4.2指數函數10種常見考法歸類1、指數函數的定義一般地，函數y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指數函數，其中x是自變量，函數的定義域是R.注：為什么底數應滿足a>0且a≠1?①當a≤0時，ax可能無意義；②當a>0時，x可以取任何實數；③當a＝1時，ax＝1(x∈R)，無研究價值．因此規定y＝ax中a>0，且a≠1.2、兩類指數模型（1）y＝kax(k>0，a>0且a≠1)，當a>1時為指數增長型函數模型．（2）y＝kax(k>0，a>0且a≠1)，當0<a<1時為指數衰減型函數模型．3、指數函數的圖象和性質a>10<a<1圖象性質定義域R值域(0，＋∞)過定點過定點(0,1)，即x＝0時，y＝1函數值的變化當x<0時，0<y<1；當x>0時，y>1當x>0時，0<y<1；當x<0時，y>1單調性在R上是增函數在R上是減函數對稱性y＝ax與y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))x的圖象關于y軸對稱注：（1）指數函數的圖象只能出現在第一、二象限，不可能出現在第三、四象限．（2）指數函數y＝ax(a>0且a≠1)的圖象“升”“降”主要取決于底數a.當a>1時，圖象具有上升趨勢；當0<a<1時，圖象具有下降趨勢．4、比較冪的大小一般地，比較冪大小的方法有(1)對于同底數不同指數的兩個冪的大小，利用指數函數的單調性來判斷．(2)對于底數不同指數相同的兩個冪的大小，利用冪函數的單調性來判斷．(3)對于底數不同指數也不同的兩個冪的大小，則通過中間值來判斷．5、解指數方程、不等式簡單指數不等式的解法(1)形如af(x)>ag(x)的不等式，可借助y＝ax的單調性求解．(2)形如af(x)>b的不等式，可將b化為以a為底數的指數冪的形式，再借助y＝ax的單調性求解．(3)形如ax>bx的不等式，可借助兩函數y＝ax，y＝bx的圖象求解．6、指數型函數的單調性一般地，有形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)函數的性質(1)函數y＝af(x)與函數y＝f(x)有相同的定義域．(2)當a>1時，函數y＝af(x)與y＝f(x)具有相同的單調性；當0<a<1時，函數y＝af(x)與函數y＝f(x)的單調性相反．注：（1）指數函數y＝ax(a>0，且a≠1)的單調性與其底數a有關，當a>1時，y＝ax在定義域上是增函數，當0<a<1時，y＝ax在定義域上是減函數．（2）如何判斷形如y＝f(ax)(a>0，a≠1)的函數的單調性？①定義法，即“取值－作差－變形－定號”．其中，在定號過程中需要用到指數函數的單調性；②利用復合函數的單調性“同增異減”的規律．7、判斷一個函數是否為指數函數的方法①看形式:只需判斷其解析式是否符合(a>0，且a≠1)這一結構特征；②明特征：看是否具備指數函數解析式的三個特征．只要有一個特征不具備，則該函數不是指數函數．(1)底數的值是否符合要求．(2)ax前的系數是否為1.(3)指數是否符合要求．8、已知某函數是指數函數求參數值的方法①依據指數函數形式列方程：令底數大于0且不等于1，系數等于1列出不等式與方程；②求參數值：解不等式與方程求出參數的值．注：解決指數函數問題時，要特別注意底數大于0且不等于1這一條件.9、求指數函數的解析式或函數值(1)求指數函數的解析式時，一般采用待定系數法，即先設出函數的解析式，然后利用已知條件，求出解析式中的參數，從而得到函數的解析式，其中掌握指數函數的概念是解決這類問題的關鍵．(2)求指數函數的函數值的關鍵是掌握指數函數的解析式．10、解決有關增長率問題的關鍵和措施(1)解決這類問題的關鍵是理解增長(衰減)率的意義：增長(衰減)率是所研究的對象在“單位時間”內比它在“前單位時間”內的增長(衰減)率，切記并不總是只和開始單位時間內的比較．(2)分析具體問題時，應嚴格計算并寫出前3～4個單位時間的具體值，通過觀察、歸納出規律后，再概括為數學問題，最后求解數學問題即可．(3)在實際問題中，有關人口增長、銀行復利、細胞分裂等增長率問題常可以用指數函數模型表示，通常可以表示為y＝N(1＋p)x(其中N為基礎數，p為增長率，x為時間)的形式．11、函數y＝af(x)定義域、值域的求法(1)定義域：形如y＝af(x)形式的函數的定義域是使得f(x)有意義的x的取值集合．(2)值域：①換元，令t＝f(x)；②求t＝f(x)的定義域x∈D；③求t＝f(x)的值域t∈M；④利用y＝at的單調性求y＝at，t∈M的值域．注意：(1)通過建立不等關系求定義域時，要注意解集為各不等關系解集的交集．(2)當指數型函數的底數含字母時，在求定義域、值域時要注意分類討論．12、利用變換作圖法作圖要注意：①選擇哪個指數函數作為起始函數．②平移的方向及單位長度．③常用的變換作圖法主要有：

