3.3.2均勻隨機數產生1/682/68【自主預習】主題1:均勻隨機數產生1.在古典概型中我們能夠利用(整數值)隨機數來模擬古典概型問題,那么在幾何概型中我們能不能經過隨機數來模擬試驗呢?我們慣用是[0,1]上均勻隨機數,怎樣利用計算器產生0～1之間均勻隨機數?3/68提醒:能.利用計算器產生0～1之間均勻隨機數4/682.怎樣利用計算機產生[0,1]之間均勻隨機數?提醒:用計算機方法以下:用Excel演示.(1)選定A1格,鍵入“=rand()”,按Enter鍵,則在此格中數是隨機產生[0,1]上均勻隨機數.5/68(2)選定A1格,點擊復制,然后選定要產生隨機數格,比如A2～A100,點擊粘貼,則在A2～A100數都是[0,1]上均勻隨機數.這么我們就很快就得到了100個0～1之間均勻隨機數,相當于做了100次隨機試驗.6/68經過以上探究,試著總結出均勻隨機數定義及產生方法:定義:假如試驗結果是區間[a,b]內_____一個實數,而且出現任何一個實數是_______,則稱這些實數為均勻隨機數.?任何等可能7/68產生方法:方法一,利用幾何概型產生;方法二,用轉盤產生;方法三,用_______或_______產生.計算器計算機8/68主題2:用隨機模擬方法預計概率和不規則圖形面積1.向如圖所表示正方形內隨機地投擲飛鏢N支.則怎樣利用隨機模擬方法統計出分別落在正方形和陰影部分飛鏢數?9/68提醒:①先產生兩組[0,1]內均勻隨機數a=RAND,b=RAND;②經過平移和伸縮變換:x=2(a-0.5),y=2(b-0.5);③統計出滿足結果數和試驗總次數.即統計出落在正方形和陰影部分飛鏢數.10/682.觀察如圖所表示圖形,回答相關問題:11/68(1)圖中陰影部分為一個不規則圖形,你能夠采取什么方法求其面積?提醒:計算不規則圖形面積可利用幾何概型,并經過隨機模擬方法能夠近似計算不規則圖形面積.12/68(2)處理不規則圖形面積計算公式是什么?提醒:利用公式P(A)≈計算出不規則圖形面積.13/68總結以上探究過程,試著寫出用隨機模擬近似計算隨機事件概率方法:試驗模擬法:制作兩個轉盤模型,進行模擬試驗,并統計試驗結果,進行近似計算.14/68?計算機模擬法:用______軟件產生[0,1]上均勻隨機數進行模擬,注意操作步驟.Excel15/68【深度思索】結合教材P139例3你認為用隨機模擬方法預計幾何概型概率方法步驟有哪些?第一步:建立概率模型.第二步:進行模擬試驗(可用計算器或計算機進行).16/68第三步:統計試驗結果.第四步:利用公式計算概率.17/68【預習小測】1.以下關于隨機數說法:(1)計算器只能產生[0,1]之間隨機數.(2)計算器能產生指定兩個整數值之間均勻隨機數.(3)計算器只能產生均勻隨機數.18/68(4)我們經過命令rand()*(b-a)+a來得到兩個整數值之間隨機數.其中正確是________.19/68【解析】題號判斷原因分析(1)×計算器能夠產生[0,1]上均勻隨機數和[a,b]上整數值隨機數等(2)×計算器不能夠產生[a,b]上均勻隨機數,只能經過線性變換得到(3)×計算器能夠產生整數值隨機數(4)√顯然正確答案:(4)20/682.已知b1是[0,1]上均勻隨機數,b=3(b1-3),則b是區間________上均勻隨機數.【解析】因為b1-3是[-3,-2]上均勻隨機數,所以b是區間[-9,-6]上均勻隨機數.答案:[-9,-6]21/683.邊長為2正方形中有一封閉曲線圍成陰影部分,在中央隨機撒1粒豆子,它落在陰影部分概率是0.3,則陰影部分面積預計為________.22/68【解析】設陰影面積為S,則≈0.3,所以S≈1.2.答案:1.223/684.邊長為2正方形中有一封閉曲線圍成陰影部分,在中央隨機撒1000粒豆子,它落在陰影部分有250粒,則陰影部分面積預計為________.24/68【解析】設陰影面積為S,則所以S≈1.答案:125/685.