第3頁（共5頁）2014-2015學(xué)年內(nèi)蒙古呼和浩特市高三（上）期中數(shù)學(xué)試卷（理科）一、選擇題（共12小題，每題5分，共60分）1．（5分）設(shè)集合A={x|＜2x＜4}，B={x|x2≤1}，則A∪B=（）A．{x|x＜2} B．{x|﹣＜x≤1} C．{x|﹣1≤x＜2} D．{x|1≤x＜2}2．（5分）已知a∈R，i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z=a+i，若z2為純虛數(shù)，則z=（）A．1+i B．﹣1+i C．1+i或﹣1+i D．2i或﹣2i3．（5分）在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，若a2?a4=9，則loga1+loga2+loga3+loga4+loga5的值為（）A．6 B．5 C．﹣6 D．﹣54．（5分）下列說法正確的是（）A．函數(shù)f（x）=ax+1（a＞0，且a≠1）的圖象恒過定點（0，1）B．函數(shù)f（x）=x﹣3在其定義域上是減函數(shù)C．函數(shù)f（x）=2值域為（0，+∞）D．函數(shù)f（x）=|log2x|在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增5．（5分）設(shè)曲線y=eax﹣ln（x+1）在點（0，1）處的切線方程為2x﹣y+1=0，則a=（）A．0 B．1 C．2 D．36．（5分）執(zhí)行如圖所示的程序框圖后，輸出的值為4，則P的取值范圍是（）A．（，] B．（，] C．（，] D．（，]7．（5分）設(shè)a=dx，則sinxdx=（）A．2π B．π C．2 D．18．（5分）已知向量，的夾角為120°，且||=1，||=2，則向量﹣在向量+上的投影是（）A．﹣ B． C． D．﹣39．（5分）函數(shù)f（x）=4sin（ωx﹣）sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期為π，且sinα=，則f（α）=（）A． B．﹣ C． D．﹣10．（5分）變量x，y滿足約束條件時，x﹣2y+m≤0恒成立，則實數(shù)m的取值范圍為（）A．[0，+∞） B．[1，+∞） C．（﹣∞，3] D．（﹣∞，0]11．（5分）已知函數(shù)f（x）=sinx+acosx的圖象關(guān)于直線x=對稱，且方程f（x）=m在[0，）上恰有兩個不同的實數(shù)根，則實數(shù)m取值范圍是（）A．[0，1] B．[1，2] C．[，2） D．[1，]12．（5分）已知函數(shù)f（x）=ax3+bx2﹣2（a≠0）有且僅有兩個不同的零點x1，x2，則（）A．當a＜0時，x1+x2＜0，x1x2＞0 B．當a＜0時，x1+x2＞0，x1x2＜0C．當a＞0時，x1+x2＜0，x1x2＞0 D．當a＞0時，x1+x2＞0，x1x2＜0二、填空題（共4小題，每小題5分，共20分）13．（5分）已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，且a1=1，S5=25，則{an}的通項公式an=．14．（5分）已知函數(shù)f（x）=a2x﹣2a+1．若命題“?x∈（0，1），f（x）≠0”是假命題，則實數(shù)a的取值范圍是．15．（5分）如圖放置的邊長為1的正方形ABCD的頂點A、D分別在x軸、y軸正半軸上（含原點）上滑動，則的最大值是．16．（5分）定義在（0，）上的函數(shù)f（x）滿足f′（x）sinx﹣f（x）cosx＞0，設(shè)a=f（），b=f（），c=2f（），則a，b，c的大小關(guān)系是．三、解答題17．（12分）已知函數(shù)f（x）=x3﹣ax2+x+2．