此外，函數的圖象關于y軸對稱；函數y＝|ax－b|的圖象可由函數y＝ax－b的圖象保持在x軸上及其上方的部分不動，把x軸下方的部分翻折到x軸上方得到．13、處理函數圖象問題的策略(1)抓住特殊點：指數函數的圖象過定點(0,1)，求指數型函數圖象所過的定點時，只要令指數為0，求出對應的x，y的值，即可得函數圖象所過的定點．(2)巧用圖象變換：函數圖象的平移變換(左右平移、上下平移)．(3)利用函數的性質：奇偶性與單調性．14、比較冪值大小的3種類型及處理方法15、指數方程的類型可分為：①形如af(x)＝ag(x)(a>0，且a≠1)的方程化為f(x)＝g(x)求解；②形如a2x＋b·ax＋c>0(<0)型不等式，用換元法求解．16、簡單的指數不等式的解法(1)利用指數型函數的單調性解不等式，需將不等式兩邊都湊成底數相同的指數式．(2)解不等式af(x)>ag(x)(a>0，a≠1)的依據是指數型函數的單調性，要養成判斷底數取值范圍的習慣，①當a>1時，化為f(x)>g(x)求解；②當0<a<1時，化為f(x)<g(x)求解．若底數不確定，就需進行分類討論，即af(x)>ag(x)?f(x)>g(x)(a>1)或f(x)<g(x)(0<a<1)．17、指數型函數的單調性(1)求復合函數的單調區間，首先求出函數的定義域，然后把函數分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通過考察f(u)和φ(x)的單調性，利用同增異減原則，求出y＝f(φ(x))的單調性．(2)關于指數型函數y＝af(x)(a>0，且a≠1)的單調性由兩點決定，一是底數a>1還是0<a<1；二是f(x)的單調性，它由兩個函數y＝au，u＝f(x)復合而成．18、指數型函數的奇偶性和單調性的判斷方法：(1)奇偶性按照函數奇偶性的定義進行判斷，注意定義域優先原則，判斷過程中要進行必要的指數冪的運算．(2)單調性按照函數單調性的定義進行判斷，先確定單調區間，作差變形后再進行符號的判斷．考點一指數函數的概念考點二求指數函數的解析式或函數值考點三指數增長型和指數衰減型函數的實際應用考點四指數函數的定義域和值域考點五指數函數的圖象及應用（一）指數函數的圖象特征（二）指數函數的圖象變換（三）指數函數過定點問題（四）指數函數圖象的應用考點六比較大小考點七簡單的指數不等式的解法考點八指數型函數的單調性與最值考點九指數型函數的奇偶性考點十指數函數的綜合應用考點一指數函數的概念1．（2023·全國·高一專題練習）下列函數為指數函數的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據指數函數的定義，逐項判定即可求解.【詳解】根據指數函數的定義知，可得函數不是指數函數；函數不是指數函數；函數是指數函數；函數不是指數函數.故選：C.2．（2023·全國·高一專題練習）下列函數：①；②；③；④．其中為指數函數的個數是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據指數函數解析式特征直接判斷即可.【詳解】指數函數解析式為且，對于①②④，、和不符合指數函數解析式特征，①②④錯誤；對于③，符合指數函數解析式特征，③正確.故選：B.3．【多選】（2023·全國·高一專題練習）（多選）下列函數是指數函數的是（

）A．B．C．D．（且）【答案】AD【分析】根據指數函數的定義逐項判斷，可得出合適的選項.【詳解】對于A選項，為指數函數；對于B選項，不是指數函數；對于C選項，不是指數函數；對于D選項，當且時，且，則（且）為指數函數.故選：AD.4．（2023·全國·高一專題練習）給定下列函數：①；②；③，且；④；⑤；⑥；⑦；⑧.其中是指數函數的有.（填序號）【答案】②⑤【分析】根據指數函數且的形式進行判斷即可.【詳解】對于①，不符合指數函數且的形式，不是指數函數；對于②，符合指數函數且的形式，是指數函數；對于③，只有當且時是指數函數，，且不是指數函數；對于④，不符合指數函數且的形式，不是指數函數；對于⑤，符合指數函數且的形式，是指數函數；對于⑥，不符合指數函數且的形式，不是指數函數；對于⑦，不符合指數函數且的形式，不是指數函數；對于⑧，不符合指數函數且的形式，不是指數函數.故答案為：②⑤.考點二求指數函數的解析式或函數值5．（2023秋·內蒙古通遼·高三校考階段練習）若函數是指數函數，則等于（

