2021年湖南省衡陽(yáng)市中考數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（本題共12個(gè)小題，每小題3分，滿分36分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，

只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）

1.8的相反數(shù)是（）

A.-8B.8C.-AD.±8

8

【分析】根據(jù)相反數(shù)的概念求解即可.

【解答】解：相反數(shù)指的是只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)，因此8的相反數(shù)是-8.

故選：A.

2.2021年2月25日，習(xí)近平總書記莊嚴(yán)宣告，我國(guó)脫貧攻堅(jiān)戰(zhàn)取得全面勝利.現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)下,

98990000農(nóng)村貧困人口全部脫貧.數(shù)98990000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.98.99X106B.9.899X107

C.9899X104D.0.09899X108

【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為“X10”的形式，其中1W⑷<10,〃為整數(shù).確定”

的值時(shí)，要看把原數(shù)變成。時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，〃的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相

同.當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值大于10時(shí)，〃是正整數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值小于1時(shí)，〃是負(fù)整數(shù).

【解答】解：98990000=9.899X1（）7,

故選：B.

3.在以下綠色食品、回收、節(jié)能、節(jié)水四個(gè)標(biāo)志中，是軸對(duì)稱圖形的是（)

【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念對(duì)各選項(xiàng)分析判斷利用排除法求解.如果一個(gè)圖形沿一

條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做

對(duì)稱軸，這時(shí)，我們也可以說(shuō)這個(gè)圖形關(guān)于這條直線成軸對(duì)稱.

【解答】解：兒是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意；

B.不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意；

C.不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意；

D.不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意.

故選：A.

4.下列運(yùn)算結(jié)果為小的是（）

A.a2,a3B.al2-?rz2C.（a3）2D.（Ao3）2

2

【分析】直接利用同底數(shù)基的乘除運(yùn)算法則、慕的乘方運(yùn)算法則、積的乘方運(yùn)算法則分

別計(jì)算得出答案.

【解答】解：A./加3=?5,故此選項(xiàng)不合題意；

B.d2+/="？故此選項(xiàng)不合題意：

C.（1）2=心,故此選項(xiàng)符合題意；

D（」/3）2=2"6,故此選項(xiàng)不合題意；

24

故選：C.

5.下列計(jì)算正確的是（）

A.716=±4B.（-2）°=1C.D.^g=3

【分析】根據(jù)相關(guān)概念和公式求解，選出正確答案即可.

【解答】解：16的算術(shù)平方根為4,即/正=4,故A不符合題意；

根據(jù)公式“°=15#0）可得（-2）°-1,故8符合題意；

血、遍無(wú)法運(yùn)用加法運(yùn)算化簡(jiǎn)，故故C不符合題意；

79=3.故。不符合題意；

故選：B.

6.為了向建黨一百周年獻(xiàn)禮，我市中小學(xué)生開(kāi)展了紅色經(jīng)典故事演講比賽.某參賽小組6

名同學(xué)的成績(jī)（單位：分）分別為：85,82,86,82,83,92.關(guān)于這組數(shù)據(jù)，下列說(shuō)

法錯(cuò)誤的是（）

A.眾數(shù)是82B.中位數(shù)是84C.方差是84D.平均數(shù)是85

【分析】根據(jù)方差、中位數(shù)、眾數(shù)及平均數(shù)的定義，結(jié)合數(shù)據(jù)進(jìn)行分析即可.

【解答】解：將數(shù)據(jù)重新排列為82,82,83,85,86,92,

小數(shù)據(jù)的眾數(shù)為82,此選項(xiàng)正確，不符合題意；

B、數(shù)據(jù)的中位數(shù)為巡空=84,此選項(xiàng)正確，不符合題意；

2

C、數(shù)據(jù)的平均數(shù)為82+82+2+85+86+92=85,

6

所以方差為」X[(85-85)2+(83-85)2+2X(82-85)2+(86-85)2+(92-85)2]

6

=12,此選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；

。、由C選項(xiàng)知此選項(xiàng)正確；

故選：C.

7.如圖是由6個(gè)相同的正方體堆成的物體，它的左視圖是()

【分析】畫出該組合體的三視圖即可.

