2020-2021學年新鄉市高二上學期期末數學試卷（理科）

一、單選題（本大題共12小題，共60.0分）

1.下列說法中錯誤的是（）

A.命題“Vx>l,x2-x>0"的否定是'勺與>1，就一與《0"

B.在44BC中，A<BsinA<sinBQcosA>cosB

C.已知某6個數據的平均數為3,方差為2,現又加入一個新數據3,則此時這7個數的平均數和

方差不變

D.從裝有完全相同的4個紅球和2個黃球的盒子中任取2個小球，則事件“至多一個紅球”與

“都是紅球”互斥且對立

2.設集合力={-2,-1,0,1)-B=(x\-2<x<2],則4nB=()

A.{-2,-1,0,1}B.{-1,0,1）C.{0,1}D.{0,1,2）

3.下列全稱量詞命題的否定是假命題的個數是（）

①所有能被3整除的數都能被6整除；

②所有實數的絕對值是正數；

③三角形的外角至少有兩個鈍角.

A.0B.1C.2D.3

4.在△ABC中，sin?：=愛，則AABC的形狀為（）

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.等腰三角形

5.有一人患了流感，經過兩輪傳染后超過100人患了流感，若設每輪傳染中平均一個人傳染了x個

人，那么萬滿足的不等關系為（）

A.x（l+%）>100B.1+x（l+%）>100

C.%+x（l+%）>100D.1+%+x（l4-x）>100

6.如圖，M,N分別是四面體045C的棱04,BC的中點，點P在MN上且

滿足麗=|而，若訕=為，OB=b，OC=c，則與前相等的向量

是（）

A.-a+-b+-c

336

B.^a+^b+^c

366

c.3+M+》

663

D.）+箝+》

633

7.在實數集R中定義一種運算，具有性質：①對任意a、b6R,aOb=b。a；②aO0=a；

③對任意a、bGR,（aOfe）Oc=（ab）。c+（a0c）+（b。c）-2c,則函數/（x）=x0

；（%>0）的最小值是（）

A.2B.3C.3A/2D.2企

8.已知正三棱柱ABC中，AB=44「M是CC1的中點，則異面直線AM與所成角的大

小為（）

A.B.JC.D.7

9.在數列｛即｝中，對任意nGN*,若存在常數心，A2，…，廄，使得與+k=^an+k-i+^n+k-2+

…+Afcan（A,H0,i=1,2,...★）恒成立，則稱數列｛即｝為那介數列.

①若斯=2%則數列｛即｝為1階數列；

②若斯=2n+1,則數列｛冊｝為2階數列;

③若即=聲，則數列｛斯｝為3階數列；

以上結論正確的序號是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

10.已知拋物線C：/=x與直線？了=七+1,“小00”是“直線1與拋物線。有兩個不同交點

的（）

A.充要條件B.既不充分也不必要條件

C.充分不必要條件D.必要不充分條件;

11.在△4C中，若2,b=2V3，B=60,則角4的小為（）

A.30°B,60°C.30。或150。D.60。或120°

12.拋物線/=的焦點坐標是（）

A.（0i）B.（0，bC.d，0）D.（J,0）

二、單空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.在AABC中，a,b,c是角4,B,C所對的邊，a=2b,C=60°,則8=

14.己知等比數列麻J的前項和為題.=卻整則畬=

15.邊長為2的菱形4BCZ)中，4BCD=60。,將△28。沿BD折起，使得平面ABDJL平面BCD,則二

面角力-BC-。的余弦值為.

2

16.Fi、尸2分別為橢圓器+y2=1的左、右焦點，P為該橢圓上一點，且N&P4=60°,則的

內切圓半徑等于.

三、解答題(本大題共6小題，共72.0分)

17.已知P：實數x滿足-4ax+3a2<0,其中a<0；q：實數%滿足/+5x+4<0,且p是q的

充分條件，求a的取值范圍.

18.在①tcmB=2tanC>@3b2—a2=12,(3)bcosC=2ccosB三個條件中任選一個，補充在下面

問題中的橫線上，并解決該問題.

問題：己知AABC的內角A,B,C及其對邊a,b,c,若c=2,且滿足,求△ABC的面積的最

大值.

19.已知等比數列｛斯｝的公比為q(q豐1),前n項和為S“，滿足：S4=120,2a2是3al與的等差中

項.數列｛4｝的前n項和為〃，且bn=

(1)求0n與％；

(2)證明：［W*+*+…+*<|.

