[知識能否憶起]

一、命題的概念可以

、用文字或符號表述的語句叫作命題．其中判斷為

的語句叫真命題，判斷為

的語句叫假命題．

判斷真假假真二、四種命題及其關系1．四種命題間的相互關系：2．四種命題的真假關系(1)兩個命題互為逆否命題，它們有

的真假性；(2)兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性

．三、充分條件與必要條件1．如果p?q，則p是q的

，q是p的

．2．如果p?q，q?p，則p是q的

．相同沒有關系充分條件必要條件充要條件[小題能否全取]1．(教材習題改編)下列命題是真命題的為(

)答案：A答案：B3．(2012·溫州適應性測試)設集合A，B，則A?B是A∩B＝A成立的 (

)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：由A?B，得A∩B＝A；反過來，由A∩B＝A，且(A∩B)?B，得A?B.因此，A?B是A∩B＝A成立的充要條件．答案：C4．“在△ABC中，若∠C＝90°，則∠A、∠B都是銳角”的否命題為：____________________.

解析：原命題的條件：在△ABC中，∠C＝90°，結論：∠A、∠B都是銳角．否命題是否定條件和結論．即“在△ABC中，若∠C≠90°，則∠A、∠B不都是銳角”．

答案：“在△ABC中，若∠C≠90°，則∠A、∠B不都是銳角”5．下列命題中所有真命題的序號是________．①“a>b”是“a2>b2”成立的充分條件；②“|a|>|b|”是“a2>b2”成立的必要條件；③“a>b”是“a＋c>b＋c”成立的充要條件．答案：②③1.充分條件與必要條件的兩個特征(1)對稱性：若p是q的充分條件，則q是p的必要條件，即“p?q”?“q?p”；(2)傳遞性：若p是q的充分(必要)條件，q是r的充分(必要)條件，則p是r的充分(必要)條件．注意區分“p是q的充分不必要條件”與“p的一個充分不必要條件是q”兩者的不同，前者是“p?q”而后者是“q?p”．2．從逆否命題，談等價轉換由于互為逆否命題的兩個命題具有相同的真假性，因而，當判斷原命題的真假比較困難時，可轉化為判斷它的逆否命題的真假，這就是常說的“正難則反”．[答案]

C

在判斷四個命題之間的關系時，首先要分清命題的條件與結論，再比較每個命題的條件與結論之間的關系．要注意四種命題關系的相對性，一旦一個命題定為原命題，也就相應的有了它的“逆命題”“否命題”“逆否命題”；判定命題為真命題時要進行推理，判定命題為假命題時只需舉出反例即可．對涉及數學概念的命題的判定要從概念本身入手．

A．①②③④

B．①③④C．②③④ D．①④[自主解答]

①中否命題為“若x2＋y2＝0，則x＝y＝0”，正確；③中，Δ＝1＋4m，當m>0時，Δ>0，原命題正確，故其逆否命題正確；②中逆命題不正確；④中原命題正確故逆否命題正確．[答案]

BA．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件(2)(2011·福建高考)若a∈R，則“a＝2”是“(a－1)·(a－2)＝0”的(

)A．充分而不必要條件

B．必要而不充分條件

C．充要條件

D．既不充分又不必要條件[答案]

(1)B

(2)A充要條件的判斷，重在“從定義出發”，利用命題“若p，則q”及其逆命題的真假進行區分，在具體解題中，要注意分清“誰是條件”“誰是結論”，如“A是B的什么條件”中，A是條件，B是結論，而“A的什么條件是B”中，A是結論，B是條件．有時還可以通過其逆否命題的真假加以區分．2．下列各題中，p是q的什么條件？(1)在△ABC中，p：A＝B，q：sinA＝sinB；(2)p：|x|＝x，q：x2＋x≥0.[例3]

方程ax2＋2x＋1＝0至少有一個負實根的充要條件是 (

)A．0<a≤1

B．a<1C．a≤1 D．0<a≤1或a<0

法二：(排除法)當a＝0時，原方程有一個負實根，可以排除A、D；當a＝1時，原方程有兩個相等的負實根，可以排除B，所以選C.[答案]

C3．(2013·蘭州調研)“x∈{3，a}”是不等式2x2－5x－3≥0成立的一個充分不必要條件，則實數a的取值范圍是 ()[答案]

D[典例]

(2012·山東高考)設a>0且a≠1，則“函數f(x)＝ax在R上是減函數”是“函數g(x)＝(2－a)x3在R上是增函數”的 ()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件[常規解法]

“函數f(x)＝ax在R上是減函數”的充要條件是p：0<a<1.因為g′(x)＝3(2－a)x2，而x2≥0，所以“函數g(x)＝(2－a)x3在R上是增函數”的充要條件是2－a>0，即a<2.又因為a>0且a≠1，所以“函數g(x)＝(2－a)x3在R上是增函數”的充要條件是q：0<a<2且a≠1.顯然p?q，但q

p，所以p是q的充分不必要條件，即“函數f(x)＝ax在R上是減函數”是“函數g(x)＝(2－a)x3在R上是增函數”的充分不必要條件．[答案]

A1．充分、必要條件的判定方法有定義法、集合法和等價轉化法．2．三種不同的方法各適用于不同的類型，定義法適用于定義、定理判斷性問題，而集合法多適用于命題中涉及字母的范圍的推斷問題，等價轉化法適用于條件和結論帶有否定性詞語的命題，常轉化為其逆否命題來判斷．[巧思妙解]

p：“函數f(x)＝ax在R上是減函數”等價于0<a<1.q：“函數g(x)＝(2－a)x3在R上是增函數”等價于2－a>0，即a<2.而{a|0<a<1}是{a|a<2}的真子集．故答案為充分不必要.答案：B

教師備選題（給有能力的學生加餐）1．(2012·濟南模擬)在命題p的四種形式的命題(原命題、逆命題、否命題、逆否命題)中，正確命題的個數記為f(p)，已知命題p：“若兩條直線l1：a1x＋b1y＋c1＝0，l2：a2x＋b2y＋c2＝0平行，則a1b2－a2b1＝0”．那么f(p)＝ (

)A．1 B．2C．3 D．4解題訓練要高效見“課時跟蹤檢測（二）”解析：若兩條直線l1：a1x＋b1y＋c1＝0與l2：a2x＋b2y＋c2＝0平行，則必有a1b2－a2b1＝0，但當a1b2－a2b1＝0時，直線l1與l2不一定平行，還有可能重合，因此命題p