永春一中培元中學(xué)季延中學(xué)石光中學(xué)2024屆高三年第二次聯(lián)合考試試卷（數(shù)學(xué)科）考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若一組數(shù)據(jù)的75百分位數(shù)是6，則（）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】C【解析】【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義求解即可．【詳解】這組數(shù)據(jù)為：，但大小不定，因?yàn)椋赃@組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為從小到大的順序的第6個(gè)數(shù)和第7個(gè)數(shù)的平均數(shù)，經(jīng)檢驗(yàn)，只有符合．故選：C．2.拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，再求焦點(diǎn)坐標(biāo)即可.【詳解】由可得，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故選：B3.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則是中的（）A.第30項(xiàng) B.第36項(xiàng) C.第48項(xiàng) D.第60項(xiàng)【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意求出數(shù)列的首項(xiàng)與公差，從而求出數(shù)列的通項(xiàng)，即可得解.【詳解】設(shè)公差為，則，解得，所以，則，令，則，所以是中的第36項(xiàng).故選：B.4.已知直線、m、n與平面、，下列命題正確的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，，則【答案】B【解析】【分析】ACD可舉出反例；B選項(xiàng)，作出輔助線，由線面平行得到線線平行，進(jìn)而由線面垂直得到面面垂直.【詳解】A選項(xiàng)，如圖1，滿足，，但不垂直，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，如圖2，因?yàn)?，所以作平面，使得，且，則，因?yàn)?，則，又，故，B正確；C選項(xiàng)，如圖3，滿足，，但不平行，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，如圖4，滿足，，，但不平行，D錯(cuò)誤.故選：B5.中國(guó)燈籠又統(tǒng)稱為燈彩，是一種古老的傳統(tǒng)工藝品.經(jīng)過(guò)歷代燈彩藝人的繼承和發(fā)展，形成了豐富多彩的品種和高超的工藝水平，從種類上主要有宮燈、紗燈、吊燈等類型.現(xiàn)將4盞相同的宮燈、3盞不同的紗燈、2盞不同的吊燈掛成一排，要求吊燈掛兩端，同一類型的燈籠至多2盞相鄰掛，則不同掛法種數(shù)為（）A.216 B.228 C.384 D.486【答案】A【解析】【分析】先在兩端掛2盞吊燈，再在2盞吊燈之間掛3盞紗燈，求出其掛法，最后將宮燈插空掛，考慮宮燈的分組情況，結(jié)合分步以及分類計(jì)數(shù)原理，即可求得答案.【詳解】先掛2盞吊燈有種掛法，再在2盞吊燈之間掛3盞紗燈有種掛法，最后將宮燈插空掛.當(dāng)4盞宮燈分成2，2兩份插空時(shí)有種掛法；當(dāng)4盞宮燈分成1，1，2三份插空時(shí)有種掛法；當(dāng)4盞宮燈分成1，1，1，1四份插空時(shí)有1種掛法，所以共有種不同的掛法.故選：A6.已知實(shí)數(shù)，滿足，則，可能是（）A， B.，C.， D.，【答案】A【解析】【分析】利用正切的兩角和差公式求解即可.【詳解】由，得，類比，.故選：A.7.已知實(shí)數(shù)a，b，c成公差非0的等差數(shù)列，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，點(diǎn)N的坐標(biāo)為．過(guò)點(diǎn)P作直線的垂線，垂足為點(diǎn)M，則M，N間的距離的最大值與最小值的乘積是（）A.10 B.C. D.前三個(gè)答案都不對(duì)【答案】A【解析】【分析】由題設(shè)可得點(diǎn)M的軌跡是以為直徑的圓，故可求的最值，故可求它們的乘積.【詳解】直線中a，b，c成等差數(shù)列即直線恒過(guò)點(diǎn)，又，于是點(diǎn)M的軌跡是以為直徑的圓，如圖．該圓的圓心為，半徑為，因此，故，于是所求最大值與最小值之積為．故選：A.8.宋代理學(xué)家周敦頤的《太極圖》和《太極圖說(shuō)》是象數(shù)和義理結(jié)合的表達(dá)．《朱子語(yǔ)類》卷七五：“太極只是一個(gè)混淪底道理，里面包含陰陽(yáng)、剛?cè)帷⑵媾?，無(wú)所不有”．太極圖（如下圖）將平衡美、對(duì)稱美體現(xiàn)的淋漓盡致．定義：對(duì)于函數(shù)，若存在圓C，使得的圖象能將圓C的周長(zhǎng)和面積同時(shí)平分，則稱是圓C的太極函數(shù)．