J*1*2ln§

20.已知拋物線G的方程為、=a/g>0),圓C2的方程為/+(y+=5,直線小y=2%+

小(巾<0)是6、。2的公切線.尸是G的焦點.

(1)求nr與a的值；

(2)設4是Ci上的一動點，以4為切點的G的切線/交y軸于點8,設麗=同+而，證明：點M在一定

直線上.

21.如圖，在四棱錐P-4BCC中，底面4BCD為正方形，且正方形

ABCD邊長為2,PAL^^ABCD,PA=AB,E為線段PB的中

點，F為線段BC上的動點.

(1)求證：AE平面PBC；

(2)試確定點F的位置，使平面4EF與平面PCD所成的銳二面角為30。.

22.己知橢圓烈::且離心率駕

誓

(I)求橢圓T的標準方程;

(口)若直線F:解.書題1與橢圓。相交于，通，廨兩點(四驍不是左右頂點)，橢圓的右頂點為

且滿足蒸混感羸=勉，試判斷直線之是否過定點，若過定點，求出該定點的坐標；若不過定點,

請說明理由。

參考答案及解析

1.答案：c

解析：解：命題“Vx>l,/-x>0”的否定是“比0>1,詔—々SO”滿足命題的否定形式，

所以4確；

A>則a>b,利用正弦定理可得a=2rsin4,b=2rsinB,故sin/>s譏B.由同角三角函數的基

本關系可得cos/<cosB,所以6正確；

這6個數的平均數為3,方差為2

現又加入一個新數據3,此時這7個數的平均數為3,方差為2x7x；=g所以C不正確；

OO

從裝有完全相同的4個紅球和2個黃球的盒子中任取2個小球，則事件“至多一個紅球”包含：事件:

沒有紅球和事件，只有一個紅球；與“都是紅球”互斥且對立，所以。正確；

故選：C.

利用命題的否定判斷4正弦定理判斷B；方差與均值判斷C；互斥事件與獨立事件判斷D.

本題考查命題的真假的判斷與應用，涉及命題的否定，正弦定理期望與方差，互斥事件與對立事件，

是基本知識的考查.

2.答案：B

解析：解：集合4={-2,-1,0,1},B={x|-2<x<2},

：.AC\B={-1,0,1).

故選：B.

利用交集定義直接求解.

本題考查交集的求法，考查交集定義等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題.

3.答案:B

解析：解：①該命題的否定：存在能被3整除的數不能被6整除”，

如3是能被3整除，不能被6整除的數，這是一個真命題；

②該命題的否定：3x=0G/?,|0|=0,不是正數，這是一個真命題；

③該命題的否定：存在一個三角形，其外角最多有一個鈍角，這是一個假命題.

故選：B.

寫出命題的否定形式，判斷真假即可.

本題考查命題的真假的判斷與應用，是基礎題.

4.答案:B

解析：解：?.?sin2:=^=^,^cosB=^,

二由余弦定理可得：cosB=2=工法，

c2ac

???整理可得=?2,

??.三角形是直角三角形.

故選:B.

直接利用二倍角的余弦函數以及余弦定理化簡求解即可判斷三角形的形狀.

本題考查三角形形狀的判斷，余弦定理以及二倍角公式的應用，考查計算能力，屬于基礎題.

5.答案：D

解析：解：若每輪傳染中平均一個人傳染了x個人，

則經過第一輪后有(1+x)個人患了流感，

經過第二輪后有［(1+x)+%(1+%)］個人患了流感，

(1+x)+x(l+x)>100,

故選：D.

分析出經過第一輪后有(1+x)個人患了流感，經過第二輪后有［(1+x)+x(l+x)］個人患了流感，

即可求解.

本題考查一元二次不等式的應用，屬于基礎題.

6.答案：D

解析：解：???M,N分別是四面體OABC的棱。4BC的中點，

.-.OM=^0A,ON=^(0B+0C').

MP=-MN,

3

?■OP=0M+-ON--0M=-0M+-ON=-a+-b+-c.

3333633

故選：D.

M,N分別是四面體0aBe的棱04,BC的中點，可得而=［成，而=)而+元).由麗=|麗,

利用向量的三角形法則、線性運算即可得出.

本題考查了向量的線性運算、向量的三角形法則與平行四邊形法則，考查了計算能力，屬于基礎題.

