2019年山東省泰安市中考數學試卷

一、選擇題（本大題共12小題，在每小題給出的四個選項中，只有一個是正確的，請把正

確的選項選出來，每小題選對得4分，選錯、不選或選出的答案超過一個，均記零分）

1.（4分）在實數|-3.14|,-3,-用，TT中，最小的數是（）

A.-V3B.-3C.|-3.14|D.it

2.（4分）下列運算正確的是（）

A.<764-tz3=a3B.a4,a2=a8C.(2a2)3=6a6D.c^+a2=a4

3.（4分）2018年12月8日，我國在西昌衛星發射中心成功發射“嫦娥四號”探測器，“嫦

娥四號”進入近地點約200公里、遠地點約42萬公里的地月轉移軌道，將數據42萬公

里用科學記數法表示為（）

A.4.2X109米B.4.2X108米C.42X1()7米D.4.2X1Q7米

是軸對稱圖形且有兩條對稱軸的是（）

A.①②B.②③C.②④D.③④

D.240°

6.（4分）某射擊運動員在訓練中射擊了10次，成績如圖所示:

下列結論不正確的是（）

A.眾數是8B.中位數是8

C.平均數是8.2D.方差是1.2

f5x+4>2（x-l）,

7.（4分）不等式組<2x+53x-2、的解集是（）

~~~2

A.尤W2B.x2-2C.-2<xW2D.-2Wx<2

8.（4分）如圖，一艘船由A港沿北偏東65。方向航行30證切2至2港，然后再沿北偏西

400方向航行至C港，C港在A港北偏東20°方向，則A,C兩港之間的距離為（）

km.

A.30+3073B.3O+1OA/3C.10+30加D.3073

9.（4分）如圖，AABC是。。的內接三角形，ZA=119°,過點C的圓的切線交BO于點

10.（4分）一個盒子中裝有標號為1,2,3,4,5的五個小球，這些球除標號外都相同，

從中隨機摸出兩個小球，則摸出的小球標號之和大于5的概率為（）

A.1B.2C.且D.A

5555

11.（4分）如圖，將。。沿弦AB折疊，品恰好經過圓心O,若。。的半徑為3,則窟的

長為（）

A.—itB.itC.2nD.3TT

2

12.（4分）如圖，矩形ABCD中，AB=4,AD=2,E為AB的中點，尸為EC上一動點，P

為DF中點,連接PB,則PB的最小值是（）

A.2B.4C.^2D.2亞

二、填空題（本大題共6小題，滿分24分，只要求填寫最后結果，每小題填對得4分）

13.（4分）已知關于x的一元二次方程/-（24-1）%+必+3=0有兩個不相等的實數根，

則實數k的取值范圍是.

14.（4分）《九章算術》是我國古代數學的經典著作，書中有一個問題：“今有黃金九枚，

白銀一十一枚，稱之重適等，交易其一，金輕十三兩，問金、銀一枚各重幾何？”意思

是：甲袋中裝有黃金9枚（每枚黃金重量相同），乙袋中裝有白銀11枚（每枚白銀重量

相同），稱重兩袋相等，兩袋互相交換1枚后，甲袋比乙袋輕了13兩（袋子重量忽略不

計），問黃金、白銀每枚各重多少兩？設每枚黃金重龍兩，每枚白銀重y兩，根據題意可

列方程組為.

15.（4分）如圖，ZAOB=90°,ZB=30°,以點。為圓心，04為半徑作弧交AB于點

A、點C,交于點D,若04=3,則陰影都分的面積為.

16.（4分）若二次函數-5的對稱軸為直線尤=2,貝快于x的方程x2+6x-5=2r

-13的解為.

17.（4分）在平面直角坐標系中，直線/：y=x+l與y軸交于點4，如圖所示，依次作正

方形。4181。，正方形CiA222c2,正方形C2A323c3,正方形C3A4&C4,……,點4,

人2，人3，人4,在直線/上，點Ci,C2,Q,C4,在尤軸正半軸上，則前"個正

18.（4分）如圖，矩形ABC。中，AB=3娓,BC=12,E為A。中點，E為AB上一點,

將AAE尸沿EF折疊后，點A恰好落到CF上的點G處，則折痕EF的長是.

三、解答題（本大題共7小題，滿分78分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程或推演

步驟）

19.（8分）先化簡，再求值：（a-9+匹）+（a-1-4a-1）,其中a=&.

a+1a+1

20.（8分）為弘揚泰山文化，某校舉辦了“泰山詩文大賽”活動，從中隨機抽取部分學生