）A．或 B． C． D．【答案】C【分析】根據指數函數的定義求解即可.【詳解】因為函數是指數函數，所以.故選：C6．（2023·全國·高一專題練習）若函數為指數函數，則（

）A．或 B．且C． D．【答案】C【分析】利用指數函數的定義列方程組求解即可.【詳解】因為函數為指數函數，則，且，解得，故選：C7．（2023秋·湖南岳陽·高三校考階段練習）若函數的圖象經過，則（

）A． B． C．3 D．9【答案】B【分析】根據題意，由求得函數解析式求解.【詳解】解：因為函數的圖象經過，所以，解得，所以，則，故選：B8．（2023·全國·高一課堂例題）已知指數函數的圖象經過點，求和．【答案】，．【分析】將代入指數函數表達式中可得，進入代入即可求解.【詳解】因為且的圖象經過點，所以，解得（負根舍去），于是．所以，．9．（2023·全國·高一專題練習）已知函數，則（

）A．2 B．4 C．5 D．7【答案】C【分析】利用賦值法,求函數值.【詳解】解：令，得，所以.故選：C10．（2023秋·新疆烏魯木齊·高一校考期中）已知函數，則（

）A．2 B．1 C． D．【答案】A【分析】先求出，進而可得出答案.【詳解】由，得，所以.故選：A.11．（2023秋·貴州黔東南·高三校考階段練習）設函數，則.【答案】3【分析】根據分段函數每段的定義域求解.【詳解】解：因為函數，所以，故答案為：312．（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級中學校考模擬預測）已知函數，則.【答案】【分析】根據分段函數解析式計算可得.【詳解】因為，所以，則.故答案為：考點三指數增長型和指數衰減型函數的實際應用13．（2023·山東·校聯考模擬預測）某廠1995年的產值為萬元，預計產值每年以5%遞增，則該廠到2007年的產值（萬元）是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】指數函數的實際應用，解答本題只需要從1995年向后寫幾年就可以得到規律.【詳解】∵某廠1995年的產值為萬元，預計產值每年以5%遞增，∴該廠到1996年的產值(萬元)為,該廠到1997年的產值(萬元)為,該廠到1998年的產值(萬元)為,∴該廠到2007年的產值(萬元)為.故選：C．14．（2023秋·河南·高三校聯考階段練習）某化工廠生產過程中產生的廢氣含有大量的有毒、有害物質，需經過濾后排放．過濾過程中廢氣中的有毒、有害物質的含量（單位：與時間（單位：）間的關系為（為常數），若在過濾后消除了的有毒、有害物質，則后剩余的有毒、有害物質大約為原來有毒、有害物質的（