7.答案：B

解析：

本題給出新定義，求函數”X)的最小值.著重考查了利用基本不等式求最值、函數的解析式求法和

簡單的合情推理等知識，屬于中檔題.

根據題中給出的對應法則，可得/(x)=(x0》0O=l+x+3利用基本不等式求最值可得x+2

；2,當且僅當x=1時等號成立，由此可得函數/(x)的最小值為/(1)=3.

解：根據題意，得

11111

/(%)=%0_=(xO-)00=0?(%--)+(%O0)+(-O0)-2xO=14-x+-

XXXXX

即/(x)=1+x+1，

x>0,可得％+工22,當且僅當x=1時等號成立，

x

所以可得函數/(x)的最小值為/(I)=3.

故選B.

8.答案：D

解析：解：取BC的中點0,連接40,建立空間直角坐標系如圖:

設4B=AAi=2,則OB=0C=1,0A=通,

即力(V5,0,0)，B(O.l.O),41(75,0,2),

則俞=(一四,一1,1)，A^B=(-V3.1.-2).

則福?碩=(-V3,-l,l)?(-V3,1,-2)=3-1-2=0.

即而1項，貝必°

即異面直線4M與2$所成角的大小為a’>

故選：D.

建立空間坐標系，求出點的坐標，利用向量法進行求解即可.

本題主要考查空間異面直線所成角的計算，建立坐標系，求出點的坐標，利用向量法是解決本題的

關鍵，是基礎題.

9.答案:D

解析：

本題考查新定義的理解和運用，數列的性質和應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意正確理解k

階數列的定義.

根據那介數列的定義，逐個進行判斷，能夠求出結果.

n

解：①van=2y

a

?**n+i=2an,

3/c=1,A=2,使。"+文=2a九+k一1一,

???｛an｝為1階數列，故①成立；

@van=2n+1,

???an=3+2(n-1),

???｛oj為等差數列,

???2an+1=an+an+2，即Qn+2=2an+1—an,

**,mk=2,=2,%=—1，使Q/i+z=41。?1+火-1+42071+女-2成-

.??｛。九｝為2階數列，故②成立；

2

③;若數列｛an｝的通項公式為an=n,

aa

皿=3，入1=3，A2=—3，匕=1，使Qn+k=^ln+k-l+^2n+k-2+小冊+女-？成立，

???｛Qn｝為3階數列，故③成立.

故選

10.答案：D

解析：本題考查了充分條件、必要條件、充要條件的判斷,結合直線和拋物線的位置關系，利用充分

條件和必要條件的定義進行判斷.

JF=fct+l

解：將直線方程代入拋物線方程得S2,

y=無

即y=k1y24-1,

???ky2—y+1=0,

當々=0時，方程只有一個解.

當kHO時，要使直線/與拋物線C有兩個不同交點，

則△=l—4k>0,

解得kq，且y0.

ak*0”是“直線，與拋物線C有兩個不同交點”的必要不充分條件.

故選D

11.答案：A

解析：解：a=2,b=2V3.B60°,

???由正弦理忘=看，得高=言=襦=等=4,

2

又a<b,40。.

故選：

接利用正弦理求sn4結合三角的大邊對大角得答案.

本題查弦定的應用，考查了三形解法，是中檔題.

12.答案：B

解析：解：根據拋物線的標準方程可得p=$^=i,

圖象是開口向上的焦點在y軸上的拋物線，故焦點的坐標為(0,3.

O

故選:B.

根據拋物線的標準方程可得p=%：=由此求得焦點的坐標.

本題主要考查拋物線的標準方程，以及簡單性質的應用，屬于基礎題.

13.答案：30。

解析：解：???a=2b,C=60°,可得：A=120°-B,

由正弦定理可得：sinA=2sinB=sin(120°-B),可得：2sinB=ycosB+sinB，

AV3sin(B-30°)=0,可得：sin(F-30°)=0,

b<a,B為銳角，

B=30°.

故答案為：30。.

由己知及正弦定理，三角形內角和定理可得：2sinB=sin(120°-B),由兩角差的正弦函數公式可

求sin(B-30。)=0,由B為銳角，可求B的值.

本題主要考查了正弦定理，三角形內角和定理，兩角差的正弦函數公式在解三角形中的綜合應用，

考查了轉化思想，屬于基礎題.

