1/12022北京八中初二（下）期中數(shù)學(xué)一、選擇題1.下列二次根式為最簡(jiǎn)二次根式的是（）A B. C. D.2.以下列各組數(shù)為邊長(zhǎng)，能構(gòu)成直角三角形的是（）A.1，，2 B.1，1，2 C.2，3，4 D.4，5，63.下列計(jì)算正確的是（）A. B. C. D.4.若+b2﹣4b+4=0，則ab的值等于（）A.﹣2 B.0 C.1 D.25.下列命題中正確的是（）A.對(duì)角線(xiàn)相等的四邊形是矩形B.對(duì)角線(xiàn)互相垂直的四邊形是菱形C.對(duì)角線(xiàn)互相垂直平分且相等的四邊形是正方形D.一組對(duì)邊相等，另一組對(duì)邊平行的四邊形是平行四邊形6.如圖，菱形，點(diǎn)E是對(duì)角線(xiàn)上一點(diǎn)，點(diǎn)F是邊上一點(diǎn)，且，則的度數(shù)為（）

A. B. C. D.7.如圖，矩形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC、BD交于點(diǎn)O．AC＝4，∠AOD＝120°，則BC的長(zhǎng)為（）A.4 B.4 C.2 D.28.如圖，的對(duì)角線(xiàn)、相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，的周長(zhǎng)為，則的周長(zhǎng)是（）A.7cm B.8cm C.9cm D.10cm9.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形的頂點(diǎn)在軸上，且，，則正方形的面積是（）A. B. C. D.10.如圖，在等邊中，點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸上，，當(dāng)點(diǎn)A在x軸正半軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)C隨之在y軸上運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)B到原點(diǎn)的最大距離是（）A.4 B. C. D.二、填空題11.實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解：＝____________．12.若二次根式有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是____．13.已知平行四邊形鄰邊之比是1：2，周長(zhǎng)是18，則較短的邊的邊長(zhǎng)是__．14.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，則點(diǎn)A到原點(diǎn)O的距離為_(kāi)_______．15.（1）比較大?。篲_____4；（2）在兩個(gè)相鄰整數(shù)______和_______之間．16.矩形中，，按如圖方式折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，折痕為，則________cm．17.已知n是正整數(shù)，是整數(shù)，則滿(mǎn)足條件的所有n的值為_(kāi)_________．18.在平行四邊形ABCD中，∠A＝30°，AD＝，BD＝4，則平行四邊形ABCD的面積等于______________.三、解答題19.計(jì)算下列各式：（1）（2）20.若，求的值．21.閱讀下面的文字后，回答問(wèn)題：對(duì)題目“化簡(jiǎn)并求值：，其中”，甲、乙兩人的解答不同：甲的解答：原式乙的解答：原式（1）你認(rèn)為_(kāi)______的解答是錯(cuò)誤的，原因是未能正確運(yùn)用二次根式的性質(zhì)：__________；（2）模仿上面正確的解答，化簡(jiǎn)并求值：，其中．22.如圖，在中，，求的長(zhǎng)．23.如圖，在的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1．A、B、C、D均在網(wǎng)格的格點(diǎn)上．（1）直接寫(xiě)出四邊形的面積與、的長(zhǎng)度；（2）是直角嗎？理由是：___________________；（3）在網(wǎng)格中找到一個(gè)格點(diǎn)E，并畫(huà)出四邊形，使得其面積與四邊形的面積相等．24.在中，，對(duì)角線(xiàn)、交于點(diǎn)O，．點(diǎn)M、N在對(duì)角線(xiàn)上，點(diǎn)M從點(diǎn)B出發(fā)以每秒1個(gè)單位的速度向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)D時(shí)運(yùn)動(dòng)停止，同時(shí)點(diǎn)N從點(diǎn)D出發(fā)，運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)B后立即返回，點(diǎn)M停止運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，點(diǎn)N也停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

