北京市石景山區實驗中學2018-2019學年九年級(上)

期末數學復習試卷

--選擇題(滿分16分，每小題2分)

1.已知言=￡(a#0,6K0),下列變形正確的是()

Ab2口23rabp.a2

a3ab323b

2.把拋物線y=-2/向上平移1個單位，再向右平移1個單位，得到的拋物線是()

A.y=-2(x+1)2+1B.y=-2(x-1)2+1

C.r=-2(x-1)2-1D.y=-2(/1)2-l

3.在RtZ\/6C中，NC=90°,若/C=3,BC=2,則tan/的值是()

2疾

AcD.

-i4~5~

4.如圖，。。的弦/8=16,“是AB的中點，且。"=6,則。。的半徑等于()

B.4C.20D.10

5.在平面直角坐標系中，給出三點月，B,C,記其中任意兩點的橫坐標的差的最大值為儲

任意兩點的縱坐標差的最大值為h,定義“矩面積"5=助，例如：給出力(1,■2),8

(-3,1),C(2,-2),則a=5,A=4,S=ah=20.若。(1,2),E(-2,1).F(0,

r)三點的"矩面積”為18,則r=()

A.-3或7B.-4或6C.-4或7D.-3或6

6.如圖，在口4BCD中，E是8c的中點，且/AEC=/DCE,下列結論不正確的是()

B.四邊形4CCD是等腰梯形

C?SAFAI^ZS4FBED.AAEB=AADC

7.已知二次函數/=a/+Z?+c（a#0）的圖象如圖所示，則下列結論中正確的是（）

A.abc<0B.2a+b<0C.Z>2-4ac<0D.a+b+c<0

8.如圖，和△。所是等腰直角三角形，NC=NF=90°,AB=2,DE=4.點、B與

點。重合，點4B（Z?）,E在同一條直線上，將△力^。沿。方向平移，至點力與

點E重合時停止.設點8,。之間的距離為x,與△。石1尸重疊部分的面積為尸，

二.填空題（共8小題，滿分16分，每小題2分）

9.當兩個相似三角形的相似比為時，這兩個相似三角形的面積比是1：2.

10.已知反比例函數尸（m-2）x的圖象，在每一象限內y隨x的增大而減小，則

m的值為.

11.如圖，點。為△/8C的外接圓圓心，點E為圓上一點，BC、。萬互相平分，CFLAE

于尸，連接。尸.若OE=2a,DF=\,則△40C的周長為.

12.如圖，若等腰三角形的底邊上的高等于18cm,腰上的中線等于15cm,則這個等腰三角

形的面積等于

13.小明發現相機快門打開過程中，光圈大小變化如圖1所示，于是他繪制了如圖2所示的

圖形.圖2中六個形狀大小都相同的四邊形圍成一個圓的內接正六邊形和一個小正六邊

形，若股所在的直線經過點“，PB=5cm,小正六邊形的面積為生叵田，則該圓的

2

14.如圖，點4在雙曲線y=—_h，點。在雙曲線y=里上，且力。x軸，B、C在x軸上,

XX

15.如圖，某水庫大壩的橫假面是梯形/6C。，壩頂寬。。是10米，壩底寬是90米,

背水坡力。和迎水坡8c的坡度都為1:2.5,那么這個水庫大壩的壩高是米.

16.請任意寫出一個圖象開口向下且頂點坐標為（-2,1）的二次函數解析式：.

三.解答題（共12小題，滿分68分）

17.（5分）如圖，已知在△48。中，AB=AC,/氏4。=120°,月。的垂直平分線勿交力。

于點E,交BC于點F.試探索所與《尸的數量關系，寫出你的結論并證明.

18.（5分）計算：4sin30°-任0$45°-仃an30°+2sin60"

19.（5分）如圖，在△48C中，5。是//3C的平分線，過點C作即，交BD的延

長線于點E,ZABC=60°,/ECD=15°.

（1）直接寫出/406的度數是；

（2）求證：BD=AB-

（3）若/13=2,求反7的長.

20.（5分）如圖，ABLBD,CDVBD,48=6,8=16,50=20,一動點尸從8向。運

動，問：當6。等于多少時，與△PCD是相似三角形？

21.（5分）已知拋物線%=/+/77,￥+〃，直線為=2/1,拋物線力的對稱軸與直線打的交點

為點、A,且點月的縱坐標為5.

（1）求m的值；

（2）若點力與拋物線力的頂點8的距離為4,求拋物線%的解析式；

（3）若拋物線%與直線乃只有一個公共點，求n的值.