【解答】解：這個(gè)組合體的三視圖如下:

主視圖左視圖俯視圖

故選:A.

8.如圖是某商場(chǎng)營(yíng)業(yè)大廳自動(dòng)扶梯的示意圖.自動(dòng)扶梯AB的傾斜角為37°,大廳兩層之

間的距離BC為6米，則自動(dòng)扶梯AB的長(zhǎng)約為(sin37°g0.6,cos37°M).8,tan37°—

0.75)()

B

A.7.5米B.8米C.9米D.10米

【分析】由銳角三角函數(shù)可以求得AB的長(zhǎng)即可.

【解答】解：在Rtz\ABC中，ZACB=90°,8c=6米，

VsinZBAC=^2=sin37°比0.6=3,

AB5

.?.AB^5BC=$X6=10（米），

33

故選：D.

9.下列命題是真命題的是（）

A.正六邊形的外角和大于正五邊形的外角和

B.正六邊形的每一個(gè)內(nèi)角為120°

C.有一個(gè)角是60°的三角形是等邊三角形

D.對(duì)角線相等的四邊形是矩形

【分析】根據(jù)多邊形的外角和都是360度對(duì)A作出判斷；

根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式求出正六邊形的內(nèi)角和，再求出每個(gè)內(nèi)角對(duì)B作出判斷;

根據(jù)等邊三角形的判定對(duì)C作出判斷；

根據(jù)矩形的判定對(duì)。作出判斷.

【解答】解：A.每個(gè)多邊形的外角和都是360°,故錯(cuò)誤，假命題；

B.正六邊形的內(nèi)角和是720°,每個(gè)內(nèi)角是120°,故正確，真命題；

C.有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形，故錯(cuò)誤，假命題；

D.對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，故錯(cuò)誤，假命題.

故選：B.

10.不等式組1x+l<°的解集在數(shù)軸上可表示為（）

l-2x<6

A.-5-4-3-2A~0_1_2~>

--------1?1?-----------1—>

B.-5-4-3-2-1012

c.-5-4-3-2-1012

D.-5-4-3-2-1~0~1~2~>

【分析】解出兩個(gè)不等式，再表示出不等式組的解集，在數(shù)軸上正確表示出來(lái)即可選出

正確答案.

【解答】解：解不等式x+lVO得，-1,

解不等式-2xW6得，X2-3,

不等式組的解集為：-3?-1,在數(shù)軸上表示為：

----------1------1----1---------------!-------------1----->

-5-4-3-2-1012

故選：A.

11.下列說(shuō)法正確的是（）

A.為了解我國(guó)中學(xué)生課外閱讀情況，應(yīng)采取全面調(diào)查方式

B.某彩票的中獎(jiǎng)機(jī)會(huì)是1%,買100張一定會(huì)中獎(jiǎng)

C.從裝有3個(gè)紅球和4個(gè)黑球的袋子里摸出1個(gè)球是紅球的概率是3

4

D.某校有3200名學(xué)生，為了解學(xué)生最喜歡的課外體育運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目，隨機(jī)抽取了200名學(xué)

生，其中有85名學(xué)生表示最喜歡的項(xiàng)目是跳繩，估計(jì)該校最喜歡的課外體育運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目為跳

繩的有1360人

【分析】根據(jù)概率的定義和計(jì)算公式即可.

【解答】解：全國(guó)中學(xué)生人數(shù)很大，應(yīng)采用抽樣調(diào)查方式，

選項(xiàng)錯(cuò)誤，

彩票的中獎(jiǎng)機(jī)會(huì)是1%說(shuō)的是可能性，和買的數(shù)量無(wú)關(guān)，

.?.B選項(xiàng)錯(cuò)誤，

根據(jù)概率的計(jì)算公式，C選項(xiàng)中摸出紅球的概率為旦，

7

???C選項(xiàng)錯(cuò)誤，

200名學(xué)生中有85名學(xué)生喜歡跳繩，

...跳繩的占比為盍X100%=42.5%，

A3200X42.5=1360(A),

，￡）選項(xiàng)正確，

故選：D.

