高中數學學科課堂教學設計的理論與實踐建平中學數學組一、課題的提出新課程體系下，教師要實現新課程提出的三維目標：知識與技能、過程與方法、情感態度與價值觀，構建起課堂教學比較完整的目標體系，由以知識本位、學科本位轉向以學生的發展為本的目標。《普通高中數學課程標準（實驗）》指出：“數學教學要體現課程改革的基本理念，在教學設計中充分考慮數學的學科特點，高中數學的心理特點，不同水平，不同興趣學生的學習需要，動用多種教學方法和手段，引導學生積極主動地學習，掌握數學的基礎知識和基本技能以及它們所體現的數學思想方法，發展應用意識和創新意識，對數學有較為全面的認識，提高數學素養，形成積極的情感態度，為未來發展和進一步學習打好基礎。”由此可見新課程理念倡導的數學課堂教學設計必須以“學生的學為本”，“以學生的發展為本”，即數學課堂教學設計應當是人的發展的“學程”設計，而不是單純是學科中心的“教程”設計，也就是說，一是課堂教學要向學生的生活世界回歸。這就要求我們以人為本，尊重教育規律，要改變課堂教學的內容和形式，要強調學生對學習過程的體驗，讓學生用活潑多樣、易于理解、樂于接受、主動學習的方式方法去學習，以提高學生的學習能力。二是在課堂教學中要注重學生動手實踐能力和創新精神的培養，強調在學習過程中有機貫穿價值觀教育和道德教育，尊重學生成長規律，關注學生個性發展，充分發揮學生意志、想象、情感、性格、潛意識、靈感對教學認知的作用，增強教學動力，使學生在輕松、和諧、民主的氛圍中處于動腦、動口、動手、動筆狀態，讓學生愉快地汲取知識，實現知識的正遷移。科學、合理的數學課堂教學設計對于學生學會認知，學會做事，學會共同生活，學會生存這四種基本學習具有重要意義。（一）教學設計應有利于讓學生學會學習，發揮學生的主體作用；心理學研究表明，學生是學習的主體，所有的新知識只有通過學生自身的“再創造”活動，才能納入其認知結構中，才可能成為下一個有效的知識。傳統的課堂設計，常常是“教師問，學生答，教師寫，學生記，教師考，學生背。”在這樣教學下，學生機械被動地學習，不能主動對話、溝通、交流。久而久之，他們學習數學的興趣會逐漸褪去。新課程標準要求教師必需轉變角色，尊重學生的主體性，以新的理念指導設計教學。在教學過程中，要根據不同學習內容，使學習成為在教師指導下自動的、建構過程。教師是教學過程的組織者和引導者，教師在設計教學目標，組織教學活動等方面，應面向全體學生，突出學生的主體性，充分發揮學生的主觀能動性，讓學生自主參與探究問題。（二）教學設計應有利于讓學生學會做事，加強應用意識的培養；《課程標準》認為：學會認知和學會做事在很大程度上是密不可分的。因此數學教學的一大任務就是教會學生實踐他所學的知識，還有在不能完全預計到未來工作變化的情況下，如何適應未來的工作。因而數學課堂教學中應用意識的培養就顯得格外重要。因此，我們有必要改變傳統教學觀念，著力加強數學應用意識的培養，并將之滲透到整個課堂教學過程中去。所以教師必須認真研究新課程標準，設計富有情趣，聯系生活的教學活動，讓學生有更多的機會以周圍熟悉的事物中學習數學，理解數學。使學生自覺地聯系數學以及其他學科的知識，讓學生參與提出問題，分析問題，解決問題這一全過程，并深刻體會教學的應用價值。（三）教學設計應有利于讓學生學會共同生活，培養學生的合作精神；教育的使命是教會學生懂得人類的多樣性，同時還要教他們認識地球上所有人之間既具有相似性又相互依存，為實現共同的目標而努力學習。當代科學的發展已呈現出既高度分化，又高度綜合的趨勢，單憑個人的力量無法勝任科學研究工作。為了促使學生的合作交流，教學設計時應考慮到以單一的班級授課制轉向小組合作學習，如把班級的學生分成幾個組，有明確的責任分工，教師能有效的組織學生的合作學習、交流。這種設計有助于培養學生合作的精神和競爭意識，同時有助于教師的因材施教，彌補一個教師難以面向有差異的眾多學生的教學的不足。從而真正實現“不同的人在教學上有不同的發展”的教學目標。（四）教學設計應有利于讓學生學會生存，培養學生的創新意識。《課程標準》認為：應該培養每個學生具有一種獨立自主的富有批判精神的思想意識，以及他們自己的判斷能力。教學中教師要精心設計教學，不應停留在簡單的變式和膚淺的問答形式上，而應把數學知識方法貫徹到每一次探索活動中去，使學生在“觀察、聯想、類比、歸納、猜想和證明”等一系列探究過程中，體驗到成功的快樂，從而激發學生的創新欲望，體會到數學思想方法的作用。二、課題界定⒈本課題所說的“新課程”就是指新一輪改革后的數學課程體系。它體現出全新的教學理念：“強調使學生形成積極主動的學習態度，使學生獲得基礎知識與基本技能的過程同時成為學會學習和形成正確價值觀的過程”，“加強課程內容與學生生活以及現代社會和科技發展的聯系，關注學生的學習興趣和經驗，精選終身學習必備的基礎知識和技能”，“倡導學生主動參與、樂于探究、勤于動手，培養學生搜集和處理信息的能力、獲取新知識的能力、分析和解決問題的能力以及交流與合作的能力”。⒉本課題所說的“課堂教學設計”就是指我們高中數學教師在新課程教學思想和教學設計理論指導下，根據課程標準與教材要求，基于學生的學習特點和要求，對課堂教學活動的目標內容、組織形式、教學方式、學習情境、評價指導、教師角色及教學活動過程所作的整體、系統的策劃和具體安排，以此提高課堂教學的質量和效益，實現不同條件下的教學過程最優化。實現“從知識本位到注重發展、從以教為本到主體參與、從單向灌輸到情境建構、從靜態預設到動態生成”與新課程改革相適應的、真正確立學生主體地位的課堂教學設計。三、理論支撐（一）建構主義理論建構主義學習觀認為，學生的學習不是“由不知到知的過程”，而是學習者在個體原有知識經驗的基礎上不斷生長出新知識的過程；學習不是教師將外部結論式知識強硬塞進學習者的頭腦中，而是通過學習者對知識產生的過程的理解從而建構新知識意義的過程。建構主義的數學教學觀所主張的教學方法與傳統的注入式和題海戰術，有著本質的區別．建構主義主張的教學方法其核心是強調學習者是一個主動的、積極的知識構造者．他們認為知識就是某觀念；學習是發展，是改變觀念；教學是幫助他人發展或改變觀念；而行為是人類的活動，其實質是觀念的操作化．建構主義認為教師的一項重要的工作就是要從學生實際出發，以深入了解學生真實的思維活動為基礎，通過提供適當的問題情景或實例促使學生的反思，引起學生必要的認知沖突，從而讓學生最終通過其主動的建構起新的認知結構．傳統教學中的注入式和題海戰術往往容易忽略學習需要主體的建構，而是把教學最大限度地轉移到記憶、復現、再認上去．例如，注入式取消了結論所產生的建構過程，把學習變成反復再現由課本或教師規定的結論；題海戰術取消了方法的建構過程，把學習變為重復某些規定的題型解法，等等．