22.（5分）在一次數學綜合實踐活動中，小明計劃測量城門大樓的高度，在點3處測得樓

頂/的仰角為22°,他正對著城樓前進21米到達C處，再登上3米高的樓臺。處，并

測得此時樓頂力的仰角為450.

（1）求城門大樓的高度；

（2）每逢重大節日，城門大樓?管理處都要在/,3之間拉上繩子，并在繩子上掛一些彩旗,

請你求出43之間所掛彩旗的長度（結果保留整數）.（參考數據：sin22°g春，cos22°

O

tan22^―）

165

23.（6分）如圖，雙曲線打我過點?!（-1,3）.

X

（1）求A的值；

（2）若過點/的直線尸-2x+6與x軸交于點8,求的面積.

24.（6分）我縣在黨中央實施“精準扶貧”政策的號召下，大力開展科技扶貧工作，幫助

農民組建農副產品銷售公司，某農副產品的年產量不超過100萬件，該產品的生產費用/

（萬元）與年產量x（萬件）之間的函數圖象是頂點為原點的拋物線的一部分（如圖①所

示）；該產品的銷售單價z（元/件）與年銷售量x（萬件）之間的函數圖象是如圖②所示

的一條線段，生產出的產品都能在當年銷售完，達到產銷平衡，所獲毛利潤為w萬元.（毛

利潤=銷售額-生產費用）

(1)請直接寫出了與X之間的函數關系式；

(2)求w與x之間的函數關系式；并求年產量多少萬件時，所獲毛利潤最大？最大毛利潤

是多少？

25.(6分)如圖，40的圓。的切線，切點為A,是圓O的弦.這點6作6C///LO,交

圓。于點G連接/C,過點C作CDIIAB,交4?于點D.連接4。并延長交8c于點

M,交過點。的直線于點P,且

(1)判斷直線也與圓。的位置關系，并說明理由.

(2)若48=9,BC=6,求圓。的半徑和0c的長.

26.(6分)定義：在平面直角坐標系中，圖形G上點夕(x,。的縱坐標y與其橫坐標x

的差尸-x稱為夕點的“坐標差”，而圖形G上所有點的"坐標差"中的最大值稱為圖形

G的“特征值".

(1)①點/(1,3)的“坐標差”為；

②拋物線尸-x2+3x+4的“特征值”為；

(2)某二次函數y=-/+6肝c(crO)的“特征值”為-1,點8(m,0)與點C分別是

此二次函數的圖象與x軸和了軸的交點，且點8與點。的“坐標差”相等.

①直接寫出m=；(用含c的式子表示)

②求此二次函數的表達式.

27.(7分)在中，以為斜邊作使點。落在內，N/LD8=90°

(1)若把△/L6D繞點/逆時針旋轉，得到連接即并延長交8c于點

P.

①求證：ZBDP=ZPEC;

②求證：Z.BAC=2Z.BDP-

(2)如圖2,若/。=80,過點。作直線。2L/C于￡1交8c于尸，JLAE=EC.若BF=

3,AC=5任則皿=(直接寫出結果)

28.(7分)如圖：40是正△40C的高，。是/。上一點，。。經過點。，分別交月8、AC

于￡■、尸

(1)求/石。尸的度數；

(2)若力。=6我，求△?!所的周長；

(3)設石戶、40相較于N,若/E=3,EF=1,求DV的長.

參考答案

一.選擇題

1.已知?（沖0,此0）,下列變形正確的是（）

乙O

*b2R23rab

a3ab32°彩

【分析】根據兩內項之積等于兩外項之積解答即可.

解：4由回*得：2a=3b,故選項/不正確;

a3

B、由回士?得：3a=26,故選項3正確；

a2

2a=3b,故選項。不正確；

口、由!■尋:

必=6,故選項。不正確；

故選：B.

【點評】本題主要考查比例的性質，可根據比例的基本性質直接求解.

2.把拋物線尸-2V向上平移1個單位，再向右平移1個單位，得到的拋物線是（）

A.y=-2（x+1）2+1B.y=-2（x-1）2+1

C.7=-2（x-1）2-1D.y=-2（x+1）2-l

【分析】易得原拋物線的頂點及平移后新拋物線的頂點，根據平移不改變二次項系數利用頂

點式可得拋物線解析式.

解：?函數尸-2x2的頂點為（0,0）,

...向上平移1個單位，再向右平移1個單位的頂點為（1,1）,

.??將函數尸-21的圖象向上平移1個單位，再向右平移1個單位，得到拋物線的解析式為

7=-2（x-1）2+1,

故選：B.

