海南省2023—2024學(xué)年高三學(xué)業(yè)水平診斷（四）數(shù)學(xué)考生注意：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將考生號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.復(fù)數(shù)的虛部為（）A. B. C. D.3.已知函數(shù)，則曲線在處的切線方程為（）A. B. C. D.4.我們平時(shí)登錄各類網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)的密碼中的不同符號(hào)都各自對(duì)應(yīng)一個(gè)字節(jié)數(shù)，若某個(gè)密碼使用的符號(hào)對(duì)應(yīng)的字節(jié)數(shù)分別為1，2，4，4，6，7，8，則這組數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)為（）A.4 B.5 C.6 D.75.已知為等差數(shù)列，，，則（）A.32 B.27 C.22 D.176.將橢圓（）上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的（）倍，縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的（）倍得到橢圓，設(shè)，的離心率分別為，，則下列說法正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則7.已知正四棱臺(tái)的上底面積為16，下底面積為64，且其各個(gè)頂點(diǎn)均在半徑的球的表面上，則該四棱臺(tái)的高為（）A.2 B.8 C.2或12 D.4或88.已知函數(shù)的圖象在區(qū)間（）內(nèi)恰好有5對(duì)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)，則的值可以是（）A.4 B.5 C.6 D.7二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.設(shè)，是兩個(gè)平面，，是兩條不同的直線，則下列命題為真命題的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則10.已知實(shí)數(shù)，，滿足，，，則（）A. B.C. D.當(dāng)最小時(shí)，11.在平面四邊形中，已知，且，，則（）A.的面積為B.的面積為2C.四邊形為等腰梯形D.在方向上的投影向量為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.近日海南文旅火爆出圈，海南島優(yōu)美的海濱景觀和深厚的文化底蘊(yùn)吸引著全國(guó)各地游客前往，小明計(jì)劃假期去海口、三亞、儋州、文昌、瓊海五個(gè)城市游玩，每個(gè)城市都去且只去一次，若儋州和文昌這兩個(gè)城市不排在最前面和最后面，則不同的游玩順序有________種.（用數(shù)字作答）13.已知函數(shù)在內(nèi)恰有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是___________.14.已知為雙曲線的右支上一點(diǎn)，點(diǎn)，分別在的兩條漸近線上，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若四邊形為平行四邊形，且，則__________.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.（13分）甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行排球比賽，規(guī)則是：每個(gè)回合由一方發(fā)球，另一方接球，每個(gè)回合的勝方得1分，負(fù)方不得分，且勝方為下一回合的發(fā)球方.無論之前得分情況如何，每個(gè)回合中發(fā)球方得分的概率均為，接球方得分的概率均為，且第一回合的發(fā)球方為甲隊(duì).（Ⅰ）求第二回合甲隊(duì)得分的概率；（Ⅱ）設(shè)前三個(gè)回合中，甲隊(duì)發(fā)球的次數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.16.（15分）如圖，在三棱錐中，和均為等腰直角三角形，，，為棱的中點(diǎn)，且.（Ⅰ）求證：平面平面；（Ⅱ）求二面角的正弦值.17.（15分）已知為等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，，.（Ⅰ）求的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）記各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，證明：當(dāng)時(shí)，.18.（17分）（Ⅰ）證明：當(dāng)時(shí)，；（Ⅱ）若過點(diǎn)且斜率為（）的直線與曲線交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：.19.（17分）在直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)到直線（）的距離等于點(diǎn)到點(diǎn)的距離，動(dòng)點(diǎn)在圓上，且的最小值為，設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為.（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）已知圓的切線與曲線交于，兩點(diǎn)，求的最小值.

