2024年北京市東城區中考數學一模試卷全解全析一、選擇題（本題共16分，每小題2分）第1-8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個．1．（2分）在下列幾何體中，俯視圖是矩形的幾何體是（）A． B． C． D．2．（2分）2024年2月29日，在國家統計局發布的《中華人民共和國2023年國民經濟和社會發展統計公報》中，2023年全年完成造林面積400萬公頃，其中人工造林面積133萬公頃．將數字1330000用科學記數法表示應為（）A．1.33×107 B．13.3×105 C．1.33×106 D．0.13×1073．（2分）在平面直角坐標系xOy中，點A（0，2），B（﹣1，0），C（2，0）為?ABCD的頂點，則頂點D的坐標為（）A．（﹣3，2） B．（2，2） C．（3，2） D．（2，3）4．（2分）若實數a，b在數軸上的對應點的位置如圖所示，在下列結論中，正確的是（）A．|a|＜|b| B．a+1＜b+1 C．a2＜b2 D．a＞﹣b5．（2分）在平面直角坐標系xOy中，點P（1，2）在反比例函數y＝（k是常數，k≠0）的圖象上．下列各點中，在該反比例函數圖象上的是（）A．（﹣2，0） B．（﹣1，2） C．（﹣1，﹣2） D．（1，﹣2）6．（2分）如圖，AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直徑，CD⊥AB于點E．在下列結論中，不一定成立的是（）A．AE＝BE B．∠CBD＝90° C．∠COB＝2∠D D．∠COB＝∠C7．（2分）一個不透明的口袋中有三個完全相同的小球，把它們分別標號為1，2，3．隨機摸出一個小球后放回，搖勻后再隨機摸出一個小球，兩次摸出的小球標號相同的概率為（）A． B． C． D．8．（2分）2024年1月23日，國內在建規模最大塔式光熱項目——甘肅省阿克塞匯東新能源“光熱+光伏”試點項目，一萬多面定日鏡（如圖1）全部安裝完成．該項目建成后，年發電量將達17億千瓦時．該項目采用塔式聚光熱技術，使用國內首創的五邊形巨蜥式定日鏡，單塊定日鏡（如圖2）的形狀可近似看作正五邊形，面積約為48m2，則該正五邊形的邊長大約是（）（結果保留一位小數，參考數據：tan36°≈0.7，tan54°≈1.4，≈6.5，≈4.6）A．5.2m B．4.8m C．3.7m D．2.6m二、填空題（本題共16分，每小題2分）9．（2分）若二次根式有意義，則實數x的取值范圍是．10．（2分）因式分解：2xy2﹣18x＝．11．（2分）方程的解為．12．（2分）若關于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有兩個不相等的實數根，則m的取值范圍是．13．（2分）為了解某校初三年級500名學生每周在校的體育鍛煉時間（單位：小時），隨機抽取了50名學生進行調查，結果如表所示：鍛煉時間x5≤x＜66≤x＜77≤x＜8x≥8學生人數1016195以此估計該校初三年級500名學生一周在校的體育鍛煉時間不低于7小時的約有人．14．（2分）在Rt△ABC中，∠A＝90°，點D在AC上，DE⊥BC于點E，且DE＝DA，連接DB．若∠C＝20°，則∠DBE的度數為°．15．（2分）閱讀材料：如圖，已知直線l及直線l外一點P．按如下步驟作圖：①在直線l上任取兩點A，B，作射線AP，以點P為圓心，PA長為半徑畫弧，交射線AP于點C；②連接BC，分別以點B，C為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧分別交于點M，N，作直線MN，交BC于點Q；③作直線PQ．回答問題：（1）由步驟②得到的直線MN是線段BC的；（2）若△CPQ與△CAB的面積分別為S1，S2，則S1：S2＝．16．（2分）簡單多面體的頂點數（V）、面數（F）、棱數（E）之間存在一定的數量關系，稱為歐拉公式．（1）四種簡單多面體的頂點數、面數、棱數如表：名稱圖形頂點數（V）面數（F）棱數（E）三棱錐446長方體8612五棱柱10715正八面體6812在簡單多面體中，V，F，E之間的數量關系是；（2）數學節期間，老師布置了讓同學們自制手工藝品進行展示的任務，小張同學計劃做一個如圖所示的簡單多面體作品．該多面體滿足以下兩個條件：①每個面的形狀是正三角形或正五邊形；②每條棱都是正三角形和正五邊形的公共邊．小張同學需要準備正三角形和正五邊形的材料共個．三、解答題（本題共68分，第17-22題，每題5分，第23-26題，每題6分，第27-28題，每題7.分）解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程．17．（5分）計算：．18．（5分）解不等式組：．19．（5分）已知2x﹣y﹣9＝0，求代數式的值．20．（5分）如圖，四邊形ABCD是菱形．延長BA到點E，使得AE＝AB，延長DA到點F，使得AF＝AD，連接BD，DE，EF，FB．（1）求證：四邊形BDEF是矩形；（2）若∠ADC＝120°，EF＝2，求BF的長．21．（5分）每當優美的“東方紅”樂曲從北京站的鐘樓響起時，會喚起很多人的回憶，也引起了同學們的關注．某數學興趣小組測量北京站鐘樓AB的高度，同學們發現在鐘樓下方有建筑物遮擋，不能直接到達鐘樓底部點B的位置，被遮擋部分的水平距離為BC的長度．通過對示意圖的分析討論，制定了多種測量方案，其中一種方案的測量工具是皮尺和一根直桿．同學們在某兩天的正午時刻測量了鐘樓頂端A的影子D到點C的距離，以及同一時刻直桿的高度與影長．設AB的長為x米，BC的長為y米．測量數據（精確到0.1米）如表所示：直桿高度直桿影長CD的長第一次1.00.615.8第二次1.00.720.1（1）由第一次測量數據列出關于x，y的方程是，由第二次測量數據列出關于x，y的方程是；（2）該小組通過解上述方程組成的方程組，已經求得y＝10，則鐘樓的高度約為米．22．（5分）在平面直角坐標系xOy中，一次函數y＝kx+b（k為常數，k≠0）的圖象由函數的圖象平移得到，且經過點A（3，2），與x軸交于點B．（1）求這個一次函數的解析式及點B的坐標；（2）當x＞﹣3時，對于x的每一個值，函數y＝x+m的值大于一次函數y＝kx+b的值，直接寫出m的取值范圍．23．（6分）某校初三年級兩個班要舉行韻律操比賽．兩個班各選擇8名選手，統計了他們的身高（單位：cm），數據整理如下：a.1班1681711721741741761771792班168170171174176176178183b．每班8名選手身高的平均數、中位數、眾數如下：班級平均數中位數眾數1班173.8751741742班174.5mn根據以上信息，回答下列問題：（1）寫出表中m，n的值；（2）如果某班選手的身高的方差越小，則認為該班選手的身高比較整齊．據此推斷：在1班和2班的選手中，身高比較整齊的是班（填“1”或“2”）；（3）1班的6位首發選手的身高分別為171，172，174，174，176，177．如果2班已經選出5位首發選手，身高分別為171，174，176，176，178，要使得2班6位首發選手的平均身高不低于1班6位首發選手的平均身高，且方差盡可能小，則第六位選手的身高是cm．24．（6分）如圖，AB為⊙O的直徑，點C在⊙O上，∠EAC＝∠CAB，直線CD⊥AE于點D，交AB的延長線于點F．（1）求證：直線CD為⊙O的切線；（2）當，CD＝4時，求BF的長．25．（6分）小明是一位羽毛球愛好者，在一次單打訓練中，小明對“挑球”這種擊球方式進行路線分析，球被擊出后的飛行路線可以看作是拋物線的一部分．建立如圖所示的平面直角坐標系xOy，擊球點P到球網AB的水平距離OB＝1.5m．小明在同一擊球點練習兩次，球均過網，且落在界內．第一次練習時，小明擊出的羽毛球的飛行高度y（單位：m）與水平距離x（單位：m）近似滿足函數關系y＝﹣0.2（x﹣2.5）2+2.35．第二次練習時，小明擊出的羽毛球的飛行高度y（單位：m）與水平距離x（單位：m）的幾組數據如下：水平距離x/m01234飛行高度y/m1.11.61.921.9根據上述信息，回答下列問題：（1）直接寫出擊球點的高度；（2）求小明第二次練習時，羽毛球的飛行高度y與水平距離x滿足的函數關系式；（3）設第一次、第二次練習時，羽毛球落地點與球網的距離分別為d1，d2，則d1d2（填“＞”，“＜”或“＝”）．