（Ⅰ）若f（x）在R上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；（Ⅱ）設(shè)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x）．若?α∈（，）使f′（sinα）=f′（cosα）成立．求a的取值范圍．18．（12分）已知向量=（cosx，﹣2），=（1，cos），f（x）=?，角A，B，C分別為△ABC的三個內(nèi)角．（Ⅰ）當A=A0時，f（A）取最小值f（A0），試求A0與f（A0）；（Ⅱ）當A=A0，且△ABC的面積為時，求邊長BC的最小值．19．（12分）已知數(shù)列{an}滿足a1=2，an+1=+1．（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式；（Ⅱ）設(shè)bn=an+an+1﹣2，證明++…+＜．20．（12分）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知?=3?．（Ⅰ）求證tanB=3tanA；（Ⅱ）若a2+b2﹣c2=ab，求角A的大小．21．（12分）已知函數(shù)f（x）=sinx+lnx﹣kx（k＞0）．（Ⅰ）若f（x）在（0，]上單調(diào)遞增，求k的取值范圍；（Ⅱ）設(shè)g（x）=sinx（x＞0），若y=g（x）的圖象在y=f（x）的圖象上方，求k的取值范圍；（Ⅲ）設(shè)n∈N+，證明：（4﹣）＜sin（）i﹣1＜+1+ln2﹣（）n+1．請考生在22、23、24三題中任選一題作答，如果多做，則按多做第一題計分。選修4-1：幾何證明選講22．（10分）如圖，P是⊙O外一點，PA是切線，割線PBC經(jīng)過圓心O，且PB=BC．（Ⅰ）求證：PA=AC；（Ⅱ）若點D是弧AC的中點，PD與⊙O交于另一點E，PB=1，求PE的長．23．在直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，圓C的極坐標方程為ρ=2cosθ，直線l的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．（Ⅰ）若直線l與圓C相切，求m的值；（Ⅱ）若m=﹣1，求圓C上的點到直線l的最小距離．24．選修4﹣5：不等式選講設(shè)f（x）=|x|+2|x﹣a|（a＞0）．（I）當a=l時，解不等式f（x）≤4；（Ⅱ）若f（x）≥4恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

2014-2015學(xué)年內(nèi)蒙古呼和浩特市高三（上）期中數(shù)學(xué)試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題（共12小題，每題5分，共60分）1．（5分）設(shè)集合A={x|＜2x＜4}，B={x|x2≤1}，則A∪B=（）A．{x|x＜2} B．{x|﹣＜x≤1} C．{x|﹣1≤x＜2} D．{x|1≤x＜2}【解答】解：∵集合A={x|＜2x＜4}={}x|﹣1＜x＜2}，B={x|x2≤1}={x|﹣1≤x≤1}，∴A∪B={x|﹣1≤x＜2}．故選：C．2．（5分）已知a∈R，i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z=a+i，若z2為純虛數(shù)，則z=（）A．1+i B．﹣1+i C．1+i或﹣1+i D．2i或﹣2i【解答】解：∵數(shù)z=a+i，∴z2=（a+i）2=a2﹣1+2ai，由z2為純虛數(shù)，得a=±1．∴z=1+i或﹣1+i．故選：C．3．（5分）在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，若a2?a4=9，則loga1+loga2+loga3+loga4+loga5的值為（）A．6 B．5 C．﹣6 D．