12.如圖，矩形紙片A8C￡>,AB=4,BC=8,點(diǎn)M、N分別在矩形的邊A。、8c上，將矩

形紙片沿直線MN折疊，使點(diǎn)C落在矩形的邊4。上，記為點(diǎn)P,點(diǎn)。落在G處，連接

PC,交MN于點(diǎn)。，連接CM.下列結(jié)論：①四邊形CMPN是菱形；②點(diǎn)P與點(diǎn)4重合

時(shí),MN=5；③△PQM的面積S的取值范圍是4WSW5.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）

G

A.①②③B.①②C.①③D.②③

【分析】先判斷四邊形CMPN是平行四邊形，再根據(jù)PN=CN判斷四邊形CMPN是菱形,

點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)設(shè)BN=x,表示出4N=NC=8-x,利用勾股定理解出x,進(jìn)而求出

即可判斷②，當(dāng)過(guò)。點(diǎn)時(shí)，求出四邊形CMPN面積的最小值，當(dāng)尸與A重合時(shí),

求出四邊形面積的最大值，即可判斷③.

【解答】解：：PM〃CM

NPMN=NMNC,

NMNC=NPNM,

NPMN=ZPNM,

:.PM=PN,

,:NC=NP,

：.PM=CN,

"：MP//CN,

：.四邊形CNPM是平行四邊形，

,:CN=NP,

四邊形CNPM是菱形,

故①正確；

如圖1,當(dāng)點(diǎn)P與A重合時(shí)，設(shè)8N=x,則AN=NC=8-x,

在Rt/XABN中,AB2+BN1=AV,

即平+爐=（8-%）2,

解得x=3,

；.CN=8-3=5,

'：AB=4,8c=8,

?■?AC=VAB2+BC2=4^>

：.CQ=XAC=2^

QN=VCN2-CQ2=瓜

:.MN=2QN=2代,

故②不正確；

由題知，當(dāng)MN過(guò)點(diǎn)。時(shí)，CN最短，如圖2,四邊形CMPN的面積最小,

止匕時(shí)s=_ks箜般CM/W=2X4X4=4,

44

當(dāng)尸點(diǎn)與A點(diǎn)重合時(shí)，CN最長(zhǎng)，如圖1,四邊形CMPN的面積最大，

此時(shí)S=J^X5X4=5,

4

.?.4WSW5正確，

故選：C.

圖1

二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，滿分18分.）

13.若二次根式有意義，則x的取值范圍是xN3

【分析】二次根式的被開(kāi)方數(shù)x-320.

【解答】解：根據(jù)題意，得

X-3N0,

解得，x23；

故答案為：x》3.

14.計(jì)算：—1.

aa

【分析】根據(jù)同分母的分式加減法則進(jìn)行計(jì)算即可.

【解答】解：原式=里/=1.

a

故答案為：I.

15.因式分解：3a2-%。=3a(a-3b).

【分析】提取公因式，即可得出答案.

【解答】解：3?2-9ab

3ci(.a~3b),

故答案為：3a(a-3b).

16.底面半徑為3,母線長(zhǎng)為4的圓錐的側(cè)面積為12Tt.(結(jié)果保留n)

【分析】圓錐的側(cè)面積=底面周長(zhǎng)X母線長(zhǎng);2,把相應(yīng)數(shù)值代入即可求解.

【解答】解：圓錐的側(cè)面積=271X3X4+2=1211.

故答案為：12TT.

17.“綠水青山就是金山銀山”.某地為美化環(huán)境，計(jì)劃種植樹(shù)木6000棵.由于志愿者的加

入，實(shí)際每天植樹(shù)的棵樹(shù)比原計(jì)劃增加了25%,結(jié)果提前3天完成任務(wù).則實(shí)際每天植

樹(shù)500棵.

【分析】設(shè)原計(jì)劃每天植樹(shù)x棵，則實(shí)際每天植樹(shù)(1+25%)x棵，根據(jù)工作時(shí)間=工作

總量+工作效率，結(jié)合實(shí)際比原計(jì)劃提前3天完成任務(wù)，即可得出關(guān)于x的分式方程，

解之經(jīng)檢驗(yàn)后即可得出x的值，再將其代入(1+25%)x中即可求出結(jié)論.

