超幾何分布新課程標(biāo)準(zhǔn)解讀核心素養(yǎng)1．理解超幾何分布及其推導(dǎo)過程；2．能用超幾何分布解決一些簡單的實際問題．(重點、難點)數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模：超幾何分布的概念及應(yīng)用.情境導(dǎo)入在產(chǎn)品質(zhì)量管理中，常常通過抽樣來分析合格品和不合格品的分布，進(jìn)而分析產(chǎn)品質(zhì)量．假定一批產(chǎn)品共N件，其中有M件不合格品，隨機(jī)取出的n件產(chǎn)品中，不合格品數(shù)X的概率分布如何？用怎樣的數(shù)學(xué)模型刻畫上述問題？已知100件產(chǎn)品中有8件次品，現(xiàn)從中采用有放回方式隨機(jī)抽取4件．設(shè)抽取的4件產(chǎn)品中次品數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列.采用有放回抽樣，則每次抽到次品的概率為0.08，且各次抽樣的結(jié)果相互獨立,此時X服從二項分布,即X～B(4，0.08).P(X＝k)＝k＝0，1，2，3,4C4

k0.08k(1-0.08)4-k1.超幾何分布的概念一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件，其中有M件次品，從N件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的分布列為P(X＝k)＝___________，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.其中n，M，N∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}，如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式，那么稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布.N—總體中的個體總數(shù)M—總體中的特殊個體總數(shù)(如次品總數(shù))n—樣本容量k—樣本中的特殊個體數(shù)(如次品數(shù))2.超幾何分布的均值則p是N件產(chǎn)品的次品率，設(shè)隨機(jī)變量X服從超幾何分布，則X可以解釋為從包含M件次品的N件產(chǎn)品中，不放回地隨機(jī)抽取n件產(chǎn)品中的次品數(shù).令是抽取的n件產(chǎn)品的次品率，np1.怎樣判斷一個變量是否服從超幾何分布①總體中含有兩類不同的個體；②不放回地抽取，且無先后順序；③隨機(jī)變量是從總體中抽取的n個個體中某一類個體的數(shù)量.2.超幾何分布與二項分布有什么聯(lián)系？一般地,超幾何分布的模型是“取次品”是不放回抽樣,而二項分布的模型是“獨立重復(fù)試驗”對于抽樣,則是有放回抽樣.超幾何分布和二項分布都可以描述隨機(jī)抽取的n件產(chǎn)品中次品數(shù)的分布規(guī)律，并且二者的均值相同.對于不放回抽樣，當(dāng)n遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于N時,每抽取一次后，對N的影響很小，此時，超幾何分布可以用二項分布近似表示.探究點1超幾何分布的辨析例1下列問題中，哪些屬于超幾何分布問題，說明理由.(1)拋擲三枚骰子,所得向上的數(shù)是6的骰子的個數(shù)記為X，求X的分布列；(2)有一批種子的發(fā)芽率為70%，任取10粒種子做發(fā)芽試驗，把試驗中發(fā)芽的種子粒數(shù)記為X，求X的分布列；【解】

(1)(2)中樣本沒有分類,不是超幾何分布問題，是重復(fù)試驗問題.(3)(4)符合超幾何分布的特征，樣本都分為兩類，隨機(jī)變量X表示抽取n件樣本某類樣本被抽取的件數(shù)，是超幾何分布.(5)中沒有給出不合格產(chǎn)品數(shù)，無法計算X的分布列，所以不屬于超幾何分布問題.

超幾何分布的判定滿足超幾何分布模型的事件的總體都是由較明顯的兩部分組成,如男生與女生、正品與次品、優(yōu)與劣等.判斷一個隨機(jī)變量是否服從超幾何分布,關(guān)鍵是看隨機(jī)變量是否滿足超幾何分布的特征：①不放回抽樣；②一個總體(共有N個)內(nèi)含有兩種不同的事物A(有M個)，B(有N－M個)，任取n個，其中恰有X個A.符合以上特征即可斷定隨機(jī)變量服從超幾何分布.

探究點2超幾何分布的概率和均值例2

在高二年級的聯(lián)歡會上設(shè)計了一個摸獎游戲，在一個口袋中裝有5個紅球和10個白球，這些球除顏色外完全相同，一次從中摸出3個球，至少摸到2個紅球就中獎，求中獎的概率．由題意知，摸到紅球個數(shù)X為離散型隨機(jī)變量，X服從超幾何分布，則至少摸到2個紅球的概率為P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)例3在一次購物抽獎活動中，假設(shè)10張獎券中有一等獎獎券1張，可獲價值50元的獎品，有二等獎獎券3張，每張可獲價值10元的獎品，其余6張沒有獎品．(1)顧客甲從10張獎券中任意抽取1張，求中獎次數(shù)X的分布列；(2)顧客乙從10張獎券中任意抽取2張，①求顧客乙中獎的概率；②設(shè)顧客乙獲得的獎品總價值為Y元，求Y的分布列．(1)抽獎一次，只有中獎和不中獎兩種情況，故X的取值只有0和1兩種情況．則P(X＝0)＝1－P(X＝1)＝因此X的分布列為：(2)①顧客乙中獎可分為互斥的兩類事件：所抽取的2張獎券中有1張中獎或2張都中獎．故所求概率P＝②Y的所有可能取值為0,10,20,50,60，且因此隨機(jī)變量Y的分布列為：從一批含13件正品、2件次品的產(chǎn)品中，不放回地任取3件，求至少有一件次品的概率．解析：由題意知X服從超幾何分布，其中N＝15，M＝2，n＝3，則P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝故至少有一件次品的概率為已知100件產(chǎn)品中有10件次品，從中任取3件，則任意取出的3件產(chǎn)品中次品數(shù)的數(shù)學(xué)期望為________．次品數(shù)服從超幾何分布，依題意，得甲能通過的概率為P(X＝3)＋P(X＝4)＝探究點3超幾何分布的綜合應(yīng)用

例4(2021·天津高二期中)某校選拔主持人，現(xiàn)有來自高一年級參賽選手4名，其中男生2名；高二年級參賽選手4名，其中男生3名.從這8名參賽選手中隨機(jī)選擇4人組成搭檔參賽.(1)設(shè)A為事件“選出的4人中恰有2名男生，且這2名男生來自同一個年級”，求事件A發(fā)生的概率；(2)設(shè)X為選出的4人中男生的人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望(1)由已知有P(A)＝(2)隨機(jī)變量X服從超幾何分布，X的所有可能取值為1，2，3，4，P(X＝k)所以隨機(jī)變量X的分布列為所以隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為袋中有4個紅球、3個黑球，從袋中隨機(jī)取球，設(shè)取到一個紅球得2分，取到一個黑球得1分，從袋中任取4個球．試求得分X大于6分的概率．