傳統數學教學的一個主要弊端在于忽視學習者的主觀能動性，忽視學習者是學習過程的主體．教師成了知識的“販賣者”，學生被看成可以任意地涂上各種顏色的白紙，或可以任意地裝進各種東西的容器。建構主義的數學教學觀同我國數學教育家積極倡導的“讓學生通過自己思維來學習數學”內在本質是一致的．在一定意義上說，我們認為沒有一個教師能夠教數學，好的教師不是在教數學而是能激發學生自己去學數學。好的教學也并非是把數學內容解釋清楚，闡述明白就足夠了。事實上，我們往往會發現在教室里除了自己以外，學生并未學懂數學．教師必須要讓學生自己研究數學，或者和學生們一起做數學；教師應鼓勵學生們獨立思考，并接受每個學生做數學的不同想法；教師應積極為學生創設問題解決的情景，讓學生通過觀察、試驗、歸納、作出猜想、發現模式、得出結論并證明、推廣，等等．只有當學生通過自己的思考建構起自己的數學理解力時，才能真正學好數學。（二）“主導—主體結合”的教學設計理論1、理論基礎奧蘇貝爾的“有意義接受學習”理論、“動機”理論和“先行組織者”教學策略是以教師為中心教學結構的主要理論基礎，建構主義的學習理論與教學理論則是以學生為中心教學結構的主要理論基礎。這兩種教學結構都有其優點與不足。如能將二者結合起來，互相取長補短、優勢互補，則可相得益彰，形成比較理想的教學結構。2、過程與模式（1）可根據教學內容和學生的認知結構情況靈活選擇“發現式”或“傳遞—接受”教學分支；（2）在“傳遞—接受”教學過程中基本采用“先行組織者”教學策略，同時也可采用其他的“傳遞—接受”策略作為補充，已達到更佳的教學效果；（3）在“發現式”教學過程中也可從分吸收“傳遞—接受”教學的長處；（4）便于考慮情感因素的影響；卡內基促進教學基委會主席、斯坦福大學教育學和心理學教授李·舒爾曼博士，在其教育理論專著《范式與課題》中精心勾畫過一幅教學研究概括圖，試圖以此整合各種研究課題之間存在的重要聯系。其核心內容有：（1）教師和學生是教學研究的主要成分。教學活動則是教師與學生的共同工作（活動），師生雙方的三種屬性潛在地決定了教室里的教和學，它們是能力、行動和思考。（2）教學活動發生在不同的背景之下。（3）教師與學生通過教學內容實現交互作用。多年的教學實踐證明，學生數學知識的獲得、技能的提高、創新的源頭很大程度來源于課堂教學（教師、學生共同）活動之中，并且“學生主體”始終未離開過“教師主導”，結合數學課程標準中的新理念，我們認為：教學活動可以作為聯系師生雙方的第三個維度。在這三個維度構成的空間里，能夠充分展示教師的“主導”作用，學生的“主體”意識，從而可以承載新課程的基本理念。數學課堂教學評價應該聚焦于這個空間。關于教師教師是聯結學生與教材的紐帶，是教學主體化的先導，其作用在于引發誘導、指導示范、反饋矯正與適時點撥。1．引導。雖然近年來關于“建構主義”理論下的教改很有氣勢（也很有成果），關于“行為主義”（外界刺激與行為體間的有效結合）的理論及實踐幾乎銷聲匿跡，但是很多成功的課堂教學實例與教學經驗告訴我們：“行為主義”的學習理論也有極其重要的地位，未必要先“構建”再“認知”，通過“構建”去“認知”與通過行為體的“刺激”去“認知”雖屬兩種不同理論指導下的兩種學習行為（或許一堂課不可能將他們同時展示出來），但兩種行為的先導都離不開教師。課堂教學評價不該拘泥于教學方法的選擇，“循循善誘”應涵蓋豐富的新觀念。2．指導示范。傳統的數學課程體系基本是嚴格按照科學體系展開的，較少重視學生自己的經驗，雖然對學生的“知識儲備”起到了作用，但是學生的視野、主動與創造受到抑制。這里的指導示范應建立在充分暴露學生頭腦中那些（或許）非正規的數學知識和數學體驗基礎上，使其發展為科學的結論，并從中感受到數學發展的樂趣，增進學好數學的信心，形成應用意識、創新意識。在這個環節中，教師角色應由傳統的課程組織體系的灌輸者成為教育學意義上的對話者。3．反饋矯正。因課堂教學內容的不同，自然出現傳統“講解法”與新潮“探究式”的教法選擇，或許前者較易掩蓋問題與矛盾，但后者所需時間與知識容量間的矛盾也是顯然的。這就要求教師充分地了解學生并有預見性。我們認為學生無問題可問，找不出問題的一堂課必存在著重大問題，于是把教師如何站在學生角度并指導學生搜集問題、整理問題、解決問題作為一個重要的評價指標。4．點撥。教師不可能，事實上也無法代替學生的思維。該環節真實反映在“引導”“指導示范”“反饋矯正”的各個歷程。較高的“點撥”藝術需要教育、心理學技術的綜合。“豁然開朗”“于無聲處”見“成果”則是“點撥”的最高境界。關于學生1．參與投入。由于知識并不是主體對客觀實在簡單的被動反應，而是學習者以自身已有的知識和經驗為基礎的一個主動的建構過程，同時學生的學習活動是在一個特定的環境──學校里，在教師的直接指導下進行的，所以學生的學習活動就成為一種特殊的建構活動。多年的教學實踐中，還未發現課堂上學生“各行其是”卻掌握了“數學知識”的事例。可見數學課堂教學中只有引導學生積極參與教學活動，投入精力探討問題，“互動”才有保障，才有內容。2．展開。有一個普遍的現象：每節課剛開始時“差生”的狀態并不差，這里除了保持注意力及其他非智力因素，一個重要的原因是，現行教材的每單元、每小節，總是以非常基礎的知識點，甚至以常識為例產生的新問題開始的。正是在這個關鍵點──展開新環節處“差生”露出“無為”，嚴重妨礙了新知識、信息的接受，時間一長，“差生”才真正成了差生。展開的過程即是學生將實際問題抽象成純數學問題（實際問題數學化）的過程，幫助學生學會數學地思考，學會數學地觀察世界，這將影響到學生科學世界觀的形成。3．深入。數學知識的獲取、能力的提高以及數學教學的進程呈“螺旋式”上升模式，學生的數學知識儲備之所以不斷擴大，就在于“邏輯思維”與“非邏輯思維”能力的協調。數學知識的創新主要靠想象、直覺、頓悟等非邏輯思維方法，而不是靠嚴格的推證；同時，若沒有嚴格的推理論證，創新的“成果”經不起推敲，也就難成“正果”。數學課堂教學正是讓學生“領悟”這個過程，并引導學生進入科學研究領域，形成科學的世界觀。比如，“觸摸”概念，發現“定理”，認識“定理”并證明應用“定理”，便是課堂教學的最高境界。當然并不是每節課都會產生定理，倘若學生能不拘泥于“參與投入”“展開”狀態，在教師的積極引導下，總結或發現新觀點、新方法，也是“深入”的精華所在。因為這個環節包含了極其豐富的數學思想（類比、聯想、發現、論證、創新）及諸多的教育心理學技巧（興趣、注意力、意志的調動與培養）。4．拓展。數學源于實踐，又最終為實踐服務。經“參與投入”“展開”“深入”歷程之后，“數學”還未完結，應用才是目標，將前三段歷程的積累進行“拓展”，將是課堂教學乃至數學的最高目標和境界。