的比賽成績，根據成績（成績都高于50分），繪制了如下的統計圖表（不完整）：

組別分數人數

第1組90cxW1008

第2組80<rW90a

第3組70cxW8010

第4組60<x^70b

第5組50VxW603

請根據以上信息，解答下列問題:

（1）求出a,b的值;

（2）計算扇形統計圖中“第5組”所在扇形圓心角的度數;

（3）若該校共有1800名學生，那么成績高于80分的共有多少人?

\第2組\第1組/

21.（11分）已知一次函數的圖象與反比例函數>=皿的圖象交于點A,與無軸交于

x

點、B（5,0）,若j=LSAOAB=—.

2

（1）求反比例函數與一次函數的表達式；

（2）若點P為x軸上一點，AAB尸是等腰三角形，求點尸的坐標.

VA\

c|

22.（11分）端午節是我國的傳統節日，人們素有吃粽子的習俗.某商場在端午節來臨之際

用3000元購進A、B兩種粽子1100個，購買4種粽子與購買B種粽子的費用相同.已

知A種粽子的單價是B種粽子單價的1.2倍.

（1）求A、8兩種粽子的單價各是多少？

（2）若計劃用不超過7000元的資金再次購進42兩種粽子共2600個，已知A、2兩

種粽子的進價不變.求A種粽子最多能購進多少個？

23.（13分）在矩形ABC。中，于點￡,點P是邊AL（上一點.

（1）若B尸平分交AE于點G,于點R如圖①，證明四邊形AG/T

是菱形；

（2）PE±EC,如圖②，求證：AE'AB^DE'AP；

（3）在（2）的條件下，若AB=1,BC=2,求4P的長.

24.(13分)若二次函數y=a?+bx+c的圖象與無軸、y軸分別交于點A(3,0)、B(0,-

2),且過點C(2,-2).

(1)求二次函數表達式；

(2)若點尸為拋物線上第一象限內的點，且S"BA=4,求點尸的坐標；

(3)在拋物線上(AB下方)是否存在點M,使若存在，求出點M到

25.(14分)如圖，四邊形A2CD是正方形，△斯C是等腰直角三角形，點E在上，且

ZCEF=9Q°,FG±AD,垂足為點C.

(1)試判斷AG與FG是否相等？并給出證明;

(2)若點H為Cr的中點，GH與。〃垂直嗎？若垂直，給出證明；若不垂直，說明理

由.

B

2019年山東省泰安市中考數學試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（本大題共12小題，在每小題給出的四個選項中，只有一個是正確的，請把正

確的選項選出來，每小題選對得4分，選錯、不選或選出的答案超過一個，均記零分）

1.（4分）在實數|-3.14|,-3,-V3，IT中，最小的數是（）

A.-V3B.-3C.|-3.14|D.it

【分析】根據絕對值的大小進行比較即可，兩負數比較大小，絕對值大的反爾小.

【解答】解：

??,|^3I=V3<|-3|=3

（-3）

C、。項為正數，A、B項為負數,

正數大于負數，

故選：B.

【點評】此題主要考查利用絕對值來比較實數的大小，此題要掌握性質”兩負數比較大

小，絕對值大的反爾小，正數大于負數，負數的絕對值為正數

2.（4分）下列運算正確的是（）

A.a64-tz3=a3B.a4'a2=a8C.（2a2）3=6a6D.a2+a2=a4

【分析】直接利用合并同類項法則以及積的乘方運算法則、同底數累的乘除運算法則分

別計算得出答案.

【解答】解：A、a6-^-a3=a3,故此選項正確；

B、a4,a2=a6,故此選項錯誤；

C、（2/）3=8/,故此選項錯誤；

D、a2+c^=2a2,故此選項錯誤；

故選：A.

【點評】此題主要考查了合并同類項以及積的乘方運算、同底數累的乘除運算，正確掌

握相關運算法則是解題關鍵.

3.（4分）2018年12月8日，我國在西昌衛星發射中心成功發射“嫦娥四號”探測器，“嫦

娥四號”進入近地點約200公里、遠地點約42萬公里的地月轉移軌道，將數據42萬公

里用科學記數法表示為()

A.4.2X1()9米B.4.2X108米c42X1()7米D.4.2Xl(f米

【分析】科學記數法的表示形式為“X10"的形式，其中lW|a|<10,n為整數.確定n

的值時，要看把原數變成。時，小數點移動了多少位，〃的絕對值與小數點移動的位數相