設有一個正方形網格,其中每個最小正方形邊長都等于6cm,現用直徑等于2cm硬幣投擲到網格上,用隨機模擬方法求硬幣落下后與格線有公共點概率.(仿照教材P139例3解析過程)26/68【解析】記事件A表示硬幣與格線有公共點,設硬幣中心為B(x,y).步驟:(1)利用計算機或計算器產生兩組0到1之間均勻隨機數,x1=RAND,y1=RAND.(2)經過平移,伸縮變換,則x=(x1-0.5)6,y=(y1-0.5)6,得到兩組[-3,3]內均勻隨機數.27/68(3)統計試驗總次數N及硬幣與格線有公共點次數N1(滿足條件|x|≤2或|y|≤2點(x,y)個數).(4)計算頻率,即為硬幣落下后與格線有公共點概率.28/68【互動探究】1.整數值隨機數與均勻隨機數有何異同?29/68提醒:均勻隨機數與整數值隨機數共同點是都是等可能取值,二者都是隨機產生隨機數,在一定區域長度上出現機會是均等.不一樣點是均勻隨機數能夠取區間內任意一個實數,整數值隨機數只取區間內整數.30/682.假如x是[0,1]上均勻隨機數,怎樣才能得到它在[a,b]上對應均勻隨機數?31/68提醒:假如x是區間[0,1]上均勻隨機數,則a+(b-a)x就是[a,b]上均勻隨機數;利用計算機Excel中隨機函數“rand()*(b-a)+a”也能夠得到.32/683.能否用均勻隨機模擬方法預計長度型概率呢?假如能,那么取一根長度為5m繩子,拉直后在任意位置剪斷,請用均勻隨機模擬方法預計剪得兩段長都大于2m概率.33/68提醒:能,設剪得兩段長都大于2m為事件A.(1)利用計算器或計算機產生n個[0,1]之間均勻隨機數,x=RAND.(2)作伸縮變換:y=x*(5-0),轉化為[0,5]上均勻隨機數.34/68(3)統計出[2,3]內均勻隨機數個數m.(4)則概率P(A)近似值為.35/68【探究總結】知識歸納:36/68方法總結:[a,b]上均勻隨機數產生方法1.利用計算器或計算機產生[0,1]內均勻隨機數x1=RAND.2.利用伸縮和平移變換,x=x1·(b-a)+a就能夠得到[a,b]內均勻隨機數.37/68【題型探究】類型一:均勻隨機數產生【典例1】(1)設x是[0,1]內一個均勻隨機數,經過變換y=2x+3,則x=對應變換成均勻隨機數是()A.0B.2C.4D.538/68(2)在利用隨機模擬法計算如圖陰影部分(曲線y=與x軸,x=±1圍成部分)面積時,需要經過伸縮變換得到兩個區間________和

上均勻隨機數.39/68【解題指南】(1)利用伸縮變換公式x=x1(b-a)+a求解.(2)觀察區域內點橫、縱坐標取值范圍.40/68【解析】(1)選C.當x=時,y=2×+3=4.(2)由圖可知需產生兩組均勻隨機數所在區間為[-1,1]與[0,2].答案:[-1,1][0,2]41/68【規律總結】1.應用隨機數進行幾何概型計算時應注意問題(1)確定所需產生隨機數組,如長度、角度只需產生一組均勻隨機數,面積要產生兩組均勻隨機數,體積要產生三組均勻隨機數.42/68(2)由試驗對應區域,確定對[0,1]內均勻隨機數進行變換.(3)由事件A發生條件確定隨機數滿足關系.43/682.產生均勻隨機數關鍵用隨機模擬方法求概率,其實質是先求頻率,用頻率近似代替概率.產生均勻隨機數關鍵是設計好“程序”或者說“步驟”,并找到各數據需滿足條件.44/68【鞏固訓練】將[0,1]內均勻隨機數轉化為[-3,4]內均勻隨機數,需要實施變換為()A.a=a1*7 B.a=a1*7+3C.a=a1*7-3 D.a=a1*4【解析】選C.依據伸縮、平移變換a=a1*[4-(-3)]+(-3)=a1*7-3.45/68類型二:用隨機模擬法預計概率【典例2】解放軍某部進行特種兵跳傘演練,如圖所表示,在長為16m,寬為14m矩形內有大、中、小三個同心圓,其半徑分別為1m,2m,5m.若著陸點在圓環B內,則跳傘成績為合格;若著陸點在環狀陰影部分,則跳傘成績為良好;46/68若跳傘者著陸點在小圓A內,則跳傘成績為優異;不然為不合格.