數學課程標準要求“把寶貴的精力放在創新與互動上”，從一個側面強調了課堂教學中“拓展”環節的重要性與必要性，該環節是創新的“分流”和“實驗場”關于教學活動教學活動的核心是：重視學生對知識發生過程的心理體驗、心智感受，并不斷上升為理性的判斷與創新，直至達到創新能力的形成。具體到課堂教學，其核心觀念是：數學教育中指導學生，把握好數學知識方法體系與使學生體驗數學知識方法的過程并重，提高學生的數學素養與基本素質并重。1．材料組織化。數學教育教學大綱指出，在數學教學中“應使學生通過背景材料、并運用已有知識進行觀察、試驗、比較、猜想、分析、綜合、抽象和歸納，將實際問題抽象為數學問題，建立起數學模型，從而解決問題拓寬自己的知識”。可見進行一系列數學知識應用的前提，是不斷地將背景材料加工整理組織的過程。該環節還有一個主要任務：在學生個性差異前提下，使不同層次的學生都有適合自己的狀態，即在材料的組織內容和要求上有一定的彈性，以體現不同的教學要求。2．材料邏輯化。材料邏輯化主要針對新信息技術下的數學課堂教學。教師在設計教學過程時注意體現以人的發展為本，突出學生的主體和主動性，設計要以學生為中心，以情境創設為前提，以問題驅動為導向，引出每節課的學習課題，學生圍繞課題查閱信息資料，自主學習或與同學協作學習或與教師交流。教師通過網絡及時收集學生的反饋信息，進行指導和幫助，學生通過思考探索，對獲取的信息進行判斷和邏輯推理，完成對課題的理解、掌握應用和建構。3．材料數學化。力求體現知識的發生過程、對規律的探求和發展過程。在教師指導下，通過觀察、操作、分析、比較，由學生自己去發現關系、性質和方法，并作出合理的判斷。讓學生在做數學的過程中學會“數學化”。4．內化。學生活動也可能啟示教師的再活動（信息擴充、教法創新、材料重組）。這個活動是師生間互動、學生間互動的產物，將使教材應用生命化、教學活動靈魂化，是目前課程改革所需要的教學變革。四、教學設計的一般程序教學設計模式是一套程序化的步驟，不同的教學設計模式包含的步驟會有所不同，不存在適合所有內容的教學設計模式,但一般教學設計模式都包括一些基本的要素,如學習需要分析；學習內容分析；學習者分析；學習目標的闡明；教學策略的制定；教學材料的選擇和利用；教學設計成果的評價。學習需要分析學習需要分析學習內容分析學習者分析編寫學習目標制定教學策略選擇和開發教學材料形成性評價總結性評價修改（一）對學生學習情況的有效分析；對學生需要、學習內容和學生情況等方面的分析，既要反映學生掌握數學知識和技能的狀況，又要關注學生的學習過程和數學思維過程，以及考察學生解決問題的能力，還應了解學生學習數學時的情感與態度，因為有效的數學學習來自于學生對數學活動的參與，而參與的程度卻與學生學習時產生的情感因素密切相關。在新的教育理念下，對于高中生數學學習的分析應該包括這樣幾個方面：1、對學生的數學基礎知識與基本技能的分析；數學知識不僅包括“客觀性知識”，即那些不因地域、學習者而改變的數學事實。如乘法運算法則、等比數列求和公式、直線與平面的位置關系等，它們被整個數學共同體所認同，反映的是人類對數學的認識；數學知識還包括從屬于學生自己的“主觀性知識”，即帶有鮮明個體認知特征的數學活動經驗。如對“復數”的作用的認識、分解立體圖形的基本思路、解決某種數學問題的習慣性方法等，它們僅僅從屬于特定的學習者自己，反映的是他在某個學習階段對相應數學對象的認識。主要包括一些基本的數學事實性的知識，如定義、定理、公式，特定的證明，歷史性的資料等。對知識與技能的分析中還包括對過程性內容的分析，如將一些實際問題抽象為算法的過程；探究物體與圖形的形狀、大小、位置關系和變換的過程；提出問題、收集和處理數據、做出決策和預測的過程。2、對學生的數學能力的分析；數學能力，首先是基于上述基礎知識的理解能力，表達能力，應用能力等。同時，還要重視對學生數學表達、交流、與人合作、發現問題、解決問題等方面能力的分析。數學能力具有豐富的含義，如，張奠宙先生在從回顧歷史和展望將來的視角對常規思維數學能力和創新能力進行了具體的科學的界定。常規數學思維能力的10個方面：①數形感覺與判斷能力；②數據收集與分析；③幾何直觀和空間想象；④數學表示與數學建模；⑤數學運算與數學變換；⑥歸納猜想與合情推理；⑦邏輯思考與演繹證明；⑧數學聯結與數學洞察；⑨數學計算和算法設計；⑩理性思維與構建體系。數學創新能力的10個方面:：①提出數學問題和質疑能力；②建立新的數學模型并用于實踐的能力；③發現數學規律的能力；④推廣現有數學結論的能力；⑤構作新數學對象(概念、理論、關系)的能力；⑥將不同領域的知識進行數學聯結的能力；⑦總結已有數學成果達到新認識水平的能力；⑧巧妙地進行邏輯聯接,做出嚴密論證的能力；⑨善于運用計算機技術展現信息時代的數學風貌；⑩知道什么是“好”的數學,什么是“不大好”的數學。3、數學學習態度、情感與數學價值觀；分析的目的是要促進學生的發展。發展既包括認知的發展，也包括情感的發展和數學價值觀。在對學生進行分析時，不僅要分析其記憶、理解、思維能力等認知方面的發展，還要關注學生情感與態度的分析。要考察學生是否主動地參與教學、對學習數學是否有信心、感興趣、對與數學有關的問題是否充滿好奇心、遇到難題時是否能夠積極地努力去克服和解決等等。當前，在高中生數學學習如下一些問題仍值得深入研究：怎樣才能有效地避免學生在知識與技能方面“只學不用”、“只會學不會用”的現象發生？怎樣分析學生參與數學活動的程度和行為表現、合作交流的意識和能力？如何分析學生在學習過程中表現出來的數學思維策略、思維水平和思維品質？應從哪些方面分析學生提出、分析和解決問題的能力？什么時候進行情感與態度分析最合適？進行情感與態度分析的方法有哪些？（二）教學目標的有效教學設計；教學目標的設計是課堂教學設計的一個重要方面，決定著整個課堂教學設計的方向、過程及結果評估，直接關系到課堂教學效果和學生的發展。傳統的課堂教學設計過分強調認知性目標，而智力、能力、情感、態度、價值觀等方面形同虛設。由此導致的結果是課堂教學只關注知識的有效傳遞，見書不見人，從根本上失去了對人的生命存在及其發展的整體關懷，從而使學生成為被“肢解”的人，甚至被“窒息”的人。本研究以知識為本位轉向以學生發展為本位。做到：=1\*GB2⑴教師要“目中有人”、“心中有人”。=2\*GB2⑵教師要有“全人”的概念。=3\*GB2⑶要注重學生個性發展。教學目標設計中的一般問題：①教學目標的表述形式——行為主體+行為動詞（教學內容）+行為條件+表現程度。②目標的確定：A知識與技能：依據課標和教材；B過程與方法（能力）：依據課標、教材、學生；C情感態度與價值觀：主要依據學生。③確定教學目標的原則：全面性；科學性；針對性；導向性；可操作性；可測性等。④課標中教學目標分類及行為動詞目標領域水平層次行為動詞知識與技能知道/了解/模仿了解，體會，知道，識別，感知，認識，初步了解，初步體會，初步學會，初步理解，求。