﹣5【解答】解：∵各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，a2?a4=9，∴a3=3，∴l(xiāng)oga1+loga2+loga3+loga4+loga5=log（a1a5）+log（a2a4）+loga3=5loga3=﹣5故選：D．4．（5分）下列說法正確的是（）A．函數(shù)f（x）=ax+1（a＞0，且a≠1）的圖象恒過定點（0，1）B．函數(shù)f（x）=x﹣3在其定義域上是減函數(shù)C．函數(shù)f（x）=2值域為（0，+∞）D．函數(shù)f（x）=|log2x|在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增【解答】解：由于當x=0時，函數(shù)f（x）=ax+1=2，故函數(shù)f（x）=ax+1的圖象恒過定點（0，2），故A不正確．由函數(shù)f（x）=x﹣3在的圖象可得函數(shù)在（0，+∞）上單調(diào)遞減，且f（x）＞0，函數(shù)在（﹣∞，0）上單調(diào)遞減，且f（x）＜0，故函數(shù)在其定義域內(nèi)沒有單調(diào)性，故B不正確．由于函數(shù)f（x）=2中，≠0，故函數(shù)f（x）≠20，即f（x）≠1，故f（x）=2值域一定不是（0，+∞），故C不正確．在區(qū)間（1，+∞）上，函數(shù)f（x）=|log2x|=log2x，故函數(shù)在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增，故D正確，故選：D．5．（5分）設(shè)曲線y=eax﹣ln（x+1）在點（0，1）處的切線方程為2x﹣y+1=0，則a=（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：∵y=eax﹣ln（x+1），∴y′=aeax﹣∴x=0時，切線的斜率為a﹣1∵曲線y=eax﹣ln（x+1）在點（0，1）處的切線方程為2x﹣y+1=0，∴a﹣1=2，即a=3．故選：D．6．（5分）執(zhí)行如圖所示的程序框圖后，輸出的值為4，則P的取值范圍是（）A．（，] B．（，] C．（，] D．（，]【解答】解：執(zhí)行程序框圖，有n=1，S=0滿足條件S＜P，有S=，n=2；滿足條件S＜P，有S=+=，n=3；滿足條件S＜P，有S=++=，n=4；此時，不滿足條件S＜P，有S=，輸出n的值為4．故當P的取值在（，]時，不滿足條件＜P，退出循環(huán)，輸出n的值為4．故選：A．7．（5分）設(shè)a=dx，則sinxdx=（）A．2π B．π C．2 D．1【解答】解：因為a=dx==π，所以則sinxdx=﹣cosx=﹣（﹣1﹣1）=2；故選：C．8．（5分）已知向量，的夾角為120°，且||=1，||=2，則向量﹣在向量+上的投影是（）A．﹣ B． C． D．﹣3【解答】解：由已知，向量|﹣|2=||2+||2﹣2=1+4+2=7，|+|2=||2+||2+2=1+4﹣2=3，則cos＜﹣，+＞===﹣，向量﹣在向量+上的投影是|﹣|cos＜﹣，+＞=（﹣）=﹣；故選：A．9．（5分）函數(shù)f（x）=4sin（ωx﹣）sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期為π，且sinα=，則f（α）=（）A． B．﹣ C． D．﹣【解答】解：∵f（x）=4sin（ωx﹣）sin（ωx+）=4sin（ωx﹣）cos（﹣ωx+）=4sin（ωx﹣）cos（ωx﹣）=2sin（2ωx﹣）=﹣2cos2ωx，且函數(shù)f（x）的最小正周期為=π，求得ω=1，故f（x）=﹣2cos2x．又sinα=，則f（α）=﹣2cos2α=﹣2（1﹣2sin2α）=4sin2α﹣2=﹣，故選：B．10．（5分）變量x，y滿足約束條件時，x﹣2y+m≤0恒成立，則實數(shù)m的取值范圍為（）A．[0，+∞） B．[1，+∞） C．