下列說(shuō)法正確的是（）①對(duì)于任意一個(gè)圓，其太極函數(shù)有無(wú)數(shù)個(gè)②是的太極函數(shù)③太極函數(shù)的圖象必是中心對(duì)稱圖形④存在一個(gè)圓C，是它的太極函數(shù)A.①④ B.③④ C.①③ D.②③【答案】A【解析】【分析】根據(jù)“太極函數(shù)”、函數(shù)的對(duì)稱性、對(duì)數(shù)運(yùn)算等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)個(gè)說(shuō)法進(jìn)行分析，由此確定正確答案.【詳解】對(duì)于①：過(guò)圓心的直線都可以將圓的周長(zhǎng)和面積平分，所以對(duì)于任意一個(gè)圓，太極函數(shù)有無(wú)數(shù)個(gè)，故①正確對(duì)于②：，，所以關(guān)于y軸對(duì)稱，不是太極函數(shù)，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③：中心對(duì)稱圖形必定是太極函數(shù)，對(duì)稱點(diǎn)即為圓心．但太極函數(shù)只需平分圓的周長(zhǎng)和面積，不一定是中心對(duì)稱圖形，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④：曲線存在對(duì)稱中心，所以必是某圓的太極函數(shù)，故④正確．故選：A．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得3分.9.在中，，，，則的面積可以為（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】由余弦定理可求得，再用三角形面積公式可得解.【詳解】，，，，即，整理得，解得或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以的面積為或.故選：AC.10.設(shè)、為不相等的兩個(gè)復(fù)數(shù)，則下列命題正確的是（）A.若，則B.若，則或C.若，則D.若，則在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在一條直線上【答案】BD【解析】【分析】利用特殊值法可判斷AC選項(xiàng)；設(shè)，，根據(jù)模長(zhǎng)運(yùn)算和復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算可判斷B選項(xiàng)；設(shè)，，，根據(jù)模長(zhǎng)運(yùn)算和復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，令，，則，此時(shí)，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，設(shè)，，則，所以，，即，則；若，則成立，此時(shí)；若，，由知；由知：，此時(shí)；同理可知：當(dāng)，時(shí)，；若，，由得：，則，此時(shí)；綜上所述：若，則或，B正確；對(duì)于，令，，則，此時(shí)，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，設(shè)，，，則，，由，可得，所以，又、不全為零，所以表示一條直線，即在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在一條直線上，故D正確.故選：BD.11.已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，且，，則（）A. B.有最小值C. D.是奇函數(shù)【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)題意，利用抽象函數(shù)的的性質(zhì)，結(jié)合選項(xiàng)，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】對(duì)于A中，令，可得，所以A正確；對(duì)于B中，令，且，則，可得，若時(shí)，時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增函數(shù)；若時(shí)，時(shí)，，此時(shí)函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，所以函數(shù)不一定有最小值，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C中，令，可得，即，所以，，，，各式相加得，所以，所以C正確；對(duì)于D中，令，可得，可得，即，所以函數(shù)是奇函數(shù)，所以D正確；故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，，且，則在上的投影向量為__________.