14.答案：1

解析：試題分析：叫=.鼠=黏—工當會源時，叫―虱-黑廣都費7—畬軟”人瀛警川,

因為金』為等比數列，所以當冗=1時，馨-工=卿；通=工.

考點：由STI求Q".

%砥=工

點評：由又求冊的一般做法：嚓=?力.二’…

晶一氨爐M令亙珞?

15.答案：,

解析：解：取BD中點0,連結AO,C0,

以。為原點，0C為x軸，0D為y軸，。4為z軸，

建立空間直角坐標系，

4(0,0,V3),B(0,-l,0),C(V3,0,0).

￡?(0,1,0),

BA=(0,1,V3).前=(0,2,0)，BC=(V3,l,0).

平面BCD的法向量記=(0,0,1),

設平面BAC的法向量元=(x,y,z),

(n-=y+V3z-0?.

則《一一BA，取x=l,得z元=(1,_百,1),

(n-BC=y[3x+y=0')

設二面角力-BC-。的平面角為0,

則皿"舒=靠=自

二二面角4-BC-D的余弦值為

故答案為T

取BD中點。，連結40,CO,以。為原點，OC為x軸，OD為y軸，。4為z軸，建立空間直角坐標系,

利用向量法能求出二面角力-BC-。的余弦值.

本題考查二面角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查推

理能力與計算能力，是中檔題.

16.答案：

3

2

解析：解：由題意，F1，尸2是橢圓叁+y2=1的兩個焦點,

|^?|+|PF2|=4)|^^2|=25/3；

則由余弦定理得，

2

|尸聞2=|&P|2+\PF2\-2|F】P||PF21cos60°;

2

故12=(|FiP|+\PF2\')-2\F1P\\PF2\COS600-2\F1P\\PF2\-

故12=16-3\F1P\\PF2\^

故IF1PIIPF2I=g；

故4PF[F2的面積S=i\F1P\\PF2\■sin60°=y；

△F/F2的內切圓半徑設為「，可得S=/(|FiP|+\PF2\+I&F2I)=*4+2g)r=爭

解得r=型2,

3

故答案為：或.

3

運用橢圓的定義和三角形的余弦定理和面積公式，結合等積法，計算可得所求值.

本題考查了橢圓的定義以及橢圓的簡單性質的應用，余弦定理的應用，三角形的面積的求法，屬于

中檔題.

17.答案：解：由已知條件得，

實數x滿足/一4ax+3a2<0,其中a<0,

???(x—a)(x—3a)<0,解得：3a<x<a,

二命題p：3a<x<a,

???%2+5x+4<0,

(x+l)(x+4)<0

命題q：—4<x<—1,

p是q的充分條件，

J,解得：-gWaW—1.

解析：分別求出關于p,q成立的x的范圍，根據充分必要條件的定義得到關于a的不等式組，解出即

可.

本題考查了充分必要條件考查解不等式問題，是一道基礎題.

18.答案：解：若選擇條件①，因為tanE=2tanC,可得sinBcosC=2sinCcosB,

由正弦定理可得bcosC=2ccosB,利用余弦定理可得b.貯旺Q=2c.吐3,

2ab2ac

又c=2,可得3爐一。2=12,

2222

又由余弦定理可得：C0S4b+c-a8-b

2bc2b

.An.---------y-rC(8-b*2)*2V20b2-b4-64

2，

SHL4=V1—cosi4=71------4b=2-------------2b-------

所以S-BC=Lbcs。4=bx凝土絲=上空二咤變,所以當且僅當從=io時，△ABC面積取得

△內幾22b2

最大值，最大值為3.

若選擇條件②，因為3b2一。2=12,由余弦定理可得cos4=M+：-a2=要,

.4n---------TTr(8-b2)2^20b2-b4-64

2

sinA=vl-cos7l=71---4b2=-------2-b-------

所以S.=沙sin4=b義跡尹=旦雪亙,所以當且僅當扭=10時,△的面積取得

最大值，最大值為3.

若選擇條件③，因為bcosC=2ccosB,利用余弦定理可得：b-=2c-與嚴,SP3Z)2-a2=

12,

又c=2,

又由余弦定理可得：cosA="*!=%

2bc2b

2224

?4n---------2T7二(8-b)V20b-b-64

sinA=Vl—COSk4=\/I------4b-72—=-------2b;-------'

所以SMBC=-bcsinA=bx魚。","4…=所以當且僅當爐=口時，△ABC面積取得

△Abe22b2

最大值，最大值為3.