同.當原數絕對值>1時，w是正數；當原數的絕對值<1時，w是負數.

【解答】解：42萬公里=420000000〃2用科學記數法表示為：4.2X1()8米，

故選：B.

【點評】此題考查了科學記數法的表示方法.科學記數法的表示形式為aX10"的形式,

其中lW|a|<10,〃為整數，表示時關鍵要正確確定a的值以及〃的值.

是軸對稱圖形且有兩條對稱軸的是()

A.①②B.②③C.②④D.③④

【分析】根據軸對稱圖形的概念分別確定出對稱軸的條數，從而得解.

【解答】解：①是軸對稱圖形且有兩條對稱軸，故本選項正確;

②是軸對稱圖形且有兩條對稱軸，故本選項正確；

③是軸對稱圖形且有4條對稱軸，故本選項錯誤；

④不是軸對稱圖形，故本選項錯誤.

故選：A.

【點評】本題考查了軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分

折疊后可重合.

5.(4分)如圖，直線Zl=30°,則/2+/3=()

-~''

<2

3

A.150°B.180°C.210°D.240°

【分析】過點E作EP〃:11,利用平行線的性質解答即可.

【解答】解：過點E作EE〃li，

Vh/712，EF//h，

：.EF//h//12,

：.Zl=ZAEF=3Q°,ZFEC+Z3=180°,

：.Z2+Z3=ZAEF+ZFEC+Z3=30°+180°=210°,

故選：C.

【點評】此題考查平行線的性質，關鍵是根據平行線的性質解答.

6.(4分)某射擊運動員在訓練中射擊了10次，成績如圖所示：

下列結論不正確的是()

A.眾數是8B.中位數是8

C.平均數是8.2D.方差是1.2

【分析】根據眾數、中位數、平均數以及方差的算法進行計算，即可得到不正確的選項.

【解答】解：由圖可得，數據8出現3次，次數最多，所以眾數為8,故A選項正確；

10次成績排序后為：6,7,7,8,8,8,9,9,10,10,所以中位數是工(8+8)=8,

2

故B選項正確；

平均數為」-(6+7X2+8X3+9X2+10X2)=8.2,故C選項正確；

10

方差為_L[(6-8.2)2+(7-8.2)2+(7-8.2)2+(8-8.2)2+(8-8.2)2+(8-8.2)

10

2+(9-8.2)2+(9-8.2)2+(10-8.2)2+(10-8.2)2]=1.56,故。選項錯誤;

故選：D.

【點評】本題主要考查了眾數、中位數、平均數以及方差，用“先平均，再求差，然后

平方，最后再平均”得到的結果表示一組數據偏離平均值的情況，這個結果叫方差.

‘5x+4>2（x-l）,

7.（4分）不等式組<2X+53X-2、的解集是（）

2~

A.xW2B.x2-2C.-2<xW2D.-2W尤<2

【分析】先求出兩個不等式的解集，再求其公共解.

'5x+4>2（x-l）①

【解答】解：?2x+5_3x-2〉］②，

由①得，尤2-2,

由②得，x<2,

所以不等式組的解集是-2W尤<2.

故選：D.

【點評】本題主要考查了一元一次不等式組解集的求法，其簡便求法就是用口訣求解.求

不等式組解集的口訣：同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到（無解）.

8.（4分）如圖，一艘船由A港沿北偏東65°方向航行30&A"至8港，然后再沿北偏西

40°方向航行至C港，C港在A港北偏東20°方向，則A,C兩港之間的距離為（）

km.

A.30+3073B.30+10V3C.10+30^3D.30M

【分析】根據題意得，ZCAB=65°-20°,ZACB=400+20°=60°,45=3072-

過B作BELAC于E,解直角三角形即可得到結論.

【解答】解：根據題意得，NCAB=65°-20°,ZACB=40°+20°=60°,AB=30&,

過8作BELAC于E,

；./AEB=NCEB=90°,

在RtZiABE中，VZABE=45°,AB=30后,

：.AE=BE=2L^AB=3Qkm,

2

在RtZXCBE中，VZACB=60°,

:.CE=?BE=lO-J^km,

3

.?.AC=AE+CE=30+10?,