26．（6分）在平面直角坐標系xOy中，M（x1，y1），N（x2，y2）是拋物線y＝ax2+bx+1（a＞0）上任意兩點，設拋物線的對稱軸為直線x＝t．（1）若點（2，1）在該拋物線上，求t的值；（2）當t≤0時，對于x2＞2，都有y1＜y2，求x1的取值范圍．27．（7分）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點D，E是BC邊上的點，，連接AD．過點D作AD的垂線，過點E作BC的垂線，兩垂線交于點F．連接AF交BC于點G．（1）如圖1，當點D與點B重合時，直接寫出∠DAF與∠BAC之間的數量關系；（2）如圖2，當點D與點B不重合（點D在點E的左側）時，①補全圖形；②∠DAF與∠BAC在（1）中的數量關系是否仍然成立？若成立，加以證明；若不成立，請說明理由．（3）在（2）的條件下，直接用等式表示線段BD，DG，CG之間的數量關系．28．（7分）在平面直角坐標系xOy中，已知線段PQ和直線l1，l2，線段PQ關于直線l1，l2的“垂點距離”定義如下：過點P作PM⊥于點M，過點Q作QN⊥l2于點N，連接MN，稱MN的長為線段PQ關于直線l1和l2的“垂點距離”，記作d．（1）已知點P（2，1），Q（1，2），則線段PQ關于x軸和y軸的“垂點距離”d為；（2）如圖1，線段PQ在直線y＝﹣x+3上運動（點P的橫坐標大于點Q的橫坐標），若，則線段PQ關于x軸和y軸的“垂點距離”d的最小值為；（3）如圖2，已知點，⊙A的半徑為1，直線與⊙A交于P，Q兩點（點P的橫坐標大于點Q的橫坐標），直接寫出線段PQ關于x軸和直線的“垂點距離”d的取值范圍．

2024年北京市東城區中考數學一模試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本題共16分，每小題2分）第1-8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個．1．（2分）在下列幾何體中，俯視圖是矩形的幾何體是（）A． B． C． D．【考點】由三視圖判斷幾何體；簡單幾何體的三視圖．【專題】投影與視圖；空間觀念．【答案】B【分析】俯視圖是分別從物體上面看所得到的圖形，據此作答．【解答】解：A、球的俯視圖是圓，故此選項不合題意；B、長方體俯視圖是矩形，故此選項符合題意；C、三棱錐俯視圖是三角形（三角形內部有一點與三角形的三個頂點相連接），故此選項不合題意；D、圓柱俯視圖是圓，故此選項不合題意；故選：B．【點評】本題考查了幾何體的三種視圖，掌握定義是關鍵．注意所有的看到的棱都應表現在三視圖中．2．（2分）2024年2月29日，在國家統計局發布的《中華人民共和國2023年國民經濟和社會發展統計公報》中，2023年全年完成造林面積400萬公頃，其中人工造林面積133萬公頃．將數字1330000用科學記數法表示應為（）A．1.33×107 B．13.3×105 C．1.33×106 D．0.13×107【考點】科學記數法—表示較大的數．【專題】實數；數感．【答案】C【分析】科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值≥10時，n是正整數，當原數絕對值＜1時，n是負整數．【解答】解：1330000＝1.33×106．故選：C．【點評】此題考查科學記數法的表示方法．科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值．3．（2分）在平面直角坐標系xOy中，點A（0，2），B（﹣1，0），C（2，0）為?ABCD的頂點，則頂點D的坐標為（）A．（﹣3，2） B．（2，2） C．（3，2） D．（2，3）【考點】平行四邊形的性質；坐標與圖形性質．【專題】多邊形與平行四邊形；推理能力．【答案】C【分析】根據平行四邊形的對邊相等，對邊平行求解即可．【解答】解：如圖，∵點A（0，2），B（﹣1，0），C（2，0）為?ABCD的頂點，∴AD＝BC＝3，AD∥BC，∴頂點D的坐標為（3，2），故選：C．【點評】此題考查了平行四邊形的性質、坐標與圖形性質，熟記平行四邊形的性質是解題的關鍵．4．（2分）若實數a，b在數軸上的對應點的位置如圖所示，在下列結論中，正確的是（）A．|a|＜|b| B．a+1＜b+1 C．a2＜b2 D．a＞﹣b【考點】實數與數軸；絕對值．【專題】實數；推理能力．【答案】B【分析】根據圖示，可得﹣2＜a＜﹣1，0＜b＜1，據此逐項判斷即可．【解答】解：根據圖示，可得﹣2＜a＜﹣1，0＜b＜1，∵﹣2＜a＜﹣1，0＜b＜1，∴1＜|a|＜2，0＜|b|＜1，∴|a|＞|b|，∴選項A不符合題意；∵﹣2＜a＜﹣1，0＜b＜1，∴a＜b，∴a+1＜b+1，∴選項B符合題意；∵﹣2＜a＜﹣1，0＜b＜1，∴1＜a2＜4，0＜b2＜1，∴a2＞b2，∴選項C不符合題意；∵0＜b＜1，∴﹣1＜﹣b＜0，∵﹣2＜a＜﹣1，∴a＜﹣b，∴選項D不符合題意．故選：B．【點評】此題主要考查了實數大小比較的方法，以及數軸的特征：一般來說，當數軸正方向朝右時，右邊的數總比左邊的數大．5．（2分）在平面直角坐標系xOy中，點P（1，2）在反比例函數y＝（k是常數，k≠0）的圖象上．下列各點中，在該反比例函數圖象上的是（）A．（﹣2，0） B．（﹣1，2） C．（﹣1，﹣2） D．（1，﹣2）【考點】反比例函數圖象上點的坐標特征．【專題】反比例函數及其應用；運算能力．【答案】C【分析】根據反比例函數比例系數k＝xy（k≠0），依次判斷各個選項即可．【解答】解：根據題意得，k＝xy＝1×2＝2，∴將A，B，C，D四個選項中點的坐標代入得到k＝6的點在反比例函數的圖象上．故選：C．【點評】本題考查了反比例函數圖象上點的坐標特征，關鍵是運用xy＝k解決問題．6．（2分）如圖，AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直徑，CD⊥AB于點E．在下列結論中，不一定成立的是（）A．AE＝BE B．∠CBD＝90° C．∠COB＝2∠D D．∠COB＝∠C【考點】圓周角定理；垂徑定理．【專題】圓的有關概念及性質；推理能力．【答案】D【分析】根據垂徑定理、圓周角定理判斷求解即可．【解答】解：∵CD是⊙O的直徑，CD⊥AB，∴AE＝BE，∠CBD＝90°，∠COB＝2∠D，∠CBO＝∠C，故A、B、C不符合題意，D符合題意；故選：D．【點評】此題考查了圓周角定理、垂徑定理，熟練掌握圓周角定理、垂徑定理是解題的關鍵．7．（2分）一個不透明的口袋中有三個完全相同的小球，把它們分別標號為1，2，3．隨機摸出一個小球后放回，搖勻后再隨機摸出一個小球，兩次摸出的小球標號相同的概率為（）A． B． C． D．【考點】列表法與樹狀圖法．【專題】概率及其應用；運算能力．【答案】B【分析】列表可得出所有等可能的結果數以及兩次摸出的小球標號相同的結果數，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：列表如下：1231（1，1）（1，2）（1，3）2（2，1）（2，2）（2，3）3（3，1）（3，2）（3，3）共有9種等可能的結果，其中兩次摸出的小球標號相同的結果有3種，∴兩次摸出的小球標號相同的概率為．故選：B．【點評】本題考查列表法與樹狀圖法，熟練掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本題的關鍵．8．（2分）2024年1月23日，國內在建規模最大塔式光熱項目——甘肅省阿克塞匯東新能源“光熱+光伏”試點項目，一萬多面定日鏡（如圖1）全部安裝完成．該項目建成后，年發電量將達17億千瓦時．該項目采用塔式聚光熱技術，使用國內首創的五邊形巨蜥式定日鏡，單塊定日鏡（如圖2）的形狀可近似看作正五邊形，面積約為48m2，則該正五邊形的邊長大約是（）（結果保留一位小數，參考數據：tan36°≈0.7，tan54°≈1.4，≈6.5，≈4.6）A．5.2m B．4.8m C．3.7m D．2.6m【考點】解直角三角形的應用；正多邊形和圓．【專題】解直角三角形及其應用；運算能力．