（﹣∞，3] D．（﹣∞，0]【解答】解：由題意作出其平面區(qū)域，x﹣2y+m≤0表示了直線上方的部分，故由解得，x=4，y=2；則4﹣2×2+m≤0，則m≤0．故選：D．11．（5分）已知函數(shù)f（x）=sinx+acosx的圖象關(guān)于直線x=對稱，且方程f（x）=m在[0，）上恰有兩個不同的實數(shù)根，則實數(shù)m取值范圍是（）A．[0，1] B．[1，2] C．[，2） D．[1，]【解答】解：由函數(shù)f（x）=sinx+acosx的圖象關(guān)于直線x=對稱，可得x=時，函數(shù)取得最大值或最小值，故有±=sin+acos，求得a=，∴f（x）=sinx+cosx=2sin（x+）．在[0，）上，x+∈[，），f（x）∈（1，2]．再根據(jù)方程f（x）=m在[0，）上恰有兩個不同的實數(shù)根，可得函數(shù)y=f（x）的圖象和直線y=m在[0，）上有兩個交點，故≤m＜2，故選：C．12．（5分）已知函數(shù)f（x）=ax3+bx2﹣2（a≠0）有且僅有兩個不同的零點x1，x2，則（）A．當a＜0時，x1+x2＜0，x1x2＞0 B．當a＜0時，x1+x2＞0，x1x2＜0C．當a＞0時，x1+x2＜0，x1x2＞0 D．當a＞0時，x1+x2＞0，x1x2＜0【解答】解：原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為f′（x）=3ax2+2bx=x（3ax+2b），令f′（x）=0，可解得x=0，或x=，故當x=0，或x=時，函數(shù)取得極值，又f（0）=﹣2＜0，所以要使函數(shù)f（x）=ax3+bx2﹣2（a≠0）有且僅有兩個不同的零點，則必有f（）=a+b﹣2=0，解得，且b＞0，即函數(shù)的一根為x1=，（1）如下圖，若a＞0，可知x1=＜0，且為函數(shù)的極大值點，x=x2處為函數(shù)圖象與x軸的交點，此時函數(shù)有2個零點：，x2＞0，顯然有x1x2＜0，但x1+x2的正負不確定，故可排除C，D；（2）如圖2，若a＜0，必有x1=＞0，此時必有x1x2＜0，x1=的對稱點為x=，則f（）=a+b﹣2=﹣2==8＞0，則必有x2＞，即x2﹣＞0，即x1+x2＞0故選：B．二、填空題（共4小題，每小題5分，共20分）13．（5分）已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，且a1=1，S5=25，則{an}的通項公式an=2n﹣1．【解答】解：因為數(shù)列{an}為等差數(shù)列，S5=25，所以=25，則a3=5，又a1=1，所以公差d==2，所以an=a1+（n﹣1）d=2n﹣1，故答案為：2n﹣1．14．（5分）已知函數(shù)f（x）=a2x﹣2a+1．若命題“?x∈（0，1），f（x）≠0”是假命題，則實數(shù)a的取值范圍是（，1）∪（1，+∞）．【解答】解：函數(shù)f（x）=a2x﹣2a+1，命題“?x∈（0，1），f（x）≠0”是假命題，∴原命題的否定是：“存在實數(shù)x∈（0，1），使f（x）=0”是真命題，∴f（1）f（0）＜0，即（a2﹣2a+1）（﹣2a+1）＜0；∴（a﹣1）2（2a﹣1）＞0，解得a＞，且a≠1；∴實數(shù)a的取值范圍是（，1）∪（1，+∞）．故答案為：（，1）∪（1，+∞）．15．（5分）如圖放置的邊長為1的正方形ABCD的頂點A、D分別在x軸、y軸正半軸上（含原點）上滑動，則的最大值是2．【解答】解：如圖令∠OAD=θ，由于AD=1故0A=cosθ，OD=sinθ，如圖∠BAX=﹣θ，AB=1，故xB=cosθ+cos（﹣θ）=cosθ+sinθ，yB=sin（﹣θ）=cosθ故=（cosθ+sinθ，cosθ）同理可求得C（sinθ，cosθ+sinθ），即=（sinθ，cosθ+sinθ），∴=（cosθ+sinθ，cosθ）?