（1）若點(diǎn)N的速度為每秒1個(gè)單位，①如圖1，當(dāng)時(shí)，求證：四邊形是平行四邊形；②點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，四邊形可能出現(xiàn)的形狀是_________．A．矩形B．菱形C．正方形（2）若點(diǎn)N的速度為每秒2個(gè)單位，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，t為何值時(shí)，四邊形是平行四邊形？25.小云學(xué)習(xí)了平行四邊形的判定后，想利用平行四邊形的判定方法探究下列問(wèn)題．

（1）利用平行四邊形判定方法作平行四邊形，作法是：如圖1，在中，分別以點(diǎn)A，C為圓心，為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)D，連接，四邊形就是平行四邊形．小云判定四邊形平行四邊形的依據(jù)是___________；

（2）探究：“四邊形中，若，對(duì)角線(xiàn)與交于點(diǎn)O，且，四邊形平行四邊形嗎？”①在圖2中作出符合條件的圖形（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡）；②結(jié)合所作圖形，符合條件的四邊形________（填寫(xiě)“是”、“不是”或“不一定是”）平行四邊形．（3）探究：“四邊形中，若，對(duì)角線(xiàn)與交于點(diǎn)O，且，，當(dāng)與滿(mǎn)足什么條件時(shí)，四邊形一定是平行四邊形？”直接寫(xiě)出與滿(mǎn)足的條件是：____________．26.已知在中，于點(diǎn)E，，平分交線(xiàn)段于點(diǎn)F．

（1）如圖1，若，①當(dāng)時(shí)，________，_________；②請(qǐng)直接寫(xiě)出線(xiàn)段、、之間的數(shù)量關(guān)系：_________________．（2）如圖2，若且，請(qǐng)寫(xiě)出線(xiàn)段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．

27.已知正方形，若一個(gè)等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)均在正方形的內(nèi)部或邊上，則稱(chēng)這個(gè)等邊三角形為正方形的內(nèi)等邊三角形．

（1）若正方形的邊長(zhǎng)為10，點(diǎn)E在邊上，是正方形的內(nèi)等邊三角形．①如圖1，當(dāng)點(diǎn)E為邊中點(diǎn)時(shí)，線(xiàn)段的長(zhǎng)度為_(kāi)_________；②當(dāng)點(diǎn)E為邊上任意一點(diǎn)時(shí)，連接，則線(xiàn)段的最小值是________，線(xiàn)段的取值范圍是________．（2）和都是正方形的內(nèi)等邊三角形，當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)最大時(shí)，畫(huà)出和（點(diǎn)A，M，N按逆時(shí)針?lè)较蚺判颍?，連接．圖中與線(xiàn)段相等的所有線(xiàn)段（不添加字母）有______．