）（附：）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據函數關系求先求出當時的有毒、有害物質的含量，然后由指數運算即可求解.【詳解】由題意當時，；當時，；當時，，又，所以，所以，故后的在毒、有害物質大約為原來有毒、有害物質的．故選：B．15．（2023·全國·高二隨堂練習）某城市2007年底人口為500萬，人均住房面積為，到2023年底該市的人均住房面積翻了一番．假定該市人口的年平均增長率為1％，求這10年中該市每年新增住房的平均面積（精確到）．【答案】877萬平方米.【分析】根據人口數和人均住房面積求出住房總面積即可.【詳解】2007年住房總面積為：萬平方米，2023年該市的人口為：萬，2023年住房總面積為：萬平方米，則10年中該市每年新增住房的平均面積：萬平方米.16．（2023·全國·高一隨堂練習）某科研小組培育一種水稻新品種，由第1代1粒種子可以得到第2代120粒種子，以后各代每粒種子都可以得到下一代120粒種子．寫出第n代得到的種子數與n的函數關系式，并求第5代得到的種子數．（結果寫成（，n為正整數）的形式，a精確到0.01）【答案】【分析】根據題意，假設第代得到的種子數為，由指數函數的解析式得出函數的解析式，將，代入計算，即可求解.【詳解】根據題意，假設第代得到的種子數為，由于第1代1粒種子可以得到第2代120粒種子，以后各代每粒種子都可以得到下一代120粒種子，則，當時，粒.考點四指數函數的定義域和值域17．（2023·全國·高一專題練習）函數的定義域為.【答案】【分析】根據解析式，列出使解析式有意義條件，解出x的取值范圍.【詳解】由題意可得，解得：，所以函數的定義域為.故答案為：.18．（2023·全國·高一專題練習）函數的定義域是．【答案】.【分析】由二次根式的被開方數非負和分式的分母不為零，即可求得結果.【詳解】由題意得，解得且，所以函數的定義域為，故答案為：.19．（2023·上海·高一專題練習）函數的定義域是.【答案】【分析】根據定義域求法解決即可.【詳解】由題知，，解得，所以函數的定義域是，故答案為：20．（2023·全國·高一隨堂練習）求下列函數的定義域：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)；(2)；(3)；(4).【分析】（1）（2）（3）（4）利用函數有意義列出不等式，結合指數函數單調求解即得.【詳解】（1）函數有意義，則，所以的定義域為.（2）函數有意義，則，解得，所以的定義域為.（3）函數有意義，則，即，解得，所以的定義域為.（4）函數有意義，則，即，解得，所以的定義域為.21．（2023·全國·高一課堂例題）求下列函數的定義域和值域：(1)；(2)．【答案】(1)定義域為；值域為(2)定義域為；值域為【分析】（1）根據二次根式和指數函數的性質進行求解即可；（2）根據指數函數的性質進行求解即可.【詳解】（1）要使函數式有意義，則，即．因為函數在上是增函數，所以．故函數的定義域為，因為，所以，所以，所以，即函數的值域為；（2）定義域為，因為，所以，又，所以函數的值域為．22．（2023·全國·高一隨堂練習）求下列函數的定義域和值域：(1)；(2)；(3)；(4)(5)(6)【答案】(1)定義域為R，值域為(2)定義域為R，值域為(3)定義域為R，值域為(4)定義域為，值域為(5)定義域為，值域為(6)定義域為，值域為【分析】根據指數函數的圖象及性質，得到定義域和值域.【詳解】（1）的定義域為R，值域為；（2）的定義域為R，值域為；（3）的定義域為R，值域為；（4）中分母不等于0，故的定義域為，由于，故，又，故值域為；（5）中分母不等于0，故，的定義域為，由于，故，又，的值域為（6）中中分母不等式0，故，的定義域為，由于，故，又，故的值域為.23．（2023·全國·高一隨堂練習）求函數在區間上的最大值和最小值．【答案】最大值為9；最小值為.【分析】令，將函數轉化為，利用二次函數的性質求解.【詳解】解：令，則原函數轉化為，當，即時，函數取得最小值為；當，即時，函數取得最大值為.24．（2023·全國·高一專題練習）求函數，在上的值域.【答案】【分析】，令，再根據二次函數的性質即可得解.【詳解】，令，函數在上是單調減函數，∴，的對稱軸為，∴當時，，即當時，，即，∴在上的值域為.25．（2023·全國·高一專題練習）已知的值域為，則x的取值范圍可以為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】令，根據值域解不等式組可得t的范圍，然后解指數不等式可得.【詳解】令，則，由題知，，解得或，即或，解得或.故選：D26．（2023秋·山東濰坊·高三統考階段練習）函數的值域為.【答案】【分析】根據給定的分段函數，分段求出函數值集合即可得解.【詳解】當時，函數的值域為，當時，函數的取值集合為，所以函數的值域為.故答案為：27．（2023·全國·高一專題練習）函數的值域為．【答案】【分析】根據反比例函數求出指數的取值范圍，再根據指數函數的單調性求出函數的值域.【詳解】設，則且，根據反比例函數性質，從而，所以．故答案為：.28．（2023·全國·高一隨堂練習）求下列函數的值域：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用指數函數的性質即可得解；（2）利用二次函數的性質與指數函數的性質，結合復合函數的單調性即可得解.【詳解】（1）由于，則，故的值域為.（2）當時，開口向上，對稱軸為，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以當時，取得最小值為，當時，取得最大值為，則，又為減函數，所以的值域為，即.29．（2023秋·重慶沙坪壩·高三重慶八中校考開學考試）已知函數在區間上的值域為，則實數的值為.【答案】3【分析】根據圖象的變換得到函數，然后根據函數圖象求即可.【詳解】作出函數的圖象如圖，函數在上單減，在上為增函數，又，，，若函數在區間上的值域為，則實數.故答案為：3.30．（2023·全國·高一專題練習）已知函數的值域為R，則實數a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由于當時，，所以當時，求出的最小值，使其最小值小于等于1即可.【詳解】當時，，當時，，因為函數的值域為，所以，得，所以實數的取值范圍是，故選：D.考點五指數函數的圖象及應用指數函數的圖象特征31．（2023·全國·高一專題練習）如圖中，①②③④中不屬于函數，，中一個的是（

