ADBE，使得四邊形ADBE是菱形（尺規作圖，保留作圖痕跡）；(2)AB與DE的交點為O，連結OC，若AE=5，cos∠DBE=35【答案】(1)見解析；(2)25【分析】（1）如圖所示，①作線段AB的垂直平分線，交CB于點D；②以點B為圓心，以BD為半徑畫弧，交垂直平分線于點E；即得所求．（2）過點E作EF⊥BC于點F，由菱形得，AE∥BC，AE=BE=5，可證四邊形ACFE是矩形，解Rt△BEF得BF=3，EF=4，由勾股定理AB=【詳解】（1）解：如圖所示，①作線段AB的垂直平分線，交CB于點D；②以點B為圓心，以BD為半徑畫弧，交垂直平分線于點E；③連接AD，AE，BE，即得所求．（2）過點E作EF⊥BC于點F，∵四邊形ADBE是菱形，∴AE∥BC，∵∠ACB=90°，∴四邊形ACFE是矩形，∴CF=AE=5，

在Rt△BEF中，∵cos∠DBE=∴BFBE∴BF=3，∴EF=AC=4，∴BC=CF+BD=5+3=8，∴AB=A∵∠ACB=90°，O是AB的中點，∴OC=1∴OC的長為25【點睛】本題考查尺規作圖，菱形的性質，矩形的判定和性質，解直角三角形；構造直角三角形求解線段是解題的關鍵．【變式8-1】（2023·陜西西安·校考模擬預測）已知平行四邊形ABCD的對角線相交于點O，在AB邊上求作一個點E，使OE=1

【答案】見解析【分析】作AB的垂直平分線得到AB的中點E，根據平行四邊形的性質得到O點為AC的中點，則根據三角形中位線的性質得到OE=1【詳解】解：如圖，點E為所作．

【點睛】本題考查了作圖-復雜作圖：解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結合幾何圖形的基本性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了平行四邊形的性質．【變式8-2】（2023·山東青島·統考中考真題）用直尺、圓規作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡．已知：△ABC．求作：點P，使PA=PC，且點P在△ABC邊AB的高上．

【答案】見解析【分析】作AC的垂直平分線和AB邊上的高，它們的交點為P點．【詳解】解：如圖，點P為所作．

【點睛】本題考查了作圖-復雜作圖：解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結合幾何圖形的基本性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了線段垂直平分線的性質．【變式8-3】（2023·江蘇無錫·江蘇省天一中學校考模擬預測）請用無刻度的直尺和圓規作圖：

(1)如圖1，在BC上求作點D，使S△ABD(2)如圖2，若點D在AB邊上，在BC上求作點E，使S△BDE【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）作BC的垂直平分線與BC的交點即為所求；（2）如圖：由題意得，只要作S△BDE=12S△ABC【詳解】（1）解：如圖：

作BC的垂直平分線與BC交于D點，∴BD=CD，∵△ABD與△ACD高相同，∴S如圖1：點D即為所求；（2）如圖：

由題意得，只要作S△BDE作BC的垂直平分線交BC于P點，由第（1）問得，S△ABP故只要作S△BDE連接D、P，要使得S△BDE=S根據“夾在平行線之間的垂線段相等”，即，高相等，只要作AE∥DP，根據“同位角相等，兩直線平行”，作∠BAE=∠BDP，交BC于E點，如圖2：點E即為所求．【點睛】本題考查了復雜作圖，要求掌握三角形中線的意義及三角形的面積公式，會作線段的垂直平分線，作一個角等于已知角，其中平行線之間距離性質以及轉化思想的運用是解題的關鍵．【題型9尺規作圖-畫圓】【例9】（2023·福建福州·模擬預測）如圖，矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點O．(1)作⊙O，使其與線段AB、CD分別相切于點E、F（尺規作圖，保留作圖痕跡）；(2)⊙O與OD相交于點G，連接AG，若AG與⊙O相切，求tan∠ACB【答案】(1)見解析(2)tan【分析】（1）過點O作EF⊥AB于E，交CD于F，以點O為圓心，OE為半徑作⊙O，即可；（2）證明∠ACB=60°，可得結論．【詳解】（1）解：如圖所示，⊙O即為所求；（2）解：如圖，∵AB，AG與⊙O分別相切于E，G，且OG為半徑，∴OG⊥AG于G，∠OAE=∠OAG，∴∠AGB=90°，∵四邊形ABCD為矩形，∴∠BAD=∠ABC=90°，AC=BD=2OA=2OB，∴OA=OB，∴∠OAE=∠OBE=∠OAG，又∠OAE+∠OBE+∠OAG=∠GAB+∠GBA=90°．∴∠OAE=30°，∴∠ACB=90°-∠OAE=60°，∴tan∠ACB=【點睛】本題考查作圖-復雜作圖，切線的性質，解直角三角形等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．【變式9-1】（2023·陜西西安·校考三模）如圖，已知點A是直線l外一點，點B是直線l上一點，請用尺規作⊙O，使得⊙O過點A且與直線l相切于點B．（要求：尺規保留作圖痕跡，并把作圖痕跡用黑色簽字筆加黑）．