（sinθ，cosθ+sinθ）=1+sin2θ，的最大值是2故答案是216．（5分）定義在（0，）上的函數(shù)f（x）滿足f′（x）sinx﹣f（x）cosx＞0，設(shè)a=f（），b=f（），c=2f（），則a，b，c的大小關(guān)系是c＜b＜a．【解答】解：由于f′（x）sinx﹣f（x）cosx＞0，則設(shè)g（x）=，則有g(shù)′（x）＞0，則g（x）在（0，）上遞增，a=f（）=，b=f（）=，c=2f（）=．由于0＜，即有g(shù)（）＜g（）＜g（），則有c＜b＜a．故答案為：c＜b＜a．三、解答題17．（12分）已知函數(shù)f（x）=x3﹣ax2+x+2．（Ⅰ）若f（x）在R上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；（Ⅱ）設(shè)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x）．若?α∈（，）使f′（sinα）=f′（cosα）成立．求a的取值范圍．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=2x2﹣ax+1，由于f（x）在R上單調(diào)遞增，則f′（x）≥0在R上恒成立，則有△≤0，即a2﹣8≤0，解得﹣2；（Ⅱ）由于f′（x）=2x2﹣ax+1關(guān)于x=對稱，又，sinα＞cosα，?α∈（，）使f′（sinα）=f′（cosα）成立，則，即a=2（sinα+cosα）=2，由于，則，則，故有a．18．（12分）已知向量=（cosx，﹣2），=（1，cos），f（x）=?，角A，B，C分別為△ABC的三個內(nèi)角．（Ⅰ）當A=A0時，f（A）取最小值f（A0），試求A0與f（A0）；（Ⅱ）當A=A0，且△ABC的面積為時，求邊長BC的最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵=（cosx，﹣2），=（1，cos），f（x）=?，∴f（x）=cosx﹣2cos，∴f（A）=cosA﹣2cos=2（cos﹣）2﹣…（3分）∵0＜A＜π，∴0＜，0＜1∴cos=，即A=A0=時，f（A）取最小值f（A0）=﹣…（7分）（Ⅱ）由題意，=，∴bc=2∴a=≥=，“等號”當且僅當“b=c=”時成立∴BC邊長的最小值為…（12分）19．（12分）已知數(shù)列{an}滿足a1=2，an+1=+1．（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式；（Ⅱ）設(shè)bn=an+an+1﹣2，證明++…+＜．【解答】（Ⅰ）解：∵an+1=+1，∴（an+1﹣1）2﹣（an﹣1）2=1，又（a1﹣1）2=1∴{（an﹣1）2}是首項為1，公差為1的等差數(shù)列…（4分）∴（an﹣1）2=n∴an﹣1=，∴an=+1…（7分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，bn=an+an+1﹣2=+∴++…+=﹣1+﹣+…+﹣=﹣1于是，++…+＜．…（12分）20．（12分）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知?=3?．（Ⅰ）求證tanB=3tanA；（Ⅱ）若a2+b2﹣c2=ab，求角A的大小．【解答】解（Ⅰ）記AB=c，AC=b，BC=a∵?=3?．∴bccosA=3cacosB∴bcosA=3acosB由正弦定理得：sinBcosA=3sinAcosB∴∴tanB=3tanA．（Ⅱ）∵由余弦定理得：cosC=∴1+tan2C=5∴tanC=2（tanC=﹣2舍去）tanC=tan[π﹣（A+B）]=﹣tan（A+B）==2解得：tanA=﹣（舍去），或tanA=1∴A=．21．（12分）已知函數(shù)f（x）=sinx+lnx﹣kx（k＞0）．