AA,C兩港之間的距離為（30+10加）km,

故選：B.

【點評】本題考查了解直角三角形的應用，方向角問題，三角形的內角和，是基礎知識

比較簡單.

9.（4分）如圖，△ABC是的內接三角形，ZA=119°,過點C的圓的切線交80于點

A.32°B.31°C.29°D.61°

【分析】連接OC、CD,由切線的性質得出/OCP=90°,由圓內接四邊形的性質得出

ZODC=180°-ZA=61°,由等腰三角形的性質得出NOCZ）=NODC=61°,求出/

DOC=5S°,由直角三角形的性質即可得出結果.

【解答】解：如圖所示：連接。C、CD,

是OO的切線，

：.PC±OC,

：.ZOCP=90°,

VZA=119°,

AZODC=180°-ZA=61°,

"：OC=OD,

：.ZOCD=ZODC^61°,

AZDOC=180°-2X61°=58°,

ZP=90°-ZDOC=32°；

故選：A.

【點評】本題考查了切線的性質、等腰三角形的性質、直角三角形的性質、三角形內角

和定理；熟練掌握切線的性質是解題的關鍵.

10.（4分）一個盒子中裝有標號為1,2,3,4,5的五個小球，這些球除標號外都相同，

從中隨機摸出兩個小球，則摸出的小球標號之和大于5的概率為（）

【分析】首先根據題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結果與兩次摸出的

小球的標號之和大于5的情況，再利用概率公式即可求得答案.

【解答】解：國樹狀圖如圖所示：

???共有25種等可能的結果，兩次摸出的小球的標號之和大于5的有15種結果，

???兩次摸出的小球的標號之和大于5的概率為至=上；

255

故選：C.

/7W./Av.

1234512345123451234512345

【點評】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率.注意列表法或畫樹狀圖法可以不

重復不遺漏的列出所有可能的結果，用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之

比.

11.（4分）如圖，將OO沿弦折疊，AB恰好經過圓心O,若。。的半徑為3,則AB的

長為（)

【分析】連接OA、0B,作OC_LAB于C,根據翻轉變換的性質得到OC=L（9A,根據

2

等腰三角形的性質、三角形內角和定理求出/AOB,根據弧長公式計算即可.

【解答】解：連接OA、OB,作OCLAB于C,

由題意得，0c

2

：.ZOAC=30°,

?：OA=OB,

：.ZOBA=ZOAC=3Q°,

ZA0B=120°,

；?窟的長=120兀＞3=2m

180

【點評】本題考查的是弧長的計算、直角三角形的性質、翻轉變換的性質，掌握弧長公

式是解題的關鍵.

12.（4分）如圖，矩形ABCD中，A3=4,AD=2,E為AB的中點，F為EC上一動點,P

為DF中點，連接PB,則PB的最小值是（）

A.2B.4C.^2D.2亞

【分析】根據中位線定理可得出點點尸的運動軌跡是線段尸1P2,再根據垂線段最短可得

當3PLP1P2時，尸B取得最小值；由矩形的性質以及已知的數據即可知BPI，PP2,故

BP的最小值為BPi的長，由勾股定理求解即可.

【解答】解：如圖：

當點P與點C重合時，點尸在Pi處，CPi=DPi,

當點產與點E重合時，點尸在尸2處，EP2=DP2,

；.PIP2〃CE且PIP2=—CE

2

當點尸在EC上除點C、E的位置處時，有DP=FP

由中位線定理可知：尸1尸〃CE且尸1尸=工。尸

2

二點P的運動軌跡是線段P\P2,

...當BP±P1P2時，PB取得最小值

.矩形A8CD中，AB=4,AD=2,E為AB的中點，

:ACBE、AADE,ABCB為等腰直角三角形，CPi=2

AZADE=ZCDE=ZCP\B=45°,ZPEC=90°

/￡（尸2尸1=90°

Zr>PiP2=45°

：.ZP2PIB=90°,即BPiJ_尸1尸2,

...BP的最小值為BP的長

在等腰直角2CP1中，CPi=BC=2

:.BPi=2正

：.PB的最小值是2亞

故選：D.