理解/獨立操作描述，說明，表達，表述，表示，刻畫，解釋，推測，想象，理解，歸納，總結，抽象，提取，比較，對比，判定，判斷，會求，能，運用，初步應用，初步討論。掌握/應用/遷移掌握，導出，分析，推導，證明，研究，討論，選擇，決策，解決問題。過程與方法經歷/模仿經歷，觀察，感知，體驗，操作，查閱，借助，模仿，收集，回顧，參與，嘗試。發現/探索設計，梳理，整理，分析，發現，交流，研究，探索，探究，探求，解決，尋求。情感態度與價值觀反應/認同愿意，相信，主動，感受，認識，了解，初步體會，自信，有目的，體會。領悟/內化獲得，提高，增強，形成，養成，樹立，發揮，發展。（三）教學方法的有效課堂設計；教學有法，教無定法，貴在得法。要在整個教學方法體系中根據具體的教學目的和任務、教材內容的特點、學生的年齡特征和知識的基礎，進行綜合分析，把多種教學方法有主有從地配合起來，創造性地加以運用，達到教學方法的優化組合。在新課程理念的指導下，教學方法的有效課堂設計實質上是設計“導法”，而不是設計“教法”。1、確定教法的原則①依據教學原則；②依據教學任務；③依據教學內容；④依據學生實際；⑤依據自身特點。（2）選擇教法應注意的問題①注意多樣性和綜合性。②注意靈活性和調控性。③對所選擇的教學方法的掌握水平。④注意積極性和整體性。不同的教學目標會影響教學方法，不同的方法則使教學過也很不相同，教學側重點也不相同。（四）情境創設的有效課堂設計；新課程的重要理念之一是倡導建構學習，倡導學生主動參與、樂于探究、勤于動手，培養學生收集和處理新信息的能力以及交流與合作的能力。課堂教學設計從本質上以“知識建構”為核心，為“知識建構”提供良好的環境和支撐的過程。具體地講，就是為學生進行“知識建構”創造一種具有“情境性”和“協作性”的學習環境，從而推動其在建構的過程中獲得發展。課堂教學設計應注重情景創設，激發學生的求知欲望。許多數學家都認為，數學是美學的四大支柱（音樂、造型、詩歌、數學）之一：感受到自然界和人類的美，并用幽雅的韻律和美麗的辭藻謳歌她，這就是詩歌；用美麗的色彩和線條去表達她，這就是繪畫；而感到存在于數與行之間的美，并以在理智引導下的證明去表達她，這就是數學。教學是藝術，數學也是藝術，數學教學更是藝術。廣大教師作為藝術的直接展示者和傳授者，在教學設計中能行云流水，閑云野鶴般的創造情境，去展示數學精神之魅力，闡述數學推理之妙諦，去展示教學的活潑與冷峻，淺顯與深奧，體現數學藝術之風采。以此激發學生的求知欲望。1、創設問題情境。通過創設多種形式的教學情境，作用于學生的學習心理過程，使學生在充分參與的基礎上，獲得個體生命的體驗，并在體驗的基礎上獲得發展。如：新課程中每個章節都有數學家的名言、引言、閱讀理解、實際問題的情景創設、思考·探究·鏈接等都是好的激發學生興趣的素材，要提倡讓學生通過閱讀、觀察，不斷積累豐富的感性認識，并在實踐感受中逐步認識、發展乃至創造，以提高學生的數學素質，從而培養學生學習數學的興趣。又如：新課程實驗教材中的算法驗證，概率與統計中的數據處理，以及圖象變換，情景創設等都滲透了信息技術的應用。多媒體輔助教學圖文聲像并茂，容易激發學生學習興趣，提高理解和記憶效果，從而大大提高課堂教學效率。情境創設中注重以和諧的師生人際關系為基礎，以有關史實材料分析、實物展示、實驗演示或多媒體放映等手段為切入點，以教師的語言、動作為感染力，通過對學生感官的刺激和心理的感應，使學生形成一種積極的心態和良好的品質，從而明確目標，迎接挑戰。2、設計協作情境。學習是一種社會性活動，師生的交往互動是促進學生有效學習的基本途徑。學生個體以其原有的經驗、方式、信念為基礎進行學習，對同樣的現實問題會有多樣化的理解，而理解的差異本身就是一種非常寶貴的資源；共享和交流對同一問題的不同看法與理解，并在此基礎上形成共識或達成諒解，就是一種廣泛、深入而有效的學習。舊教材體現的是演繹體系，而新課程實驗教材體現的是歸納體系，所以教師必須引導學生認真觀察實驗，歸納，大膽提出猜想。為了證實或推翻提出的猜想，學生要通過分析，概括，抽象出數學概念，通過探究，推理，建立數學理論。學生要積極地運用這些理論去解決問題。在問題的探究過程中，教師要設計安排學生進行小組學習，鼓勵小組活動，促進信息交流，創造條件，使學生有機會交流，發表自己的意見，評價他人的觀點。這種方式有助于發揮學生學習的主動性，從而使學生的學習過程成為在教師引導和同學協作下“再創造”的過程。（五）課堂提問的有效課堂設計；課堂提問，是協調師生教與學的重要手段，一方面是對學生而言，提問能夠啟發學生思維，誘導學生主動探索知識和思考問題，從而培養和提高學生的思維能力。另一方面對教師而言，提問能使教師根據學生的答問得到學生對知識學習的反饋信息，從而調整教學方法，提高課堂的教學效益。1、設計提問的基本要求：要有科學性；要有啟發性；要有層次性；要有適度性；要有針對性；要有趣味性；要有多向性。2、提問的設計第一類：基礎型提問，按教材要求，掌握雙基。第二類：深刻性提問，引導學生深入思考，獲得方法，提高能力。第三類：點撥型提問，學生思考出現思維障礙時教師的點撥、引導。（六）課堂活動的有效課堂設計；課堂活動的有效課堂設計應遵循“以學生發展為本”的理念，倡導“自主、合作、探究”的學習方式，使學生真正體驗學習成功的樂趣，走向成功的彼岸。在數學課堂教學設計時，教師要根據教學內容有針對性地設計組織學生參加探究活動。具體可采用自主探究、合作探究、網絡探究等方式，充分調動學生學習的積極性、主動性和創造性，最大限度地讓學生參與到教學活動中去。在此過程中教師要轉變觀念，轉換角色，要把自己置于學生學習活動的組織者、引導者和合作者的地位，要改變以例題、示范、講解為主的教學方式，要充分相信學生，給學生參與探究活動的時空，引導學生投入到自主探究、合作探究、網絡探究活動中去。（七）課件制作的有效課堂設計；建構主義理論認為，知識不是通過教師的傳授得到的，而是學習者在一定的情景即社會文化背景下，借助他人（包括教師和學習伙伴以及現代教育技術等）的幫助，利用必要的學習資料，通過意義建構的方式而獲得的，“情景”、“協作”、“會話”和“意義建構”是學習環境中的四大要素。因此建構主義學習理論強調以學生為中心，要求學生由外部刺激的被動接受者和知識的灌輸對象轉變為信息加工的主體，知識意義的主動建構者；要求教師由知識輸灌者轉變為學生主動建構意義的幫助者和促進者。把現代教育技術引入到數學教學，優化了課堂教學，激發了學生濃厚的學習熱情，使整個學習過程充滿激情，課堂上充分體現了學生是學習的主體。教師應充分挖掘教材中的有趣因素與藝術魅力。運用現代教育技術表現手段多樣化的特點，充分喚起學生的學習興趣。在課件制作的設計時，應該充分考慮給學生以多種的感官刺激，激發學生對所學數學的“興奮點”。