2024年初一上冊數學專項練習有理數的加減法（提高）【學習目標】1．掌握有理數加法的意義，法則及運算律，并會使用運算律簡算；2．掌握有理數減法的法則和運算技巧，認識減法與加法的內在聯系，體會其中蘊含的轉化的思想；3．熟練地將加減混合運算統一成加法運算，理解運算符號和性質符號的意義，運用加法運算律合理簡算，并且會解決簡單的實際問題.【要點梳理】要點一、有理數的加法1.定義：把兩個有理數合成一個有理數的運算叫作有理數的加法．2.法則：（1）同號兩數相加，取相同的符號，并把絕對值相加；（2）絕對值不相等的異號兩數相加，取絕對值較大的加數的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值．互為相反數的兩個數相加得0；（3）一個數同0相加，仍得這個數．要點詮釋：利用法則進行加法運算的步驟：(1)判斷兩個加數的符號是同號、異號，還是有一個加數為零，以此來選擇用哪條法則．(2)確定和的符號(是“+”還是“－”)．(3)求各加數的絕對值，并確定和的絕對值(加數的絕對值是相加還是相減)．3.運算律：有理數加法運算律加法交換律文字語言兩個數相加，交換加數的位置，和不變符號語言a+b＝b+a加法結合律文字語言三個數相加，先把前兩個數相加，或者先把后兩個數相加，和不變符號語言(a+b)+c＝a+(b+c)要點詮釋：交換加數的位置時，不要忘記符號．要點二、有理數的減法1.定義：已知兩個數的和與其中一個加數，求另一個加數的運算，叫做減法，例如：(-5)+?＝7，求？，減法是加法的逆運算．要點詮釋：（1）任意兩個數都可以進行減法運算．（2）幾個有理數相減，差仍為有理數，差由兩部分組成：①性質符號；②數字即數的絕對值．2.法則：減去一個數，等于加這個數的相反數，即有：．要點詮釋：將減法轉化為加法時，注意同時進行的兩變，一變是減法變加法；二變是把減數變為它的相反數”．如：要點三、有理數加減混合運算將加減法統一成加法運算，適當應用加法運算律簡化計算.【典型例題】類型一、有理數的加法運算 1．閱讀下題的計算方法．計算．解：原式===0+（﹣）=﹣上面這種解題方法叫做拆項法，按此方法計算：．【思路點撥】根據拆項法，可把整數結合在一起，分數結合在一起，再根據有理數的加法，可得答案．【答案與解析】解：原式=[（﹣2011）+（﹣）]+[（﹣2010）+（﹣）]+[4022+]+[（﹣1）+（﹣）]=[（﹣2011）+（﹣2010）+4022+（﹣1）]+[（﹣）+（﹣）++（﹣）]=0+（﹣）=﹣．【總結升華】本題考查了有理數的加法，拆項法是解題關鍵．舉一反三：【變式1】計算：(1)-7+10；(2)(-)+(-7.3)；(3)1+(-2)；(4)7+(-3.8)+(-7.2)【答案】（1）原式=；（2）原式=；（3）原式=；（4）原式=【變式2】計算：【答案】【變式3】計算：．【答案】解法一：→同號的數一起先加．解法二：→同分母，互為相反數的數，或幾個數可以湊整的數分別結合相加．類型二、有理數的減法運算2．(1)2-(-3)；(2)0-(-3.72)-(+2.72)-(-4)；(3)．【思路點撥】此題是有理數的減法運算，先按照減法法則將減法轉化為加法，再按照有理數的加法進行計算．【答案與解析】本題可直接利用有理數的減法法則進行計算．(1)2-(-3)＝2+3＝5(2)原式＝0+3.72+(-2.72)+4＝(0+4)+(3.72-2.72)＝4+1＝5（3）原式=【總結升華】算式中的“+”或“-”既可以看作運算符號按法則進行計算，也可以看作是性質符號按多重符號化簡進行計算.類型三、有理數的加減混合運算3．