）A．① B．② C．③ D．④【答案】B【分析】根據指數函數的圖象的特征即可得答案.【詳解】解：由指數函數的性質可知：①是的部分圖象；③是的部分圖象；④是的部分圖象；所以只有②不是指數函數的圖象.故選：B.32．（2023秋·江西宜春·高三校考開學考試）函數（，且）的圖象可能是（）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】分別討論或時，圖象與y軸的交點的縱坐標，即可得出答案.【詳解】A，B選項中，，于是，所以圖象與y軸的交點的縱坐標應在之間，顯然A，B的圖象均不正確；C，D選項中，，于是，圖象與y軸的交點的縱坐標應在小于，所以D項符合.故選：D33．【多選】（2023·全國·高一專題練習）已知，則函數的圖象可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】AD【分析】通過特值法，排除錯誤選項，通過的取值，判斷函數的圖象的形狀，推出結果即可.【詳解】由于當時，，排除B，C，當時，，此時函數圖象對應的圖形可能為A，當時，，此時函數圖象對應的的圖形可能為D.故選：AD.34．（2023秋·高一課時練習）函數的圖象如圖所示，則的圖象是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】依題意可得、兩個數一個小于，一個大于且小于，再分類討論，結合指數函數的性質判斷即可；【詳解】解：令，解得、，根據二次函數圖象可知，、兩個數一個小于，一個大于且小于，①當，時，則不成立；②當，時，則在定義域上單調遞減，且，所以滿足條件的函數圖象為A.故選：A35．（2023·全國·高一專題練習）函數的大致圖象是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】先分類討論化簡函數式，然后根據指數函數的單調性排除錯誤選項．【詳解】因為又，根據指數函數的性質知，時，函數為增函數，排除B、D；時，函數為減函數，排除A．故選：C．36．（2023秋·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱三中校考階段練習）函數的圖象大致為（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】利用函數的性質和特值法對不符合題意的選項加以排除，即可得出答案.【詳解】因為，所以，定義域為；因為，所以，故，所以為奇函數，排除B，當趨向于正無窮大時，、均趨向于正無窮大，但隨變大，的增速比快，所以趨向于，排除D，由，，則，排除C.故選：A.指數函數的圖象變換37．（2023·全國·高一課堂例題）說明下列函數的圖象與指數函數的圖象的關系，并畫出它們的示意圖：(1)；(2).【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析【分析】（1）（2）根據列表法，計算自變量所對應的函數值，即可發現規律,進而根據平移即可畫出函數圖象.【詳解】（1）比較函數與函數，的取值關系，列表如下表所示.x┇┇┇┇012┇┇┇┇一般地，因為函數中對應的y值與函數中對應的y值相等，所以將指數函數的圖象向右平移2個單位長度，就得到函數的圖象.（2）同樣地，因為函數中對應的y值與函數中對應的y值相等，所以將指數函數的圖象向左平移2個單位長度，就得到函數的圖象.這些函數的圖象如下圖所示.38．（2023秋·高一課時練習）請畫出函數的圖象.【答案】圖象見解析【分析】討論和的情況可得函數解析式，結合指數函數圖象可得所求函數圖象.【詳解】當時，；當時，，則函數的圖象如圖所示，39．（2023·全國·高一專題練習）如圖所示，函數的圖象是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】將原函數變形為分段函數，根據及時的函數值即可得解.【詳解】∵，∴時，，當時，函數為上的單調遞增函數，且，當時，函數為上的單調遞減函數，且，故選：B40．（2023秋·吉林·高三輝南縣第一中學校考階段練習）函數，且的圖象大致是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據函數圖象平移及函數的對稱性和單調性易排除錯誤選項.【詳解】由題意知，關于對稱，當時，對稱軸，時函數單調遞增，當時,對稱軸，時函數單調遞減，排除A,C,D.故選：B.41．【多選】（2023·全國·高一專題練習）函數（，且）與在同一坐標系中的圖像可能是（

）A．.

B．

C．

D．

【答案】BD【分析】根據指數函數圖像性質直接判斷.【詳解】由題意得，中若，，則，若，，則；中表示縱截距.對于A，圖像中，圖像中，故A錯誤；對于B，圖像中，圖像中，故B正確；對于C，圖像中，圖像中，故C錯誤；對于D，圖像中，圖像中，故D正確；故選：BD指數函數過定點問題42．（2023秋·福建泉州·高一校考期中）函數（且）的圖像一定過點.【答案】【分析】根據指數函數的性質計算可得.【詳解】函數（且），令可得，即函數恒過點.故答案為：43．（2023秋·天津濱海新·高一天津市濱海新區塘沽第一中學校考期中）不論且為何值，函數的圖象一定經過點，則點的坐標為．【答案】【分析】根據指數函數性質可知時，函數過的點坐標與無關，即可求出.【詳解】由題意可知，當時，不論為何值時，此時函數，所以的圖象經過點.故答案為：44．（2023·全國·高一專題練習）函數，無論取何值，函數圖像恒過一個定點，則定點坐標為.【答案】【分析】由指數函數定點求解即可.【詳解】則定點坐標為.故答案為:.45．（2023春·江蘇淮安·高二江蘇省鄭梁梅高級中學校考期中）已知冪函數，則過定點（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用冪函數的定義求出的值，進一步分析的解析式即可.【詳解】是冪函數，，故則，令，即，得，故過定點.故選：46．（2023秋·江蘇鹽城·高三鹽城市伍佑中學校考階段練習）若函數（且的圖象恒過定點，且點在冪函數的圖象上，則.【答案】16【分析】先求出函數所過定點坐標，再將其代入冪函數中，求出冪函數解析式，得到答案.【詳解】恒過點，故，將其代入中，，解得，故，所以.故答案為：1647．（2023秋·重慶石柱·高三校考階段練習）已知曲線且過定點，若且，則的最小值為（