參考答案一、選擇題1.下列二次根式為最簡(jiǎn)二次根式的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的定義逐個(gè)判斷即可．【詳解】解：A、，不是最簡(jiǎn)二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意；B、，不是最簡(jiǎn)二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意；C、，不是最簡(jiǎn)二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意；D、是最簡(jiǎn)二次根式，故本選項(xiàng)符合題意.故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了最簡(jiǎn)二次根式的定義，注意：最簡(jiǎn)二次根式具備兩個(gè)條件：①被開(kāi)方數(shù)的每一個(gè)因式都是整式，每個(gè)因數(shù)都是整數(shù)，②被開(kāi)方數(shù)不含有能開(kāi)得盡方的因式或因數(shù)．2.以下列各組數(shù)為邊長(zhǎng)，能構(gòu)成直角三角形的是（）A.1，，2 B.1，1，2 C.2，3，4 D.4，5，6【答案】A【解析】【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理的內(nèi)容和三角形三邊關(guān)系逐個(gè)判斷即可．【詳解】解：A、∵12+（）2＝22∴以1，，2為邊能組成直角三角形，故本選項(xiàng)符合題意B、1+1＝2，不符合三角形三邊關(guān)系定理，不能組成三角形，也不能組成直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意C、∵22+32≠42∴以2，3，4為邊不能組成直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意D、∵42+52≠62∴以4，5，6為邊不能組成直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理的逆定理及三角形三邊關(guān)系，掌握勾股定理的逆定理及三角形三邊關(guān)系是解題的關(guān)鍵．3.下列計(jì)算正確的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)和運(yùn)算法則計(jì)算判斷即可．【詳解】∵不是同類(lèi)二次根式，不能進(jìn)行加減運(yùn)算，∴A錯(cuò)誤，不符合題意；∵，∴B錯(cuò)誤，不符合題意；∵，∴C正確，符合題意；∵被開(kāi)方數(shù)是-5，無(wú)意義，∴D錯(cuò)誤，不符合題意；故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)和運(yùn)算，熟練掌握性質(zhì)，靈活進(jìn)行運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．4.若+b2﹣4b+4=0，則ab的值等于（）A.﹣2 B.0 C.1 D.2【答案】D【解析】【詳解】試題分析：由，得：a﹣1=0，b﹣2=0．解得a=1，b=2．a(chǎn)b=2．故選D．考點(diǎn)：非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：算術(shù)平方根；非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：偶次方．5.下列命題中正確的是（）A.對(duì)角線(xiàn)相等的四邊形是矩形B.對(duì)角線(xiàn)互相垂直的四邊形是菱形C.對(duì)角線(xiàn)互相垂直平分且相等的四邊形是正方形D.一組對(duì)邊相等，另一組對(duì)邊平行的四邊形是平行四邊形【答案】C【解析】【詳解】解：A、對(duì)角線(xiàn)相等的平行四邊形是矩形，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、對(duì)角線(xiàn)互相垂直的平行四邊形是菱形，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、對(duì)角線(xiàn)互相垂直平分且相等的四邊形是正方形，所以C選項(xiàng)正確；D、一組對(duì)邊相等且平行的四邊形是平行四邊形，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選C6.如圖，菱形，點(diǎn)E是對(duì)角線(xiàn)上一點(diǎn)，點(diǎn)F是邊上一點(diǎn)，且，則的度數(shù)為（）

A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】連接BD，交AC于點(diǎn)G，連接BE，根據(jù)菱形的性質(zhì)和已知，得到ED=EB=EF，從而得∠EDB=∠EBD，∠DEG=90°-∠EDB，∠EBD+∠DBC=∠EFB=∠CEF+∠ECF，結(jié)合已知代入化簡(jiǎn)即可．【詳解】如圖，連接BD，交AC于點(diǎn)G，連接BE，∵四邊形ABCD菱形，∠DAB=70°，ED=EF，