【答案】A【分析】設正五邊形的中心為O，連接OA，OB，過點O作OF⊥AB，垂足為F，根據正五邊形的性質可得∠AOB＝72°，△AOB的面積＝m2，然后利用等腰三角形的三線合一性質可得：∠AOF＝36°，AB＝2AF，從而設OF＝xm，再在Rt△OAF中，利用銳角三角函數的定義求出AF的長，從而求出AB的長，最后列出關于x的方程，進行計算即可解答．【解答】解：如圖：設正五邊形的中心為O，連接OA，OB，過點O作OF⊥AB，垂足為F，∴∠AOB＝＝72°，△AOB的面積＝正五邊形的面積＝m2，∵OA＝OB，OF⊥AB，∴∠AOF＝∠AOB＝36°，AB＝2AF，設OF＝xm，在Rt△OAF中，AF＝OF?tan36°≈0.7x（m），∴AB＝2AF＝1.4x（m），∴AB?OF＝，?1.4x?x＝，解得：x≈3.71，∴AB＝1.4x≈5.2（m），∴該正五邊形的邊長大約是5.2m，故選：A．【點評】本題考查了解直角三角形的應用，正多邊形和圓，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線是解題的關鍵．二、填空題（本題共16分，每小題2分）9．（2分）若二次根式有意義，則實數x的取值范圍是x≥1．【考點】二次根式有意義的條件．【專題】二次根式；運算能力．【答案】x≥1．【分析】根據被開方數不小于零的條件【解答】解：由題可知，x﹣1≥0，解得x≥1．故答案為：x≥1．【點評】本題考查二次根式有意義的條件，掌握被開方數不小于零的條件是解題的關鍵．10．（2分）因式分解：2xy2﹣18x＝2x（y+3）（y﹣3）．【考點】提公因式法與公式法的綜合運用．【專題】整式；運算能力．【答案】2x（y+3）（y﹣3）．【分析】提取公因式后再用平方差公式分解即可．【解答】解：2xy2﹣18x＝2x（y2﹣9）＝2x（y+3）（y﹣3）．故答案為：2x（y+3）（y﹣3）．【點評】本題考查了因式分解，熟練掌握公式法和提取公因式法是關鍵．11．（2分）方程的解為x＝9．【考點】解分式方程．【專題】分式方程及應用；運算能力．【答案】x＝9．【分析】方程兩邊都乘x（x﹣3）得出3（x﹣3）＝2x，求出方程的解，再進行檢驗即可．【解答】解：，方程兩邊都乘x（x﹣3），得3（x﹣3）＝2x，3x﹣9＝2x，3x﹣2x＝9，x＝9，檢驗：當x＝9時，x（x﹣3）≠0，所以分式方程的解是x＝9．故答案為：x＝9．【點評】本題考查了解分式方程，能把分式方程轉化成整式方程是解此題的關鍵．12．（2分）若關于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有兩個不相等的實數根，則m的取值范圍是m＜1．【考點】根的判別式．【專題】一元二次方程及應用；運算能力．【答案】m＜1．【分析】根據方程的系數結合根的判別式Δ＞0，可得出關于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范圍．【解答】解：∵關于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有兩個不相等的實數根，∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×m＝4﹣4m＞0，解得：m＜1．故答案為：m＜1．【點評】本題考查了根的判別式，牢記“當Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數根”是解題的關鍵．13．（2分）為了解某校初三年級500名學生每周在校的體育鍛煉時間（單位：小時），隨機抽取了50名學生進行調查，結果如表所示：鍛煉時間x5≤x＜66≤x＜77≤x＜8x≥8學生人數1016195以此估計該校初三年級500名學生一周在校的體育鍛煉時間不低于7小時的約有240人．【考點】用樣本估計總體．【專題】統計的應用；數據分析觀念．【答案】240．【分析】總人數乘以樣本中體育鍛煉時間不低于7小時的人數所占比例即可．【解答】解：估計該校初三年級500名學生一周在校的體育鍛煉時間不低于7小時的約有500×＝240（人），故答案為：240．【點評】本題主要考查用樣本估計總體，一般來說，用樣本去估計總體時，樣本越具有代表性、容量越大，這時對總體的估計也就越精確．14．（2分）在Rt△ABC中，∠A＝90°，點D在AC上，DE⊥BC于點E，且DE＝DA，連接DB．若∠C＝20°，則∠DBE的度數為35°．【考點】全等三角形的判定與性質．【專題】圖形的全等；運算能力；推理能力．【答案】35．【分析】由∠A＝90°，∠C＝20°，求得∠ABC＝70°，然后證明Rt△EBD≌Rt△ABD，推導出∠DBE＝∠DBA，或根據角平分線的性質證明BD平分∠ABC，求得∠DBE＝∠ABC＝35°，于是得到問題的答案．【解答】解法一：∵∠A＝90°，∠C＝20°，∴∠ABC＝90°﹣∠C＝70°，∵DE⊥BC于點E，∴∠BED＝90°，在Rt△EBD和Rt△ABD中，，∴Rt△EBD≌Rt△ABD（HL），∴∠DBE＝∠DBA＝∠ABC＝35°，故答案為：35．解法二：∵∠A＝90°，∠C＝20°，∴∠ABC＝90°﹣∠C＝70°，∵∠A＝90°，∴DA⊥BA，∵DE⊥BC，且DE＝DA，∴點D在∠ABC的平分線上，∴BD平分∠ABC，∴∠DBE＝∠DBA＝∠ABC＝35°，故答案為：35．【點評】此題重點考查直角三角形的兩個銳角互余、全等三角形的判定與性質、角平分線的性質等知識，證明∠DBE＝∠DBA是解題的關鍵．15．（2分）閱讀材料：如圖，已知直線l及直線l外一點P．按如下步驟作圖：①在直線l上任取兩點A，B，作射線AP，以點P為圓心，PA長為半徑畫弧，交射線AP于點C；②連接BC，分別以點B，C為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧分別交于點M，N，作直線MN，交BC于點Q；③作直線PQ．回答問題：（1）由步驟②得到的直線MN是線段BC的垂直平分線；（2）若△CPQ與△CAB的面積分別為S1，S2，則S1：S2＝．【考點】作圖—復雜作圖；解直角三角形；線段垂直平分線的性質．【專題】圖形的相似；尺規作圖；幾何直觀．【答案】（1）垂直平分線．（2）．【分析】（1）根據線段垂直平分線的作圖過程可知，步驟②得到的直線MN是線段BC的垂直平分線．（2）由題意可得AP＝CP，CQ＝BQ，可證明△PCQ∽△ACB，根據相似三角形的性質可得答案．【解答】解：（1）由作圖過程可知，步驟②得到的直線MN是線段BC的垂直平分線．故答案為：垂直平分線．（2）由作圖過程可知，AP＝CP，∵MN是線段BC的垂直平分線，∴CQ＝BQ，∴，∵∠PCQ＝∠ACB，∴△PCQ∽△ACB，∴S1：S2＝＝．故答案為：．【點評】本題考查作圖—復雜作圖、線段垂直平分線的性質、相似三角形的判定與性質，熟練掌握相似三角形的判定與性質、線段垂直平分線的性質以及作圖方法是解答本題的關鍵．16．（2分）簡單多面體的頂點數（V）、面數（F）、棱數（E）之間存在一定的數量關系，稱為歐拉公式．（1）四種簡單多面體的頂點數、面數、棱數如表：名稱圖形頂點數（V）面數（F）棱數（E）三棱錐446長方體8612五棱柱10715正八面體6812在簡單多面體中，V，F，E之間的數量關系是V+F﹣E＝2；（2）數學節期間，老師布置了讓同學們自制手工藝品進行展示的任務，小張同學計劃做一個如圖所示的簡單多面體作品．該多面體滿足以下兩個條件：①每個面的形狀是正三角形或正五邊形；②每條棱都是正三角形和正五邊形的公共邊．小張同學需要準備正三角形和正五邊形的材料共32個．【考點】等邊三角形的性質；歐拉公式．【專題】等腰三角形與直角三角形；幾何直觀；應用意識．【答案】（1）V+F﹣E＝2；（2）32個．【分析】（1）觀察可得頂點數+面數﹣棱數＝2；（2）設正五邊形x塊，正三邊形y塊，則由上面的規律數可以看出，棱數E＝5x，而頂點數V＝×5x，有歐拉公式列出二元一次方程；再由足球表面中所有白皮的邊數等于所有黑皮的邊數；組成方程組解決問題．【解答】解：（1）四面體的棱數為6；正八面體的頂點數為6；關系式為：V+F﹣E＝2；故答案為：V+F﹣E＝2；（2）設正五邊形x塊，正三邊形y塊，由題意得，解得所以正五邊形為12塊，正三邊形為20塊．