課堂教學設計過程中，課件制作的特點是：①教師在課堂中起主導作用，控制教學過程；②現代教學媒體與傳統教學媒體有機結合；③通過教學設計確定教學目標，選擇教學媒體（包括教學軟件，影像資料）、策劃教學過程、進行學習評價；④融合現代教育技術，促進學生自主的探究式學習，培養學生創造性思維。五、課堂教學設計的一般模式（一）“合作－探究”模式新課程區別于以往課程的最大特點之一是“創設情境”、“合作交流”、“自主探究”的教學與學習方式。新課程的理念是：倡導全面、和諧發展的教育；重新設置新的課程結構，體現課程內容的時代特征；倡導建構式的學習；形成正確的評價觀念；促進課堂教學的民主化與適應性；課程有普及性、基礎性、發展性，有人本主義的教育思想，強調與實際生活的聯系，注重學生創新意識的培養；以此而形成的新的數學教學模式，應體現以下特征：合作交流、活動嘗試合作交流、活動嘗試生生探究、師生探究評價反思、深入質疑創設情境、提出問題回歸現實、解決問題（二）“問題教學”課堂模式問題性教學的關鍵是必須界定什么是“問題”。問題有兩類：一是指一些問答式的問題，它具有陳述性和簡單性，如“求值域有哪幾種方法？”、“圓的定義是什么？”等等；二是指一些求解式的問題，它具有程序性和復雜性，必須通過周密的思考，借助某些特定的有效程序，經過主觀努力才能完成的。如“本節課里你學到了什么知識和數學思想方法？”，前者是學生學習或回憶陳述性知識，而后者能使學生在知道陳述性知識的同時，學習程序性知識或促使陳述性知識向程序性知識轉化。在現實中有這樣的課堂：教師提出的問題很多，回答得也很熱鬧，一堂課下來，課堂內沒有學生靜靜思考問題的時間。據調查發現：教師的課堂提問次數很多，讓學生思考的時間很少；從問題類型來看，事實性問題太多，理解性問題極少，應用與綜合性的問題幾乎沒有，其實，這樣的教學不是問題性教學。究其原因，我們很多教師沒有搞清什么是“問題”？教學的組織中，只有增加第二類問題，才能在課堂上增加學生的思維力度，所以，我們所說的問題性教學中的“問題”主要是指第二類。

對問題而言，也有好的和一般之分，應盡量采用或選擇一些“好問題”。一個“好問題”應具有以下一個或幾個特征：（1）有與它有關的簡單的、學生能夠理解和解決的問題；（2）在學生已有的知識和能力范圍內有多種解決途徑；（3）學生能據此導出其他類似的問題；（4）學生有直接的興趣或有一個有趣的答案；（5）能用學生已有的知識和方法或通過探索可達到的知識和方法進行推廣。在心理學上把問題大致分為三類：呈現型問題、發現型問題和創造型問題，這三類問題的要素如下表所示。問題是否給定求解的思路是否已知答案是否一定呈現型問題是是是發現型問題否否是創造型問題否否否以上三種“問題”是不等價的，“呈現性問題”往往追求唯一正確的答案，因而妨礙創造性的發揮；“創造型問題”因其獨特、新穎而且富有科學意義而難得見到；中學生的問題意識主要體現在“發現型問題”，是讓學生自由探討、積極思維、大膽地提出問題、揭示問題。盡管這種探索并非每次都有所發現，有所創造；但它激發了學生對問題、現象保持一種敏感性和好奇心，通過批判性思維，形成自己的獨特見解。六、課堂教學設計模板（一）教學內容分析1．教學主要內容2．教材編寫特點本節課內容在單元中的地位，本節課教材編寫的意圖及特點等。3．教材內容的核心數學思想4．我的思考下面的學習目標、活動設計、組織與實施是如何落實對教學內容分析的理解，特別是核心數學思想的落實。說明：教學內容分析應該建立在教師良好的數學素養之上。可以在教學組內或學區中心集體研討，或專家的指導下完成。需要注意的是，對教學內容的分析應體現在學習目標和教學過程的設計上。（二）學生分析1．學生已有知識基礎（包括知識技能，也包括方法）2．學生已有生活經驗和學習該內容的經驗3．學生學習該內容可能的困難4．學生學習的興趣、學習方式和學法分析5．我的思考：下面的學習目標、活動設計、組織與實施是如何落實對學生分析的理解。說明：學生分析應該通過學生調研，以作為科學依據，不能僅憑經驗判斷。學生分析是個性化的工作，不能由他人的結果簡單代替自己的學生分析。已有知識基礎的調研可以通過設計幾個指向明確的小問題實現，對這方面的數據統計及分析是更為重要的，這種分析是教師設計和修正“學習目標”的重要依據。學生經驗、學生學習困難、學生學習興趣等的調研可以通過訪談實現，可以是抽樣，也可以是有針對性的，如對于學困生做特別的訪談，可能會發現他們身上所具有的學習要素。調研中可以將學生測驗、訪談、小組觀察等結合起來。（三）學習目標（以學生為主語）知識與技能過程與方法（數學思考、解決問題）情感態度價值觀說明：1．教學內容分析和學生分析是學習目標制定的依據和前提。因此，如果對教學內容分析的要求越透徹，對學生分析的要求越科學和規范，學習目標的設計就越不是一件簡單而迅速的工作。2．學習目標是為學生的“學”所設計，教師的“教”是為學生的學習目標的達成服務的。學習目標是個性化的，又是尊重數學學科發展需要和學生未來學習需要的。3．學習目標的制定應從以上幾個方面進行思考，但具體形式不一定逐條對應。4．學習目標應該在下面的教學活動中得到實在的落實。特別是教學活動中設計意圖應該闡釋，活動及其組織與實施是如何為達成目標服務的。（四）教學活動教學活動就是為學習目標的實現所設計的活動。包括1．活動內容2．活動的組織與實施說明：指教學活動開展的具體形式，包括學生學習方式—獨立學習，還是合作學習等；教師活動的開展—提問或提出任務，組織合作學習，組織交流，講授等；教學資源的準備等，如學具、教具、課件等。3．活動的設計意圖說明：為教學活動和活動的組織實施進行辯護，辯護的出發點是分析它們是否促成了學生學習目標的達成。不是簡單地主觀臆斷是為目標服務，應該有一定的理由—數學的、教學的。更不應該寫成一些沒有針對性，放之四海而皆準的“普遍真理”。活動的時間分配預設說明：主要指對教學活動的時間分配預設，以便于自己檢測教學設計上合理與否。下面為參考格式活動內容活動的組織與實施（含教師活動和學生活動）設計意圖時間分配（五）教學效果評價目的是檢測學習目標是否實現，為進行教學反思和改進教學提供依據。可以采取測驗、訪談、課堂觀察等多種方式評價教學效果。教學設計中應包括教學效果評價的方案。例如，對于知識技能目標達成度的評價，可以設計當堂課或課后能夠做的1-2個小問題。以下幾點供教師思考：情境的作用是什么？應該為學習目標服務，不是僅僅追求“熱鬧”。如何組織教學活動，如小組活動的組織、信息技術的使用、練習的設計等，使得它們更為有效？學習目標是教學設計的核心，設計了就要努力執行和實現。所有的教學活動和教學設計都應該為促成“目標”的實現服務。教學是需要設計的，最后達到寓教于“無形”之中。設計應該考慮單元或更大的范圍。