∴ED=EB=EF，∠AGD=90°，∠DCE=∠BCE=35°，∠GBC=55°，∴∠EDB=∠EBD，∠DEG=90°-∠EDB，∠EBD+∠DBC=∠EFB=∠CEF+∠ECF，∴∠CEF=20°+∠EBD，∴∠DEF=∠DEG+∠CEF=90°-∠EDB+20°+∠EBD=110°，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7.如圖，矩形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC、BD交于點(diǎn)O．AC＝4，∠AOD＝120°，則BC的長(zhǎng)為（）A.4 B.4 C.2 D.2【答案】C【解析】【分析】利用矩形對(duì)角線(xiàn)的性質(zhì)得到OA＝OB．結(jié)合∠AOD＝120°知道∠AOB＝60°，則△AOB是等邊三角形；最后在直角△ABC中，利用勾股定理來(lái)求BC的長(zhǎng)度即可．【詳解】解：∵矩形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC，BD交于點(diǎn)O，AC＝4，∴OA＝OB＝AC＝2，又∵∠AOD＝120°，∴∠AOB＝60°，∴△AOB是等邊三角形，∴AB＝OA＝OB＝2．∴在直角△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，AC＝4，∴BC＝故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是求出OA、OB的長(zhǎng)，題目比較典型，是一道比較好的題目．8.如圖，的對(duì)角線(xiàn)、相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，的周長(zhǎng)為，則的周長(zhǎng)是（）A.7cm B.8cm C.9cm D.10cm【答案】B【解析】【分析】利用平行四邊形的性質(zhì)可得，，，再結(jié)合點(diǎn)E是的中點(diǎn)，證得是的中位線(xiàn)，最后利用的周長(zhǎng)為，代換后即可求解．【詳解】∵四邊形是平行四邊形，∴，，，∵點(diǎn)E是的中點(diǎn)，∴，，∵的周長(zhǎng)為，∴，∴，∴，∴的周長(zhǎng)是cm，故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和中位線(xiàn)的性質(zhì)，熟練掌握中位線(xiàn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形的頂點(diǎn)在軸上，且，，則正方形的面積是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【詳解】解：如圖所示：作BE⊥OA于點(diǎn)E，則，由題意可得：，，，△AOD≌△BEA（AAS），∴OD=AE=5，，∴正方形的面積是：，故選D．10.如圖，在等邊中，點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸上，，當(dāng)點(diǎn)A在x軸正半軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)C隨之在y軸上運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)B到原點(diǎn)的最大距離是（）A.4 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】取AC的中點(diǎn)D，連接OD，BD，利用三角形原理，當(dāng)O、D、B三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)OB取得最大值，且最大值等于OD+BD，計(jì)算出OD，BD的長(zhǎng)度即可．【詳解】如圖，取AC的中點(diǎn)D，連接OD，BD，∵△ABC是等邊三角形，∠AOC=90°，AC=4，∴DO==CD=AD，，∵DO+BD≥OB，∴OB≤DO+BD=，當(dāng)O、D、B三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)OB取得最大值，且最大值等于，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角形三邊關(guān)系定理，熟練掌握直角三角形性質(zhì)和三角形三邊關(guān)系定理是解題的關(guān)鍵．二、填空題11.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解：＝____________．【答案】【解析】【分析】先將化為，再利用平方差公式分解因式即可．【詳解】解：故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查利用平方差公式分解因式，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．12.若二次根式有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是____．【答案】x≥8【解析】【分析】先根據(jù)二次根式有意義條件列出關(guān)于x的不等式，求出x的取值范圍即可．【詳解】解：∵根式有意義，∴x-8≥0，解得x≥8．故答案為：x≥8．【點(diǎn)睛】本題考查的是二次根式有意義的條件，熟知二次根式具有非負(fù)性是解答此題的關(guān)鍵．13.已知平行四邊形鄰邊之比是1：2，周長(zhǎng)是18，則較短的邊的邊長(zhǎng)是__．【答案】3【解析】【分析】根據(jù)平行四邊形鄰邊之比是1：2，設(shè)兩鄰邊分別為x，2x，然后利用周長(zhǎng)得到一個(gè)關(guān)于x的一元一次方程，解方程即可．【詳解】解：∵平行四邊形的周長(zhǎng)是18，一組鄰邊之比是1：2，∴設(shè)兩鄰邊分別為x，2x，則2（x+2x）＝18，解得：x＝3，∴較短的邊的邊長(zhǎng)是3，故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)及一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出方程是關(guān)鍵．14.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，則點(diǎn)A到原點(diǎn)O的距離為_(kāi)_______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，即可求解．【詳解】解：點(diǎn)到原點(diǎn)O的距離為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查兩點(diǎn)間的距離公式，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．15.（1）比較大?。篲_____4；（2）在兩個(gè)相鄰整數(shù)______和_______之間．【答案】①.<②.4③.5【解析】【分析】（1）先將兩數(shù)變換成統(tǒng)一的形式，進(jìn)而即可比較大??；（2）先對(duì)無(wú)理數(shù)進(jìn)行估算，進(jìn)而即可確定在哪兩個(gè)相鄰整數(shù)之間．【詳解】（1）∵，，又，∴，故答案為：<；（2）∵，∴，∴在兩個(gè)相鄰整數(shù)4和5之間，故答案為：4，5．【點(diǎn)睛】本題考查無(wú)理數(shù)的估算及實(shí)數(shù)的大小比較，解題的關(guān)鍵是熟練掌握無(wú)理數(shù)估算的方法和實(shí)數(shù)比較大小的方法．16.矩形中，，按如圖方式折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，折痕為，則________cm．【答案】13【解析】【分析】根據(jù)折疊性質(zhì)，DE=BE，設(shè)DE=BE=x，則AE=18-x，在直角三角形ADE中運(yùn)用勾股定理求解即可．【詳解】∵，四邊形ABCD是矩形，根據(jù)折疊性質(zhì)，得DE=BE，∠DAE=90°，設(shè)DE=BE=x，則AE=18-x，在直角三角形ADE中，，解得x=13，即DE=13，故答案為：13．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握矩形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用勾股定理是解題的關(guān)鍵．