所以需要準備正三角形和正五邊形的材料共32個．故答案為：32．【點評】本題考查等邊三角形的性質，歐拉公式等知識，解題的關鍵是學會利用參數構建方程解決問題．三、解答題（本題共68分，第17-22題，每題5分，第23-26題，每題6分，第27-28題，每題7.分）解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程．17．（5分）計算：．【考點】實數的運算；零指數冪；特殊角的三角函數值．【專題】實數；運算能力．【答案】3﹣1．【分析】利用二次根式的性質，特殊銳角三角函數值，零指數冪，絕對值的性質計算即可．【解答】解：原式＝4﹣2×+1﹣2＝4﹣+1﹣2＝3﹣1．【點評】本題考查實數的運算，熟練掌握相關運算法則是解題的關鍵．18．（5分）解不等式組：．【考點】解一元一次不等式組．【專題】一元一次不等式（組）及應用；運算能力．【答案】﹣2≤x＜4．【分析】首先解出兩個不等式的解集，再根據大小小大中間找確定不等式組的解集．【解答】解：，解不等式①，得：x＜4，解不等式②，得：x≥﹣2，∴原不等式組的解集為﹣2≤x＜4．【點評】此題主要考查了解一元一次不等式組，關鍵是掌握解集的規律：同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到．19．（5分）已知2x﹣y﹣9＝0，求代數式的值．【考點】分式的值．【專題】分式；運算能力．【答案】．【分析】根據2x﹣y﹣9＝0，得2x﹣y＝9，化簡約分即可求出答案．【解答】解：∵2x﹣y﹣9＝0，∴2x﹣y＝9，∴＝＝，當2x﹣y＝9時，原式＝＝．【點評】本題考查了分式的值，關鍵是求出2x﹣y＝9．20．（5分）如圖，四邊形ABCD是菱形．延長BA到點E，使得AE＝AB，延長DA到點F，使得AF＝AD，連接BD，DE，EF，FB．（1）求證：四邊形BDEF是矩形；（2）若∠ADC＝120°，EF＝2，求BF的長．【考點】矩形的判定與性質；等邊三角形的判定與性質；菱形的性質．【專題】等腰三角形與直角三角形；多邊形與平行四邊形；矩形菱形正方形；運算能力；推理能力．【答案】（1）證明見解析；（2）2．【分析】（1）先證明四邊形BDEF為平行四邊形，再由菱形的性質得AB＝AD，則BE＝DF，然后由矩形的判定即可得出結論；（2）由矩形的性質得∠DBF＝90°，BD＝EF＝2，再由菱形的性質得∠ADB＝60°，AB＝AD，進而證明△ABD是等邊三角形，得AB＝AD＝BD＝2，則DF＝2AD＝4，然后由勾股定理求出BF的長即可．【解答】（1）證明：∵AE＝AB，AF＝AD，∴四邊形BDEF為平行四邊形，∵四邊形ABCD為菱形，∴AB＝AD，∴AE＝AB＝AF＝AD，∴BE＝DF，∴平行四邊形BDEF是矩形；（2）解：由（1）可知，AB＝AD，四邊形BDEF是矩形，∴∠DBF＝90°，BD＝EF＝2，∵四邊形ABCD是菱形，∴∠ADB＝∠ADC＝60°，AB＝AD，∴△ABD是等邊三角形，∴AB＝AD＝BD＝2，∴DF＝2AD＝4，∴BF＝＝＝2，即BF的長為2．【點評】本題考查了矩形的判定與性質、菱形的性質、平行四邊形的判定與性質、等邊三角形的判定與性質以及勾股定理等知識，熟練掌握矩形的判定與性質是解題的關鍵．21．（5分）每當優美的“東方紅”樂曲從北京站的鐘樓響起時，會喚起很多人的回憶，也引起了同學們的關注．某數學興趣小組測量北京站鐘樓AB的高度，同學們發現在鐘樓下方有建筑物遮擋，不能直接到達鐘樓底部點B的位置，被遮擋部分的水平距離為BC的長度．通過對示意圖的分析討論，制定了多種測量方案，其中一種方案的測量工具是皮尺和一根直桿．同學們在某兩天的正午時刻測量了鐘樓頂端A的影子D到點C的距離，以及同一時刻直桿的高度與影長．設AB的長為x米，BC的長為y米．測量數據（精確到0.1米）如表所示：直桿高度直桿影長CD的長第一次1.00.615.8第二次1.00.720.1（1）由第一次測量數據列出關于x，y的方程是y＝0.6x﹣15.8，由第二次測量數據列出關于x，y的方程是y＝0.7x﹣20.1；（2）該小組通過解上述方程組成的方程組，已經求得y＝10，則鐘樓的高度約為43米．【考點】相似三角形的應用；平行投影；近似數和有效數字；由實際問題抽象出二元一次方程；解二元一次方程組；由實際問題抽象出二元一次方程組．【專題】圖形的相似；運算能力．【答案】（1）y＝0.6x﹣15.8，y＝0.7x﹣20.1；（2）43．【分析】（1）由同一時刻測量，可得＝，分別代入第一次測量、第二次測量的數值，可得其關于x、y的方程；（2）已經求得y＝10，將y＝10代入任一個方程，可求得x的值，即得鐘樓的高度．【解答】解：（1）由同一時刻測量，可得＝，第一次測量：，化簡得，y＝0.6x﹣15.8，第二次測量：＝，化簡得，y＝0.7x﹣20.1，故答案為：y＝0.6x﹣15.8，y＝0.7x﹣20.1；（2）對于y＝0.6x﹣15.8，代入y＝10，得，0.6x﹣15.8＝10，解得：x＝43，∴鐘樓AB＝43米，故答案為：43．【點評】本題考查了相似三角形的應用，由同一時刻測量，得到＝是本題的關鍵．22．（5分）在平面直角坐標系xOy中，一次函數y＝kx+b（k為常數，k≠0）的圖象由函數的圖象平移得到，且經過點A（3，2），與x軸交于點B．（1）求這個一次函數的解析式及點B的坐標；（2）當x＞﹣3時，對于x的每一個值，函數y＝x+m的值大于一次函數y＝kx+b的值，直接寫出m的取值范圍．【考點】一次函數圖象與幾何變換；一次函數圖象與系數的關系．【專題】一元一次不等式（組）及應用；一次函數及其應用；平移、旋轉與對稱；運算能力．【答案】（1）一次函數的解析式為y＝x+1；B的坐標為（﹣3，0）；（2）m的取值范圍是m≥3．【分析】（1）根據一次函數y＝kx+b的圖象由函數的圖象平移得到，且經過點A（3，2），可得，即可解得一次函數的解析式為y＝x+1；從而求出B的坐標為（﹣3，0）；（2）當x＝﹣3時，y＝x+m＝﹣3+m，y＝x+1＝×（﹣3）+1＝0，根據當x＞﹣3時，對于x的每一個值，函數y＝x+m的值大于一次函數y＝x+1的值，可得﹣3+m≥0，可解得答案．【解答】解：（1）∵一次函數y＝kx+b的圖象由函數的圖象平移得到，且經過點A（3，2），∴，解得，∴一次函數的解析式為y＝x+1；在y＝x+1中，令y＝0得0＝x+1，解得x＝﹣3，∴B的坐標為（﹣3，0）；（2）當x＝﹣3時，y＝x+m＝﹣3+m，y＝x+1＝×（﹣3）+1＝0，∵當x＞﹣3時，對于x的每一個值，函數y＝x+m的值大于一次函數y＝x+1的值，∴﹣3+m≥0，解得m≥3，∴m的取值范圍是m≥3．【點評】本題考查一次函數圖象與幾何變換，一次函數圖象與系數的關系，解題的關鍵是求出函數解析式和列出不等式﹣3+m≥0解決問題．23．（6分）某校初三年級兩個班要舉行韻律操比賽．兩個班各選擇8名選手，統計了他們的身高（單位：cm），數據整理如下：a.1班1681711721741741761771792班168170171174176176178183b．每班8名選手身高的平均數、中位數、眾數如下：班級平均數中位數眾數1班173.8751741742班174.5mn根據以上信息，回答下列問題：（1）寫出表中m，n的值；（2）如果某班選手的身高的方差越小，則認為該班選手的身高比較整齊．據此推斷：在1班和2班的選手中，身高比較整齊的是1班（填“1”或“2”）；（3）1班的6位首發選手的身高分別為171，172，174，174，176，177．如果2班已經選出5位首發選手，身高分別為171，174，176，176，178，要使得2班6位首發選手的平均身高不低于1班6位首發選手的平均身高，且方差盡可能小，則第六位選手的身高是170cm．【考點】方差；算術平均數；中位數；眾數．【專題】統計與概率；數據分析觀念．【答案】（1）175、176；（2）1；（3）170．【分析】（1）根據中位數和眾數概念，即可作答；（2）根據方差的概念，即可作答；（3）先求出1班6位首發選手的平均身高，再求出2班第6位首發選手的身高取值范圍；接著根據題意，從方差的概念入手，確定第六位選手的身高．