海南省2023—2024學(xué)年高三學(xué)業(yè)水平診斷（四）數(shù)學(xué)·答案一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.1.答案：D命題意圖：本題考查集合的表示與運(yùn)算.解析：因?yàn)椋?2.答案：B命題意圖：本題考查復(fù)數(shù)的概念和運(yùn)算.解析：由，可知虛部為.3.答案：A命題意圖：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義.解析：因?yàn)椋裕瑒t，，所以曲線在處的切線方程為，即.4.答案：D命題意圖：本題考查百分位數(shù)的計(jì)算.解析：，故該組數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)是從小到大第6個(gè)數(shù)據(jù)，為7.5.答案：C命題意圖：本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)解析：由，，兩式相減可得，所以，再由，可得，所以.6.答案：B命題意圖：本題考查橢圓的幾何性質(zhì).解析：由題意，橢圓的焦點(diǎn)在軸上，若，則從變換到的過程中，軸方向比軸方向上的伸長(zhǎng)幅度更大，所以比更扁，即，所以B正確.若，當(dāng)?shù)慕裹c(diǎn)也在軸上時(shí)，，當(dāng)?shù)慕裹c(diǎn)在軸上時(shí)，和的大小不確定，所以A，C，D都不正確.7.答案：C命題意圖：本題考查正四棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征.解析：如圖，連接，交于點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，連接，則由球的幾何性質(zhì)可知，正四棱臺(tái)的外接球的球心必在直線上.由題意可得，，連接，，在中，，即，得.在中，，即，得.當(dāng)球心在線段上時(shí)（如圖），，當(dāng)球心在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)（圖略），.8.答案：C命題意圖：本題考查分段函數(shù)的圖象.解析：因?yàn)榕c的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，所以問題轉(zhuǎn)化為的圖象與的圖象在（）內(nèi)有5個(gè)不同的交點(diǎn)，結(jié)合圖象可得的值可以是6.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.每小題全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.答案：BD命題意圖：本題考查空間位置關(guān)系的判斷.解析：對(duì)于A，由于，，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由于，，所以，故B正確；對(duì)于C，若，，則，可能平行、相交或異面，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若，，則，故D正確.10.答案：BCD命題意圖：本題考查不等式的性質(zhì).解析：對(duì)于A，當(dāng)，時(shí)，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由得，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)椋裕驗(yàn)椋缘忍?hào)不成立，故C正確；對(duì)于D，最小即數(shù)軸上到和的距離之和最小，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)最小，此時(shí)，故D正確.11.答案：ABD命題意圖：本題考查平面向量與解三角形.解析：對(duì)于A，由，得，所以，所以，因?yàn)椋裕詾榈冗吶切危裕蔄正確；對(duì)于B，設(shè)，由余弦定理，得，由，解得，所以，即，所以，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)椋耘c不平行，與不平行，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)椋裕郑裕瑒t由余弦定理知，所以，所以向量在方向上的投影向量為，故D正確.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.答案：36命題意圖：本題考查排列組合的應(yīng)用.解析：先從海口、三亞、瓊海這三個(gè)城市中任選兩個(gè)安排在最前面和最后面，中間三個(gè)位置可以任意排列，所以不同的游完順序有種.13.答案：命題意圖：本題考查三角函數(shù)的性質(zhì).解析：當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樵趦?nèi)恰有3個(gè)零點(diǎn)，所以結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可得，所以.14.答案：命題意圖：本題考查雙曲線與直線的位置關(guān)系.解析：設(shè)，易知雙曲線的漸近線的方程為，由題意可知，.由得不妨取，同理可得，則，，于是，又，所以.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.命題意圖：本題考查相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算、隨機(jī)變量的分布列和期望.解析：（Ⅰ）所求概率為.（Ⅱ）的所有可能取值為1，2，3，，，.故的分布列為123的數(shù)學(xué)期望.16.命題意圖：本題考查面面垂直的證明以及利用空間向量計(jì)算二面角.解析：（Ⅰ）設(shè)，如圖，取的中點(diǎn)，連接，.因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，且，又，所以，又為等腰直角三角形，，所以且，所以是二面角的平面角.易知，所以，所以，所以平面平面.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，兩兩互相垂直，故以為原點(diǎn)，，，的方向?yàn)椋S的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖.設(shè)，則，，，所以，.設(shè)為平面的法向量，則取.平面的一個(gè)法向量為.因?yàn)椋远娼堑恼抑禐?17.命題意圖：本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)及相關(guān)運(yùn)算.解析：（Ⅰ）設(shè)的公比為，則，所以.又，所以，所以.（Ⅱ）因?yàn)椋裕瑢⑸厦娓魇嚼鄢说?所以當(dāng)時(shí)，.18.命題意圖：本題考查利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)證明不等式.解析：（Ⅰ）設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，即.設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，即.綜上可得：當(dāng)時(shí)，.（Ⅱ）由題意可知直線的方程為，設(shè)，，不妨設(shè)，則.由（Ⅰ）知：當(dāng)時(shí)，，所以，整理可得，即，所以.在中，用替換可得，所以，所以，即，所以.所以.19.命題意圖：本題考查拋物線、圓與直線的綜合問題.解析：（Ⅰ