【解答】解：設(shè)原計(jì)劃每天植樹(shù)x棵，則實(shí)際每天植樹(shù)(1+25%)x棵，

依題意得：6000-6000=3,

x(1+25%)x

解得：x=400,

經(jīng)檢驗(yàn)，x=400是原方程的解，且符合題意，

(1+25%)x=500.

故答案為：500.

18.如圖1,菱形ABC。的對(duì)角線AC與8。相交于點(diǎn)O,P、Q兩點(diǎn)同時(shí)從。點(diǎn)出發(fā)，以1

厘米/秒的速度在菱形的對(duì)角線及邊上運(yùn)動(dòng).點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路線為。-A-O-O,點(diǎn)Q的運(yùn)

動(dòng)路線為O-C-8-O.設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x秒，P、。間的距離為y厘米，y與x的函數(shù)

關(guān)系的圖象大致如圖2所示，當(dāng)點(diǎn)P在A段上運(yùn)動(dòng)且尸、。兩點(diǎn)間的距離最短時(shí)，P、

。兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路程之和為（2、隔3）厘米.

圖1圖2

【分析】結(jié)合圖象當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)，即AC=2“om同理求出

BD=2cm,利用菱形性質(zhì)即可求出AD=AB=8C=DC=2cm再由題意易知當(dāng)點(diǎn)P在A

段上運(yùn)動(dòng)，P、。兩點(diǎn)的最短時(shí)尸、Q分別位于A。、8c的中點(diǎn)時(shí)，求出此時(shí)P、Q

兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路程之和即可.

【解答】解：由圖分析易知：當(dāng)點(diǎn)P從。一A運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)。從0-C運(yùn)動(dòng)時(shí)，y不斷增大，

當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)，點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)，由圖象知此時(shí)y=PQ=2?c〃?，

AC=2,

?.?四邊形ABC。為菱形，

J.ACVBD,OA=OC=^.^=yf3cm,

當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到。點(diǎn)，。運(yùn)動(dòng)到8點(diǎn)，結(jié)合圖象，易知此時(shí)，y=B￡）=2cm,

,00=08=4。=1cm,

2

在RtAADO中，AD=70A2OD2=V（V3）2+12=2（CW））

：.AD=AB=BC=DC=2cm,

如圖，當(dāng)點(diǎn)P在A-O段上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)E處，點(diǎn)。在C-8段上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)。運(yùn)

動(dòng)到點(diǎn)尸處時(shí)，P、Q兩點(diǎn)的最短，

圖1__

此時(shí)，OE=OF=0A.0D=立X1二百,

AD22

A￡=AF=VoA2-0E2=^3-|=-|'

二當(dāng)點(diǎn)P在A-。段上運(yùn)動(dòng)且P、Q兩點(diǎn)間的距離最短時(shí)，P、Q兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路程之和為:

Q

（F號(hào)）X2=2V§+3（cm）

故答案為：（2b+3）.

三、解答題（本大題共8個(gè)小題，19?20題每題6分，21?24題每題8分，25題10分，

26題12分，滿分66分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或鹽酸步驟.）

19.（6分）計(jì)算：（x+2y）2+（x-2y）（x+2y）+x（x-4y）.

【分析】根據(jù)完全平方公式、平方差公式和單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式展開(kāi)再合并同類項(xiàng)即可.

【解答】解：原式=（/+4Q+4）2）+（7-4y2）+（x2-4xy）

=7+4孫+4/+/-4y2+j？-4xy

—3X2.

20.（6分）如圖，點(diǎn)A、B、D、E在同一條直線上，AB=DE,AC//DF,BC//EF.求證:

【分析】根據(jù)題目已知條件利用ASA即可求出△ABC絲△￡>￡下.

【解答】證明：?.?AC"。/,

（兩直線平行，同位角相等），

又,：BCMEF,

=（兩直線平行，同位角相等），

在△ABC和△QEF中，

rZCAB=ZFDE

<AB=DE，

ZCBA=ZFED

AABC學(xué)ADEF（ASA）.