【答案】見解析【分析】作線段AB的垂直平分線EF，過點B作BM⊥l交直線EF于點O，以O為圓心，OB為半徑作⊙O即可．【詳解】解：如圖，⊙O即為所求，

．【點睛】本題考查作圖—復雜作圖，切線的判定和性質等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型．【變式9-2】（2023·山東青島·統考一模）已知：如圖，A、B、C三個點．求作：⊙O，使⊙O經過A、B、C三點．【答案】見解析【分析】連接AB、AC，分別作線段AB、AC的垂直平分線，相交于點O，連接AO，以點O為圓心，AO的長為半徑畫圓即可．【詳解】解：如圖，⊙O即為所求，【點睛】此題考查了三角形的外接圓，熟練掌握三角形外接圓的作法是解題的關鍵．【變式9-3】（2023·山東青島·校聯考一模）如圖，∠BAC=45°，D，E在AB上，作⊙O經過D，E兩點且與【答案】見解析【分析】先作AE的垂直平分線得到中點P，再以AE為直徑作⊙P，過點D作AB的垂線交⊙P于點Q，接著在AC上截取AQ=AF，然后過點F作AC的垂線交DE的垂直平分線于點O，最后以點O為圓心，OF為半徑作圓即可．【詳解】解：如圖，⊙O為所作．【點睛】本題考查作圖——復雜作圖，解題的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．【題型10尺規作圖-找圓心】【例10】（2023·廣東茂名·統考一模）張師傅要將一張殘缺的圓形輪片恢復原貌（如圖），已知輪片的一條弦AB的垂直平分線交弧AB于點C，交弦AB于點D，測得AB=24cm，CD=8(1)請你幫張師傅找出此殘片所在圓的圓心（尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)求（1）中所作圓的半徑．【答案】(1)見解析(2)13【分析】（1）由垂徑定理知，垂直于弦的直徑是弦的中垂線，故作AC，BC的中垂線交于點O，則點O是弧ACB所在圓的圓心；（2）在Rt△OAD中，由勾股定理得出方程，解方程可求得半徑OA【詳解】（1）解：作弦AC的垂直平分線與弦BC的垂直平分線交于O點，以O為圓心OA長為半徑作圓O就是此殘片所在的圓，如圖1所示．（2）連接OA，如圖2所示：設OA=x，∵CD=8cm，AD=12∴OD=(x-8)cm則根據勾股定理列方程：x2解得：x=13．答：圓的半徑為13cm【點睛】本題考查了作圖，垂徑定理，中垂線的性質，勾股定理；熟練掌握垂徑定理，由勾股定理得出方程是解決問題（2）的關鍵．【變式10-1】（2023·江西贛州·統考模擬預測）如圖，請僅用無刻度的直尺按要求完成下列作圖，不寫作法，但要保留清晰的作圖痕跡．（1）如圖1，A，B，C，D四個點在同一個圓上，且AB//CD，請作出這個圓的一條直徑；（2）如圖2，四邊形ABCD是菱形，且A，B，C三點在同一個圓上，請找出這個圓的圓心．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）連接CA并延長，連接DB并延長交于點G，連接AD、BC交于點H，作直線GH，即可得到圓的直徑EF；（2）延長CD交圓與點P，利用（1）方法，確定圓的直徑EF，連接BD交EF于點O，點O即為圓心．【詳解】解：答圖如下：（1）圖1中，線段EF為所求；（2）圖2中，點O為所求．【點睛】本題考查了圓的軸對稱性質，菱形的性質，等腰三角形的性質，理解圓的對稱性和菱形的性質是解題關鍵．【變式10-2】（2023·陜西西安·西安益新中學校考模擬預測）尺規作圖，如圖，有一塊殘破的輪片，現要制作一個與原輪片同樣大小的圓形零件，請你根據所學有關知識，設計一種方案，用尺規作圖，找出出圓心，作出這個圓的半徑．（保留作圖痕跡，不寫作法）【答案】見解析【分析】根據圓的性質，在圓弧上去三個不重合的點A、B、C，連接【詳解】解：在圓弧上去三個不同的點A、B、C，連接如圖，⊙O即為所求作，線段OC即為⊙O的半徑．【點睛】此題考查了圓的有關性質以及尺規作圖，熟練掌握圓的有關性質以及尺規作圖是解題的關鍵．【變式10-3】（2023·河南新鄉·統考三模）考古學家在考古過程中發現一個圓盤，但是因為歷史悠久，已經有一部分缺失，現希望復原圓盤，需要先找到圓盤的圓心，才能繼續完成后續修復工作．在如圖1所示的圓盤邊緣上任意找三個點A，B，C．