17.已知n是正整數(shù)，是整數(shù)，則滿(mǎn)足條件的所有n的值為_(kāi)_________．【答案】或或【解析】【分析】先利用算數(shù)平方根有意義的條件求得正整數(shù)的取值范圍，然后令等于所有可能的平方數(shù)即可求解．【詳解】解：由題意得，解得，∵n是正整數(shù)，∴∴，∴，∴，∵是整數(shù)，∴或或或或，解得或或或或，∵n是正整數(shù)，∴或或，故答案為：或或【點(diǎn)睛】本題考查了算術(shù)平方根的性質(zhì)，理解掌握被開(kāi)方數(shù)是平方數(shù)時(shí)算術(shù)平方根才是整數(shù)是解題的關(guān)鍵．18.在平行四邊形ABCD中，∠A＝30°，AD＝，BD＝4，則平行四邊形ABCD的面積等于______________.【答案】或【解析】【分析】過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為E，分點(diǎn)E在AB上或AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上兩種情況，分別利用三角函數(shù)求出AE、DE的長(zhǎng)，利用勾股定理求出BE的長(zhǎng)，繼而可得AB的長(zhǎng)，然后利用平行四邊形的面積公式進(jìn)行求解即可.【詳解】過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為E，如圖1，點(diǎn)E在AB上，∵∠A=30°，∴DE=ADsin30°=，AE=ADcos30°=6，在Rt△DBE中，BE=，∴AB=AE+BE=8，∴平行四邊形ABCD的面積為；如圖2，點(diǎn)E在AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，∵∠A=30°，∴DE=ADsin30°=，AE=ADcos30°=6，在Rt△DBE中，BE=，∴AB=AE-BE=4，∴平行四邊形ABCD的面積為，故答案為或.【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，平行四邊形的面積，正確地畫(huà)出圖形是解題的關(guān)鍵.三、解答題19.計(jì)算下列各式：（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先將各式化為最簡(jiǎn)二次根式，再根據(jù)二次根式四則混合運(yùn)算法則計(jì)算即可；（2）根據(jù)二次根式四則混合運(yùn)算法則計(jì)算即可．【小問(wèn)1詳解】原式【小問(wèn)2詳解】原式【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次根式混合運(yùn)算，熟練掌握二次根式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．20.若，求的值．【答案】6【解析】【分析】先計(jì)算a+b，ab，根據(jù)，代入計(jì)算即可．【詳解】∵，∴，∴==6．【點(diǎn)睛】本題考查了條件型的化簡(jiǎn)求值，二次根式的性質(zhì)，完全平方公式的變形計(jì)算，熟練掌握公式的變形是解題的關(guān)鍵．21.閱讀下面的文字后，回答問(wèn)題：對(duì)題目“化簡(jiǎn)并求值：，其中”，甲、乙兩人的解答不同：甲的解答：原式乙的解答：原式（1）你認(rèn)為_(kāi)______的解答是錯(cuò)誤的，原因是未能正確運(yùn)用二次根式的性質(zhì)：__________；（2）模仿上面正確的解答，化簡(jiǎn)并求值：，其中．【答案】（1）甲，（2），2【解析】【分析】(1)根據(jù)二次根式的性質(zhì)去判斷即可．(2)分m＜3，3≤m≤5，m＞5三種情況進(jìn)行化簡(jiǎn)，代入求解即可．【小問(wèn)1詳解】根據(jù)題意，得，∵m=5，∴3m=15＞1，故原式==20-1=19．故答案為：甲，．【小問(wèn)2詳解】根據(jù)題意，得當(dāng)m＜3時(shí)，==5-m+3-m=8-2m；當(dāng)3≤m≤5時(shí)，==5-m+m-3=2；當(dāng)m＞5時(shí)==m-5+m-3=2m-8；綜上所述，，∵，∴在中，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)，熟練掌握二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．22.如圖，在中，，求的長(zhǎng)．【答案】【解析】【分析】先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠B的度數(shù)，再過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出AD的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理求出CD的長(zhǎng)，根據(jù)等角對(duì)等邊求得BD，進(jìn)而可得出結(jié)論．【詳解】∵∠A=105°，∠C=30°，∴∠B=45°，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，∴∠ADB=∠ADC=90°，在Rt△ADC中，∵∠ADC=90°，∠C=30°，AC=4，∵，∴AD=2，∴由勾股定理得：，在Rt△ADB中，∠ADB=90°，∠B=45°，∴∠DAB═∠B=45°，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查是解直角三角形及勾股定理、銳角三角函數(shù)的定義、等角對(duì)等邊等知識(shí)，根據(jù)題意作出輔助線(xiàn)，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．23.如圖，在的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1．A、B、C、D均在網(wǎng)格的格點(diǎn)上．（1）直接寫(xiě)出四邊形的面積與、的長(zhǎng)度；（2）是直角嗎？理由是：___________________；（3）在網(wǎng)格中找到一個(gè)格點(diǎn)E，并畫(huà)出四邊形，使得其面積與四邊形的面積相等．【答案】（1）14，BC=，BD=4（2）∠BCD不是直角，理由見(jiàn)解析（3）見(jiàn)解析（答案不唯一）【解析】【分析】（1）利用分割法求四邊形面積，利用勾股定理求出BC，BD的長(zhǎng)；（2）利用廣告代理點(diǎn)逆定理判斷即可；（3）利用平行線(xiàn)的性質(zhì)，等高模型解決問(wèn)題即可．【小問(wèn)1詳解】解由題意：S四邊形ABCD=5×5-×1×5-×2×5-×1×2-×1×3-1=14．BC=，，BD=．【小問(wèn)2詳解】解：∠BCD不是直角．理由：∵CD=，BC=，BD=4，∴BC2+CD2=34，BD2=32，∴BC2+CD2≠BD2，∴∠BCD不是直角．【小問(wèn)3詳解】解：連結(jié)EC，∵EC是邊長(zhǎng)為2的正方形對(duì)角線(xiàn)，AD是同方向邊長(zhǎng)為4的正方形對(duì)角線(xiàn)，∴EC∥AD，∴S△BED=S△BCD，（同底等高），∴S四邊形ABED=S△BED+S△ABD=S△BCD+S△ABD=S四邊形ABCD，如圖點(diǎn)E即為所求（答案不唯一）．【點(diǎn)睛】本題考查作圖-應(yīng)用與設(shè)計(jì)，勾股定理以及逆定理，等高模型等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．24.在中，，對(duì)角線(xiàn)、交于點(diǎn)O，．點(diǎn)M、N在對(duì)角線(xiàn)上，點(diǎn)M從點(diǎn)B出發(fā)以每秒1個(gè)單位的速度向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)D時(shí)運(yùn)動(dòng)停止，同時(shí)點(diǎn)N從點(diǎn)D出發(fā)，運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)B后立即返回，點(diǎn)M停止運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，點(diǎn)N也停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