）A．9 B． C． D．【答案】C【分析】根據給定的曲線，求出，再利用“1”的妙用求出最小值作答.【詳解】曲線且中，由，得，因此該曲線過定點，即，于是，又，因此，當且僅當，即時取等號，所以的最小值為16.故選：C指數函數圖象的應用48．（2023·福建·高考真題）函數的圖象如圖所示，其中a，b為常數，則下列結論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由函數單調性判斷與的大小，再由圖象與軸的交點位置判斷的正負.【詳解】由圖象可知，函數為減函數，從而有；法一：由圖象，函數與軸的交點縱坐標，令，得，由，即，解得.法二：函數圖象可看作是由向左平移得到的，則，即.故選：D.49．【多選】（2023·全國·高一專題練習）若函數(且)的圖像經過第一、二、三象限，則（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】根據函數(且)的圖像經過第一、二、三象限，判斷a，b的范圍，再由指數函數的單調性比較大小即可.【詳解】解：因為函數(且)的圖像經過第一、二、三象限，所以，，所以是增函數，是減函數，則，，故選：BC.50．（2023秋·湖南永州·高二校考階段練習）已知，則函數的圖象恒過（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】分析給定函數圖象即可判斷得解.【詳解】函數中，當時，函數的圖象過第一、二象限；當時，函數的圖象過第一、二、四象限；當時，函數的圖象過第二、四象限；當時，函數的圖象過第二、三、四象限，所以函數的圖象恒過第二象限.故選：B51．【多選】（2023·全國·高一專題練習）（多選）已知函數（且）的圖象如圖所示，則下列結論正確的是（）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】根據函數圖象可得出、的取值范圍，利用指數函數的基本性質可判斷ACD選項，利用不等式的基本性質可判斷B選項.【詳解】由圖象可知，函數（且）在上單調遞增，則，且當時，，可得.對于A選項，，A對；對于B選項，，B對；對于C選項，，C錯；對于D選項，由題意可知，，則，所以，，D對.故選：ABD.52．（2023·全國·高一隨堂練習）設a，b為實數，，.已知函數的圖象如圖所示，求a，b的取值范圍.【答案】a，b的取值范圍分別為【分析】從圖象獲取關鍵信息即可求解.【詳解】由題圖可知函數單調遞增，即，所以的取值范圍為；由圖可知當時，有，解得，所以的取值范圍為.53．（2023·全國·高一專題練習）若函數的圖象不經過第一象限,則的取值范圍為.【答案】【分析】圖象不經過第一象限,只需,代入解析式,解出不等式即可.【詳解】解:由題知,若函數單調遞減，其圖象不經過第一象限,必有圖象與y軸交點不在y軸正半軸上，只需即可,即,解得:.故答案為:54．（2023·全國·高三專題練習）設函數，函數的圖像經過第一?三?四象限，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據題意求得，化簡得到，結合指數函數的性質，即可求解.【詳解】由函數的的圖像經過第一?三?四象限，可得，所以，又因為，所以的取值范圍為.故選：A.55．（2023·全國·高一專題練習）若直線y＝2a與函數y＝|ax－1|＋1(a＞0，且a≠1)的圖象有兩個公共點，則a的取值范圍是．【答案】【分析】分a＞1和0＜a＜1兩種情況討論交點的情況即可.【詳解】當a＞1時，通過平移變換和翻折變換可得如圖（1）所示的圖象，則由圖可知1＜2a＜2，即＜a＜1，與a＞1矛盾；當0＜a＜1時，同樣通過平移變換和翻折變換可得如圖（2）所示的圖象，則由圖可知1＜2a＜2，即＜a＜1.綜上可知，＜a＜1.故答案為：.考點六比較大小56．（2023·全國·高一隨堂練習）比較下列各題中兩個數的大小：(1)，；(2)，．【答案】(1)(2)【分析】根據指數函數單調性即可比較大小.【詳解】（1）是上的減函數，且，.（2）在指數函數中，因為，所以函數單調遞增，所以，即，在指數函數中，因為，所以函數單調遞減，即，即，所以.57．（2023·全國·高一隨堂練習）比較下列各題中兩個數的大小：(1)，；(2)，；(3)，；(4)，．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】根據指數函數和冪函數的單調性即可比較大小.【詳解】（1）函數在上為增函數，（2）函數在上為減函數，（3），函數在上為增函數，，即（4），冪函數在上為增函數，，.58．