湖南省婁底市漣源第四中學(xué)2022年高二數(shù)學(xué)文下學(xué)期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.函數(shù)在上的最大值和最小值分別是（

）A

B

C

D參考答案：A略2.若是兩條不同的直線，是三個(gè)不同的平面，則下列結(jié)論正確的是A．若，則B．若，，則_ks5uC．若，，則D．若，，，則參考答案：B略3.用數(shù)學(xué)歸納法證明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”，要利用歸納假設(shè)證n＝k＋1時(shí)的情況，只需展開(kāi)()．A．(k＋3)3

B．(k＋2)3

C．(k＋1)3

D．(k＋1)3＋(k＋2)3參考答案：A4.i是虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于A第一象限

B第二象限 C．第三象限 D．第四象限參考答案：B5.已知，，，…，依此規(guī)律可以得到的第n個(gè)式子為（）A.B.C.D.參考答案：D【分析】根據(jù)已知中的等式：，我們分析等式左邊數(shù)的變化規(guī)律及等式兩邊數(shù)的關(guān)系，歸納推斷后，即可得到答案．【詳解】觀察已知中等式：，，，…，則第n個(gè)等式左側(cè)第一項(xiàng)為n，且共有2n-1項(xiàng)，則最后一項(xiàng)為：，據(jù)此可得第n個(gè)式子為：故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查歸納推理，解題的關(guān)鍵是通過(guò)觀察分析歸納各數(shù)的關(guān)系，考查學(xué)生的觀察分析和歸納能力，屬中檔題．6.完成下列兩項(xiàng)調(diào)查：①?gòu)哪成鐓^(qū)125戶高收入家庭、280戶中等收入家庭、95戶低收入家庭中選出100戶，調(diào)查社會(huì)購(gòu)買能力的某項(xiàng)指標(biāo)；②從某中學(xué)的15名藝術(shù)特長(zhǎng)生中選出3名調(diào)查學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)情況，宜采用的抽樣方法依次是()A．①分層抽樣，②簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣

B．①簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，②系統(tǒng)抽樣C．①系統(tǒng)抽樣，②分層抽樣

D．①②都用分層抽樣參考答案：A略7.若直線l1：2x+（m+1）y+4=0與直線l2：mx+3y﹣2=0平行，則m的值為（）A．﹣2 B．﹣3 C．2或﹣3 D．﹣2或﹣3參考答案：C【考點(diǎn)】?jī)蓷l直線平行的判定．【分析】根據(jù)兩直線平行，且直線l2的斜率存在，故它們的斜率相等，解方程求得m的值．【解答】解：∵直線l1：2x+（m+1）y+4=0與直線l2：mx+3y﹣2=0平行，∴=，解得m=2或﹣3，故選C．8.在下列四個(gè)正方體中，能得出的是

（

）參考答案：A略9.兩個(gè)變量與的回歸模型中，分別選擇了4個(gè)不同模型，它們的相關(guān)指數(shù)如下，其中擬合效果最好的模型是（）A．模型1的相關(guān)指數(shù)為0.98

B．模型2的相關(guān)指數(shù)為0.86

C．模型3的相關(guān)指數(shù)為0.68

D．模型4的相關(guān)指數(shù)為0.58參考答案：A略10.曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)為（

）。A.

B.

C.

D.參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.下列結(jié)論中：①函數(shù)有最大值為；②函數(shù)y=2﹣3x﹣（x＜0）有最大值2﹣4；③若a＞0，則．正確的序號(hào)為．參考答案：①③【考點(diǎn)】基本不等式．【專題】函數(shù)思想；綜合法；不等式．【分析】由基本不等式求最值的規(guī)則，逐個(gè)驗(yàn)證可得．【解答】解：由0＜x＜可得0＜1﹣2x＜1，∴y=x（1﹣2x）=?2x?（1﹣2x）≤（）2=，當(dāng)且僅當(dāng)2x=1﹣2x即x=時(shí)取等號(hào)，故函數(shù)有最大值為，①正確；∵x＜0，∴﹣x＞0，∴y=2﹣3x﹣=2+[（﹣3x）+（）]≥2+2=2+4，當(dāng)且僅當(dāng)（﹣3x）=（）即x=時(shí)取等號(hào)，故函數(shù)y=2﹣3x﹣（x＜0）有最小值2+4，②錯(cuò)誤；∵a＞0，∴（1+a）（1+）=2+a+≥2+2=4當(dāng)且僅當(dāng)a=即a=1時(shí)取等號(hào)，故③正確；故答案為：①③【點(diǎn)評(píng)】本題考查基本不等式，逐個(gè)驗(yàn)證是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．12.某市有、、三所學(xué)校共有高二學(xué)生人，且、、三所學(xué)校的高二學(xué)生人數(shù)成等差數(shù)列，在進(jìn)行全市聯(lián)考后，準(zhǔn)備用分層抽樣的方法從所有高二學(xué)生中抽取容量為的樣本進(jìn)行成績(jī)分析，則應(yīng)從校學(xué)生中抽取________人.參考答案：分層抽樣所抽取樣本的數(shù)量與總體數(shù)量成比例，既然、、三所學(xué)校的高二學(xué)生人數(shù)成等差數(shù)列，那么分別所抽取的樣本的容量也成等差數(shù)列，由等差中項(xiàng)易得應(yīng)從校學(xué)生中抽取人.13.已知函數(shù)的最小正周期為,則的單調(diào)遞增區(qū)間為

▲

．參考答案：略14.已知的可行域如圖陰影部分,其中,在該區(qū)域內(nèi)取得最小值的最優(yōu)解有無(wú)數(shù)個(gè)，則=_______________.參考答案：2略15.在△ABC中，若c2＞a2+b2，則△ABC必是