【點評】本題考查軌跡問題、矩形的性質等知識，解題的關鍵是學會利用特殊位置解決

問題，有難度.

二、填空題（本大題共6小題，滿分24分，只要求填寫最后結果，每小題填對得4分）

13.（4分）已知關于x的一元二次方程（2左-1）無+正+3=0有兩個不相等的實數根,

則實數上的取值范圍是％<工.

—4—

【分析】根據方程有兩個不相等的實數根可得4=（2k-1）2-4（后+3）>0,求出k

的取值范圍；

【解答】解：.??原方程有兩個不相等的實數根，

/.△=⑵-1）2-4（正+3）=-4K1-12>0,

解得《《工；

4

故答案為：女〈工.

4

【點評】本題考查了一元二次方程中2+bx+c=0（aWO）的根與△=%2-4ac有如下關系：

①當時，方程有兩個不相等的兩個實數根；②當△=（｝時，方程有兩個相等的兩

個實數根；③當△<（）時，方程無實數根.

14.（4分）《九章算術》是我國古代數學的經典著作，書中有一個問題：“今有黃金九枚，

白銀一十一枚，稱之重適等，交易其一，金輕十三兩，問金、銀一枚各重幾何？”意思

是：甲袋中裝有黃金9枚（每枚黃金重量相同），乙袋中裝有白銀11枚（每枚白銀重量

相同），稱重兩袋相等，兩袋互相交換1枚后，甲袋比乙袋輕了13兩（袋子重量忽略不

計），問黃金、白銀每枚各重多少兩？設每枚黃金重x兩，每枚白銀重y兩，根據題意可

列方程組為_19x=ny

1（10y+x）-（8x+y）=lW

【分析】根據題意可得等量關系：①9枚黃金的重量=11枚白銀的重量；②（10枚白銀

的重量+1枚黃金的重量）-（1枚白銀的重量+8枚黃金的重量）=13兩，根據等量關系

列出方程組即可.

【解答】解：設每枚黃金重x兩，每枚白銀重〉兩，由題意得：

px=lly

1（10y+x）-（8x+y）=13

故答案為：儼

1（10y+x）-（8x+y）=15

【點評】此題主要考查了由實際問題抽象出二元一次方程組，關鍵是正確理解題意，找

出題目中的等量關系.

15.（4分）如圖，ZAOB^90°,ZB=30°,以點。為圓心，0A為半徑作弧交A3于點

A、點C,交0B于點D,若04=3,則陰影都分的面積為lit.

一4一

【分析】連接0C,作于H,根據直角三角形的性質求出根據勾股定理求

出BD,證明△AOC為等邊三角形，得到NAOC=60°,ZCOB=30°,根據扇形面積

公式、三角形面積公式計算即可.

【解答】解：連接。C,作CHLOB于

VZAOB=9Q°,ZB=30°,

AZOAB=60°,AB=2OA=6,

由勾股定理得，JAB2_QA2=3V^,

*：OA=OCfZOAB=60°,

???△AOC為等邊三角形，

AZAOC=60°,

???NCO5=30°,

:?CO=CB,CH=LOC=三,

22

???陰影都分的面積-6°兀x-1X3X3X2Z2+JLX3A/3X--30兀X§2=0二,

36022223604

故答案為：

【點評】本題考查的是扇形面積計算、等邊三角形的判定和性質，掌握扇形面積公式、

三角形的面積公式是解題的關鍵.

16.（4分）若二次函數y=/+Z?x-5的對稱軸為直線％=2,則關于x的方程/+次-5=2x

-13的解為xi=2,12=4.

【分析】根據對稱軸方程求得。，再解一元二次方程得解.

【解答】解：???二次函數y=W+灰-5的對稱軸為直線x=2,

得b=-4,

則jr+bx-5=2x-13可化為：/-4x-5=2x-13,

解得，xi=2,&=4.

故意答案為：xi=2,X2=4.

【點評】本題主要考查的是拋物線與x軸的交點，利用拋物線的對稱性求得b的值是解

題的關鍵.

17.（4分）在平面直角坐標系中，直線/：y=x+l與y軸交于點4,如圖所示，依次作正

方形。41B1G，正方形GA282c2，正方形C2A3B3c3,正方形C3A4B4c4,……，點4，

A2,A3,4,……在直線/上，點Ci,C2，C3,C4,……在x軸正半軸上，則前“個正

方形對角線長的和是&（2〃-

【分析】根據題意和函數圖象可以求得點4,42,A3,4的坐標，從而可以得到前”個

正方形對角線長的和，本題得以解決.

【解答】解：由題意可得，