(1)請利用直尺（無刻度）和圓規，在圖1中畫出圓心O．（要求：不寫作法，保留作圖痕跡）(2)如圖2，數學興趣小組的同學在（1）的基礎上，補全⊙O，連接AC，BC，過點A作⊙O的切線交CB的延長線于點E，過點C作CD∥AE，交⊙O于點D，連接①求證：AD=AC；②連接DB，若DB為⊙O的直徑，AC=70,BC=4，求【答案】(1)見解析(2)①見解析；②7【分析】（1）分別作出AB和BC的垂直平分線交于點O，即為所求作的圓心O；（2）①連接AO并延長交CD于點F，根據切線的性質和平行線的性質得到OF⊥CD，然后利用垂徑定理得到DF=CF，最后利用垂直平分線的性質求解即可；②連接BD，首先根據題意得到OF是△DCB的中位線，得到OF=12BC=2【詳解】（1）如圖所示，分別作AB和BC的垂直平分線交于點O，

∴點O即為所求作的圓心O；（2）如圖所示，連接AO并延長交CD于點F，

∵AE是⊙O的切線，∴FA⊥AE，∵CD∥AE，∴∠AFC=90°，∴OF⊥CD，∴DF=CF，∴AF所在直線是CD的垂直平分線，∴AD=AC；②如圖所示，連接BD，

∵DB為⊙O的直徑，∴點O是DB的中點，OD=AO=BO，∵點F是CD的中點，∴OF是△DCB的中位線，∴OF=1∵AD=AC=70∵AF⊥DC，∴AD即702∴解得AO=-5（舍去），AO=7，∴⊙O的半徑為7．【點睛】此題考查了尺規作圓的圓心，垂徑定理，勾股定理，等腰三角形的性質等知識，解題的關鍵是熟練掌握以上知識點．【題型11尺規作圖-過圓外一點作圓的切線】【例11】（2023·福建福州·閩清天儒中學校考模擬預測）如圖，點P是⊙O外一點，連接OP交⊙O于點I．(1)過點P作⊙O的兩條切線PA，PB，切點分別為A，B（尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)在（1）的條件下，連接AB，求證：點I是△ABP的內心．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）先作OP的垂直平分線，交OP于一點，再以這個點為圓心，以該點到O點的距離為半徑畫弧線交⊙O于點A，B，連接PA，PB即可；（2）先證明RtΔAOP≌RtΔBOP，得到PA=PB,∠API=∠BPI，從而證得PI平分∠APB，進一步得到OP垂直平分AB，再證明∠OAD=∠API，最后根據∠OAI=∠OIA證得∠DAI=∠PAI，得到AI平分∠BAP，即可證得點I【詳解】（1）解：如圖所示，PA，PB圓為所求作的⊙O的兩條切線，其中切點分別為A，B．（2）證：連接AI,BI,OA,OB，記AB與OP的交點為D．由（1）得PA,PB都是⊙O的切線，切點分別為A，B，∴OA⊥PA,OB⊥PB，∴∠OAP=∠OBP=90°．∴∠OAD+∠DAP=90°．∵OA=OB,OP=OP，∴RtΔAOP≌∴PA=PB,∠API=∠BPI，即PI平分∠APB，∴點O，P在線段AB的垂直平分線上，即OP垂直平分AB．∴∠ADP=90°，∴∠OAD+∠API=90°，∴∠OAD=∠API．∵OA=OI，∴∠OAI=∠OIA，即∠DAI+∠OAD=∠PAI+∠API，∴∠DAI=∠PAI，即AI平分∠BAP，∴點I是△ABP的內心．【點睛】本題考查尺規作圖、圓的切線的性質和三角形內心的判定，解題的關鍵是熟練掌握相關知識．【變式11-1】（2023·陜西西安·高新一中校考一模）如圖，點P是⊙O外一點．請利用尺規過點P作⊙O的一條切線PE．（保留作圖痕跡，不要求寫作法和證明）