計算：（1）-3.72-1.23+4.18-2.93-1.25+3.72；（2）11-12+13-15+16-18+17；（3）（4）（5）；（6）【答案與解析】（1）觀察各個加數，可以發現-3.72與3.72互為相反數，把它們分為一組；4.18、-2.93與-1.25的和為0，把它們分為一組可使計算簡便．解：-3.72-1.23+4.18-2.93-1.25+3.72＝(-3.72+3.72)+(4.18-2.93-1.25)-1.23＝0+0-1.23＝-1.23（2）把正數和負數分別分為一組．解：11-12+13-15+16-18+17＝(11+13+16+17)+(-12-15-18)＝57+(-45)＝12（3）仔細觀察各個加數，可以發現兩個小數的和是-1，兩個整數的和是29，三個分數通分后也不難算．故把整數、分數、小數分別分為一組．解：（4）3.46和1.54的和為整數,把它們分為一組；-3.87與3.37的和為-0.5，把它們分為一組；與易于通分，把它們分為一組；與同分母，把它們分為一組．解：（5）先把整數分離后再分組．解：注：帶分數中的整數與分數分離時，如果這個數是負數，那么分離得到的整數與分數都是負數，例如．（6）如果按小數、整數分組，效果似乎不是很好．可先將小數和分數統一后再考慮分組．解：【總結升華】計算多個有理數相加時，必須先審題，分析特點，尋找規律，然后再去計算．注意在交換加數的位置時，要連同符號一起交換.舉一反三：【變式】5.6+[0.9+4.4﹣（﹣8.1）]．【答案】解：原式=5.6+0.9+4.4+8.1=19．類型四、有理數的加減混合運算在實際中的應用4.“九宮圖”傳說是遠古時代洛河中的一個神龜背上的圖案，故又稱“龜背圖”，中國古代數學史上經常研究這一神話．（1）現有1，2，3，4，5，6，7，8，9共九個數字，請將它們分別填入圖1的九個方格中，使得第行的三個數、每列的三個數、斜對角的三個數之和都等于15；（2）通過研究問題（1），利用你發現的規律，將3，5，﹣7，1，7，﹣3，9，﹣5，﹣1這九個數字分別填入圖2的九個方格中，使得橫、豎、斜對角的所有三個數的和都相等．【答案與解析】解：（1）15÷3=5，∴最中間的數是5，其它空格填寫如圖1；（2）如圖2所示．【總結升華】本題考查了有理數加法，熟知“九宮圖”的填法是解題的關鍵．舉一反三：【變式】某產糧專業戶出售糧食8袋，每袋重量(單位：千克)如下：197，202，197，203，200，196，201，198．計算出售的糧食總共多少千克?【答案】法一：以200(千克)為基準，超過的千克數記作正數，不足的千克數記作負數，則這8個數的差的累計是：(-3)+(+2)+(-3)+(+3)+0+(-4)+(+1)+(-2)＝-6200×8+(-6)＝1594(千克)答：出售的糧食共1594千克．法二：197+202+197+203+200+196+201+198＝1594(千克)答：出售的糧食共1594千克．有理數的乘除（基礎）【學習目標】1．會根據有理數的乘法法則進行乘法運算，并運用相關運算律進行簡算；2.理解乘法與除法的逆運算關系，會進行有理數除法運算；3.鞏固倒數的概念，能進行簡單有理數的加、減、乘、除混合運算；4.培養觀察、分析、歸納及運算能力.【要點梳理】要點一、有理數的乘法1.有理數的乘法法則：（1）兩數相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘；（2）任何數同0相乘，都得0．要點詮釋：(1)不為0的兩數相乘，先確定符號，再把絕對值相乘．（2）當因數中有負號時，必須用括號括起來，如-2與-3的乘積，應列為(-2)×(-3)，不應該寫成-2×-3．