（1）若點(diǎn)N的速度為每秒1個(gè)單位，①如圖1，當(dāng)時(shí)，求證：四邊形是平行四邊形；②點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，四邊形可能出現(xiàn)的形狀是_________．A．矩形B．菱形C．正方形（2）若點(diǎn)N的速度為每秒2個(gè)單位，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，t為何值時(shí)，四邊形是平行四邊形？【答案】（1）①見(jiàn)解析；②A（2）0或【解析】【分析】（1）①如圖1，當(dāng)時(shí)，BM=DN，根據(jù)平行四邊形ABCD的性質(zhì)，得到OA=OC，OM=ON，從而判定四邊形是平行四邊形．②根據(jù)，得到四邊形ABCD不可能是菱形或正方形，從而得到AC與MN不能垂直，故四邊形AMCN不可能是正方形或菱形，只要滿(mǎn)足MN=AC，四邊形AMCN就可以是矩形．（2）分0＜t≤8，8＜t≤16計(jì)算判斷即可．【小問(wèn)1詳解】（1）①如圖1，當(dāng)時(shí)，根據(jù)題意，得BM=DN=t，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA=OC，OB=OD，∴OB-BM=OD-DN，∴OM=ON，∴四邊形是平行四邊形．②∵，∴四邊形ABCD不可能是菱形或正方形，∴AC與MN不能垂直，∴四邊形AMCN不可能是正方形或菱形，∴MN=AC，四邊形AMCN就可以是矩形，故選：A．【小問(wèn)2詳解】∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA=OC，OB=OD，∵N的運(yùn)動(dòng)速度是2個(gè)單位每秒，當(dāng)0＜t≤8時(shí)，點(diǎn)N在DB上運(yùn)動(dòng)，且點(diǎn)M在BO上，∴BM=t，ND=2t，∴OM=OB-BM=8-t，ON=OD-ND=8-2t，∵四邊形AMCN是平行四邊形，∴OM=ON，∴8-t=8-2t，解得t=0；當(dāng)8＜t≤16時(shí)，點(diǎn)N在BD上運(yùn)動(dòng)，且點(diǎn)M在OD上，∴OM=BM-OB=t-8，ON=BD-ND=24-2t，∵四邊形AMCN是平行四邊形，∴OM=ON，∴t-8=24-2t，解得t=；故t=0或t=時(shí)，四邊形是平行四邊形．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，矩形的判定，菱形的判定，正方形判定，熟練掌握特殊四邊形的判定是解題的關(guān)鍵．25.小云學(xué)習(xí)了平行四邊形的判定后，想利用平行四邊形的判定方法探究下列問(wèn)題．