【解答】解：（1）2班數據從小到大排列為168、170、171、174、176、176、178、183從中可以看出一共八個數，第四個數據為174、第五個數據為176，所以這組數據的中位數為：（174+176）÷2＝175，故m＝175；其中176出現的次數最多，所以這組數的眾數為176，故n＝176；故答案為：175、176．（2）根據方差的定義可以知道，方差越大，一組數據的波動越大，離散程度越大，穩定性也越小，反之亦然．1班的身高分布于168﹣179，2班的身高分布于168﹣183，從中可以看出，1班的數據較2班的數據波動較小，更加穩定，所以1班的選手身高比較整齊，故答案為：1．（3）（171+172+174+174+176+177）÷6＝174（厘米）設2班第六位選手的身高為x厘米，則（171+174+176+176+178+x）÷6≥174，x≥169，據此，第六位可選的人員身高為170、183，若為170時，2班的身高數據分布于170﹣178，若為183時，2班的身高數據分布于171﹣183，從中可以看出當身高為170時的數據波動更小，更加穩定，所以第六位選手的身高應該是170厘米，故答案為：170．【點評】本題考查了平均數、眾數、中位數和方差，熟記方差的計算公式以及方差的意義是解題的關鍵．24．（6分）如圖，AB為⊙O的直徑，點C在⊙O上，∠EAC＝∠CAB，直線CD⊥AE于點D，交AB的延長線于點F．（1）求證：直線CD為⊙O的切線；（2）當，CD＝4時，求BF的長．【考點】切線的判定與性質；解直角三角形；角平分線的性質；圓周角定理．【專題】等腰三角形與直角三角形；與圓有關的位置關系；圖形的相似；推理能力．【答案】（1）見解析；（2）10﹣2．【分析】（1）連接OC，根據等腰三角形的性質得到∠CAO＝∠ACO，求得∠DAC＝∠ACO，根據平行線的性質得到OC⊥DF，根據切線的判定定理得到結論；（2）設OC＝x，則CF＝2x，AO＝OB＝x，根據勾股定理得到OF＝＝x，根據相似三角形的性質即可得到結論．【解答】（1）證明：連接OC，∵OA＝OC，∴∠CAO＝∠ACO，∵∠EAC＝∠CAB，∴∠DAC＝∠ACO，∵OC∥AD，∵CDAD，∴OC⊥DF，∵OC是⊙O的半徑，∴直線CD為⊙O的切線；（2）解：∵，∴，設OC＝x，則CF＝2x，AO＝OB＝x，∴OF＝＝x，∵OC∥AD，∴△AFD∽△OFC，∴，∴，∴x＝2，∴BF＝OF﹣OB＝10﹣2．【點評】本題考查了切線的判定和性質，相似三角形的判定和性質，勾股定理，平行線的判定和性質，正確地作出輔助線是解題的關鍵．25．（6分）小明是一位羽毛球愛好者，在一次單打訓練中，小明對“挑球”這種擊球方式進行路線分析，球被擊出后的飛行路線可以看作是拋物線的一部分．建立如圖所示的平面直角坐標系xOy，擊球點P到球網AB的水平距離OB＝1.5m．小明在同一擊球點練習兩次，球均過網，且落在界內．第一次練習時，小明擊出的羽毛球的飛行高度y（單位：m）與水平距離x（單位：m）近似滿足函數關系y＝﹣0.2（x﹣2.5）2+2.35．第二次練習時，小明擊出的羽毛球的飛行高度y（單位：m）與水平距離x（單位：m）的幾組數據如下：水平距離x/m01234飛行高度y/m1.11.61.921.9根據上述信息，回答下列問題：（1）直接寫出擊球點的高度；（2）求小明第二次練習時，羽毛球的飛行高度y與水平距離x滿足的函數關系式；（3）設第一次、第二次練習時，羽毛球落地點與球網的距離分別為d1，d2，則d1＜d2（填“＞”，“＜”或“＝”）．【考點】二次函數的應用．【專題】二次函數的應用；運算能力；應用意識．【答案】（1）1.1m；（2）y＝﹣0.1（x﹣3）2+2，（3）＜【分析】（1）令y＝﹣0.2（x﹣2.5）2+2.35中x＝0，求出y的值即可（或由表格信息直接得出）；（2）根據表格信息，設出拋物線解析式，利用待定系數法求出解析式即可；（3）分別利用第一次練習和第二次練習時的拋物線解析式求出羽毛球落地點與球網的距離分別為d1，d2，再比較即可．【解答】解：（1）當x＝0時，y＝﹣0.2（0﹣2.5）2+2.35＝1.1，故擊球點的高度為1.1m；（2）由表格信息可知，第二次練習時，拋物線的頂點為（3，2），設拋物線的解析式為：y＝a（x﹣3）2+2，過點（4，1.9），∴1.9＝a（4﹣3）2+2，解得a＝﹣0.1，∴拋物線的解析式為：y＝﹣0.1（x﹣3）2+2，（3）∵第一次練習時，當y＝0時，0＝﹣0.2（x﹣2.5）2+2.35．解得x1＝+2.5，x2＝﹣+2.5＜0（舍去），∴d1＝+2.5﹣1.5＝+1，∵第二次練習時，當y＝0時，0＝﹣0.1（x﹣3）2+2．解得x1＝+3，x2＝﹣+3＜0（舍去），∴d2＝+3﹣1.5＝+1.5，∵+1＜+1.5，∴d1＜d2，故答案為：＜【點評】本題考查二次函數的應用，理解題意，掌握待定系數法是解題的關鍵．26．（6分）在平面直角坐標系xOy中，M（x1，y1），N（x2，y2）是拋物線y＝ax2+bx+1（a＞0）上任意兩點，設拋物線的對稱軸為直線x＝t．（1）若點（2，1）在該拋物線上，求t的值；（2）當t≤0時，對于x2＞2，都有y1＜y2，求x1的取值范圍．【考點】二次函數的性質；二次函數圖象上點的坐標特征．【專題】二次函數圖象及其性質；運算能力；推理能力．【答案】（1）t＝1；（2）﹣2≤x1≤2．【分析】（1）點（2，1）代入解析式求得b＝﹣2a，進一步即可求得t＝1；（2）根據二次函數的性質即可得到x1的取值范圍．【解答】解：（1）∵點（2，1）在該拋物線∴4a+2b+1＝1，∴b＝﹣2a，∴t＝﹣＝1；（2）∵t≤0時，x2＞2，∴N（x2，y2）的對稱點的橫坐標x3＜﹣2，∵拋物線y＝ax2+bx+1（a＞0）開口向上，y1＜y2，∴﹣2≤x1≤2．【點評】本題考查了二次函數的性質，二次函數圖象上點的坐標特征，掌握二次函數的性質是解題的關鍵．27．（7分）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點D，E是BC邊上的點，，連接AD．過點D作AD的垂線，過點E作BC的垂線，兩垂線交于點F．連接AF交BC于點G．（1）如圖1，當點D與點B重合時，直接寫出∠DAF與∠BAC之間的數量關系；（2）如圖2，當點D與點B不重合（點D在點E的左側）時，①補全圖形；②∠DAF與∠BAC在（1）中的數量關系是否仍然成立？若成立，加以證明；若不成立，請說明理由．（3）在（2）的條件下，直接用等式表示線段BD，DG，CG之間的數量關系．【考點】三角形綜合題．【專題】幾何綜合題；圖形的全等；等腰三角形與直角三角形；平移、旋轉與對稱；推理能力．【答案】（1）∠DAF＝∠BAC，證明見解答；（2）①補全圖形見解答；②∠DAF＝∠BAC仍然成立，證明見解答；（3）BD2+CG2＝DG2，證明見解答．【分析】（1）運用等腰三角形性質可得AE⊥BC，∠BAE＝∠BAC，再證明A、E、F在同一條直線上，即可得出答案；（2）①按照題意作圖即可；②過點A作AH⊥BC于點H，可證得△ADH≌△DFE（AAS），得出AD＝DF，即△ADF是等腰直角三角形，即可證得結論；（3）將△ACG繞點A順時針旋轉90°得到△ABG′，可證得∠DBG′＝90°，運用勾股定理可得BD2+BG′2＝DG′2，再證得△ADG′≌△ADG（SAS），即可得出答案．【解答】解：（1）當點D與點B重合時，∠DAF＝∠BAC，理由如下：如圖1，∵點D與點B重合，點D，E是BC邊上的點，且DE＝BC，∴E是BC的中點，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴AE⊥BC，∠BAE＝∠BAC，∵EF⊥BC，∴∠AEB＝∠BEF＝90°，∴∠AEB+∠BEF＝180°，即A、E、F在同一條直線上，∴∠BAF＝∠BAC，即∠DAF＝∠BAC；（2）①補全圖形如圖2所示：②∠DAF＝∠BAC仍然成立，理由如下：如圖3，過點A作AH⊥BC于點H，則∠AHD＝90°，∵∠DEF＝90°，∴∠AHD＝∠DEF，∵∠ADH+∠FDE＝∠ADH+∠DAH＝90°，∴∠DAH＝∠FDE，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AH⊥BC，∴AH＝BC，∵DE＝BC，∴AH＝DE，∴△ADH≌△DFE（AAS），∴AD＝DF，∵∠ADF＝90°，∴△ADF是等腰直角三角形，∴∠DAF＝45°，∴∠DAF＝∠BAC；（3）BD2+CG2＝DG2，理由如下：如圖4，將△ACG繞點A順時針旋轉90°得到△ABG′，則BG′＝CG，AG′＝AG，∠ABG′＝∠ACG，∠BAG′＝∠CAG，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACG＝45°，∴∠ABC+∠ABG′＝90°，即∠DBG′＝90°，∴BD2+BG′2＝DG′2，由（2）知∠DAF＝45°，即∠DAG＝45°，∴∠BAD+∠CAG＝45°，∴∠BAD+∠BAG′＝45°，即∠DAG′＝45°，∴∠DAG′＝∠DAG，在△ADG′和△ADG中，，∴△ADG′≌△ADG（SAS），∴DG′＝DG，∴BD2+CG2＝DG2．