（Ⅰ）若f（x）在（0，]上單調(diào)遞增，求k的取值范圍；（Ⅱ）設(shè)g（x）=sinx（x＞0），若y=g（x）的圖象在y=f（x）的圖象上方，求k的取值范圍；（Ⅲ）設(shè)n∈N+，證明：（4﹣）＜sin（）i﹣1＜+1+ln2﹣（）n+1．【解答】解：（Ⅰ）由題意，f′（x）=cosx+﹣k≥0，則k≤cosx+，而cosx+在（0，]上單調(diào)遞減，求則（cosx+）min=cos+=，則k∈（0，]；（Ⅱ）由題意得x＞0時，g（x）＞f（x）恒成立，則lnx﹣kx＜0（x＞0）恒成立，令h（x）=lnx﹣kx，h′（x）=﹣k，x∈（0，）時，h′（x）＞0，x∈（，+∞）時，h′（x）＜0，則hmax（x）=h（）=ln﹣1＜0，則k＞．（Ⅲ）證明：如圖，顯然sinx＞（0），則sin（）i﹣1＞[1+（）+（）2+…+（）n]=（4﹣）；由0＜（）i﹣1≤1，由（Ⅰ）知，k=時，f（x）在（0，1]上單調(diào)遞增．當0＜x≤1時，有sinx+lnx﹣x≤sin1﹣＜，則sinx＜+x﹣lnx（0＜x≤1）成立，sin（）i﹣1＜（n+1）+[1+（）+（）2+…+（）n]﹣ln（）1+2+…+n=+1+ln2﹣（）n+1．即（4﹣）＜sin（）i﹣1＜+1+ln2﹣（）n+1．請考生在22、23、24三題中任選一題作答，如果多做，則按多做第一題計分。選修4-1：幾何證明選講22．（10分）如圖，P是⊙O外一點，PA是切線，割線PBC經(jīng)過圓心O，且PB=BC．（Ⅰ）求證：PA=AC；（Ⅱ）若點D是弧AC的中點，PD與⊙O交于另一點E，PB=1，求PE的長．【解答】（Ⅰ）證明：設(shè)BC=2R，則PB=R，PC=3R，∵PA為切線，由切割線定理得，PA2=PB?PC=3R2，∴PA=R．連接OA，PA⊥OA，∴∠POA=60°．∠AOC=120°．∴AC=R，∴PA=AC．（Ⅱ）解：連接OD，CD，∵D為的中點，∴，而OC=OD，∠PCD=60°，∵PB=1，∴PC=3，CD=1，由余弦定理得PD2=PC2+CD2﹣2PC?CDcos60°==7，∴PD=，再由切割線定理得，PA2=PE?PD，∴．∴PE=．23．在直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，圓C的極坐標方程為ρ=2cosθ，直線l的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．（Ⅰ）若直線l與圓C相切，求m的值；（Ⅱ）若m=﹣1，求圓C上的點到直線l的最小距離．【解答】解：（Ⅰ）圓C的極坐標方程ρ=2cosθ化為ρ2=2ρcosθ，化為直角坐標方程：x2+y2=2x．配方可得：（x﹣1）2+y2=1．∴圓心C坐標為（1，0），半徑為r=1．直線l的普通方程為x+2y=2m﹣4．圓心C到直線l的距離為d==，∵直線l與圓C相切，∴d=r．即=1，解得m=．（Ⅱ）當m=﹣1時，d==，∴d＞r，直線l與圓C相離，∴圓上的點到直線l的最小距離﹣1．24．選修4﹣5：不等式選講設(shè)f（x）=|x|+2|x﹣a|（a＞0）．（I）當a=l時，解不等式f（x）≤4；（Ⅱ）若f（x）≥4恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．【解答】解：（Ⅰ）當a=l時，f（x）=|x|+2|x﹣1|=．…（2分）當x＜0時，由2﹣3x≤4，得﹣≤x＜0；當0≤x≤1時，1≤2﹣x≤2，解得0≤x≤1；當x＞1時，由3x﹣2≤4，得1＜x≤2．綜上，不等式f（x）≤4的解集為[﹣，2]．…（5分）（Ⅱ）f（x）=|x|+2|x﹣a|=．…（7分）可見，f（x）在（﹣∞，a]單調(diào)遞減，在（a，+∞）單調(diào)遞增．當x=a時，f（x）取最小值a．若f（x）≥4恒成立，則應(yīng)有a≥4，所以，a取值范圍為[4，+∞）．…（10分）贈送—高中數(shù)學(xué)知識點【1.3.1】單調(diào)性與最大（小