【點評】考查二次函數的平移情況，二次函數的平移不改變二次項的系數；關鍵是根據上下

平移改變頂點的縱坐標，左右平移改變頂點的橫坐標得到新拋物線的頂點.

3.在中，ZC=90°,若/C=3,5（7=2,則tan/1的值是（）

A.—B.—C.返D.

2325

【分析】根據正切的定義計算即可.

故選：B.

【點評】本題考查的是銳角三角函數的定義，銳角A的對邊a與鄰邊Z>的比叫做N/1的正切.

4.如圖，。。的弦43=16,〃是43的中點，且。1/=6,則。。的半徑等于()

【分析】連接。4,即可證得△。跖4是直角三角形，根據垂徑定理即可求得/〃，根據勾股

定理即可求得<9/的長，即。。的半徑.

解：連，接OA,

?上是的中點,

OM]_AB,且4M=8,

在RtZ\CMV中，C>^=VAM2+OM2=10-

【點評】本題主要考查了垂徑定理，以及勾股定理，根據垂徑定理求得4"的長，證明△

04〃是直角三角形是解題的關鍵.

5.在平面直角坐標系中，給出三點A,B,C,記其中任意兩點的橫坐標的差的最大值為a,

任意兩點的縱坐標差的最大值為h,定義“矩面積"S=ah,例如：給出A(1,2),8(-

3,1),C(2,-2),則a=5,h=4,S=ah=20.若/>(1,2),7?(-2,1).F(0,t)

三點的"矩面積”為18,則r=()

A.-3或7B.-4或6C.-4或7D.-3或6

【分析】根據題意可以求得a的值，然后再對r進行討論，即可求得r的值.

解：由題意可得，。=1-(-2)=3,

當E>2時,h=t-1,

則3(Ll)=18,

解得，t=1,

故點尸的坐標為(0,7);

當1WK2時，h=2-1=1^6,

故此種情況不符合題意；

當yl時，h=2-t,

則3(2-r)=18,

解得夕-4；

綜上，r=-4或7;

故選：C.

【點評】本題考查坐標與圖形的性質，解答本題的關鍵是明確題目中的新定義，利用新定義

解答問題.

6.如圖，在。/6CO中，E是6。的中點，且下列結論不正確的是()

A.BF=^DFB.四邊形是等腰梯形

c.sAFAI尸2s&FBED.AAEB=/_ADC

【分析】根據已知條件即可推出△瓦凡推出4項為正確，已知條件可以推出四邊

形4ECD為等腰梯形，推出8項正確，結合平行四邊形的性質，可以推出。項正確，所

以C項是錯誤的.

解：?.?平行四邊形/BCD中，

/\BEF^/\DAF,

??,E是8C的中點，

：.BF:FD=BE'.AD,

：.BF=—DF,

故月項正確；

■：AAEC=ADCE,

四邊形為等腰梯形，

故8項正確；

：.^AEB=/_ADC.

:/\BEM/\DAF,BF=^DF,

?■^AAFD=&S&EFB，

故。項不正確；

?：AAEB+AAEC=

N4DO/C=180

而四邊形兒CCD為等腰梯形，

：./_AEC=/_C,

：.AAEB=AADC,

因此。項正確.

故選：c.

【點評】本題主要考查相似三角形的判定及性質、等腰梯形的判定、平行四邊形的性質，解

題的關鍵在于找到相似三角形.

7.已知二次函數產=公2+及+，（2片0）的圖象如圖所示，則下列結論中正確的是（）

A.abc<0B.2a+b<QC.￡>2-4ac<0D.a+i>+c<0

【分析】由拋物線的開口方向判斷。與0的關系，由拋物線與了軸的交點判斷c與0的關系,

然后根據對稱軸及拋物線與x軸交點情況進行推理，進而對所得結論進行判斷.

解：拋物線開口向上，得：a>0；

拋物線交了軸于負半軸，得：c<0；

對稱軸x=—g->0,

2a

所以6<0;

所以abc>Q;

由圖象可知：0<一又<1,

2a

所以-Z><2a,即2a+6>0;

由圖知：拋物線與x軸有兩個不同的交點，則△=從-4@<7>0；

由圖可知：當x=l時，/<0,

所以a+b+c<0;

故選：D.

【點評】主要考查圖象與二次函數系數之間的關系，會利用對稱軸的范圍求2a與人的關系,

以及二次函數與方程之間的轉換，根的判別式的熟練運用.

8.如圖，和△￡(石尸是等腰直角三角形，ZC=ZF=90°,40=2,DE=4.點8與

點。重合，點4B(￡>),E在同一條直線上,將△48。沿。方向平移，至點/與

點后重合時停止.設點B,。之間的距離為x,△ABC與XDEF重疊部分的面積為尸,

x變化的情

況，由題意知，在移動的過程中，陰影部分總為等腰直角三角形；據此根據重合

部分的斜邊長的不同分情況討論求解.