【點評】本題是幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定和性質，旋轉的性質，等腰直角三角形的性質，勾股定理等知識，添加恰當輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．28．（7分）在平面直角坐標系xOy中，已知線段PQ和直線l1，l2，線段PQ關于直線l1，l2的“垂點距離”定義如下：過點P作PM⊥于點M，過點Q作QN⊥l2于點N，連接MN，稱MN的長為線段PQ關于直線l1和l2的“垂點距離”，記作d．（1）已知點P（2，1），Q（1，2），則線段PQ關于x軸和y軸的“垂點距離”d為3；（2）如圖1，線段PQ在直線y＝﹣x+3上運動（點P的橫坐標大于點Q的橫坐標），若，則線段PQ關于x軸和y軸的“垂點距離”d的最小值為2；（3）如圖2，已知點，⊙A的半徑為1，直線與⊙A交于P，Q兩點（點P的橫坐標大于點Q的橫坐標），直接寫出線段PQ關于x軸和直線的“垂點距離”d的取值范圍．【考點】圓的綜合題．【專題】閱讀型；新定義；一次函數及其應用；等腰三角形與直角三角形；矩形菱形正方形；與圓有關的位置關系；解直角三角形及其應用；運算能力；推理能力．【答案】（1）3；（2）2；（3）．【分析】（1）根據定義得出點P到x軸的距離為：1，點Q到y軸的距離為：2，進而得出結果；（2）延長NQ，MP交于點A，得出四邊形ANOM是矩形，AQ＝AP＝1，設Q（m，﹣m+3），則A（m+1，﹣m+3），從而得出OA＝＝，進而得出結果；（3）設直線y＝﹣x+b與x軸交于D，交直線y＝﹣于C，延長NQ，MP，交于點B，作直線AB，可得出△PBQ是等邊三角形，可得出點B在過O點且與CD垂直的直線上運動，從而得出當點B越往上，MN越大，從而推出當MP和BN與⊙A相切時，MN最大，當直線l1且⊙A于下方時，MN最小；當PM和NQ與⊙A相切時，連接AP，設AB交ON于F交x軸于E，可求得AE＝，AF＝OF＝EF＝2，從而得出BF和BE的值，進而得出BM和BN的值，進一步得出結果；當直線y＝﹣與⊙A相切時，MN最小，同樣的方法得出結果，進一步得出結果．【解答】解：（1）∵點P到x軸的距離為：1，點Q到y軸的距離為：2，∴線段PQ關于x軸和y軸的“垂點距離”d為：1+2＝3，故答案為：3；（2）如圖1，延長NQ，MP交于點A，∵QN⊥y軸，PM⊥x軸，∴∠ANO＝∠AMO＝90°，∵∠MON＝90°，∴四邊形ANOM是矩形，∴∠NAM＝90°，MN＝AO，∵線段PQ在直線y＝﹣x+3上運動，∴∠AQP＝∠APQ＝45°，∴AQ＝AP＝1，設Q（m，﹣m+3），則A（m+1，﹣m+3），∴OA＝＝，∴當m＝1時，OA最小＝2，∴MN的最小值為：2，故答案為：2；（3）如圖2，1設直線y＝﹣x+b與x軸交于D，交直線y＝﹣于C，延長NQ，MP，交于點B，作直線AB，∴∠CDO＝∠OCD＝30°，∵QN⊥l2，PM⊥x軸，∴∠CNQ＝∠PMD＝90°，∴∠BQP＝∠CQN＝60°，∠BPQ＝∠MPD＝60°，∴△PBQ是等邊三角形，∴∠QBP＝60°，AB⊥PQ，∠PBA＝30°，∴點B在過O點且與CD垂直的直線上運動，∴當點B越往上，MN越大，∴當MP和BN與⊙A相切時，MN最大，當直線l1且⊙A于下方時，MN最小，如圖3，當PM和NQ與⊙A相切時，連接AP，設AB交ON于F交x軸于E，∴AP⊥BM，∴AB＝2AP＝2，∵∠AOE＝90°，∠OAE＝∠PBA＝30°，OA＝2，∴AE＝，∵∠FOE＝∠FEO＝60°，∴∠OFE＝60°，∴∠OAF＝∠AOF＝30°，∴AF＝OF＝EF＝2，∴BF＝AF+AB＝4，BE＝AE+AB＝6，∴BN＝BF?sin∠BFN＝4?sin60°＝2，BM＝BE?sin∠FEO＝6?sin60°＝3，∴MN2＝BN2+BM2﹣BN?BM＝（2）2+＝21，∴MN＝，如圖4，當直線y＝﹣與⊙A相切時，MN最小，∵PF＝AF﹣AP＝2﹣1＝1，EQ＝AE﹣AQ＝4﹣1＝3，∴PN＝PF＝，QM＝EQ＝，∴MN2＝PN2+QM2﹣PN?QM＝，∴MN＝，∴．【點評】本題考查了新定義的閱讀理解，圓的切線的性質，解直角三角形，等邊三角形的判定和性質，矩形的判定和性質，一次函數的性質等知識，解決問題的關鍵是作輔助線，轉化題意．

考點卡片1．絕對值（1）概念：數軸上某個數與原點的距離叫做這個數的絕對值．①互為相反數的兩個數絕對值相等；②絕對值等于一個正數的數有兩個，絕對值等于0的數有一個，沒有絕對值等于負數的數．③有理數的絕對值都是非負數．（2）如果用字母a表示有理數，則數a絕對值要由字母a本身的取值來確定：①當a是正有理數時，a的絕對值是它本身a；②當a是負有理數時，a的絕對值是它的相反數﹣a；③當a是零時，a的絕對值是零．即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）2．近似數和有效數字（1）有效數字：從一個數的左邊第一個不是0的數字起到末位數字止，所有的數字都是這個數的有效數字．（2）近似數與精確數的接近程度，可以用精確度表示．一般有，精確到哪一位，保留幾個有效數字等說法．（3）規律方法總結：“精確到第幾位”和“有幾個有效數字”是精確度的兩種常用的表示形式，它們實際意義是不一樣的，前者可以體現出誤差值絕對數的大小，而后者往往可以比較幾個近似數中哪個相對更精確一些．3．科學記數法—表示較大的數（1）科學記數法：把一個大于10的數記成a×10n的形式，其中a是整數數位只有一位的數，n是正整數，這種記數法叫做科學記數法．【科學記數法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n為正整數．】（2）規律方法總結：①科學記數法中a的要求和10的指數n的表示規律為關鍵，由于10的指數比原來的整數位數少1；按此規律，先數一下原數的整數位數，即可求出10的指數n．②記數法要求是大于10的數可用科學記數法表示，實質上絕對值大于10的負數同樣可用此法表示，只是前面多一個負號．4．實數與數軸（1）實數與數軸上的點是一一對應關系．任意一個實數都可以用數軸上的點表示；反之，數軸上的任意一個點都表示一個實數．數軸上的任一點表示的數，不是有理數，就是無理數．（2）在數軸上，表示相反數的兩個點在原點的兩旁，并且兩點到原點的距離相等，實數a的絕對值就是在數軸上這個數對應的點與原點的距離．（3）利用數軸可以比較任意兩個實數的大小，即在數軸上表示的兩個實數，右邊的總比左邊的大，在原點左側，絕對值大的反而小．5．實數的運算（1）實數的運算和在有理數范圍內一樣，值得一提的是，實數既可以進行加、減、乘、除、乘方運算，又可以進行開方運算，其中正實數可以開平方．（2）在進行實數運算時，和有理數運算一樣，要從高級到低級，即先算乘方、開方，再算乘除，最后算加減，有括號的要先算括號里面的，同級運算要按照從左到右的順序進行．另外，有理數的運算律在實數范圍內仍然適用．【規律方法】實數運算的“三個關鍵”1．運算法則：乘方和開方運算、冪的運算、指數（特別是負整數指數，0指數）運算、根式運算、特殊三角函數值的計算以及絕對值的化簡等．2．運算順序：先乘方，再乘除，后加減，有括號的先算括號里面的，在同一級運算中要從左到右依次運算，無論何種運算，都要注意先定符號后運算．3．運算律的使用：使用運算律可以簡化運算，提高運算速度和準確度．6．提公因式法與公式法的綜合運用先提取公因式，再對余下的多項式利用完全平方公式繼續分解即可．7．