（填銳角，鈍角，直角）三角形．參考答案：鈍角【考點(diǎn)】余弦定理．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；解三角形．【分析】由條件利用余弦定理求得cosC＜0，可得△ABC必是鈍角三角形．【解答】解：△ABC中，若c2＞a2+b2，則由余弦定理可得cosC=＜0，故C為鈍角，故△ABC必是鈍角三角形，故答案為：鈍角．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查余弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．16.設(shè)雙曲線的半焦距為c，直線l過(guò)（a，0），（0，b）兩點(diǎn)，已知原點(diǎn)到直線l的距離為，則雙曲線的離心率為．參考答案：2【考點(diǎn)】雙曲線的應(yīng)用．【分析】先求出直線l的方程，利用原點(diǎn)到直線l的距離為，及又c2=a2+b2，求出離心率．【解答】解：∵直線l過(guò)（a，0），（0，b）兩點(diǎn)，∴直線l的方程為：+=1，即bx+ay﹣ab=0，∵原點(diǎn)到直線l的距離為，∴=．又c2=a2+b2，∴a2+b2﹣ab=0，即（a﹣b）（a﹣b）=0；∴a=b或a=b；又因?yàn)閎＞a＞0，∴a=b，c=2a；故離心率為e==2；故答案為2．17.觀察下列各式：①，②，③，……，根據(jù)以上事實(shí)，由歸納推理可得：若定義在上的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，則=

.參考答案：0三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（本小題滿分12分）己知圓C:(x–2)2

+y2=9,直線l：x+y=0.(1)求與圓C相切,且與直線l平行的直線m的方程;(2)若直線n與圓C有公共點(diǎn)，且與直線l垂直，求直線n在y軸上的截距b的取值范圍;參考答案：(1)

∵直線m∥直線x+y=0,∴設(shè)m:x+y+c=0,∵直線m與圓C相切，∴3=,解得c=–2±3

得直線m的方程為：x+y–2+3=0,或x+y–2–3=0.(2)由條件設(shè)直線n的方程為：y=

x+b,

代入圓C方程整理得：2x2+2(b–2)x+b2–5=0,

∵直線l與圓C有公共點(diǎn)，∴△=4(b–2)2–8(b2–5)=–4b2–16b+56≥0,即：b2+4b–14￡0解得：–

2–3￡b￡–2+3略19.（本小題滿分10分）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)的和記為，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求的最小值及其相應(yīng)的的值.參考答案：略20.如圖，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=1，AA1=t，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz.（1）若t=1，求異面直線AC1與A1B所成角的大小；（2）若t=5，求直線AC1與平面A1BD所成角的正弦值；（3）若二面角的大小為120°，求實(shí)數(shù)t的值.參考答案：解：（1）當(dāng)時(shí)，，，，，，則，，故，所以異面直線與所成角為．（2）當(dāng)時(shí)，，，，，，則，，

設(shè)平面的法向量，則由得，不妨取，則，此時(shí)，設(shè)與平面所成角為，因?yàn)椋瑒t，所以與平面所成角的正弦值為．（3）由得，，，

設(shè)平面的法向量，則由得，不妨取，則，

此時(shí)，又平面的法向量，故，解得，由圖形得二面角大于，所以符合題意．所以二面角的大小為，的值為．

21.如圖，長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，點(diǎn)P為DD1的中點(diǎn)．（1）求證：直線BD1∥平面PAC；（2）求證：平面PAC⊥平面BDD1；（3）求三棱錐D﹣PAC的體積．參考答案：【考點(diǎn)】平面與平面垂直的判定；棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；直線與平面平行的判定．【專題】計(jì)算題；證明題．【分析】（1）連接AC，BD，設(shè)AC∩BD=O，易證PO∥BD1，由線面平行的判定定理即可證得直線BD1∥平面PAC；（2）由于四邊形ABCD為正方形，BD⊥AC，易證AC⊥平面BDD1，由面面垂直的判定定理即可證得平面PAC⊥平面BDD1；（3）由VD﹣PAC=VA﹣PDC即可求得三棱錐D﹣PAC的體積．【解答】解：（1）設(shè)AC∩BD=O，連接OP，∵O，P分別為BD，D1D中點(diǎn)，∴BD1∥OP…3′∵OP?平面PAC，BD1?平面PAC，∴BD1∥平面PAC…5′（2）∵D1D⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴D1D⊥AC…7′又AC⊥BD，D1D∩BD=D，∴AC⊥平面BDD1…9′∵AC?平面PAC，∴平面PAC⊥平面BDD1…10′（3）∵PD⊥平面ADC，∴VD﹣PAC=…14′【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與平面平行的判定與平面與平面垂直的判定，熟練掌握這些判定定理是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化與空間想象的能力，屬于中檔題．22.（本題滿分11分）張先生家住H小區(qū)，他在C科技園區(qū)工作，從家開(kāi)車到公司上班有L1，L2兩條路線（如圖），L1路線上有A1，A2，A3三個(gè)路口，各路口遇到紅燈的概率均為；L2路線上有B1，B2兩個(gè)路口，各路口遇到紅燈的概率依次為，．（Ⅰ）若走L1路線，求最多遇到1次紅燈的概率；（Ⅱ）若走L2路線，求遇到紅燈次數(shù)的數(shù)學(xué)期望；（Ⅲ）按照“平均遇到紅燈次數(shù)最少”的要求，請(qǐng)你幫助張先生從上述兩條路線中選擇一條最好的上班路線，并說(shuō)明理由．參考答案：解：（Ⅰ）設(shè)走L1路線最多遇到1次紅燈為A事件，則．