解：由題意知：，在移動的過程中，陰影部分總為等腰直角三角形.

當0<x<2時，此時重合部分的斜邊長為x,則尸

當24x<4時，此時重合部分的斜邊長為2,則尸2X1X>1;

當4Vx&6時，此時重合部分的斜邊長為2-（x-4）=6-x,則y=（6-x）

19

~x*--3x+9j

由以上分析可知，這個分段函數的圖象左邊為拋物線的一部分，中間為直線的一部分，右邊

為拋物線的一部分.

故選：B.

【點評】本題以動態的形式考查了分類討論的思想，函數的知識和等腰直角三角形，具有很

強的綜合性.

二.填空題（共8小題，滿分16分，每小題2分）

9.當兩個相似三角形的相似比為1：1力時,這兩個相似三角形的面積比是1：2.

【分析】直接利用相似三角形的性質分析得出答案.

解：???相似三角形的面積比等于相似比的平方，

二兩個相似三角形的面積比是1:2時，兩個相似三角形的相似比為：1:

故答案為：1：^2-

【點評】此題主要考查了相似三角形的性質，正確掌握相似三角形面積比與相似比的關系是

解題關鍵.

10.已知反比例函數尸（m-2）Xm2-lQ的圖象，在每一象限內了隨x的增大而減小，則

m的值為3.

【分析】依據反比例函數7=（切-2）xm-T0的圖象，在每一象限內y隨x的增大而減小，

即可得到m的值.

'm-2關0

解：根據題意得《9,

Im-10=-1

解得n?=3或-3,

二?反比例函數在每一象限內尸隨x的增大而減小，

m-2>0,即zn>2,

m=3,

故答案為：3.

【點評】本題考查了反比例函數的性質：反比例函數的圖象為雙曲線，當左>0,圖象分布

在一、三象限，在每一象限內，了隨X的增大而減小；當上＜0,圖象分布在二、四象限,

在每一象限內，尸隨x的增大而增大.

11.如圖，點。為的外接圓圓心，點E為圓上一點，BC、OE互相平分，CFVAE

于八連接若OE=2a,DF=\,則△T8C的周長為6+2點.

【分析】由3。、互相平分可證明四邊形鹿69為平行四邊形，由OC=O3可得8比'O

為菱形，可得/3。。=60",NE4￡=/E4C=30°,于尸，可證△月GC為等

邊三角形，尸為中點，則由中位線性質可得6G=2。尸.在中利用勾股定理可求

GH,進而得到/6、AC,得到△40C的周長.

解：延長CF交/18于點G,過。作于H,連8。

：BC.OE互相平分

.四邊形BECO為平行四邊形

---OB=OC

二四邊形3ECO為菱形

BE=EC

：OE=2^

0D二料

：中，tan/BOD=而

NBOD=60。

：.ABAE=AEAC=3^

：CFLAE

尸為GC中點，△4GC為等邊三角形

：.BG=2DF=2

在RtA^CA/中

（2+GM2+（V3GH）2=62

解得G〃=士叵.（舍去）或。〃=二1返_,

22

：.AG=AC=-I+A/33,

的周長為6+2733.

故答案為：64-2^/33，

【點評】本題是圓的綜合題，考查了圓的有關計算、菱形判定和性質、中位線性質以及勾股

定理，解答關鍵是時數形結合.

12.如圖，若等腰三角形的底邊上的高等于18cm,腰上的中線等于15cm,則這個等腰三角

形的面積等于144.

【分析】先作MN,8c'于N,可判斷07為△/CD的中位線，求出VN的長，再由勾股定

理求得3N的長，由等腰三角形的性質，求得6C,再求出其面積即可.

解：祚MNLBC卡N,

-：AM=MC,MNiiAD,

：.DN=NC.

MN=yAD=9>在Rtab/WV中，BM=15,MN=9.

：.BN=12,而BD=DC=2DN,

：.?>DN=12,DN=4,

二以7=16,5△皿=1■。比4x18X16=144.

【點評】本題考查了三角形中位線定理、勾股定理的應用，及三角形面積的計算.