（1）利用平行四邊形的判定方法作平行四邊形，作法是：如圖1，在中，分別以點(diǎn)A，C為圓心，為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)D，連接，四邊形就是平行四邊形．小云判定四邊形平行四邊形的依據(jù)是___________；

（2）探究：“四邊形中，若，對(duì)角線(xiàn)與交于點(diǎn)O，且，四邊形是平行四邊形嗎？”①在圖2中作出符合條件的圖形（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡）；②結(jié)合所作圖形，符合條件的四邊形________（填寫(xiě)“是”、“不是”或“不一定是”）平行四邊形．（3）探究：“四邊形中，若，對(duì)角線(xiàn)與交于點(diǎn)O，且，，當(dāng)與滿(mǎn)足什么條件時(shí)，四邊形一定是平行四邊形？”直接寫(xiě)出與滿(mǎn)足的條件是：____________．【答案】（1）兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形（2）①見(jiàn)解析②不一定是（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的判定方法即可求解；（2）根據(jù)題意作出符合條件的圖形即可回答問(wèn)題；（3）添加的條件只要能證明，利用對(duì)角線(xiàn)互相平分的四邊形是平行四邊形即可．【小問(wèn)1詳解】∵在中，分別以點(diǎn)A，C為圓心，為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)D，∴，，∴四邊形是平行四邊形，故答案為：兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形【小問(wèn)2詳解】以點(diǎn)為圓心，以線(xiàn)段的長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓，連接并延長(zhǎng)與圓弧的交點(diǎn)即符合條件的點(diǎn)、，如圖所示，由作圖可知，四邊形不是平行四邊形，四邊形是平行四邊形，∴符合條件的四邊形不一定是平行四邊形，故答案為：不一定是【小問(wèn)3詳解】與滿(mǎn)足的條件是：．理由如下：∵，∴，又∵，，∴，∴∵，∴，∴在和中，，∴，∴，又∵∴四邊形是平行四邊形．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定方法，熟練掌握平行四邊形的判定方法是解題的關(guān)鍵．26.已知在中，于點(diǎn)E，，平分交線(xiàn)段于點(diǎn)F．