2.有理數的乘法法則的推廣：（1）幾個不等于0的數相乘，積的符號由負因數的個數決定．當負因數有奇數個時，積為負；當負因數的個數有偶數個時，積為正；（2）幾個數相乘，如果有一個因數為0，那么積就等于0．要點詮釋：（1）在有理數的乘法中，每一個乘數都叫做一個因數．(2)幾個不等于0的有理數相乘，先根據負因數的個數確定積的符號，然后把各因數的絕對值相乘．(3)幾個數相乘，如果有一個因數為0，那么積就等于0．反之，如果積為0，那么至少有一個因數為0．3.有理數的乘法運算律：（1）乘法交換律：兩個數相乘，交換因數的位置，積相等，即：ab＝ba．（2）乘法結合律：三個數相乘，先把前兩個數相乘，或者先把后兩個數相乘，積相等．即：abc＝(ab)c＝a(bc)．（3）乘法分配律：一個數同兩個數的和相乘，等于把這個數分別同這兩個數相乘，再把積相加．即：a(b+c)＝ab+ac．要點詮釋：（1）在交換因數的位置時，要連同符號一起交換．（2）乘法運算律可推廣為：三個以上的有理數相乘，可以任意交換因數的位置，或者把其中的幾個因數相乘．如abcd＝d(ac)b．一個數同幾個數的和相乘，等于把這個數分別同這幾個數相乘，再把積相加．如a(b+c+d)＝ab+ac+ad．（3）運用運算律的目的是“簡化運算”，有時，根據需要可以把運算律“順用”，也可以把運算律“逆用”．要點二、有理數的除法1.倒數的意義：乘積是1的兩個數互為倒數．要點詮釋：(1)“互為倒數”的兩個數是互相依存的.如-2的倒數是，-2和是互相依存的；(2)0和任何數相乘都不等于1，因此0沒有倒數；(3)倒數的結果必須化成最簡形式，使分母中不含小數和分數；(4)互為倒數的兩個數必定同號(同為正數或同為負數)．2.有理數除法法則：法則一：除以一個不等于0的數，等于乘這個數的倒數，即.法則二：兩數相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除．0除以任何一個不等于0的數，都得0.要點詮釋：（1）一般在不能整除的情況下應用法則一，在能整除時應用法則二方便些．（2）因為0沒有倒數，所以0不能當除數．（3）法則二與有理數乘法法則相似，兩數相除時先確定商的符號，再確定商的絕對值．要點三、有理數的乘除混合運算由于乘除是同一級運算，應按從左往右的順序計算，一般先將除法化成乘法，然后確定積的符號，最后算出結果．要點四、有理數的加減乘除混合運算有理數的加減乘除混合運算，如無括號，則按照“先乘除，后加減”的順序進行，如有括號，則先算括號里面的．【典型例題】類型一、有理數的乘法運算 1．算式（﹣1）×（﹣3）×之值為何？（） A． B． C． D． 【思路點撥】根據有理數的乘法法則，先確定符號，然后把絕對值相乘即可【答案】D．【解析】解：原式=××=.【總結升華】本題考查的是有理數的乘法，掌握乘法法則是解題的關鍵，計算時，先確定符號，然后把絕對值相乘．2.(1)；(2)(1-2)(2-3)(3-4)…(19-20)；(3)(-5)×(-8.1)×3.14×0．【答案與解析】幾個不等于零的數相乘，首先確定積的符號，然后把絕對值相乘．因數是小數的要化為分數，是帶分數的通?；癁榧俜謹担员隳芗s分．幾個數相乘，有一個因數為零，積就為零．(1)；(2)(1-2)(2-3)(3-4)…(19-20)；(3)(-5)×(-8.1)×3.14×0＝0．【總結升華】幾個不等于零的數相乘，積的符號由負因數的個數確定，與正因數的個數無關．當因數中有一個數為0時，積為0．3.運用簡便方法計算：(1)(2)(-0.25)×0.5×(-100)×4(3)【思路點撥】(1)根據題目特點，可以把折成，再運用乘法分配律進行計算．