【答案】見解析【分析】本題考查切線的定義和尺規作圖；作法為：①連接OP，以OP為直徑作⊙O'；②⊙O'與⊙O相交于點E，作直線【詳解】解：如圖，直線PE即為所求，

證明：∵OP是直徑，∴∠OEP=90°，∴OE⊥PE，∴PE是⊙O的切線．【變式11-2】（2023·江蘇揚州·模擬預測）用直尺和圓規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法：

(1)在圖①中，已知⊙O1，點P在⊙O1上，過點P作(2)在圖②中，已知⊙O2，點Q在⊙O2外，過點Q作【答案】(1)見詳解(2)見詳解【分析】本題考查了作圖?復雜作圖、也考查了切線的判定．復雜作圖是在五種基本作圖的基礎上進行作圖，一般是結合了幾何圖形的性質和基本作圖方法．解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結合幾何圖形的基本性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作（1）以O1為圓心，大于O1P為半徑畫弧，再以P為圓心，適當長度為半徑畫弧，分別相交于點M、N，連接MN，點P在直線MN（直線l1）上，即可得直線過P點作（2）連接QO2，作QO2的垂直平分線得到中點O，然后以O點為圓心，OQ為半徑作圓交⊙O2于A、【詳解】（1）解：如圖①，切線l1

（2）解：如圖②，切線l2

【變式11-3】（2023·北京海淀·模擬預測）探究：如圖①，點P在⊙O上，利用直尺（沒有刻度）和圓規過點P作⊙O的切線，小明所在的數學小組經過合作探究，發現了很多作法，精彩紛呈．作法一：①作直徑PA的垂直平分線交⊙O于點B；②分別以點B、P為圓心，OP為半徑作弧，交于點C；③作直線PC．作法二：①作直徑PA的四等分點B、C；②以點A為圓心，CA為半徑作弧，交射線PA于點D；③分別以點A、P為圓心，PD、PC為半徑作弧，兩弧交于點E；④作直線PE．以上作法是否正確？選一個你認為正確的作法予以證明．【答案】兩種作法都正確，證明見解答．【分析】選作法一、連接BC，判斷出四邊形OBCP為菱形，得出∠BOP=90°，進而判斷出∠OPC=90°，即可得出結論；選作法二、連接DE，設PD=5x，AP=4x，PC=3x，得出PE2+PA【詳解】解：選作法一、如圖作法一，

連接BC，由題意得，OB=OP=BC=PC，∴四邊形OBCP為菱形，∴∠BOP=90°，∴OB∥CP，∵∠BOP=90°，∴∠OPC=90°，∵OP為⊙O的半徑，∴PC是⊙O的切線；選作法二、如圖作法二，

連接DE，由題意設，AP=4x，∴PE=3x，AE=PD=4x，∴PE∴△APE是直角三角形，∠APE=90°，∵OP為⊙P的半徑，∴PE是⊙O的切線．【點睛】此題主要考查了尺規作圖，正方形的判定和性質，勾股定理的逆定理，正確作出輔助線是解本題的關鍵．【題型12尺規作圖-作外接圓】【例12】（2023·陜西西安·高新一中校考模擬預測）如圖，△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分線，求作⊙O，使得⊙O經過△ABC的三個頂點．

【答案】見解析【分析】根據等腰三角形的性質得到AD垂直平分BC，作AB的垂直平分線交AD于點O，則O點到點A、B、C的距離相等，則以【詳解】解：如圖，作AB的垂直平分線交AD于點O，然后以O點為圓心，OA為半徑作圓，則⊙O為所作，如圖所示：

