隨機過程第一章上第一章隨機過程的概念與基本類型預備知識（概率論）簡要回顧一下概率論中與本課程有關的基本概念：隨機試驗、概率空間、樣本空間、概率、隨機變量等基本概念第2頁,共39頁，2024年2月25日，星期天隨機試驗試驗結果事先不能準確預言，三個特征:可以在相同條件下重復進行；每次試驗結果不止一個，可預先知道試驗所有可能結果；每次試驗前不能確定哪個結果會出現。第3頁,共39頁，2024年2月25日，星期天概率空間

概率空間是隨機試驗和概率的數學模型；概率空間由3個要素組成1）樣本空間2）定義于樣本空間的事件集3）定義于事件集上的概率集第4頁,共39頁，2024年2月25日，星期天樣本空間隨機試驗所有可能結果組成的集合，記為ΩΩ中的元素e稱為樣本點,樣本點是試驗的每一個不可分解的結果.事件樣本空間的子集A稱為事件.基本事件和復合事件；必然事件和不可能事件集合運算第5頁,共39頁，2024年2月25日，星期天和事件“事件A和事件B至少一個發生”構成的事件積事件“事件A發生而事件B不發生”構成的事件“事件A和事件B同時發生”構成的事件差事件互不相容關系事件A與事件B不可能同時發生互逆關系事件A與事件B必有一個發生,且僅有一個發生第6頁,共39頁，2024年2月25日，星期天古典概率隨機試驗中一切可能結果是有限多個；每個結果出現的可能性是相等的；則事件A發生的概率可表示為第7頁,共39頁，2024年2月25日，星期天

例如：一批產品共100件，其中次品4件，從這批產品中任取1件，求取到正品的概率。第8頁,共39頁，2024年2月25日，星期天幾何概率計算無窮個基本事件的情形；樣本點具有均勻分布的性質；設用L（Ω）作為區域Ω大小的量度，而區域Ω中任意可能出現的小區域A的量度用L（A）表示；則事件A（或某一區域）發生的概率表示為第9頁,共39頁，2024年2月25日，星期天例如：跳傘運動員降落在某一區域的概率第10頁,共39頁，2024年2月25日，星期天例題：在時間間隔T內的任何瞬間，兩個不相關的信號等可能地進入收音機。如果當且僅當這兩個信號進入收音機的間隔時間不大于t，則收音機受到干擾，試求收音機收到干擾的概率。x-y=tx-y=-tT2-(T-t)2第11頁,共39頁，2024年2月25日，星期天統計概率用于計算前兩種隨機概率概括不了的隨機事件概率；用事件的頻率近似地去表達事件的概率；若在同樣的條件下，將隨機試驗獨立的重復做n次，事件A出現了nA次，則事件A的頻率是當試驗次數n增大時，其中大量的頻率聚集在一個常數周圍；這個常數是客觀存在的，反映了事件A出現可能性的大小，我們認為這個常數就是事件的概率。第12頁,共39頁，2024年2月25日，星期天公理化定義的概率

(1933年前蘇聯科學家柯爾莫哥洛夫)

對于一個事件A∈樣本空間Ω，賦予一個實數P，若滿足：0≤P(A)≤1;(非負性)P(Ω)=1;(規范性)若A1,A2,……..,Ak兩兩互斥，則(可加性)我們稱P(A)為事件A的一個概率。第13頁,共39頁，2024年2月25日，星期天概率空間規定一個隨機試驗，所有樣本點之集合構成樣本空間Ω，在樣本空間中一個樣本點或若干個樣本點之適當集合F稱為事件域，F中的每一個集合稱為事件。若A∈F，則P(A)就是事件A的概率，并稱這三個實體的結合（Ω，F，P）為一個概率空間第14頁,共39頁，2024年2月25日，星期天條件概率在事件B已發生這一條件下，事件A發生的概率。全概率若有N個互斥事件An（n=1,2,…,N），它的并集等于整個樣本空間，則:其中,事件B伴隨事件Ai發生第15頁,共39頁，2024年2月25日，星期天

10箱同規格產品，其中5箱為甲廠生產，3箱為乙廠生產，2箱為丙廠生產，而甲廠、乙廠，丙廠生產的次品率分別為0.1，0.06，0.03，現在任取1箱，在從箱子中任取1件，問取得正品的概率?

例如：第16頁,共39頁，2024年2月25日，星期天設事件A1，A2，…，An構成一個完備事件組，概率P(Ai)>0,i=1,2,……,n,對于任何一個事件B，若P(B)>0,有貝葉斯公式(后驗概率公式或逆概率公式)事件A1，A2，……，An看作是導致事件B發生的“因素”，P(Ai)是在事件B已經出現這一信息前Ai出現的概率，通常稱為先驗概率公式給出的P(Ai︱B)是在經過試驗獲得事件B已經發生這個信息之后，事件Ai發生的概率，稱為后驗概率第17頁,共39頁，2024年2月25日，星期天例題：設一個二進制的數字通信系統，主要由1和0兩種符號組成，如下圖，且P(B1)=0.6，P(B2)=0.4，求條件概率第18頁,共39頁，2024年2月25日，星期天