點Ai的坐標為（0,1）,點A2的坐標為（1,2）,點心的坐標為（3,4）,點A4的坐標

為（7,8）,……,

：.OAi=l,CIA2=2,C2A3=4,C3A4=8,.......,

.?.前n個正方形對角線長的和是：M（OA1+C1A2+C2A3+C3A4+-+C?-iAn）=[2

（l+2+4+8+?“+2”-i）,

設S=l+2+4+8+…+2”一1,則2s=2+4+8+…+2"一。2",

則2S-S=2n-1,

：.S=2n-1,

1+2+4+8+—+2n-1=2n-1,

...前w個正方形對角線長的和是：&X（2n-1）,

故答案為：V2（2〃-1）,

【點評】本題考查一次函數圖象上點的坐標特征、規律型：點的坐標，解答本題的關鍵

是明確題意，利用數形結合的思想解答.

18.（4分）如圖，矩形ABCD中，AB=3?,BC=12,E為AD中點，尸為A3上一點，

將△AEF沿EF折疊后，點A恰好落到CF上的點G處，則折痕EF的長是，返

【分析】連接EC,利用矩形的性質，求出EG,DE的長度，證明EC平分/OCF再證

NFEC=90°,最后證△即C,利用相似的性質即可求出EF的長度.

【解答】解：如圖，連接EC,

:四邊形ABC。為矩形，

/.ZA=ZD=90°,BC=AD=U,DC=AB=3娓,

為AD中點，

：.AE=DE=LAD=6

2

由翻折知，△AEF經△GEF,

：.AE=GE=6,ZAEF=ZGEF,NEGF=/EAF=90°=ZD,

：.GE=DE,

；.EC平分NDCG,

ZDCE=ZGCE,

"：ZGEC=90°-ZGCE,ZDEC=90°-ZDCE,

：.ZGEC=ZDEC,

：.ZFEC=ZFEG+ZGEC=k.X180°=90°,

2

AZFEC=ZD=90°,

又,：4DCE=4GCE,

：.AFEC^/\EDC,

?FE_EC.

"DF=DC，

￡C=VDE2+DC2=VS2+（3>/6）

.FE3V10

：.FE=2后,

故答案為：2<\/話.

【點評】本題考查了矩形的性質，軸對稱的性質，相似三角形的判定與性質等，解題關

鍵是能夠作出適當的輔助線，連接CE,構造相似三角形，最終利用相似的性質求出結果.

三、解答題（本大題共7小題，滿分78分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程或推演

步驟）

19.（8分）先化簡，再求值：Q-9+匹）+Q-1-%ZL）,其中

a+1a+1

【分析】先根據分式的混合運算順序和運算法則化簡原式，再將。的值代入計算可得.

22

【解答】解：原式=（-?-8a-9+^L）+（.?-1.-4a-l）

a+1a+1a+1a+1

=02-8&+16,

a+1a+1

=（a14）2.a+1

a+1a（a-4）

_a~4

a

當〃=舊時，

原式=四二1=1-2M.

V2

【點評】本題主要考查分式的化簡求值，解題的關鍵是掌握分式的混合運算順序和運算

法則及二次根式的運算能力.

20.（8分）為弘揚泰山文化，某校舉辦了“泰山詩文大賽”活動，從中隨機抽取部分學生

的比賽成績，根據成績（成績都高于50分），繪制了如下的統計圖表（不完整）:

組別分數人數

第1組90c尤W1008

第2組80VxW90a

第3組70<xW8010

第4組60cxW70b

第5組50cxW603

請根據以上信息，解答下列問題:

（1）求出a,b的值；

（2）計算扇形統計圖中“第5組”所在扇形圓心角的度數；

（3）若該校共有1800名學生，那么成績高于80分的共有多少人?

【分析】（1）抽取學生人數10?25%=40（人），第2組人數40X50%-8=12（人）,

第4組人數40X50%-10-3=7（人），所以a=12,b=7；

（2）360°X磊=27°，所以“第5組”所在扇形圓心角的度數為27°；

（3）成績高于80分：1800X50%=900（人），所以成績高于80分的共有900人.

【解答】解：（1）抽取學生人數10?25%=40（人），

第2組人數40X50%-8=12（人），

第4組人數40X50%-10-3=7（人），

??〃=12,b=7；

（2）360°X磊=27。，