（2023·全國·高一隨堂練習）比較下列各組數的大小：(1)，，；(2)，，．【答案】(1)；(2).【分析】（1）（2）利用指數函數的性質，結合“媒介數”比較大小即得.【詳解】（1）函數在R上單調遞增，，因此，函數在R上單調遞減，，因此，所以.（2）函數在R上單調遞減，，因此，函數在R上單調遞增，，因此，所以.59．（2023秋·安徽·高二合肥市第六中學校聯考階段練習）已知，則的大小關系是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據指數函數的單調性比較的大小，利用冪指數運算可比較大小，即得答案.【詳解】因為，且是R上的增函數，故，又，故．故選：D60．（2023秋·北京東城·高一校考期中）已知，則的大小關系是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】運用介值法及指數函數單調性比較大小即可.【詳解】因為，，又因為在上單調遞增，，所以，即.故選：D.考點七簡單的指數不等式的解法61．（2023秋·北京海淀·高三校考階段練習）已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】解不等式得到集合，然后求交集即可.【詳解】，所以.故選：A.62．（2023·全國·高一隨堂練習）求使下列不等式成立的實數x的集合：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】根據指數函數單調性即可解出不等式.【詳解】（1），，，，不等式成立的實數的集合為；（2），，即，即，則，不等式成立的實數的集合為.63．（2023秋·山東泰安·高一泰安一中校考期中）不等式的解集為.【答案】【分析】由題意可得，解此一元二次不等式即可.【詳解】解：由題意可得：，即，，解得，所以原不等式的解集為：.故答案為：64．（2023·全國·高一專題練習）不等式的解集為．【答案】【分析】先化為同底數的指數型函數，利用單調性可求答案.【詳解】原式可化為，因為為減函數，所以，即，解得或，所以原不等式的解集為.故答案為：.65．（2023秋·高一課時練習）關于的不等式的解集為．【答案】【分析】結合二次函數值域和指數函數單調性直接求解即可.【詳解】，由可得：，解得：，不等式的解集為.故答案為：.66．（2023春·江蘇南通·高一金沙中學校考階段練習）若指數函數的圖象經過點，則不等式的解集是．【答案】【分析】設指數函數（且），將點代入求出解析式，然后利用指數函數的單調性轉化原不等式為一次不等式即可求解.【詳解】由題意設函數（且），因為的圖象經過點，所以，解得，所以，因為，即，所以由在上遞減得，解得，故答案為：67．（2023秋·浙江·高一期末）設函數則滿足的x取值范圍為．【答案】.【分析】解分段函數不等式，分類討論，，時求解即可.【詳解】當時，，，則，矛盾；當時，，，則，矛盾；當時，，，則，所以.綜述：x取值范圍為．故答案為：.68．（2023·全國·高一專題練習）已知函數，則不等式的解集為．【答案】【分析】利用函數的單調性以及分段函數的性質，化簡不等式得出不等式的解集.【詳解】構建函數，，可得函數單調遞增，，，則函數單調遞增，且，因此函數在上是增函數．，，解得，于是不等式的解集為．故答案為：.考點八指數型函數的單調性與最值69．（2023秋·河北唐山·高一唐山市第二中學校考階段練習）下列函數中，在區間上單調遞減的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據指數函數、冪函數等的性質判斷區間單調性即可.【詳解】A：由冪函數性質知：在上單調遞增，不符合；B：由，在上單調遞增，不符合；C：由指數函數單調性知：在上單調遞減，符合；D：由，在上不單調，不符合；故選：C70．（2023秋·北京東城·高一校考期中）下列函數中，既是偶函數又在區間上單調遞增的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分別用函數奇偶性定義及單調性依次判斷各個選項即可.【詳解】對于A項，的定義域為R，，所以是奇函數，故A項錯誤；對于B項，的定義域為R，，所以是偶函數，又因為，所以在上單調遞增，故B項正確；對于C項，的定義域為R，，所以不是偶函數，故C項錯誤；對于D項，的定義域為R，，所以是偶函數，又因為在上單調遞減，故D項錯誤.故選：B.71．【多選】（2023秋·江西鷹潭·高三貴溪市實驗中學校考階段練習）已知函數，則（