10箱同規格產品，其中5箱為甲廠生產，3箱為乙廠生產，2箱為丙廠生產，而甲廠、乙廠，丙廠生產的次品率分別為0.1，0.06，0.03，現在任取1箱。

若取得的是正品，問該箱產品是甲廠生產的概率是多少？例如：第19頁,共39頁，2024年2月25日，星期天獨立事件設（Ω，F，P）為一概率空間，事件A∈F，B∈F且P(A)>0，若P(B|A)=P(B)，則稱事件B隨機獨立于事件A.例題：設每個家庭有3個孩子，男孩、女孩排列的八種可能性的概率均為1/8，定義如下事件：A＝既有男孩又有女孩的家庭B＝最多只有一個女孩的家庭問：A，B是否統計獨立？P(A)=(8-1-1)/8=3/4P(B)=(1+3)/8=1/2P(AB)=P(1女)=3/8第20頁,共39頁，2024年2月25日，星期天隨機變量定義：設（Ω，F，P）是概率空間，對任一個e∈Ω,都有實數X(e)與之對應，則稱X(e)為隨機變量，簡記為X。引入隨機變量后,隨機事件就可以表示為隨機變量在某一范圍內的取值.事件隨機變量第21頁,共39頁，2024年2月25日，星期天離散型隨機變量：只取有限個數值或可列無窮多個值。連續型隨機變量：從原樣本空間到新樣本空間的映射是某一個范圍，是一段（或幾段）實線（也可能是整個坐標軸），隨機變量可以取值于某一區間中的任一數。第22頁,共39頁，2024年2月25日，星期天分布函數（一個描述隨機變量取值的概率分布情況的統一方法）性質：F(x)是非降函數；(單調不減性)0≤F(x)≤1；(有界性)P{x1<X≤x2}=F(x2)-F(x1)F(x+0)=F(x)

(右連續)第23頁,共39頁，2024年2月25日，星期天離散型隨機變量的所有取值為xi(i=1,2…)Pi是X取xi的概率，稱：P(X=xi)=Pi，i=1,2…為離散型隨機變量X分布律。設F(x)是連續型隨機變量X的分布函數，若存在非負函數f(x)，有：則f(x)為連續型隨機變量X概率密度函數。第24頁,共39頁，2024年2月25日，星期天離散型隨機變量的概率分布用分布列（律）描述連續型隨機變量的概率分布用概率密度描述0-1分布二項分布泊松分布均勻分布正態分布指數分布第25頁,共39頁，2024年2月25日，星期天隨機變量函數的分布在給定某任意的隨機變量X，以及它的分布函數FX(x)，希望進一步求出給定的隨機變量的某些可測函數（如Y=g(X)）的分布函數。g(x)YXY的分布函數公式為如果上式右端概率的導數對于y處處存在，那么這個導數就給出了隨機變量Y的概率密度第26頁,共39頁，2024年2月25日，星期天第27頁,共39頁，2024年2月25日，星期天第28頁,共39頁，2024年2月25日，星期天邊際分布若二維聯合分布函數中有一個變元趨于無窮，則其極限函數便是一維分布函數，對于這種特殊性質，我們稱其為邊際分布。對于任意兩個隨機變量X,Y，其聯合分布函數為FXY(x,y)，則分別稱F1(x)和F2(y)為FXY(x,y)關于X和關于Y的邊際分布函數。離散型隨機變量（X，Y）邊際分布函數計算如下連續型隨機變量（X，Y）邊際分布函數計算如下第29頁,共39頁，2024年2月25日，星期天相互獨立的隨機變量設X，Y是兩個隨機變量，若對任意實數x，y有則稱X，Y為相互獨立的隨機變量。若X，Y為相互獨立隨機變量，則有聯合密度邊際密度聯合密度邊際密度第30頁,共39頁，2024年2月25日，星期天條件分布在給定條件隨機變量Y=y下，隨機變量X的條件概率密度函數為：第31頁,共39頁，2024年2月25日，星期天隨機變量的數字特征統計平均與數學期望方差協方差相關系數獨立與不相關第32頁,共39頁，2024年2月25日，星期天統計平均與數學期望設離散隨機變量X，它可能取4個值x1，x2，x3，x4，做試驗n次，計算X的算術平均可得：P(X=xk)對于離散型隨機變量可以用脈沖函數來表示其概率密度沖激函數隨機變量數學期望定義第33頁,共39頁，2024年2月25日，星期天隨機變量函數的數學期望值已知隨機變量X的數學期望值，求隨機變量函數Y=g(X)的數學期望，第34頁,共39頁，2024年2月25日，星期天K階原點矩，k階中心矩隨機變量X，若E[|X|k]<∞，稱E[Xk]為k階原點矩。離散隨機變量連續隨機變量又若E[X]存在，且E[|X-E[X]|k]<∞，稱為X的k階中心矩。離散隨機變量連續隨機變量第35頁,共39頁，2024年2月25日，星期天一階原點矩就是隨機變量的數學期望，數學期望大致的描述了概率分布的中心。二階中心矩就是隨機變量的方差，方差反映隨機變量取值的離散程度。0－1分布泊松分布正態分布數學期望和方差（見page3，表1－1）第36頁,共39頁，2024年2月25日，星期天第37頁,共39