(2)運用乘法結合律，把第1、4個因式結合在一起．(3)逆用乘法分配律：ab+ac＝a(b+c)．【答案與解析】解：(1)（分配律）(2)(-0.25)×0.5×(-100)×4＝（-4×0.25）×[0.5×(-100)]（交換律）＝-1×(-50)＝50（結合律）(3)（逆用乘法的分配律）【總結升華】首先要觀察幾個因數之間的關系和特點．適當運用“湊整法”進行交換和結合．舉一反三：【變式1】計算16.8×+7.6×的結果是．【答案】7．解：原式=8.4×=（8.4+7.6）×=16×=7．【變式2】；【答案】（類型二、有理數的除法運算4．計算：(1)(-32)÷(-8)（2）【答案與解析】(1)(-32)÷(-8)＝+(32÷8)=4……用法則二進行計算．(2)……用法則一進行計算．【總結升華】(1)乘法、除法的符號法則是一致的，兩數相乘除，同號得正，異號得負；(2)除法的兩個法則是一致的，應學會靈活選擇．舉一反三：【變式】計算：（1）【答案】原式類型三：有理數的乘除混合運算5.計算：（﹣2）×．【思路點撥】原式利用除法法則變形，約分即可得到結果．【答案與解析】解：原式=2××3×3=9．【總結升華】此題考查了有理數的乘除法，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．舉一反三：【變式1】計算：(-9)÷(-4)÷(-2)【答案】(-9)÷(-4)÷(-2)＝-9÷4÷2＝【變式2】計算：(1)(2)【答案】(1)(2)類型四、有理數的加減乘除混合運算6.計算（1）；（2）【答案與解析】（1）=6-2+9-5=8（2）法1：原式=法2：由（1）知：，所以【總結升華】除法沒有分配律，在進行有理數的除法運算時，若除數是和的形式，一般先算括號內的，然后再進行除法運算，也可以仿照方法2利用倒數關系巧妙解決．舉一反三：【變式】【答案】原式類型五：利用有理數的加減乘除，解決實際問題7.氣象統計資料表明，高度每增加1000米，氣溫就降低6℃．如果現在地面的氣溫是27℃，那么8000米的高空的氣溫大約是多少?【思路點撥】解決此題的關鍵是明確高度變化與氣溫變化的關系．由于“高度每增加1000米，氣溫就降低6℃”，8000米的高空比地面高度增加8000米，因此氣溫降低6×8＝48℃，由此便可求出高空的氣溫．【答案與解析】解：(℃)因此8000米的高空的氣溫大約是-21℃．【總結升華】本題是生活實際中的問題，關鍵是讀懂題意，弄清各數量之間的關系，再列出正確的算式．有理數的乘除（提高）【學習目標】1．會根據有理數的乘法法則進行乘法運算，并運用相關運算律進行簡算；2.理解乘法與除法的逆運算關系，會進行有理數除法運算；3.鞏固倒數的概念，能進行簡單有理數的加、減、乘、除混合運算；4.培養觀察、分析、歸納及運算能力.【要點梳理】要點一、有理數的乘法1.有理數的乘法法則：（1）兩數相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘；（2）任何數同0相乘，都得0．要點詮釋：(1)不為0的兩數相乘，先確定符號，再把絕對值相乘．（2）當因數中有負號時，必須用括號括起來，如-2與-3的乘積，應列為(-2)×(-3)，不應該寫成-2×-3．2.有理數的乘法法則的推廣：（1）幾個不等于0的數相乘，積的符號由負因數的個數決定．當負因數有奇數個時，積為負；當負因數的個數有偶數個時，積為正；（2）幾個數相乘，如果有一個因數為0，那么積就等于0．要點詮釋：（1）在有理數的乘法中，每一個乘數都叫做一個因數．