湖南省長沙市中建五局中學高三數學理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知i是虛數單位，則復數的實部和虛部分別為A.7，－3i B.－7，3 C.－7，3i D.7，－3參考答案：D【分析】先化簡復數z,再確定復數z的實部和虛部.【詳解】由題得，所以復數z的實部和虛部分別為7和-3.故答案為：D【點睛】(1)本題主要考查復數的除法運算和復數的實部虛部的概念，意在考查學生對這些知識的掌握水平和計算推理能力.(2)注意復數的實部是a,虛部是“i”的系數b，不包含“i”,不能寫成bi.2.不等式組表示的平面區域繞著原點旋轉一周所得到的平面圖形的面積為A．B．C．

D．參考答案：D3.已知雙曲線的兩條漸近線與拋物線的準線分別交于,兩點,為坐標原點.若雙曲線的離心率為,的面積為,則的值為(

)

(A)

(B)

(C)

(D) 參考答案：C4.設集合A=，Z為整數集，則A.

B.

C.

D.參考答案：D略5.下面是關于復數的四個命題：，，

的共軛復數為，的虛部為.其中的真命題為（

）（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：C6.

定義一種運算：，已知函數，那么函數的大致圖象是（

）參考答案：B7.下列對應關系：①：的平方根②：的倒數③：④：中的數平方其中是到的映射的是（

）A．①③

B．②④

C．③④

D．②③參考答案：D略8.將9個相同的小球放入3個不同的盒子，要求每個盒子中至少有一個小球，且每個盒子里的小球個數都不相同，則不同的放法有（

）種A.15 B.18 C.19 D.21參考答案：B略9.定義在R上的可導函數f（x）滿足f（1）=1，且2f′（x）＞1，當x∈[﹣，]時，不等式f（2cosx）＞﹣2sin2的解集為（）A．（，） B．（﹣，） C．（0，） D．（﹣，）參考答案：D【考點】利用導數研究函數的單調性；導數的運算．【分析】構造函數g（x）=f（x）﹣，可得g（x）在定義域R上是增函數，且g（1）=0，進而根據f（2cosx）＞﹣2sin2可得2cosx＞1，解得答案．【解答】解：令g（x）=f（x）﹣，則g′（x）=f′（x）＞0，∴g（x）在定義域R上是增函數，且g（1）=f（1）=0，∴g（2cosx）=f（2cosx）﹣cosx=f（2cosx）﹣cosx，令2cosx＞1，則g（2cosx）＞0，即f（2cosx）＞+cosx，又∵x∈[﹣，]，且2cosx＞1∴x∈（﹣，），故選：D10.《九章算木》中將底面為長方形，且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱之為“陽馬”，現有一陽馬，其正視圖和側視圖是如圖所示的直角三角形，該“陽馬”的體積為，若該陽馬的頂點都在同一個球面上，則該球的表面積為（

）正視圖側視圖A.8π B. C.12π D.24π參考答案：D如圖所示，，，由該“陽馬”的體積，，設該“陽馬”的外接球的半徑為，則該“陽馬”的外接球直徑為，所以，該陽馬的外接球的表面積為.試題立意：本小題主要考查空間幾何體與球的組合體，球與三棱錐的切接問題，三棱錐的體積公式；考查空間想象能力及分析問題解決問題的能力.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設，為單位向量，其中，，且在上的投影為，則與的夾角為

．參考答案：．設與夾角為，則，解得，所以．故填．【解題探究】本題考查向量的基本運算及單位向量、向量的投影概念的理解．解題關鍵是對向量投影的理解：若已知向量，，則在上的投影為．12.已知函數在區間上是增函數，則實數的取值范圍是

。參考答案：（） [）13.已知函數．若函數g（x）=f（x）﹣k有兩個不同的零點，則實數k的取值范圍是．參考答案：【考點】52：函數零點的判定定理．【分析】由題意可得函數f（x）的圖象與直線y=k有二個不同的交點，結合圖象求出實數k的取值范圍．【解答】解：由題意可得函數f（x）的圖象與直線y=k有二個不同的交點，如圖所示：故實數k的取值范圍是，故答案為．【點評】本題主要考查函數的零點與方程的根的關系，體現了化歸與轉化、數形結合的數學思想，屬于中檔題．14.用S（）表示自然數n的數字和，例如：S（10）=1+0=1，S（909）=9+0+9=18，若對于任何，都有，滿足這個條件的最大的兩位數的值是

．參考答案：9715.在直角坐標系xOy中，直線的參數方程為（t為參數），以原點O為極點，以x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為，則直線和曲線C的公共點有