分式的值分式求值歷來是各級考試中出現頻率較高的題型，而條件分式求值是較難的一種題型，在解答時應從已知條件和所求問題的特點出發，通過適當的變形、轉化，才能發現解題的捷徑．8．零指數冪零指數冪：a0＝1（a≠0）由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0）注意：00≠1．9．二次根式有意義的條件判斷二次根式有意義的條件：（1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式．（2）二次根式中被開方數的取值范圍．二次根式中的被開方數是非負數．（3）二次根式具有非負性．（a≥0）是一個非負數．學習要求：能根據二次根式中的被開方數是非負數來確定二次根式被開方數中字母的取值范圍，并能利用二次根式的非負性解決相關問題．【規律方法】二次根式有無意義的條件1．如果一個式子中含有多個二次根式，那么它們有意義的條件是：各個二次根式中的被開方數都必須是非負數．2．如果所給式子中含有分母，則除了保證被開方數為非負數外，還必須保證分母不為零．10．由實際問題抽象出二元一次方程（1）由實際問題列方程是把“未知”轉化為“已知”的重要方法，它的關鍵是把已知量和未知量聯系起來，找出題目中的相等關系．（2）一般來說，有2個未知量就必須列出2個方程，所列方程必須滿足：①方程兩邊表示的是同類量；②同類量的單位要統一；③方程兩邊的數值要相符．（3）找等量關系是列方程的關鍵和難點．常見的一些公式要牢記，如利潤問題，路程問題，比例問題等中的有關公式．11．解二元一次方程組（1）用代入法解二元一次方程組的一般步驟：①從方程組中選一個系數比較簡單的方程，將這個方程組中的一個未知數用含另一個未知數的代數式表示出來．②將變形后的關系式代入另一個方程，消去一個未知數，得到一個一元一次方程．③解這個一元一次方程，求出x（或y）的值．④將求得的未知數的值代入變形后的關系式中，求出另一個未知數的值．⑤把求得的x、y的值用“{”聯立起來，就是方程組的解．（2）用加減法解二元一次方程組的一般步驟：①方程組的兩個方程中，如果同一個未知數的系數既不相等又不互為相反數，就用適當的數去乘方程的兩邊，使某一個未知數的系數相等或互為相反數．②把兩個方程的兩邊分別相減或相加，消去一個未知數，得到一個一元一次方程．③解這個一元一次方程，求得未知數的值．④將求出的未知數的值代入原方程組的任意一個方程中，求出另一個未知數的值．⑤把所求得的兩個未知數的值寫在一起，就得到原方程組的解，用的形式表示．12．由實際問題抽象出二元一次方程組（1）由實際問題列方程組是把“未知”轉化為“已知”的重要方法，它的關鍵是把已知量和未知量聯系起來，找出題目中的相等關系．（2）一般來說，有幾個未知量就必須列出幾個方程，所列方程必須滿足：①方程兩邊表示的是同類量；②同類量的單位要統一；③方程兩邊的數值要相符．（3）找等量關系是列方程組的關鍵和難點，有如下規律和方法：①確定應用題的類型，按其一般規律方法找等量關系．②將問題中給出的條件按意思分割成兩個方面，有“；”時一般“；”前后各一層，分別找出兩個等量關系．③借助表格提供信息的，按橫向或縱向去分別找等量關系．④圖形問題，分析圖形的長、寬，從中找等量關系．13．根的判別式利用一元二次方程根的判別式（△＝b2﹣4ac）判斷方程的根的情況．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與△＝b2﹣4ac有如下關系：①當△＞0時，方程有兩個不相等的兩個實數根；②當△＝0時，方程有兩個相等的兩個實數根；③當△＜0時，方程無實數根．上面的結論反過來也成立．14．解分式方程（1）解分式方程的步驟：①去分母；②求出整式方程的解；③檢驗；④得出結論．（2）解分式方程時，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母為0，所以應如下檢驗：①將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值不為0，則整式方程的解是原分式方程的解．②將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值為0，則整式方程的解不是原分式方程的解．所以解分式方程時，一定要檢驗．15．解一元一次不等式組（1）一元一次不等式組的解集：幾個一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它們所組成的不等式組的解集．（2）解不等式組：求不等式組的解集的過程叫解不等式組．（3）一元一次不等式組的解法：解一元一次不等式組時，一般先求出其中各不等式的解集，再求出這些解集的公共部分，利用數軸可以直觀地表示不等式組的解集．方法與步驟：①求不等式組中每個不等式的解集；②利用數軸求公共部分．解集的規律：同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到．16．坐標與圖形性質1、點到坐標軸的距離與這個點的坐標是有區別的，表現在兩個方面：①到x軸的距離與縱坐標有關，到y軸的距離與橫坐標有關；②距離都是非負數，而坐標可以是負數，在由距離求坐標時，需要加上恰當的符號．2、有圖形中一些點的坐標求面積時，過已知點向坐標軸作垂線，然后求出相關的線段長，是解決這類問題的基本方法和規律．3、若坐標系內的四邊形是非規則四邊形，通常用平行于坐標軸的輔助線用“割、補”法去解決問題．17．一次函數圖象與系數的關系由于y＝kx+b與y軸交于（0，b），當b＞0時，（0，b）在y軸的正半軸上，直線與y軸交于正半軸；當b＜0時，（0，b）在y軸的負半軸，直線與y軸交于負半軸．①k＞0，b＞0?y＝kx+b的圖象在一、二、三象限；②k＞0，b＜0?y＝kx+b的圖象在一、三、四象限；③k＜0，b＞0?y＝kx+b的圖象在一、二、四象限；④k＜0，b＜0?y＝kx+b的圖象在二、三、四象限．18．一次函數圖象與幾何變換直線y＝kx+b，（k≠0，且k，b為常數）①關于x軸對稱，就是x不變，y變成﹣y：﹣y＝kx+b，即y＝﹣kx﹣b；（關于X軸對稱，橫坐標不變，縱坐標是原來的相反數）②關于y軸對稱，就是y不變，x變成﹣x：y＝k（﹣x）+b，即y＝﹣kx+b；（關于y軸對稱，縱坐標不變，橫坐標是原來的相反數）③關于原點對稱，就是x和y都變成相反數：﹣y＝k（﹣x）+b，即y＝kx﹣b．（關于原點軸對稱，橫、縱坐標都變為原來的相反數）19．反比例函數圖象上點的坐標特征反比例函數y＝k/x（k為常數，k≠0）的圖象是雙曲線，①圖象上的點（x，y）的橫縱坐標的積是定值k，即xy＝k；②雙曲線是關于原點對稱的，兩個分支上的點也是關于原點對稱；③在y＝k/x圖象中任取一點，過這一個點向x軸和y軸分別作垂線，與坐標軸圍成的矩形的面積是定值|k|．20．二次函數的性質二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的頂點坐標是（﹣，），對稱軸直線x＝﹣，二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象具有如下性質：①當a＞0時，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的開口向上，x＜﹣時，y隨x的增大而減小；x＞﹣時，y隨x的增大而增大；x＝﹣時，y取得最小值，即頂點是拋物線的最低點．②當a＜0時，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的開口向下，x＜﹣時，y隨x的增大而增大；x＞﹣時，y隨x的增大而減小；x＝﹣時，y取得最大值，即頂點是拋物線的最高點．③拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象可由拋物線y＝ax2的圖象向右或向左平移|﹣|個單位，再向上或向下平移||個單位得到的．21．二次函數圖象上點的坐標特征二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象是拋物線，頂點坐標是（﹣，）．①拋物線是關于對稱軸x＝﹣成軸對稱，所以拋物線上的點關于對稱軸對稱，且都滿足函數函數關系式．