13.小明發現相機快門打開過程中，光圈大小變化如圖1所示，于是他繪制了如圖2所示的

圖形.圖2中六個形狀大小都相同的四邊形圍成一個圓的內接正六邊形和一個小正六邊

形，若0Q所在的直線經過點〃，/4=5s?,小正六邊形的面積為里返c/,則該圓的

2

半徑為8

光春大小開啟示意變

圖1

【分析】設兩個正六邊形的中心為O,連接OP,OB,過。作OHX.AB,由正

六邊形的性質及鄰補角性質得到三角形為等邊三角形，由小正六邊形的面積求出邊

長，確定出0似的長，進而求出三角形RMN的面積，利用垂徑定理求出PG的長，在直

角三角形O0G中，利用勾股定理求出OP的長，設O8=xcm,根據勾股定理列出關于x

的方程，求出方程的解即可得到結果.

解：設兩個正六邊形的中心為O,連接OROB,過。作。OHLAB,

由題意得：ZMNP=ZNMP=ZMPN=60°,

???小正六邊形的面積為里叵52,

2

二小正六邊形的邊長為即月％=7畬￡7",

.C_14773?2

-S&MPNcm,

\OG_LPM,且。為正六邊形的中心，

：.PG=—PM=h/3-cm,OG=^-PM=—,

2262

在RtZXOPG中，根據勾股定理得：OP=2+

設QB=xcm,

：OHLAB,且。為正六邊形的中心,

：.BH=—x,返x,

22

:.PH=(5-—x)cm,

2

在Rtz\/Y/。中，根據勾股定理得：。廿=2+(5-—X)2=49,

2

解得：x=8（負值舍去）,

則該圓的半徑為8cm.

故答案為：8

光圈大小開啟示意圖

fr?919919

圖1圖2

【點評】此題考查了正多邊形與圓，熟練掌握正多邊形的性質是解本題的關鍵.

14.如圖，點力在雙曲線y=--_t.，點。在雙曲線產?上,且x軸，B、C在x軸上,

XX

則矩形ABCD的面積為3.

【分析】延長D4交7軸于點E,由矩形的性質及反比例函數系數*的幾何意義可得出S矩

形￡08/1=1、$矩形￡08=4,將其代入S矩形'00=5矩形￡00/1-S矩形￡08/1中即可求出結論―

解：延長D4交了軸于點￡1,如圖所示.

■.一四邊形/6CD為矩形，且49//x軸，

「./I石'_Ly軸，。石工尸軸，/IBlx軸，￡>CJ_x軸.

14

又二點力在雙曲線尸土上，點。在雙曲線y=一上,

xx

一S矩形￡08/1=1，$矩形萬08=4,

矩形，8a>=S矩形EOBA_S矩形EOR4=4-1=3

【點評】本題考查了反比例函數系數★的幾何意義，利用反比例函數系數4的幾何意義找出

S矩形￡00,1=1、S矩形反尤9=4是解題的關鍵.

15.如圖，某水庫大壩的橫假面是梯形人88,壩頂寬Z?C是10米，壩底寬40是90米,

背水坡月。和迎水坡8。的坡度都為1:2.5,那么這個水庫大壩的壩高是16米.

【分析】直接利用坡度的定義表示出AM,BN的長,進而利用已知表示出的長，進而

得出答案.

解：如圖所示：過點。作于點作CNLAB于點N,

設DM=CN=x,

?.,背水坡/。和迎水坡6c的坡度都為1:2.5,

：.AM=BN=2.5x,

故AB=AM+BN+MN=5x+10=90,

解得：x=16,

即這個水庫大壩的壩高是16米.

故答案為：16.

DC

【點評】此題考查了坡度坡角問題.此題難度適中，注意構造直角三角形，并借助于解直角

三角形的知識求解是關鍵.

16.請任意寫出一個圖象開口向下且頂點坐標為（-2,1）的二次函數解析式：尸-（向2）

2+1（答案不唯一）.

【分析】寫出一個拋物線開口向下，頂點為已知點坐標即可.

解：拋物線尸-（/2）2+1的開口向下、頂點坐標為（-2,1）,

故答案為：7=-（/2）2+1（答案不唯一）.

【點評】此題考查了待定系數法求二次函數解析式，熟練掌握待定系數法是解本題的關鍵.

三.解答題（共12小題，滿分68分）

17.（5分）如圖，已知在△48C中，AB=AC,ABAC=120°,71c的垂直平分線用1交力C

于點E,交于點尸.試探索昉與C尸的數量關系，寫出你的結論并證明.

【分析】連接力尸，求出CF=AF,ABAF=^,再根據/A4C=120°可求出

N3的度數，由直角三角形的性質即可求出8尸=2/尸=2CF,于是得到結論.

解：BF=2CF.