七、課堂教學設計案例及其分析數學教學設計案例1課題名稱：余弦定理教學年級：高一年級（下）姓名：虞濤（一）教學內容分析1．教學主要內容本節課是“正弦定理、余弦定理”教學的第二節課，其主要任務是引入并證明余弦定理，在課型上屬于“定理教學課”。余弦定理是三角函數一般知識和平面向量知識在三角形中的具體運用，是解可轉化為三角形計算問題的其它數學問題及生產、生活實際問題的重要工具，因此具有廣泛的應用價值。2．教材編寫特點“余弦定理”是全日制普通高級中學教科書（試驗修訂本、必修）數學第一冊（下）的第五章第九節的主要內容之一，是解決有關斜三角形問題的兩個重要定理之一，也是初中“勾股定理”內容的直接延拓。正弦定理、余弦定理是關于任意三角形邊角之間關系的兩個重要定理，教科書通過向量的數量積把三角形的邊與角聯系起來，推導出了這兩個定理，并運用這兩個定理初步解決了測量、工業、幾何等方面的實際問題。3．教材內容的核心數學思想正弦定理、余弦定理構建斜三角形的完整知識體系，是解斜三角形的重要工具。通過解三角形的應用，繼續提高運用所學知識解決實際問題的能力。向量的數量積體現了向量的長度和三角函數之間的一種關系，特別用向量的數量積能有效地解決線段垂直的問題。把向量的數量積應用到三角形中，還能解決三角形邊角之間的有關問題。4．我的思考《余弦定理》一課教學模式和策略設計就是想讓素質教育如何落實在課堂教學的每一個環節上進行一些探索和研究。旨在通過學生自己的思維活動獲取數學知識，提高學生基礎性學力(基礎能力)，培養學生發展性學力(培養終身學習能力)，誘發學生創造性學力(提高應用能力)，最終達到素質教育目的。為此，我在設計這節課時，采用問題開放式課堂教學模式，以學生參與為主，教師啟發、點撥的課堂教學策略。通過設置開放性問題，問題的層次性推進和教師啟發、點撥發展學生有效思維，提高數學能力，達到上述三種學力的提高、培養和誘發。以學生參與為主，教師啟發、點撥教學策略是體現以學生發展為本的現代教育觀，在開放式討論過程中，提高學生的數學基礎能力，發展學生的各種數學需要，使其獲得終身受用的數學基礎能力和創造才能。建構主義強調，學生并不是空著腦袋走進教室的。在日常生活中，在以往的學習中，他們已經形成了豐富的經驗，小到身邊的衣食住行，大到宇宙、星體的運行，從自然現象到社會生活，他們幾乎都有一些自己的看法。而且，有些問題即使他們還沒有接觸過，沒有現成的經驗，但當問題一旦呈現在面前時，他們往往也可以基于相關的經驗，依靠他們的認知能力，形成對問題的某種解釋。而且，這種解釋并不都是胡亂猜測，而是從他們的經驗背景出發而推出的合乎邏輯的假設。所以，教學不能無視學生的這些經驗，另起爐灶，從外部裝進新知識，而是要把學生現有的知識經驗作為新知識的生長點，引導學生從原有的知識經驗中“生長”出新的知識經驗。為此我們根據“問題教學”模式，沿著“設置情境--提出問題--解決問題--反思應用”這條主線，把從情境中探索和提出數學問題作為教學的出發點，以“問題”為主線組織教學，形成以提出問題與解決問題相互引發攜手并進的“情境--問題”學習鏈，使學生真正成為提出問題和解決問題的主體，成為知識的“發現者”和“創造者”，使教學過程成為學生主動獲取知識、發展能力、體驗數學的過程。根據上述精神，做出了如下設計：①創設一個現實問題情境作為提出問題的背景；②啟發、引導學生提出自己關心的現實問題，逐步將現實問題轉化、抽象成過渡性數學問題，解決問題時需要使用余弦定理，借此引發學生的認知沖突，揭示解斜三角形的必要性，并使學生產生進一步探索解決問題的動機。然后引導學生抓住問題的數學實質，引伸成一般的數學問題：已知三角形的兩條邊和他們的夾角，求第三邊。③為了解決提出的問題，引導學生從原有的知識經驗中“生長”出新的知識經驗，通過作邊BC的垂線得到兩個直角三角形，然后利用勾股定理和銳角三角函數得出余弦定理的表達式，進而引導學生進行嚴格的邏輯證明。（二）學生分析布魯納指出，學生不是被動的、消極的知識的接受者，而是主動的、積極的知識的探究者。教師的作用是創設學生能夠獨立探究的情境，引導學生去思考，參與知識獲得的過程。因此，做好“余弦定理”的教學，不僅能復習鞏固舊知識，使學生掌握新的有用的知識，體會聯系、發展等辯證觀點，而且能培養學生的應用意識和實踐操作能力，以及提出問題、解決問題等研究性學習的能力。“余弦定理”教案上海市建平中學虞濤教學目的1．掌握余弦定理及其證明方法．體會向量的工具性.2．通過對余弦定理的研究和初步應用,培養觀察發現、合作交流能力和探索精神.教學重點余弦定理及其應用教學難點證明余弦定理教學過程一、復習提問1：上節課，我們學習了正弦定理，解決了有關三角形的兩類問題：已知兩角和任意一邊；②已知兩邊和其中一邊的對角.三角形中還有怎樣的問題沒有解決？已知兩邊和夾角；已知三邊.首先分析最特殊的三角形——直角.如圖1.已知兩邊a,b及夾角，能否求第三邊？勾股定理二、引入提問2：在斜三角形中邊和角有怎樣的關系？在△ABC中，當時，有．實驗：若a,b邊的長短不變，的大小變化,與有怎樣的大小關系呢？如圖2，若時，由于b邊與a邊的長度不變，所以c邊的長度變短，即.如圖3，若時，由于b邊與a邊的長度不變，所以c邊的長度變長，即.圖1圖2圖3當時，，那么與到底相差多少呢？與怎樣的角有關呢？顯然應與∠C的大小有關.圖1圖2圖3三、定理證明探求與及∠C的大小關系.提問3：如何利用向量解決：（1）探求與及∠C的大小關系.邊與∠C有怎樣的位置關系？（2）邊c的所在直線向量怎樣用所在直線向量表示出來？如圖4，向量的點乘公式：（引導學生選擇合適的向量方向）圖4向量的減法法則：圖4.同理可得..這就是余弦定理.它在實際測量中有很好的作用.16世紀，法國數學家韋達利用三角法證明余弦定理.一些教材還介紹了利用解析法證明.事實上還可以利用幾何法證明.對勾股定理的證明目前有40多種，而對余弦定理的證明方法卻不多見，這正我們同學積極思考和創造的機會.留給同學課后研究.四、定理研究提問4：余弦定理中有什么特點、規律？蘊藏什么秘密？等待著我們探索發現，分4人一小組合作完成.小組代表發言，一組一條不重復.學生對定理的研究：表示關系：1．邊角關系2．三邊和一角文字表述：3．三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍.公式作用：4．已知兩邊和它們的夾角的大小，可求第三邊的大小；5．已知三邊，求三個角.基本練習：（1），求（2）（課本p132例題）在中,已知，求和C（精確到1°）.另一種表現形式：...定理推廣：6．勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推廣.當時，.定理推廣：7．直角三角形中的銳角三角比是余弦定理的特例當時，，定理聯系：8．