“第5組”所在扇形圓心角的度數為27°；

（3）成績高于80分：1800義50%=900（人），

成績高于80分的共有900人.

【點評】本題考查了統計圖，熟練掌握條形統計圖與扇形統計圖是解題的關鍵.

21.(11分)已知一次函數y=fcr+b的圖象與反比例函數y=皿的圖象交于點A,與x軸交于

X

點、B(5,0),OB=AB,且SWB=正.

2

(1)求反比例函數與一次函數的表達式；

論；

(2)分三種情況，①當時，得出尸B=5,即可得出結論；

②當時，利用點P與點8關于AD對稱，得出。尸=8。=4,即可得出結論；

③當尸時，先表示出4/=(9-a)2+9,BP2=(5-a)2,進而建立方程求解即

可得出結論.

【解答】解：(1)如圖1,過點A作AOLx軸于

'：B(5,0),

：.OB=5,

2

.,.1X5XAD=A^,

22

：.AD=3,

"：OB=AB,

'.AB—5,

在Rt^AOB中，B￡>=7AB2-AD2=4,

：?OD=OB+BD=9,

：.A(9,3),

將點A坐標代入反比例函數y=EL中得，m=9X3=11,

...反比例函數的解析式為y=2L

將點A(9,3),B(5,0)代入直線>=依+匕中，19k+b=3

I5k+b=0

，直線AB的解析式為>=3-上；

44

(2)由(1)知，AB=5,

是等腰三角形，

，①當4B=PB時，

:.PB=5,

：.P(0,0)或(10,0),

②當AB=A尸時，如圖2,

由(1)知，BD=4,

易知，點尸與點2關于AD對稱，

：.DP=BD=4,

；.OP=5+4+4=13,：.P(13,0),

③當PB=A尸時，設P(a,0),

VA(9,3),B(5,0),

：.AP2=(9-A)2+9,BP2=(5-a)2,

/.(9-a)2+9=(5-a)2

???C〃l=65f

8

：.P(箜，0),

8

即：滿足條件的點尸的坐標為(0,0)或(10,0)或(13,0)或(變，0).

8

【點評】此題是反比例函數綜合題，主要考查了待定系數法，勾股定理，三角形的面積,

等腰三角形的性質，用分類討論的思想解決問題是解本題的關鍵.

22.（11分）端午節是我國的傳統節日，人們素有吃粽子的習俗.某商場在端午節來臨之際

用3000元購進A、B兩種粽子1100個，購買4種粽子與購買B種粽子的費用相同.已

知A種粽子的單價是B種粽子單價的1.2倍.

（1）求A、B兩種粽子的單價各是多少？

（2）若計劃用不超過7000元的資金再次購進4、2兩種粽子共2600個，已知A、B兩

種粽子的進價不變.求A種粽子最多能購進多少個？

【分析】（1）設2種粽子單價為x元/個，則A種粽子單價為L2x元/個，根據數量=總

價+單價結合用3000元購進A、B兩種粽子1100個，即可得出關于x的分式方程，解之

經檢驗后即可得出結論；

（2）設購進A種粽子機個，則購進3種粽子（2600-m）個，根據總價=單價X數量結

合總價不超過7000元，即可得出關于機的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得

出結論.

【解答】解：（1）設2種粽子單價為x元/個，則A種粽子單價為L2x元/個，

根據題意，得：1500+150°mo。,

x1.2x

解得：x=2.5,

經檢驗，％=2.5是原方程的解，且符合題意，

??1.2%—3.

答：A種粽子單價為3元/個，B種粽子單價為2.5元/個.

(2)設購進A種粽子m個，則購進2種粽子(2600-m)個，

依題意，得：3m+2.5(2600-m)W7000,

解得：m^lOOO.

答：A種粽子最多能購進1000個.

【點評】本題考查了分式方程的應用以及一元一次不等式的應用，解題的關鍵是：(1)

找準等量關系，正確列出分式方程；(2)根據各數量之間的關系，正確列出一元一次不

等式.

23.(13分)在矩形ABCD中，于點E,點P是邊AO上一點.

(1)若8尸平分/ABD,交AE于點G,PFLBD于點F,如圖①，證明四邊形AGEP

是菱形；

(2)若PE_LEC,如圖②，求證：AE?AB=DE?AP；