個．參考答案：116.設數列是等差數列,,,則此數列前項和等于

.參考答案：17.全集求集合.參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.設等比數列a1，a2，a3，a4的公比為q，等差數列b1，b2，b3，b4的公差為d，且．記（i???1，2，3，4）．

（1）求證：數列不是等差數列；

（2）設，．若數列是等比數列，求b2關于d的函數關系式及其定義域；

（3）數列能否為等比數列？并說明理由．參考答案：（1）假設數列是等差數列，

則，即．

因為是等差數列，所以．從而．

……2分

又因為是等比數列，所以．

所以，這與矛盾，從而假設不成立．

所以數列不是等差數列．

……4分

（2）因為，，所以．

因為，所以，即，……6分

由，得，所以且．

又，所以，定義域為．……8分

（3）方法一：

設c1，c2，c3，c4成等比數列，其公比為q1，

則

……10分

將①+③－2×②得，

將②+④－2×③得，

……12分

因為，，由⑤得，．

由⑤⑥得，從而．

……14分

代入①得．

再代入②，得，與矛盾．

所以c1，c2，c3，c4不成等比數列．

……16分

方法二：

假設數列是等比數列，則．

……10分

所以，即．

兩邊同時減1得，．

……12分

因為等比數列a1，a2，a3，a4的公比為q，所以．

又，所以，即．

……14分

這與且矛盾，所以假設不成立．

所以數列不能為等比數列．

……16分19.已知函數f(x)=sinωx·cosωx﹣+cos2ωx(ω＞0)的最小正周期為π．（Ⅰ）求f（x）的單調遞增區間；（Ⅱ）若a，b，c分別為△ABC的三內角A，B，C的對邊，角A是銳角，f（A）=0，a=1，b+c=2，求△ABC的面積．參考答案：【考點】余弦定理；三角函數中的恒等變換應用；正弦函數的圖象；正弦定理．【分析】（Ⅰ）由已知利用三角函數恒等變換的應用化簡函數解析式可得f（x）=sin（2ωx+），利用周期公式可求ω，可得函數解析式，進而由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，（k∈Z），可得f（x）的單調遞增區間．（Ⅱ）由，又角A是銳角，可求A的值，利用余弦定理可求bc=1，根據三角形面積公式即可計算得解．【解答】（本題滿分為12分）解：（Ⅰ）=，…∴T==π，從而可求ω=1，…∴f（x）=sin（2x+）…由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，（k∈Z），可得：，所以f（x）的單調遞增區間為：．…（Ⅱ）∵f（A）=0，∴，又角A是銳角，∴，∴，即．…又a=1，b+c=2，所以a2=b2+c2﹣2bc?cosA=（b+c）2﹣3bc，∴1=4﹣3bc，∴bc=1．…∴．…20.（本小題滿分14分）已知函數在點的切線方程為.（Ⅰ）求函數的解析式；（Ⅱ）設，求證：在上恒成立；（Ⅲ）已知，求證：.參考答案：（Ⅰ）將代入切線方程得，∴，…………２分化簡得.，……………４分，解得：.∴.…………６分

（Ⅱ）由已知得在上恒成立，化簡，即在上恒成立.…………７分設，，

…………８分∵

∴，即，…………９分∴在上單調遞增，，∴在上恒成立.…………１０分

（Ⅲ）∵，

∴，由（Ⅱ）知有，……12分整理得，∴當時，.…………14分21.

設數列{}滿足：a1=5，an+1+4an=5，(nN*)

(I)是否存在實數t，使{an+t}是等比數列?

(Ⅱ)設數列bn=|an|，求{bn}的前2013項和S2013．參考答案：解：（I）由得

令，…………2分

得則，

………4分

從而.

又,

是首項為4，公比為的等比數列,存在這樣的實數，使是等比數列.

………6分（II）由（I）得.

………7分

………………8分

…9分

………………10分

……………12分略22.某中學為豐富教職工生活，在元旦期間舉辦趣味投籃比賽，設置A，B兩個投籃位置，在A點投中一球得1分，在B點投中一球得2分，規則是：每人按先A后B的順序各投籃一次（計為投籃兩次），教師甲在A點和B點投中的概率分別為和，且在A，B兩點投中與否相互獨立（1）若教師甲投籃兩次，求教師甲投籃得分0分的概率（2）若教師乙與教師甲在A，B投中的概率相同，兩人按規則投籃兩次，求甲得分比乙高的概率．參考答案：【考點】古典概型及其概率計算公式．【分析】（1）設“教師甲投籃得分0分”為事件A，利用對立