．【點睛】本題考查了作圖—復雜作圖：解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結合幾何圖形的基本性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作，也考查了等腰三角形的性質和三角形外接圓．【變式12-1】（2023·陜西渭南·統考一模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點D在AC上，連接BD，利用尺規作圖法求作⊙O，使⊙O經過點B、C、D【答案】見解析【分析】作出線段BD的垂直平分線交BD于點O，以O為圓心，以OD為半徑作圓，即可作答．【詳解】作出線段BD的垂直平分線交BD于點O，以O為圓心，以OD為半徑作圓，如下圖：⊙O即為所求．證明：連接OC，根據作圖可知：點O是Rt△DBC斜邊的中點，即OC=即點C在以BD為直徑的圓上，即⊙O經過點B、C、D．【點睛】本題考查了線段垂直平分線的尺規作圖，圓周角定理，直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半等知識，掌握圓周角定理是解答本題的關鍵．【變式12-2】（2023·廣東廣州·校聯考一模）如圖，在RtΔAEF中，∠E=90°，點C在AE上，點B在AF上，(1)尺規作圖：作△ABC的外接圓⊙O，使它與EF相切于點D（保留作圖痕跡，不需寫作法）；(2)連接AD，求證：AD是∠BAC的平分線；(3)若AC=2，CE=1，求BD的長度．（結果保留π)．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)2π【分析】（1）先作AB的垂直平分線，其與AB的交點即為圓心O，然后以O為圓心，以OA的長為半徑畫弧交EF于D，點D即為所求；（2）先證OD∥AE，得到∠ADO=∠DAC，再由OA=OD，得到∠OAD=∠ODA，則∠OAD=∠DAC，即可證明AD平分∠（3）設OD與BC交于點G，先證明∠ACB=∠OGB=90°，得到OGOB=ACAB，四邊形CEDG是矩形，則OG=AC?OBAB=12AC=1，DF=CE=1，OD=OA=OB=2，求出【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求；先作AB的垂直平分線，其與AB的交點即為圓心O，然后以O為圓心，以OA的長為半徑畫弧交EF于D，點D即為所求（2）解：∵EF是圓O的切線，∴OD⊥EF，∵∠E=90°，即AE⊥EF，∴OD∥∴∠ADO=∠DAC，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∴∠OAD=∠DAC，∴AD平分∠BAC；（3）解：設OD與BC交于點G，∵BC∥∴OD⊥BC，∴∠ACB=∠OGB=90°，∴sin∠ABC=sin∠OBG∴OG=AC?OBAB=12AC=1∴OD=OA=OB=2，∴sin∠OBG=∴∠OBG=30°，∴∠BOG=60°，∴BD=【點睛】本題主要考查了圓切線的性質，等腰三角形的性質，平行線的性質與判定，解直角三角形，求弧長，矩形的性質與判定，作外切圓等等，熟知相關知識是解題的關鍵．【變式12-3】（2023·廣東廣州·統考二模）如圖，在等腰△ABC中，∠A=∠B=30°，過點C作CD⊥AC交AB于點D，

(1)尺規作圖：作AD的垂直平分線，交AD于點O，以點O為圓心，OA為半徑作⊙O（保留痕跡，不要求寫作法）；(2)在（1）所作的圖形中，①求證：BC是⊙O的切線；②若⊙O的半徑為3，問線段BC上是否存在一點P，使得以P，D，B為頂點的三角形與△BOC相似?若存在，求出DP的長；若不存在，請說明理由.【答案】(1)見解析(2)①見解析；②存在，32或【分析】（1）因為CD⊥AC，所以以AD為直徑作圓即為⊙O；（2）①BC過半徑OC外端點C，要證BC是過A，D，C三點的圓的切線，只證OC⊥BC即可；②通過證明△BDP～△BCO，再利用相似比即可求得DP的長．【詳解】（1）作AD的垂直平分線，交AD于點O，