證明：連接力尸，

：AB=AC,/8/0=120°

「?/刀=/C=30°,

?.?必垂直平分4G

：.AF=CFy

/.ZG4/?=ZC=30°,

/.ZAFB=ZCAF+ZC=60°,

「./如尸=180°-AB-AAFB=90°,

：.BF=2AF,

：.BF=2CF.

【點評】本題考查的是線段垂直平分線的性質，等腰三角形的性質，正確的作出輔助線是解

題的關鍵.

18.(5分)計算：4sin30一，^cos45-J^an30+2sin60'

【分析】依據30°、45°、60°角的各種三角函數值，代入計算即可.

解：4sin30-J區QS45-J京an30‘4-2sin60

=4乂工-亞X返-?X返+2X運

22V32

=2-1-1+73

=V3.

【點評】本題主要考查了特殊角的三角函數值，一是它可以當作數進行運算，二是具有三角

函數的特點，在解直角三角形中應用較多.

19.(5分)如圖，在中，即是的平分線，過點C作即，交即的延

長線于點E,AABC=6O°,Z￡CD=15°.

(1)直接寫出N/1A8的度數是75°；

(2)求證：BD=AB\

(3)若/8=2,求的長.

【分析】(1)在RtaOEC中，求出NCC歸即可；

(2)欲證明皮?=/18,只要證明/月=/4。3即可；

(3)過點。作。KLBC交8。于尸點.分別求出8G《產即可解決問題;

解：(1),??81，區

/.ZZJ=90°,

,/Z7?CZ)=15O,

：.AADB=ACDE=^°-15°=75°

故答案為75°.

(2)證明：???班)平分/Zl/C,

/480=60°,

:4ABD=4DBC=30",

/.ZZ=75°,

AA=AADB,

：.AB=DB.

(3)過點。作。PIAS；交8c于尸點.

「DFLBC,

：.ADFB=ADFC=^,

■:NDBF=30°,

：.DF=LBD,

2

：BD=AB=2,

：.DF=\,

FB=M，

：CE1.BE,

/.Z^=90°,

.ZDBC=30",

「./￡/》=60°,

,：AECD=\50,

.'.ZDCB=45°,

:.(DCF=(FDC=4S,

:.FD=FC=1,

；BC=M+L

【點評】本題考查解直角三角形，角平分線的定義，等腰三角形的判定和性質等知識，解題

的關鍵是學會添加常用輔助線，構造直角三角形解決問題.

20.（5分）如圖，ABLBD,CDLBD,AB=6,CD=16,BD=20,一動點。從8向。運

動，問：當6。等于多少時，與△PCD是相似三角形？

【分析】根據相似三角形的判定即可求出『的長度.

解：設BP=x,

PD=20-x,

.6_x

；.x=5,

即BP=5,

此時△?!P8sZ\℃,

.6_x

--20-x=16?

；.x=8或x=12,

即8P=8或12,

：./\APBsXPCD,

【點評】本題考查相似三角形的判定，解題的關鍵是熟練運用相似三角形的判定與分類討論

的思想，本題屬于基礎題型.

21.（5分）已知拋物線%=/+mx+”，直線為=2x+l,拋物線外的對稱軸與直線外的交點

為點A,且點A的縱坐標為5.

（1）求功的值；

（2）若點/I與拋物線力的頂點3的距離為4,求拋物線力的解析式；

（3）若拋物線為與直線外只有一個公共點，求〃的值.

【分析】（1）根據題意得到點力的坐標為（2,5）,根據拋物線的對稱軸公式即可得到結論;

（2）根據已知條件得到點6的坐標為（2,1）或（2,9）,根據頂點坐標公式列方程即可得

到結論；

（3）根據拋物線力與直線乃只有一個公共點得到的一元二次方程根的判別式為0,解關于

n的方程即可得到結論.

解：（1）.??點4的縱坐標為5,點八在直線為=2/1上，

「.5=2x+l,得x=2,

..?點*的坐標為（2,5）,

;物線%的對稱軸與直線為的交點為點力,拋,物線%=x2+m.Y+”，

----=2,#rn=-4；

2X1

（2）?.,點4與拋物線力的頂點，3的距離為4?，點力的坐標為（2,5）,

.?.點6的坐標為（2,1）或（2,9）,

.4n?4）2=［或9,

4

解得：n=5或13,

2

「?拋物線％的解析式的解析式為：71=X-4X+5或巧=/-4升13；

f2

⑶解1yYx+n得，x2-6x+n-l=0,

_y=2x+l

.?.拋物線力與直線為只有一個公共點，

/.A=36-4n+4=0,

解得n=10.

【點評】本題考查了待定系數法求二次函數的解析式，一次函數的性質，二次函數的性質,

根據題意求得頂點坐標是解題的關鍵.