【答案】【解析】【分析】利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)合向量的投影計(jì)算即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)，由可知①，而，所以由可得②，由①②可得，解得，則，所以或者，又，向量在上的投影向量是.故答案為：.13.已知圓錐的母線，側(cè)面積為，則圓錐的內(nèi)切球半徑為______；若正四面體能在圓錐內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng)，則正四面體的最大棱長(zhǎng)為______．【答案】①.②.【解析】【分析】根據(jù)題意可求得底面圓半徑，高，求出軸截面內(nèi)切圓半徑即可得圓錐的內(nèi)切球半徑為，再根據(jù)正四面體外接球與棱長(zhǎng)之間的關(guān)系即可求得最大棱長(zhǎng)為.【詳解】如圖，在圓錐中，設(shè)圓錐母線長(zhǎng)為，底面圓半徑為，因?yàn)閭?cè)面積為，所以，即．因?yàn)?，所以，所以．棱長(zhǎng)為的正四面體如圖所示，則正方體的棱長(zhǎng)為，體對(duì)角線長(zhǎng)為，所以棱長(zhǎng)為的正四面體的外接球半徑為．取軸截面，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，則，解得，即圓錐的內(nèi)切球半徑為．因?yàn)檎拿骟w能在圓錐內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng)，所以，即，所以正四面體的最大棱長(zhǎng)為．故答案為：；【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：在求解正四面體外接球（內(nèi)切球）問題時(shí)，可根據(jù)正四面體的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造正方體求出外接球半徑，也可直接利用結(jié)論：棱長(zhǎng)為的正四面體的外接球半徑為，內(nèi)切球半徑為.14.如圖，畫一個(gè)正三角形，不畫第三邊；接著畫正方形，對(duì)這個(gè)正方形，不畫第四邊，接著畫正五邊形；對(duì)這個(gè)正五邊形不畫第五邊，接著畫正六邊形；……，這樣無(wú)限畫下去，形成一條無(wú)窮伸展的等邊折線．設(shè)第n條線段與第條線段所夾的角為，則______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)正三角形、正方形、正五邊形的角的度數(shù)規(guī)律，類比出多邊形個(gè)角的度數(shù)表達(dá)式，再計(jì)算出2022條線段所在的正多邊形的邊數(shù)，進(jìn)一步求出夾角.【詳解】第一條線段與第二條線段所夾的角，由此類推，，，，，，，，，，觀察規(guī)律，三角形會(huì)有個(gè)相等的角，并且角的度數(shù)恰好是其內(nèi)角的度數(shù)，正方形有個(gè)，正五邊形有個(gè)，正六邊形有個(gè)，多邊形有個(gè)又觀察圖形得：正三角形畫條線段，正方形畫條線段，正五邊形畫條線段，正六邊形畫條線段，，正邊形畫條線段；畫到正多邊形時(shí)，畫線段的條數(shù)為，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，第條線段應(yīng)在正邊形中，故答案為：.四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答題應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程成演算步驟.15.已知函數(shù)在處有極值2．（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）證明：．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）證明見解析.【解析】【分析】（Ⅰ）求出導(dǎo)函數(shù)，由且求得，并檢驗(yàn)0是極值點(diǎn)；（Ⅱ）不等式化為，引入函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)求得的最小值，最小值大于0，從而證得不等式成立．【詳解】（Ⅰ）解：由已知，，則解得，經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意.（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）可知，．要證，只需證．即．令，則．令，解得．，的變化情況如下表所示．1－0+單調(diào)遞減1單調(diào)遞增所以，時(shí)，有最小值．故成立16.為弘揚(yáng)中國(guó)共產(chǎn)黨百年奮斗的光輝歷程，某校團(tuán)委決定舉辦“中國(guó)共產(chǎn)黨黨史知識(shí)”競(jìng)賽活動(dòng)．競(jìng)賽共有和兩類試題，每類試題各10題，其中每答對(duì)1道類試題得10分；每答對(duì)1道類試題得20分，答錯(cuò)都不得分．每位參加競(jìng)賽的同學(xué)從這兩類試題中共抽出3道題回答（每道題抽后不放回）．