）A．函數的定義域為RB．函數的值域為C．函數在上單調遞增D．函數在上單調遞減【答案】ABD【分析】由函數的表達式可得函數的定義域可判斷A；令，則，，結合指數函數的單調性得到函數的值域，可判斷B；根據復合函數單調性的判斷方法可得函數的單調性可判斷C、D.【詳解】令，則，對于選項A：的定義域與的定義域相同，均為R，故A正確；對于選項B：因為，的值域為，所以函數的值域為，故B正確；對于選項C、D：因為在上單調遞增，且，在定義域上單調遞減，所以根據復合函數單調性法則，得函數在上單調遞減，所以C不正確，D正確.故選：ABD.72．【多選】（2023秋·河南·高三滎陽市高級中學校聯考階段練習）設函數，則下列說法正確的是（

）A．函數的定義域為 B．的單調遞增區間為C．的最小值為3 D．的圖象關于對稱【答案】ABD【分析】根據函數定義域判斷A，根據復合函數單調性以及二次函數單調性求單調區間和函數的最小值即可判斷B、C，根據函數的對稱性判斷D.【詳解】易知函數的定義域為，選項A正確；由與復合，而為單調遞增函數，所以函數的單調遞減區間為單調遞減區間，函數的單調遞增區間為單調遞增區間，選項B正確；由選項B可知，故選項C錯誤；因為，所以的圖象關于對稱.故選項D正確.故選：ABD.73．（2023秋·江蘇揚州·高三統考開學考試）設函數在區間上單調遞減，則a的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】設，則是上的增函數，再利用復合函數的單調性求解.【詳解】解：設，對稱軸為，∵是上的增函數，∴要使在區間單調遞減，則在區間單調遞減，即，故實數a的取值范圍是．故選：A．74．（2023秋·安徽合肥·高三合肥一中校考階段練習）已知函數在區間上單調遞減，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由復合函數的單調性分析可知，內層函數在上為增函數，結合二次函數的單調性可得出關于實數的不等式，解之即可.【詳解】令，則二次函數的圖象開口向上，對稱軸為直線，因為外層函數為上的減函數，函數在區間上單調遞減，所以，函數在上為增函數，所以，，解得.故選：A.75．（2024·黑龍江大慶·統考模擬預測）函數在上單調遞減，則t的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據復合函數的單調性可得的單調性，從而可求得t的取值范圍.【詳解】因為函數在上單調遞增，所以根據復合函數的單調性可得函數在上單調遞減，則，解得.故選：A76．（2023·全國·高一課堂例題）討論函數的單調性，并求最值．【答案】在上單調遞增，在上單調遞減；最小值為2，無最大值【分析】利用換元法，結合二次函數的性質以及復合函數單調性可直接求解.【詳解】，其中．設，則，此時有，當時，單調遞增，由得．又在上單調遞增，所以由復合函數的單調性的判定方法知，原函數在上單調遞增．同理，原函數在上單調遞減．故原函數有最小值，最小值為2，無最大值．77．（2023·全國·高三專題練習）已知函數．(1)若，求的單調區間(2)若有最大值3，求的值(3)若的值域是，求的值【答案】(1)函數的單調遞增區間是，單調遞減區間是；(2)1；(3)0.【分析】（1）根據復合函數單調性判斷，結合指數函數、二次函數性質判斷單調區間；（2）由（1）及題設知，即可求參數值；（3）根據復合函數的值域，結合指數函數、二次函數性質確定參數值即可.【詳解】（1）當時，，令，由在上單調遞增，在上單調遞減，而在R上單調遞減，所以在上單調遞減，在上單調遞增，即的單調遞增區間是，單調遞減區間是．（2）令，，由于有最大值3，所以應有最小值，因此必有．解得，即有最大值3時，a為1．（3）由指數函數的性質知，要使的值域為，應使的值域為R，因此只能（因為若，則為二次函數，其值域不可能為R），故a的值為0．78．（2023春·河北石家莊·高一校考期中）已知函數在區間上的最大值比最小值大，則a=【答案】或【分析】分與兩種情況，求出最值，列出方程，得到答案.【詳解】當時，在上的最大值為，最小值為，故，解得或（舍去）；當時，在上的最大值為，最小值為，故，解得或（舍去），綜上或.故答案為：或考點九指數型函數的奇偶性79．（2023秋·云南昆明·高三校考階段練習）已知奇函數在R上為增函數，則（

）A．1 B． C．2 D．【答案】A【分析】為奇函數，則，解出，驗證奇偶性和單調性即可.【詳解】解：因為在R上為奇函數，則，即，解得或.時，，函數定義域為R，由函數和都在R上為增函數，所以在R上為增函數，且，滿足函數為奇函數；時，，在R上為減函數，不合題意.所以.故選：A.80．（2023秋·上海嘉定·高三上海市嘉定區第一中學校考開學考試）函數是偶函數，當時，，則不等式的解集為.【答案】或【分析】由函數的單調性與奇偶性求解．