22.（5分）在一次數學綜合實踐活動中，小明計劃測量城門大樓的高度，在點8處測得樓

頂/的仰角為22°,他正對著城樓前進21米到達。處，再登上3米高的樓臺。處，并

測得此時樓頂力的仰角為45°.

（1）求城門大樓的高度；

（2）每逢重大節日，城門大樓管理處都要在力，8之間拉上繩子，并在繩子上掛一些彩旗,

請你求出A,8之間所掛彩旗的長度（結果保留整數）.（參考數據：sin220cos22°

o

tan22"?=—）

165

【分析】（1）根據題意作出合適的輔助線，然后根據題意和銳角三角函數可以求得城門大樓

的高度；

（2）根據（1）中的結果和銳角三角函數可以求得/,8之間所掛彩旗的長度.

解：（1）作/148C交8C于點尸，交。￡于點區如右圖所示，

由題意可得，CD=EF=3米,/8=22",/_ADE=^,8c=21米，DE=CF,

■：AAED=AAFB=＜）0°,

N￡ME=45°,

ZDAE=ZADE,

AE=DE,

設AF=a米，則AE=（a-3）米，

:.tan22=--------—,

21+(a-3)

W—=——―『

521+(a-3)

解得,w=12,

答：城門大樓的高度是12米；

AF

(2)-,,Z5=22°,/尸=12米，sinZ^=—

AB

1-2---

：.AB3=32,

即4,8之間所掛彩旗的長度是32米.

【點評】本題考查解直角三角形的應用-仰角俯角問題，解答本題的關鍵是明確題意，利用

銳角三角函數和數形結合的思想解答.

23.(6分)如圖，雙曲線尸四過點月(-1,3).

x

(1)求人的值；

(2)若過點力的直線產-2x+6與x軸交于點8,求的面積.

【分析】(1)把力的坐標代入反比例函數的解析式，求出即可;

(2)把d的坐標代入求出乩求出直線與x軸的交點坐標，根據三角形的面積公式求出即

可.

解：(1)將點4(-1,3)代入產生得,

x

解得：k=-3.

(2)解：將力(-1,3)代入尸-2什6得，3=-2X(-1)+b,

.*./=-2x4-1,

令尸0,0=-2A-+1解得X=}

--^^AOB=^X*X3=^--

【點評】本題綜合考查了用待定系數法求一次函數的解析式，三角形的面積，反比例函數與

一次函數的交點問題等知識點的應用，主要考查學生能否熟練地運用性質進行計算和推

理，題目比較典型.

24.（6分）我縣在黨中央實施“精準扶貧”政策的號召下，大力開展科技扶貧工作，幫助

農民組建農副產品銷售公司，某農副產品的年產量不超過100萬件，該產品的生產費用了

（萬元）與年產量X（萬件）之間的函數圖象是頂點為原點的拋物線的一部分（如圖①所

示）；該產品的銷售單價z（元/件）與年銷售量x（萬件）之間的函數圖象是如圖②所示

的一條線段，生產出的產品都能在當年銷售完，達到產銷平衡，所獲毛利潤為w萬元.（毛

利潤=銷售額-生產費用）

（1）請直接寫出了與x之間的函數關系式；

（2）求w與x之間的函數關系式；并求年產量多少萬件時，所獲毛利潤最大？最大毛利潤

是多少？

圖①圖②

【分析】(1)利用待定系數法可求出了與X以及Z與X之間的函數關系式；

(2)根據(1)的表達式及毛利潤=銷售額-生產費用，可得出w與x之間的函數關系式,

再利用配方法求函數最值即可.

解：(1)圖①可得函數經過點(100,1000),

設拋物線的解析式為尸a/(2K0),

將點(100,1000)代入得：1000=10000a,

解得：2=-^-,

故尸與x之間的關系式為尸焉《；

(2)圖②可得:函數經過點(0,30)、(100,20),

設z=kx+b,則<,

lb=30

，占］

解得：10,

上二30

故Z與X之間的關系式為2=-器+30;

1,1,

W=zx-y=----A^+30X-------

1010

=-—(x-75)2+1125,

5

--<0,

5

.?.當x=75時,即有最大值1125,

.??年產量為75萬件時毛利潤最大，最大毛利潤為1125萬元.

【點評】本題考查了二次函數的應用及一次函數的應用，解答本題的關鍵是利用待定系數法

求函數解析式.

25.(6分)如圖，AD的圓。的切線，切點為A,是圓<9的弦.過點B作BCNAD,交

圓。于點C,連接4C,過點。作CD/7/8,交AD于點D.連接力。并延長交友7于點

M,交過點。的直線于點R且N8CP=NACD.