若①+②得：這是三角形中的射影定理.判斷三角形的形狀：9．判斷鈍角三角形的充要條件：有一邊的平方大于另兩邊的平方和.10．判斷銳角三角形的充要條件：任意兩邊的平方和大于第三邊的平方.……五、定理應用例1．（課本p33例題）在中，已知解這個三角形（邊長保留四個有效數字，角度精確到）提問5：已知什么條件，求什么，先求什么，再求什么.（1）已知兩邊及夾角，先求第三邊；（2）通過三邊，求角A；（3）求角六、小結提問6：這節課我們學習了什么知識、它有什么作用、利用了什么數學思想或方法.（1）本節課我們研究余弦定理.它有兩種表現形式，一種是用兩邊及夾角的余弦表示第三邊，另一種是三邊表示角．（2）余弦定理的作用通過它的兩種形式直接表現：已知兩邊及夾角求第三邊；已知三邊求三內角．它和正弦一起解決了解三角形中各類問題.（3）本節課我們利用向量法證明定理，體現向量法的靈活運用.七、作業基礎性鞏固練習1．課本p133,3.4.2．在△ABC中，已知下列條件,求解三角形（1）．（2）．（3）.獨立性探求問題3．寫出三角形為銳角三角形的一個充要條件.合作性研究問題研究利用幾何法、三角法、解析法或創造新的方法證明余弦定理.教學課后反思與總結在下面幾個方面很好地完成教學任務和實現教學目標：1．課題引入：研究一般三角形的一類問題，目標明確.由特殊的直角三角形開始研究，探討斜三角形中一邊的平方和另兩邊平方和及夾角的關系.展現知識發生和發展過程.2．定理證明：利用向量證明定理，條理清晰、思路輕松自然.3．定理研究：創造學生自主探究的氛圍，讓學生（細心）觀察、（小組）討論、（交流）合作、（代表）報告.充分調動學習的積極性，促進不同層次的學生合作交流.4．思想總結：本課中，教師立足于所創設的情境，通過學生自主探索、合作交流，親身經歷了提出問題、解決問題、應用反思的過程，學生成為余弦定理的“發現者”和“創造者”，切身感受了創造的苦和樂，知識目標、能力目標、情感目標均得到了較好的落實，為今后的“定理教學”提供了一些有用的借鑒。創設數學情境是“問題教學”模式的基礎環節，教師必須對學生的身心特點、知識水平、教學內容、教學目標等因素進行綜合考慮，對可用的情境進行比較，選擇具有較好的教育功能的情境。這種教學模式主張以問題為“主線”組織教學活動，以學生作為提出問題的主體，如何引導學生提出問題是教學成敗的關鍵。教學實驗表明，學生能否提出數學問題，不僅受其數學基礎、生活經歷、學習方式等自身因素的影響，還受其所處的環境、教師對提問的態度等外在因素的制約。因此，教師不僅要注重創設適宜的數學情境（不僅具有豐富的內涵，而且還具有“問題”的誘導性、啟發性和探索性），而且要真正轉變對學生提問的態度，提高引導水平，一方面要鼓勵學生大膽地提出問題，另一方面要妥善處理學生提出的問題。關注學生學習的結果，更關注學生學習的過程；關注學生數學學習的水平，更關注學生在數學活動中所表現出來的情感與態度；關注是否給學生創設了一種情境，使學生親身經歷了數學活動過程．把“質疑提問”，培養學生的數學問題意識，提高學生提出數學問題的能力作為教與學活動的起點與歸宿。數學教學設計案例2課題名稱：分形幾何的研究教學年級：高二年級（下）姓名：王長俊（一）教學內容分析1.教學主要內容與特點課題《“分形”幾何的研究》是建平中學模塊課程改革中數學人文模塊課程系列之數學大師板塊的一個案例。這個課題的選擇是在對中外古今數學大師成果經過系列研究，得到一些基本共識的基礎上，由學生課題研究組自己選擇落實的。在以往的模塊課程中，我們對笛卡兒平面直角坐標系的坐標法思想進行了研究，對吳文俊教授從研究中國古代算法中受到啟發，并結合現代計算機技術進行思考，發展出了世界領先的“數學定理機器證明”方法（世稱“吳方法”）等課程研究之后，結合學生現有的數列與數列的極限的知識結構的基礎上，在與學生課題組對迭代等思想方法經過交流討論之后，再由學生課題組獨立完成的。2.教材內容的數學核心思想數學模塊課程之數學人文——數學大師板塊，注重數學概念的學習，數學文化的滲透，注重民族精神和生命意識的教育，注重數學概念發生、形成、發展和應用的過程及其與社會發展的相互作用，使學生從數學的內容、數學的思想方法的學習過程中，感受數學的人文精神。強調以人為中心，強調人的情感，人的體驗，求善求美，從而逐漸養成學生自強、自立和不怕困難的品格、善于思維、善于創新，追求在與他人、集體、民族和國家的和諧相處中實現個人的價值及對“真、美、善”的崇高追求。強調為學生探索求知創設合適的情境，重視從問題出發、設計以解決問題的活動為基礎的數學認識過程，為學生建立合理的數學學習訓練系統，向學生提供豐富的學習資源、自主探究的時間以及必要的指導和幫助，使學生的認知獲得、過程經歷、情感態度與價值觀不斷提升，并在數學學習中得到和諧統一。（二）學生與教學現實的分析“數學大師”模塊課程在內容的選擇方面，主要圍繞高中數學知識體系和學生現有的認知結構知識背景，選取了與現行高中數學課程教學大綱有關的古今中外數學大師，主要針對他們的生平事跡、主要研究成果（影響）以及數學思想發生、發展和形成過程等方面進行了實踐探索。通過課題研究的形式，以師生互動、合作探究的教學方式實施模塊課程，力求在具體課堂教學過程中凸顯數學發展史、滲透數學本源和體現數學人文價值，實現數學的“人文精神、科學素養、道德品質”等三個維度目標（具體論述詳見案例分析）。其中數學大師的主要研究成果中所蘊涵的數學思想發生、發展和形成過程等成為學生數學學習實踐活動、感悟數學大師和提升數學人文價值的重點。而實現該重點的突破口是問題解決。這里所謂的“問題”是指：（1）對學生來說不是常規的，不能靠簡單的模仿來解決，是學生實踐過程中對數學思想方法和數學思維的提煉和升華；（2）可以是一種情境，其中隱含的數學問題要學生自己提出、求解并作出解釋；（3）具有趣味和魅力，能引起學生的思考和向學生提出智力挑戰；（4）不一定有終極的答案，各種水平的學生都可以由淺入深地作出回答；（5）解決它往往需伴以個人或小組的數學活動。走進數學大師、了解數學大師和感悟數學大師，是數學人文——數學大師的基本模式。通過這一模式，完善一種“教育進程”，完成一種實踐狀態的“教育事件”。“數學大師”模塊課程強調學生在教師指導下所獲得的經驗或體驗，以及學生自發獲得的經驗或體驗，強調對教師特長、學生興趣、數學學科發展、環境利用等四因素的整合，這四個要素間持續的相互作用便構成“數學大師”模塊課程的基本內涵。模塊課程的主體是教師和學生，他們是課程的共同開發體，是課程的建構者。在師生平等對話、合作學習的過程中，教師通過進行有效地指導，熱情地鼓勵，學生通過進行積極地探究，自主地建構，共同實現推動學生學習方式的變革。