解析：若選擇條件①，利用同角三角函數基本關系式，正弦定理，余弦定理化簡已知等式可得cosA=

空，利用同角三角函數基本關系式可求sinA=叵旦三更，利用三角形的面積公式可得S-BC=

2b2b

J-"2-IO)2+36,即可求解△ABC面積的最大值.

2

若選擇條件②，由余弦定理化簡已知等式可得cos4=空，利用同角三角函數基本關系式可得

sinA="2。唱J4,利用三角形的面積公式可得S-8C=J*-；o)z+36,即可求解仆ABC面積的最大

值.

若選擇條件③，利用余弦定理化簡已知等式可得COSA=誓，利用同角三角函數基本關系式可得

sinA=?20b：；-64,利用三角形的面積公式可得S-BC="=；0)2+36,即可求解44BC面積的最大

值.

本題主要考查了同角三角函數基本關系式，正弦定理，余弦定理，三角形的面積公式在解三角形中

的綜合應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于中檔題.

19.答案：⑴解:由題意，等比數列的公比為q(q力1),54=120,

可得皿2項=120,

i-q

2

2a2是3al與。3的等差中項，即為4a2=3al+a3,即4%q=3al+axq,

解得的=q=3,

nn

則0n=3-3T=3；

n

所以生=31093aH=3Log33=3n；

(2)證明：Tn=^n(n+1),

1

昵=I,n(n+l)小工）

3%"+，'

日〃、〃、,

可-T4行—1,I-1--.F4.—1=-2(1---1.1--1---1F.…4.--1----1)=一2(1---1-)<一2，

J1Tkyy

71T2Tn3223nn+l3、n+l3

又2=I（1-W）是遞增的，

可得71=1時，|（1—止已有最小值

則群打"+…+H

解析：本題考查等比數列和等差數列的通項公式和求和公式的運用，考查數列的裂項相消求和，以

及數列的函數特征，考查運算能力和推理能力，屬于中檔題.

（1）運用等比數列的求和公式、結合等差中項性質，解方程可得的=q=3,進而得到與；由對數的

運算性質可得勾；

121

(2)由(1)可得〒=,?而M式;一a%利用裂項相消法求和，結合數列的增減性，即可得證.

20.答案：解：（1）由已知，圓。2：/+3+1）2=5的圓心為。2（0，-1），半徑「=花,（1分）

由題設圓心到直線％：y=2尤+m的距離d=.（3分）

11+刈r=

即nn聲守=歸

解得m=-6(m=4舍去).(4分)

設k與拋物線的相切點為為?），%），又y'=2a工，（5分）

=

得2Q%O=2=&=%,yo(6分)

代入直線方程得：合；一6…Q=*

所以zn=-6,Q=；.(7分)

6

（2）由（1）知拋物線Ci方程為y=［一,焦點尸（0,|）.（8分）

設做小弓婢），由⑴知以4為切點的切線/的方程為y=梟式％-/）+24（10分）

令x=0,得切線/交y軸的B點坐標為（0,-：瓷）（11分）

O

所以而=Qi**_|）,而=（0,-：婢一|）,（12分）

.-.FM=FA+FB=（/,-3）（13分）

因為F是定點，所以點M在定直線丫=一,上.（14分）

解析：（1）利用圓心到直線的距離等于半徑求出m,再利用導函數與切線的關系求出a的值即可.

（2）先求出以4為切點的切線，的方程以及點4,B的表達式，再求出京，而，利用前=后？+而即

可求出點M所在的定直線.

本題是對圓與橢圓知識的綜合考查.當直線與圓相切時，可以利用圓心到直線的距離等于半徑求解.，

也可以把直線與圓的方程聯立讓對應方程的判別式為0求解.本題用的是第一種.

21.答案：⑴證明：???P4J"平面ABCD,BCu平面4BCD,

PAVBC,

???4BCD為正方豚

???AB1BC,

^PAOAB=A,PA,48u平面P4B,

???BC，平面PAB,

???AEu平面PAB,???BCLAE,

PA=AB,E為線段PB的中點，

AE1PB,

又BCCPB=B,BC、PBu平面PBC,

AE1平面PBC.

（2）解：以4為原點，AB、AD.AP所在的直線分別為x、y、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，

p

ABx

設正方形力BCD的邊長為2,則4(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(l,0,l)，

：.AE=(1,0,1)>PC=(2,2,-2).VD=(