若一位特種兵隨意跳下,假設他著陸點在矩形內,利用隨機模擬方法求他成績為良好概率.47/68【解題指南】本題為面積型幾何概型,所求概率為面積之比,若用隨機模擬方法求其概率則要轉化為求點數之比.48/68【解析】設事件A表示“該特種兵跳傘成績為良好”.(1)利用計算器或計算杌產生兩組[0,1]上均勻隨機數,a1=RAND,b1=RAND.(2)經過伸縮和平移變換,a=16a1-8,b=14b1-7,得到[-8,8]與[-7,7]上均勻隨機數.49/68(3)統計滿足-8<a<8,-7<b<7點[a,b]個數N.滿足1<a2+b2<4點(a,b)個數N1.(4)計算頻率fn(A)=即為所求概率近似值.50/68【延伸探究】在本例中,怎樣利用隨機模擬方法求該特種兵成績為不合格概率.【解析】設事件A表示“該特種兵跳傘成績不合格”.(1)利用計算器或計算機產生兩組[0,1]上均勻隨機數,a1=RAND,b1=RAND.51/68(2)經過伸縮和平移變換,a=16a1-8,b=14b1-7,得到[-8,8]與[-7,7]上均勻隨機數.(3)統計滿足-8<a<8,-7<b<7點[a,b]個數N.滿足a2+b2>25點(a,b)個數N1.(4)計算頻率fn(A)=即為所求概率近似值.52/68【規律總結】1.用隨機模擬方法預計幾何概型概率步驟(1)利用計算器或計算機產生一組[0,1]上均勻隨機數a1=RAND.(2)經過伸縮變換x=2ax-a,y=2by-b,得到一組[-a,a],[-b,b]上均勻隨機數.53/68(3)統計出試驗總次數N和滿足所求概率事件隨機數個數N1.(4)計算頻率fn(A)=,即為所求概率近似值.54/682.用隨機模擬方法預計長度型與面積型幾何概型概率區分長度型幾何概型只要產生一組均勻隨機數即可,所求事件概率為表示事件長度之比,對面積型幾何概型問題,普通需要確定點位置,而一組隨機數是不能在平面上確定點位置,故需要利用兩組均勻隨機數分別55/68表示點兩個坐標,從而確定點位置,所求事件概率為點個數比.56/68【鞏固訓練】取一根長度為3m繩子,拉直后在任意位置剪斷,用隨機模擬方法計算剪得兩段長都大于1m概率.57/68【解析】設剪得兩段長都大于1m為事件A.方法一:(1)利用計算器或計算機產生n個[0,1]內均勻隨機數,x=RAND.(2)作伸縮變換:y=x*(3-0),轉化為[0,3]上均勻隨機數.58/68(3)統計出[1,2]內均勻隨機數個數m.(4)則概率P(A)近似值為.59/68方法二:(1)做一個帶有指針轉盤,把圓周五等分,標上刻度[0,3],這里3和0重合.(2)固定指針轉動轉盤或固定轉盤旋轉指針,記下指針在[1,2]內(表示剪斷繩子位置在[1,2]范圍內)次數m及試驗總次數n.(3)則概率P(A)近似值為.60/68類型三:利用隨機模擬試驗預計不規則圖形面積【典例3】利用隨機模擬方法近似計算邊長為2正方形內切圓面積,并預計π近似值.61/68【解析】(1)利用計算機產生兩組[0,1]上均勻隨機數,a1=RAND,b1=RAND.(2)經過平移和伸縮變換,a=2(a1-0.5),b=2(b1-0.5)得到兩組[-1,1]上均勻隨機數.(3)統計試驗總次數N和點落在圓面次數N1(滿足a2+b2≤1點(a,b)個數)62/68(4)計算頻率,即為點落在圓內概率近似值.(5)設圓面積為S,則由幾何概型概率公式得P=,即≈,則S≈即為圓面積近似值,又S圓=πr2=π,則π=S≈,即為圓周率π近似值.63/68【規律總結】利用隨機模擬法預計圖形面積步驟(1)把已知圖形放在平面直角坐標系中,將圖形看成某規則圖形(長方形或圓等)內一部分,并用陰影表示.(2)利用隨機模擬方法在規則圖形內任取一點,求出落在陰影部分概率P(A)=.64/68(3)設陰影部分面積是S,規則圖形面積是S′,則有=,解得S=S′,則已知圖形面積近似值為S′.65/68【鞏固訓練】利用隨機模擬方法近似計