（三）學習目標【教學目標】1、了解“分形”幾何概念的發生、形成、發展的過程，感知數學史中一些重要概念、原理和方法的來龍去脈，領會數學大師們創造性思維的形成過程。2、掌握雪花曲線的周長、面積公式，體會構造、遞推、極限等數學思想方法以及迭代思想方法。3、領會“分形”幾何的應用，落實“發現美”、“欣賞美”和“鑒賞美”的數學人文的學科價值，滲透“民族精神”之“國家意識”和“生命意識”之實踐生命價值的教育。【教學重點】“分形”幾何的概念。【教學難點】雪花曲線的周長、面積公式的推導。【教學方法】根據學生的知識結構背景，確立研究課題，引導學生自主積極參與，充分發揮學生的主體作用，力求增強學生在活動全過程中的體驗感悟，采用合作探究式的教學方式，形成教學互動，激發學生創造熱情。（四）教學活動活動內容活動的組織與實施（含教師活動和學生活動）設計意圖時間分配創設情境，導入新課。教師活動學生活動約1分鐘一、教師導入課題。【走近分形幾何】我們前面已經學習了數列和數列的極限等知識點，并對其中的遞推、極限等思想方法有了一定的了解。大家有沒有想到過，在數學學科中還有一門叫“分形幾何”學的數學分支中也蘊含著遞推、極限等思想方法，甚至還有更豐富的數學思維意識。今天我們的模塊課程就“分形幾何”的產生、形成和發展過程，對其中所蘊含的迭代思想方法、“分形幾何”的應用以及創造分形對象等方面來進行研討。二．教師引導、師生共作完成對“分形”幾何的研究過程。1、通過觀察分形幾何的靜態平面圖形、靜態立幾圖形和動態的圖像，使學生處于真實的情景，感知“分形”，引入“分形”幾何的概念，形成初步印象。在得出一般感性認知的基礎上，教師呈現課題組研究成果，并著重強調分形幾何的三個特征：無限復雜、一定規則、自相似性。◆分形幾何：研究無限復雜但具有一定規則下的自相似性的圖形或結構的幾何學。◆自相似性就是局部與整體相似，局部中又有相似的局部，每一小局部中包含的細節并不比整體所包含的少，不斷重復的無窮嵌套，形成了奇妙的分形圖案，它有嚴格的幾何相似性。2、“分形”幾何的發生、形成、發展和應用的過程。使學生對分形幾何產生興趣，激發學生探求新知的欲望。1、學生占有資料，通過觀察等手段，想處理和解決這個問題；2、使學生了解分形幾何。大膽猜想，尋求新知。（課件展示）（1）回顧歷史問題——問題一：英國的海岸線有多長？學生各個課題組探討，并形成討論結果，課堂上師生進行交流這個“問題”：（1）對學生來說不是常規的，不能靠簡單的模仿來解決，是學生實踐過程中對數學思想方法和數學思維的提煉和升華；（2）具有趣味和魅力，能引起學生的思考和向學生提出智力挑戰；（3）不一定有終極的答案，各種水平的學生都可以由淺入深地作出回答；（4）解決它往往需伴以個人或小組的數學活動。約7分鐘議一議課題研究組匯報研究結果：◆《英國的海岸線有多長？》是當代美籍法國數學家和計算機專家曼德爾勃羅特于1967年在《科學》雜志上發表的一篇論文的標題。◆論文中，曼德爾勃羅特認為：你不可能有準確答案！◆英國的海岸線長度是不確定的！它依賴于測量時所用的尺度。（2）闡述曼德爾勃羅特的假設推理過程，展現分形幾何的發生、形成過程，與學生一起歸納分析曼德爾勃羅特的假設推理過程所蘊含的數學思想方法和數學思維。曼德爾勃羅特假設推理：1、如果你乘一架飛機在10000m的高空沿海岸線飛行測量，同時不斷拍攝海岸照片，然后按適當的比例尺并計算這些照片顯示的海岸總長度，其答案是否精確呢？2、如果你改乘一架小飛機在500m高處重復上述的拍攝和測量，其答案是否精確呢？3、假設你就在地面上，用長度為10m的標尺來測量海岸線的長度，其答案是否精確呢？4、如果你改取長度為1m的標尺呢？5、在不同的情況下，你所得到的答案都將不斷增大。為什么呢？學生主動參與，課題研究組匯報成果。與數學大師的數學思想方法和數學思維意識發生碰撞，形成對比與反差，解釋原因，進行深入探究。4分鐘想一想原來，海岸線由于海水長年的沖涮和陸地自身的運動，形成了大大小小的海灣和海岬，彎彎曲曲極不規則。1、測量其長度時，如以公里為單位，則幾米到幾百米的彎曲就會被忽略不能計入在內，設此時得長度L1；2、測量其長度時，如改用米作單位，結果上面忽略了的彎曲都可計入，但仍有幾厘米、幾十厘米的彎曲被忽略,此時得出的長度L2＞L1；3、測量其長度時，如改用厘米作單位，所得長度L3＞L2＞L1,…．采用的單位越小，計入的彎曲就越多，海岸線長度就越大（如圖所示）．可以設想，用分子、原子量級的尺度為單位時，測得的長度將是一個天文數字．這雖然沒有什么實際意義，但說明隨測量單位變得無窮小，海岸線長度會變得無窮大，因而是不確定的。?曼德爾勃羅特于1975年發表了他的劃時代的專著《分形：形、機遇和維數》，第一次系統地闡述了分形幾何的內容、意義、方法和理論。給學生思考的時間和空間，獨立思考并適當交流理解“分形幾何”產生、形成的過程，區別與聯系領會特殊與一般的辨證關系。6分鐘應用舉例，發展深化問題2：從數學思想方法或數學思維的角度，談談你們小組對曼德爾勃羅特的假設推理過程的認識？例如，數學思想方法方面：遞推思想、分類思想、極限思想等；數學思維方面：類比與聯想、歸納與推廣、特殊與一般、頓悟與靈感等；回歸數學的本源意義，促進學生用數學思想方法、數學思維意識考慮并解決問題，問題不一定有終極的答案，各種水平的學生都可以由淺入深地作出回答。2分鐘練一練，你會了嗎？（3）為了更好地解釋這個實際問題，提出數學建模意識，建立“分形”幾何的數學模型——“雪化曲線”，強化“分形”幾何的定義：研究無限復雜但具有一定規則下的自相似性的圖形或結構的幾何學。瑞典數學家黑爾格·馮·柯克（H.vonKoch，1870~1924年）的“雪化曲線”為曼德爾勃羅特的海岸線問題提供了理想的數學模型。教師對分形幾何的三個特征予以強化，如強調：雪花的每一部分經過放大都可以與它的整體一模一樣。規則：將一個正三角形的每一邊三等分，然后以居中的那一段為底邊向外作正三角形并且把底邊去掉，便得到第一條雪花曲線，它是一個六角形。再將六角形的每一邊三等分，又以中間的一段為底邊向外作正三角形并把底邊去掉，便得到第二條雪花曲線。不斷地重復上述操作，便得到一個雪花曲線系列。學生思維積極，獨立求解。及時鞏固，內化，提高解決問題的能力2分鐘動腦筋（4）推導雪花曲線的周長和所圍成的面積的計算公式，分析雪花曲線的內在規則，滲透遞推思想方法，雪花曲線中的迭代思想方法分析，再一次解釋問題：英國的海岸線有多長？【課堂上師生共作，分析完成對數學知識結構的建構】學生在思考的基礎上,進一步合作交流,設計目的是引領學生利用分形幾何的本質屬性進行計算，解決計算問題。5分鐘運用知識，拓展思維（5）通過雪花曲線的遞推關系，分析分形幾何中所蘊含的“迭代”思想方法，并與計算機程序流程圖進行比照，進一步理解“自相似性”中的迭代思想方法，強調分形幾何的數學特征。問題3：根據下面的