(3)在(2)的條件下，若AB=1,BC=2,求AP的長.

【分析】(1)想辦法證明AG=PF,AG//PF,推出四邊形AGFP是平行四邊形，再證明

E4=P歹即可解決問題.

(2)證明△AEPS^DEC,可得膽=鯉，由此即可解決問題.

DEDC

(3)利用(2)中結論.求出DE,AE即可.

【解答】(1)證明：如圖①中，

:四邊形ABC。是矩形,

AZBAD=90°,

?：AE上BD,

ZAED=90°,

AZBAE+ZEAD=90°,ZEAD-^-ZADE=90o,

ZBAE=ZADE,

VZAGP=ZBAG+ZABG,NAPD=/ADE+/PBD,NABG=NPBD,

：.ZAGP=ZAPG,

：.AP=AG,

PALAB,PFtBD,B尸平分NA3O,

：.PA=PF,

：.PF=AG,

U：AE±BD,PFLBD,

：.PF//AG,

???四邊形AGFP是平行四邊形，

*：PA=PFf

???四邊形AG尸尸是菱形.

(2)證明：如圖②中,

'CAELBD,PELEC,

：.ZAED=ZPEC=90°,

???ZAEP=/DEC,

VZEA￡>+ZA￡>E=90°,NADE+NCDE=90°,

ZEAP=ZEDC,

：.AAEPsADEC,

?AE=AP

**DEDC?

*：AB=CD,

：.AE^B=DE^AP；

(3)解：:四邊形ABC。是矩形,

???BC=AO=2,ZBAZ)=90°,

BD=VAB2+AD2=^

VAEXBD,

.,?SAABZ)=—

22

；.AE=2疾,

5_

二D￡=7AD2-AE2=-^>

U：AE*AB^DE*AP；

??￡~\.l~?

蠣2

【點評】本題屬于相似形綜合題，考查了相似三角形的判定和性質，矩形的性質，解直

角三角形等知識，解題的關鍵是正確尋找相似三角形解決問題，屬于中考常考題型.

24.(13分)若二次函數y=o?+fcv+c的圖象與x軸、y軸分別交于點A(3,0)、B(0,-

2),且過點C(2,-2).

(1)求二次函數表達式；

(2)若點P為拋物線上第一象限內的點，且SAPBA=4,求點尸的坐標；

(3)在拋物線上(AB下方)是否存在點M,使/4BO=/ABM?若存在,求出點M到

【分析】(1)用A、B、C三點坐標代入，用待定系數法求二次函數表達式.

(2)設點尸橫坐標為3用/代入二次函數表達式得其縱坐標.把/當常數求直線8尸解

析式，進而求直線8P與x軸交點。坐標(用/表示)，即能用/表示AC的長.把△P84

以X軸為界分成△ABC與△ACP,即得至IJSAPBA=LC(OB+PD)=4,用含f的式子代

2

入即得到關于t的方程，解之即求得點P坐標.

(3)作點。關于直線AB的對稱點E,根據軸對稱性質即有AB垂直平分OE,連接BE

交拋物線于點M,即有BE=OB,根據等腰三角形三線合一得即在拋

物線上(AB下方)存在點M使ZABM.設A8與OE交于點G,則G為OE中

點且0G_LA2,利用△OAB面積即求得0G進而得0E的長.易求得/OAB=/BOG,

求/OAB的正弦和余弦值，應用到RtZ\OEF即求得OF、E尸的長，即得到點E坐標.求

直線BE解析式，把BE解析式與拋物線解析式聯立，求得尤的解一個為點B橫坐標，另

一個即為點M橫坐標，即求出點M到y軸的距離.

【解答】解：(1)?二次函數的圖象經過點A(3,0)、B(0,-2)、C(2,-2)

9a+3b+c=0

；?<0+0+c=-2解得：

4a+2b+c=-2

c=-2

二次函數表達式為--lc-2

33

(2)如圖1,設直線BP交x軸于點C,過點尸作軸于點。

設尸(r,It2-At-2)(t>3)

33

OD=t,尸￡>=2*-Az-2

33

設直線BP解析式為y=kx-2

把點尸代入得：kt-2=2?-It-2

33

直線BP：y=(2r-1)x-2

■33

當y=0時，(上L_1)X-2=0,解得：x=—=—

33t-2

：.C(_3_,0)

t-2

'：t>3

???一3_<3，即點C一定在點A左側

t-2

/.AC=3-3=3(t-3)

t-2-t-2

SAPBA=SAABC+SAACP=-AC-OB+LAC^PD=I