以點O為圓心，OA長為半徑作圓即為所作的．（2）①∵CD⊥AC，∴∠ACD=90°，∴AD是⊙O的直徑．連接OC，∵∠A=∠B=30°，∴∠ACB=120°．又∵OA=OC，∴∠ACO=∠A=30°．∴∠BCO=∠ACB-∠ACO=120°-30°=90°．∴BC⊥OC．∴BC是⊙O的切線．②存在．∵∠BCD=∠ACB-∠ACD=120°-90°=30°，∴∠BCD=∠B．∴DB=DC．在Rt△ACD中，DC=AD?∴BD=3過點D作DP1∥∴P1∵BO=BD+OD=23∴P1D=②過點D作DP2⊥AB∴P2∵BC=B∴P2D=綜上，DP的長為32或1【點睛】此題主要考查相似三角形的判定，外接圓作法及切線的判定的綜合運用．【題型13尺規作圖-作內切圓】【例13】（2023·江蘇無錫·統考一模）如圖，已知△ABC．(1)請在圖1中用無刻度的直尺和圓規作圖：作△ABC的內切圓⊙O；（不寫作法，保留作圖痕跡）(2)在（1）的條件下，若AC=4，AB=5，BC=6，則tan∠OBC=__________．（如需畫草圖，請使用圖2【答案】(1)見解析(2)7【分析】（1）作∠ACB,∠ABC的角平分線，交于點O，過點O作BC的垂線，交BC于點D，以點O為圓心，OD為半徑畫圓，⊙O即為所求；（2）如圖，切線長定理求出BD的長，等積法求出OD的長，再利用tan∠OBC=【詳解】（1）解：如圖所示，⊙O即為所求；（2）設AB,AC分別切⊙O于點E,F，連接OE,OF，則：OE⊥AB,OF⊥AC，OD=OE=OF，由題意，得：OD⊥BC，BD=BE,AE=AF,CD=CF，設BD=BE=x，∴AE=AF=AB-BE=5-x，CD=CF=BC-BD=6-x，∴AC=AF+CF=5-x+6-x=4，∴x=7過點A作AG⊥BC于點G，則：∠AGB=∠AGC=90°，設BG=a，則：CG=6-a，∵A∴52解得：a=15∴AG=A∵S△ABC∴12BC?AG=1∴OD=7∴tan∠OBC=故答案為：77【點睛】本題考查三角形的內切圓，切線長定理，解直角三角形．熟練掌握等積法求三角形的內切圓的半徑，是解題的關鍵．【變式13-1】（2023·山東青島·統考一模）已知：在△ABC及AB邊上一點E．求作：⊙O，使它分別于AB，BC相切，且點【答案】見解析【分析】過點E作AB的垂線，作∠ABC的平分線，兩條線相交于點O，以點O為圓心，OE為半徑作⊙O即可．【詳解】解：如圖，⊙O即為所求．【點睛】此題考查了作圖—復雜作圖，切線的判定和性質，解題的關鍵是掌握線段垂直平分線和角平分線的作法．【變式13-2】（2023·陜西·陜西師大附中校考模擬預測）如圖，在△ABC中，∠B=∠C，AD是BC邊上的中線．請用尺規作圖法，求作△ABC的內切圓．（保留作圖痕跡，不寫作法）【答案】見解析【分析】根據三角形內切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點，作出∠ACB平分線與AD交于O點，即內切圓圓心，然后以點O為圓心，以OD長為半徑畫圓即可．【詳解】解：如圖，∠ACB平分線CO交AD于O點，然后以點O為圓心，以OD長為半徑畫圓作⊙O，⊙O即為所求．【點睛】本題主要考查了復雜作圖和三角形的內切圓，正確把握三角形內切圓的圓心是三角形三邊角平分線的交點是解題的關鍵．【變式13-3】（2023·福建福州·模擬預測）如圖，ΔABC是直角三角形，∠C=90°．（1）請作出ΔABC的內切圓⊙O（尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）．（2）設（1）中作出的⊙O與邊AB，BC，CA分別相切于點D，E，F，BC=8，AC=6，①∠AOB=______°；②BD=_______．【答案】（1）見解析；（2）135；6．【分析】（1）首先由三角形的內心是三角形三個角平分線的交點，確定圓心，然后作邊的垂線，確定半徑，繼而可求得△ABC的內切圓；（2）利用角平分線的性質得到∠OAB+∠OBA=12(∠CAB+∠CBA)，再由三角形內角和定理即可求得∠AOB=180°-(∠OAB+∠OBA)=135°；根據切線長定理即可求得BD【詳解】解：（1）如圖所示：⊙O即為所求；（2）由作圖知，OA、OB分別是∠CAB、∠CBA的角平分線，∴∠OAB=12∠CAB、∠OBA=12∠∴∠OAB+∠OBA=12(∠CAB+∠CBA)∵∠C=90°，∴∠CAB+∠CBA=90°，∴∠OAB+∠OBA=45°，∴∠AOB=180°-(∠OAB+∠OBA)=135°；∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=8，AC=6，∴AB=BC2+∵⊙O與邊AB，BC，CA分別相切于點D，E，F，由切線長定理得AD=AF，CF=CE，BD=BE，設BD=BE=x，則AD=AF=10-x，CF=CE=8-x，∵AF+CF=AC=6，∴10-x+8-x=6，解得：x=6，故答案為：135；6．【點睛】本題主要考查了作圖－復雜作圖，切線長定理，關鍵是掌握三角形的內心是三角形角平分線的交點．【題型14尺規作圖-作圓內接正多邊形】【例14】（2023·廣東中山·統考三模）如圖，△ABC中，AB＝AC．求作一點D，使得以A、B、C、D為頂點的四邊形是菱形，并證明你作圖的正確性．（要求：尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）【答案】見解析【分析】