已知某同學(xué)類試題中有7道題能答對(duì)，而他答對(duì)各道類試題的概率均為．（1）若該同學(xué)只抽取3道類試題作答，設(shè)表示該同學(xué)答這3道試題的總得分，求的分布和期望；（2）若該同學(xué)在類試題中只抽1道題作答，求他在這次競(jìng)賽中僅答對(duì)1道題的概率．【答案】（1）分布列見解析，（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)超幾何分布的概率公式求解概率，即可得分布列，利用期望公式即可求解，（2）根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率，即可求解.【小問1詳解】，，，所以X的分布為X0102030P所以小問2詳解】記“該同學(xué)僅答對(duì)1道題”為事件M.這次競(jìng)賽中該同學(xué)僅答對(duì)1道題得概率為.17如圖，四棱錐中，底面，四邊形中，，．（1）若為的中點(diǎn)，求證：平面平面；（2）若平面與平面所成的角的余弦值為．（?。┣缶€段的長(zhǎng)；（ⅱ）設(shè)為內(nèi)（含邊界）的一點(diǎn)，且，求滿足條件的所有點(diǎn)組成的軌跡的長(zhǎng)度．【答案】（1）證明見解析；（2）（?。?；（ⅱ）.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用線面垂直的性質(zhì)、判定，再結(jié)合面面垂直的判定推理即得.（2）以點(diǎn)A為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用面面角的向量求法結(jié)合已知求出，再求出并確定軌跡求解即得.【小問1詳解】在四棱錐中，底面，平面，則，而平面，于是平面，又平面，則，由，為的中點(diǎn)，得平面，因此平面，而平面，所以平面平面.【小問2詳解】（?。┯桑?）知，直線兩兩垂直，以點(diǎn)為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，過(guò)作于，由，得，令，則，，設(shè)平面的法向量，則，令，得，由平面，得平面的一個(gè)法向量，依題意，，整理得，而，解得，所以線段的長(zhǎng)為2.（ⅱ）顯然平面，而平面，則，又，于是，解得，因此點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓的，所以點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度為.18.已知橢圓的離心率是，點(diǎn)在上．（1）求的方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，直線與軸的交點(diǎn)分別為，證明：線段的中點(diǎn)為定點(diǎn)．【答案】（1）（2）證明見詳解【解析】【分析】（1）根據(jù)題意列式求解，進(jìn)而可得結(jié)果；（2）設(shè)直線的方程，進(jìn)而可求點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合韋達(dá)定理驗(yàn)證為定值即可.【小問1詳解】由題意可得，解得，所以橢圓方程為.【小問2詳解】由題意可知：直線的斜率存在，設(shè)，聯(lián)立方程，消去y得：，則，解得，可得，因?yàn)?，則直線，令，解得，即,同理可得，則，所以線段的中點(diǎn)是定點(diǎn).【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解定值問題的三個(gè)步驟（1）由特例得出一個(gè)值，此值一般就是定值；（2）證明定值，有時(shí)可直接證明定值，有時(shí)將問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)式，可證明該代數(shù)式與參數(shù)(某些變量)無(wú)關(guān)；也可令系數(shù)等于零，得出定值；（3）得出結(jié)論．19.已知集合，其中．對(duì)于，，定義與之間的距離為．（1）記，寫出所有使得；（2）記，、，并且，求的最大值；（3）設(shè)，中所有不同元素間的距離的最小值為，記滿足條件的集合的元素個(gè)數(shù)的最大值為，求證：．【答案】（1）的所有情形有：、、、；（2）；（3）證明見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)題中定義可得的所有情形；（2）分、兩種情況，利用絕對(duì)值三角不等式可求得的最大值；（3）設(shè)是滿足條件的最大集合，即中的元素個(gè)數(shù)為，，記集合，分析出中的元素個(gè)數(shù)為，利用反證法可得出集合有個(gè)元素，從而推出矛盾，進(jìn)而可證得結(jié)論成立.【詳解】（1）已知，，且，所以，的所有情形有：、、、；（2）設(shè)，，因?yàn)?，則，同理可得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.當(dāng)，時(shí)，上式等號(hào)成立.綜上所述，；（3）設(shè)是滿足條件的