(1)判斷直線PC與圓。的位置關系，并說明理由.

(2)若/13=9,BC=6,求圓。的半徑和尸C的長.

【分析】(1)根據等量代換可得//Q=NB/1C=N8NC=N8CP,由CN是。6＞的直徑，

得NCBN=90：證得NPCO=90°,可得結論；

(2)先根據勾股定理得：AM=y/g2_32=6^,設。。的半徑為r,列方程OA/+M(^=

Od-,則返，證明△OMCS^OCP,可得PC的長.

解：(1)直線PC與圓。相切，理由是：

如圖1,連接co交延長，交。。于點N,連接6N,

■：ABHCD,

：.ABAC=AACD,

?：ZBAC=ZBNC,

：.ABNC=AACD,

■：ABCP=AACD,

：.ZBNC=ZBCP,

rev是。。的直徑，

ZCBN=1)0°,

：.ABNC+ABCN=^°,

:.乙BCP+乙BCN=90°,

ZPC(9=90°,即PC_LOC,

???點C在。。上，

二直線。。與圓。相切；(5分)

(2)???4。是。。的切線,

：.ADLOA,即/040=90°,

■：BCIIAD,

ZCWC=180°-/040=90°,gpOMLBC,

：.MC=MB,

：.AB=ACy

在中，ZA/WC=90°,MC=^BC=3,

由勾股定理得：AM=g2_^2=6^2,

設0。的半徑為r,

在Rt^OA/C中，AOMC=90°,OM=AM-AO=6-j2-r,MC=3,OC=r,

由勾股定理得：OA/+M^=O（?,

即（W^F）2+32=r2，解得：r=—

o

1--zOMC=zOCP,zMOC=zCOP,

：./\OMC^/\OCP,

.0M_CM

■'0C^PC，

,/_2哂

.一3

27&PC'

8

:.PC=^~.（11分）

圖1

【點評】本題考查了切線的判定與性質：過半徑的外端點與半徑垂直的直線為圓的切線；圓

的切線垂直于過切點的半徑.也考查了勾股定理、圓周角定理的推論、三角形相似的判

定與性質.

26.(6分)定義：在平面直角坐標系中，圖形G上點P(x,y)的縱坐標尸與其橫坐標x

的差y-x稱為0點的“坐標差”，而圖形G上所有點的“坐標差”中的最大值稱為圖形

G的“特征值".

(1)①點A(1,3)的“坐標差”為2;

②拋物線尸-#+3x+4的"特征值”為5;

(2)某二次函數y=-7+6升c(cKO)的“特征值”為-1,點8(m,0)與點C分別是

此二次函數的圖象與x軸和尸軸的交點，且點8與點C的“坐標差”相等.

①直接寫出-c;(用含c的式子表示)

②求此二次函數的表達式.

【分析】(1)①根據“坐標差”的定義計算可得；②先根據定義知拋物線尸-、2+3肝4的

“坐標差”為-￥+3肝4-x=-(x-1)2+5,依據“特征值”的定義即可得答案；

(2)①利用二次函數圖象上點的坐標特征可求出點。的坐標，由“坐標差”的定義結合點

8與點。的“坐標差”相等，即可求出"7的值；

②由點6的坐標利用待定系數法可找出Ac之間的關系，找出了-x關于X的函數關系式，

再利用二次函數的性質結合二次函數尸-x2+6肝c(CX0)的“特征值”為-1,即可得

出關于人的一元二次方程，解之即可得出6的值，進而可得出c的值，此間得解.

解：(1)①點月(1,3)的“坐標差”為3-1=2,

②拋物線尸-x2+3x+4的"坐標差”為

—x+3A~+4-x

=-?+2A-+4

=-(x-1)2+5,

當x=-l時，“坐標差”取得最大值5,

所以拋物線尸-/+3x+4的“特征值”為5;

故答案為：2,5;

(2)①當x=0時，/=-x+bx+c=c,

???點C的坐標為(0,c).

?點8與點。的“坐標差”相等，

.*.0-m=c-0,」

m--c.

故答，案為：_C.

②二七(0,C),

又?.?點8與點C的“坐標差”相等,

??B(-c,0),

把(一c,0)代入y=-x?+bx+c,得到：0=-c2-bc+c,

C=1-by

二,二次函數尸=一(+加+c(c#0)的“特征值”為一1

所以7—x=—d+(6—1)%+1-6的最大值為—1,

--4(l-b)-(b-l)2=_1

-------------------1,

-4

解得6=3,

c=-2,

二次函數的解析式為y