頂點是拋物線的最高點或最低點．②拋物線與y軸交點的縱坐標是函數解析中的c值．③拋物線與x軸的兩個交點關于對稱軸對稱，設兩個交點分別是（x1，0），（x2，0），則其對稱軸為x＝．22．二次函數的應用（1）利用二次函數解決利潤問題在商品經營活動中，經常會遇到求最大利潤，最大銷量等問題．解此類題的關鍵是通過題意，確定出二次函數的解析式，然后確定其最大值，實際問題中自變量x的取值要使實際問題有意義，因此在求二次函數的最值時，一定要注意自變量x的取值范圍．（2）幾何圖形中的最值問題幾何圖形中的二次函數問題常見的有：幾何圖形中面積的最值，用料的最佳方案以及動態幾何中的最值的討論．（3）構建二次函數模型解決實際問題利用二次函數解決拋物線形的隧道、大橋和拱門等實際問題時，要恰當地把這些實際問題中的數據落實到平面直角坐標系中的拋物線上，從而確定拋物線的解析式，通過解析式可解決一些測量問題或其他問題．23．歐拉公式（1）簡單多面體的頂點數V、面數F及棱數E間的關系為：V+F﹣E＝2．這個公式叫歐拉公式．公式描述了簡單多面體頂點數、面數、棱數特有的規律．（2）V+F﹣E＝X（P），V是多面體P的頂點個數，F是多面體P的面數，E是多面體P的棱的條數，X（P）是多面體P的歐拉示性數．24．全等三角形的判定與性質（1）全等三角形的判定是結合全等三角形的性質證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關鍵是選擇恰當的判定條件．（2）在應用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當輔助線構造三角形．25．角平分線的性質角平分線的性質：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．注意：①這里的距離是指點到角的兩邊垂線段的長；②該性質可以獨立作為證明兩條線段相等的依據，有時不必證明全等；③使用該結論的前提條件是圖中有角平分線，有垂直角平分線的性質語言：如圖，∵C在∠AOB的平分線上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE26．線段垂直平分線的性質（1）定義：經過某一條線段的中點，并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線（中垂線）垂直平分線，簡稱“中垂線”．（2）性質：①垂直平分線垂直且平分其所在線段．②垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等．③三角形三條邊的垂直平分線相交于一點，該點叫外心，并且這一點到三個頂點的距離相等．27．等邊三角形的性質（1）等邊三角形的定義：三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，等邊三角形是特殊的等腰三角形．①它可以作為判定一個三角形是否為等邊三角形的方法；②可以得到它與等腰三角形的關系：等邊三角形是等腰三角形的特殊情況．在等邊三角形中，腰和底、頂角和底角是相對而言的．（2）等邊三角形的性質：等邊三角形的三個內角都相等，且都等于60°．等邊三角形是軸對稱圖形，它有三條對稱軸；它的任意一角的平分線都垂直平分對邊，三邊的垂直平分線是對稱軸．28．等邊三角形的判定與性質（1）等邊三角形是一個非常特殊的幾何圖形，它的角的特殊性給有關角的計算奠定了基礎，它的邊角性質為證明線段、角相等提供了便利條件．同是等邊三角形又是特殊的等腰三角形，同樣具備三線合一的性質，解題時要善于挖掘圖形中的隱含條件廣泛應用．（2）等邊三角形的特性如：三邊相等、有三條對稱軸、一邊上的高可以把等邊三角形分成含有30°角的直角三角形、連接三邊中點可以把等邊三角形分成四個全等的小等邊三角形等．（3）等邊三角形判定最復雜，在應用時要抓住已知條件的特點，選取恰當的判定方法，一般地，若從一般三角形出發可以通過三條邊相等判定、通過三個角相等判定；若從等腰三角形出發，則想法獲取一個60°的角判定．29．三角形綜合題涉及到的知識點比較多，如全等三角形的證明，三角形的相似、解直角三角形，銳角三角函數以及與四邊形的綜合考查30．平行四邊形的性質（1）平行四邊形的概念：有兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形．（2）平行四邊形的性質：①邊：平行四邊形的對邊相等．②角：平行四邊形的對角相等．③對角線：平行四邊形的對角線互相平分．（3）平行線間的距離處處相等．（4）平行四邊形的面積：①平行四邊形的面積等于它的底和這個底上的高的積．②同底（等底）同高（等高）的平行四邊形面積相等．31．菱形的性質（1）菱形的性質①菱形具有平行四邊形的一切性質；②菱形的四條邊都相等；③菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；④菱形是軸對稱圖形，它有2條對稱軸，分別是兩條對角線所在直線．（2）菱形的面積計算①利用平行四邊形的面積公式．②菱形面積＝ab．（a、b是兩條對角線的長度）32．矩形的判定與性質（1）關于矩形，應從平行四邊形的內角的變化上認識其特殊性：一個內角是直角的平行四邊形，進一步研究其特有的性質：是軸對稱圖形、內角都是直角、對角線相等．同時平行四邊形的性質矩形也都具有．在處理許多幾何問題中，若能靈活運用矩形的這些性質，則可以簡捷地解決與角、線段等有關的問題．（2）下面的結論對于證題也是有用的：①△OAB、△OBC都是等腰三角形；②∠OAB＝∠OBA，∠OCB＝∠OBC；③點O到三個頂點的距離都相等．33．垂徑定理（1）垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧．（2）垂徑定理的推論推論1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧．推論2：弦的垂直平分線經過圓心，并且平分弦所對的兩條弧．推論3：平分弦所對一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧．34．圓周角定理（1）圓周角的定義：頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角．注意：圓周角必須滿足兩個條件：①頂點在圓上．②角的兩條邊都與圓相交，二者缺一不可．（2）圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．（3）在解圓的有關問題時，常常需要添加輔助線，構成直徑所對的圓周角，這種基本技能技巧一定要掌握．（4）注意：①圓周角和圓心角的轉化可通過作圓的半徑構造等腰三角形．利用等腰三角形的頂點和底角的關系進行轉化．②圓周角和圓周角的轉化可利用其“橋梁”﹣﹣﹣圓心角轉化．③定理成立的條件是“同一條弧所對的”兩種角，在運用定理時不要忽略了這個條件，把不同弧所對的圓周角與圓心角錯當成同一條弧所對的圓周角和圓心角．35．切線的判定與性質（1）切線的性質①圓的切線垂直于經過切點的半徑．②經過圓心且垂直于切線的直線必經過切點．③經過切點且垂直于切線的直線必經過圓心．（2）切線的判定定理：經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．（3）常見的輔助線的：①判定切線時“連圓心和直線與圓的公共點”或“過圓心作這條直線的垂線”；②有切線時，常常“遇到切點連圓心得半徑”．36．正多邊形和圓（1）正多邊形與圓的關系把一個圓分成n（n是大于2的自然數）等份，依次連接各分點所得的多邊形是這個圓的內接正多邊形，這個圓叫做這個正多邊形的外接圓．（2）正多邊形的有關概念①中心：正多邊形的外接圓的圓心叫做正多邊形的中心．②正多邊形的半徑：外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑．③中心角：正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角．④邊心距：中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距．37．圓的綜合題考查的知識點比較多，一般考查垂徑定理、