（1）如圖1，若，①當(dāng)時(shí)，________，_________；②請(qǐng)直接寫(xiě)出線(xiàn)段、、之間的數(shù)量關(guān)系：_________________．（2）如圖2，若且，請(qǐng)寫(xiě)出線(xiàn)段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．

【答案】（1）①；②，理由見(jiàn)解析（2）；理由見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）①利用平行四邊形的性質(zhì)求得，再根據(jù)得到，利用30°的角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半即可求得AB，可得CD的長(zhǎng)，再證明，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等即可求得AF的長(zhǎng)；②延長(zhǎng)EA到G，使得AG＝BE，連接DG，根據(jù)四邊形ABCD是平行四邊形，推出AB＝CD，AB∥CD，AD＝BC，求出∠DAG＝90°＝∠GAD，根據(jù)SAS證△ABE≌△DAG，推出DG＝AB＝CD，∠1＝∠2，求出∠AFD＝∠GDF，推出DG＝GF＝AF＋AG即可；

（2）與（1）證法類(lèi)似，根據(jù)SAS證△ABE≌△DGA，推出DG＝AB＝CD，∠1＝∠2，求出∠GFD＝∠GDF，推出DG＝GF＝AF＋AG即可；【小問(wèn)1詳解】∵四邊形是平行四邊形，，∴，，，，∵，∴，，∵，∴，∵，，∴∴，∵，平分，∴，∴，在和中，，∴，∴故答案為：；CD＝AF＋BE，理由是：延長(zhǎng)EA到G，使得AG＝BE，連接DG，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB＝CD，AB∥CD，AD＝BC，

∵AE⊥BC，

∴∠AEB＝∠AEC＝90°，

∴∠AEB＝∠DAE＝90°，

∴∠DAG＝90°，

在△ABE和△DGA中∴△ABE≌△DGA（SAS），

∴DG＝AB＝CD，∠1＝∠2，

∵平行四邊形ABCD，AE⊥BC，

∴∠B＝∠ADC＝60°＝∠G，AE⊥AD，

∴∠1＝∠2＝30°，

∵DF平分∠ADC，

∴∠3＝∠4＝30°，

∴∠AFD＝60°＝∠GDF，

∴DG＝GF＝AF＋AG，

∴CD＝AB＝DG＝AF＋BE，

即CD＝AF＋BE．【小問(wèn)2詳解】解：（1）中的結(jié)論仍然成立．

證明：延長(zhǎng)EA到G，使得AG＝BE，連接DG，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB＝CD，AB∥CD，AD＝BC，

∵AE⊥BC于點(diǎn)E，

∴∠AEB＝∠AEC＝90°，

∴∠AEB＝∠DAG＝90°，

∴∠DAG＝90°，

在△ABE和△DGA中

∴△ABE≌△DGA（SAS），

∴∠1＝∠2，DG＝AB，∠B＝∠G，

∵四邊形ABCD平行四邊形，

∴∠B＝∠ADC，

∵∠B＋∠1＝∠ADC＋∠2＝90°，∠3＝∠4，

∴∠GDF＝90°?∠4，∠GFD＝90°?∠3，

∴∠GDF＝∠GFD，

∴GF＝GD＝AB＝CD，

∵GF＝AF＋AG＝AF＋BE，

∴CD＝AF＋BE．【點(diǎn)睛】本題綜合考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，角平分線(xiàn)定義，平行線(xiàn)的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的運(yùn)用，本題綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度，但主要考查學(xué)生的類(lèi)比推理的思想，主要檢查學(xué)生能否找出解（1