(2)幾個不等于0的有理數相乘，先根據負因數的個數確定積的符號，然后把各因數的絕對值相乘．(3)幾個數相乘，如果有一個因數為0，那么積就等于0．反之，如果積為0，那么至少有一個因數為0．3.有理數的乘法運算律：（1）乘法交換律：兩個數相乘，交換因數的位置，積相等，即：ab＝ba．（2）乘法結合律：三個數相乘，先把前兩個數相乘，或者先把后兩個數相乘，積相等．即：abc＝(ab)c＝a(bc)．（3）乘法分配律：一個數同兩個數的和相乘，等于把這個數分別同這兩個數相乘，再把積相加．即：a(b+c)＝ab+ac．要點詮釋：（1）在交換因數的位置時，要連同符號一起交換．（2）乘法運算律可推廣為：三個以上的有理數相乘，可以任意交換因數的位置，或者把其中的幾個因數相乘．如abcd＝d(ac)b．一個數同幾個數的和相乘，等于把這個數分別同這幾個數相乘，再把積相加．如a(b+c+d)＝ab+ac+ad．（3）運用運算律的目的是“簡化運算”，有時，根據需要可以把運算律“順用”，也可以把運算律“逆用”．要點二、有理數的除法1.倒數的意義：乘積是1的兩個數互為倒數．要點詮釋：(1)“互為倒數”的兩個數是互相依存的.如-2的倒數是，-2和是互相依存的；(2)0和任何數相乘都不等于1，因此0沒有倒數；(3)倒數的結果必須化成最簡形式，使分母中不含小數和分數；(4)互為倒數的兩個數必定同號(同為正數或同為負數)．2.有理數除法法則：法則一：除以一個不等于0的數，等于乘這個數的倒數，即.法則二：兩數相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除．0除以任何一個不等于0的數，都得0.要點詮釋：（1）一般在不能整除的情況下應用法則一，在能整除時應用法則二方便些．（2）因為0沒有倒數，所以0不能當除數．（3）法則二與有理數乘法法則相似，兩數相除時先確定商的符號，再確定商的絕對值．要點三、有理數的乘除混合運算由于乘除是同一級運算，應按從左往右的順序計算，一般先將除法化成乘法，然后確定積的符號，最后算出結果．要點四、有理數的加減乘除混合運算有理數的加減乘除混合運算，如無括號，則按照“先乘除，后加減”的順序進行，如有括號，則先算括號里面的．【典型例題】類型一、有理數的乘法運算 1．計算：(1)；(2)(1-2)(2-3)(3-4)…(19-20)；(3)(-5)×(-8.1)×3.14×0．【答案與解析】幾個不等于零的數相乘，首先確定積的符號，然后把絕對值相乘．因數是小數的要化為分數，是帶分數的通常化為假分數，以便能約分．幾個數相乘，有一個因數為零，積就為零．(1)；(2)(1-2)(2-3)(3-4)…(19-20)；(3)(-5)×(-8.1)×3.14×0＝0．【總結升華】幾個不等于零的數相乘，積的符號由負因數的個數確定，與正因數的個數無關．當因數中有一個數為0時，積為0．但注意第一個負因數可以不用括號，但是后面的負因子必須加括號.2.簡便計算：（1）（﹣48）×0.125+48×（2）（）×（﹣36）【思路點撥】（1）利用乘法的分配律先提取48，再進行計算即可得出答案；（2）運用乘法分配律進行計算即．【答案與解析】解：（1）（﹣48）×0.125+48×=48×（﹣+﹣）=48×0=0；（2）（）×（﹣36）=﹣20+27﹣2=5．【總結升華】此題考查了有理數的乘法，用到的知識點是乘法的分配律，解題的關鍵是運用乘法分配律進行計算．舉一反三：【變式】用簡便方法計算：(1)；(2)．【答案】（1）原式．(2)＝(-3.14)×35.2+(-3.14)×2×23.3+(-3.14)×18.2＝-3.14×(35.2+46.6+18.2)＝-3.14×100＝-314．類型二