21.（8分）“垃圾分類工作就是新時(shí)尚”，為了改善生態(tài)環(huán)境，有效利用垃圾剩余價(jià)值，2020

年起，我市將生活垃圾分為四類：廚余垃圾、有害垃圾、可回收垃圾、其他垃圾.某學(xué)

習(xí)研究小組在對(duì)我市垃圾分類實(shí)施情況的調(diào)查中，繪制了生活垃圾分類扇形統(tǒng)計(jì)圖，如

圖所示.

（1）圖中其他垃圾所在的扇形的圓心角度數(shù)是64.8度;

（2）據(jù)統(tǒng)計(jì)，生活垃圾中可回收物每噸可創(chuàng)造經(jīng)濟(jì)總價(jià)值約為0.2萬(wàn)元.若我市某天生

活垃圾清運(yùn)總量為500噸，請(qǐng)估計(jì)該天可回收物所創(chuàng)造的經(jīng)濟(jì)總價(jià)值是多少萬(wàn)元？

（3）為了調(diào)查學(xué)生對(duì)垃圾分類知識(shí)的了解情況，某校開(kāi)展了相關(guān)知識(shí)競(jìng)賽，要求每班派

2名學(xué)生參賽.甲班經(jīng)選拔后，決定從2名男生和2名女生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生參加比賽，

【分析】（1）根據(jù)題意求出其他垃圾所占百分比即可求出其他垃圾所在的扇形的圓心角

度數(shù)；

（2）根據(jù)可回收垃圾所占百分比算出500噸生活垃圾中可回收垃圾中的質(zhì)量，即可計(jì)算

出該天可回收物所創(chuàng)造的經(jīng)濟(jì)總價(jià)值；

（3）結(jié)合題意，畫出樹(shù)狀圖即可求出所抽取的學(xué)生中恰好一男一女的概率.

【解答】解：（1）由題意可知，其他垃圾所占的百分比為：1-20%-7%-55%=18%,

其他垃圾所在的扇形的圓心角度數(shù)是：360°X18%=64.8°,

故答案為：64.8；

（2）500X20%=100（噸），

100X0.2=20（萬(wàn)元）,

答：該天可回收物所創(chuàng)造的經(jīng)濟(jì)總價(jià)值是20萬(wàn)元;

（3）由題意可列樹(shù)狀圖：

開(kāi)始

22.（8分）如圖，點(diǎn)E為正方形ABC。外一點(diǎn)，ZAEB=90°,將Rt/SABE繞A點(diǎn)逆時(shí)針

方向旋轉(zhuǎn)90°得到△AOR。產(chǎn)的延長(zhǎng)線交BE于H點(diǎn).

（1）試判定四邊形的形狀，并說(shuō)明理由；

（2）已知BH=7,8C=13,求的長(zhǎng).

【分析】（1）利用旋轉(zhuǎn)即可得到Rt^ABE^Rt^ADF,再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可求

證四邊形的形狀；

（2）設(shè)AE=蒼則BE=7+x,AB=13,利用勾股定理即可求出x,進(jìn)而可求出。H的長(zhǎng).

【解答】解：（1）四邊形4/7/E是正方形，理由如下：

：Rt/XABE繞A點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得到△AD凡

RtAABE^Rt^ADF,

：.ZAEB=ZAFD=9Q°,

:.NAFH=90°,

"：Rt/\ABE^Rt/\ADF,

：.ZDAF=ZBAE,

又N￡>4F+NMB=90°,

AZBAE+ZFAB=90°,

：.ZFAE=9Qa,

在四邊形中，ZM￡=90°,NAEB=90°,NAFH=90°,

，四邊形A"E是矩形，

又尸，

.?.矩形AF//E是正方形；

(2)設(shè)AE=x.則由(1)以及題意可知：AE=EH=FH=AF=x,BH=7,BC=AB=13,

在RtZXAEB中，AB2=AE2+BE2,

即132=/+(X+7)2,

解得：x=5,

:.BE=BH+EH=5+7=12,

：.DF=BE=\2,

又,：DH=DF+FH,

0/7=12+5=17.

23.(8分)如圖是一種單肩包，其背帶由雙層部分、單層部分和調(diào)節(jié)扣構(gòu)成.小文購(gòu)買時(shí),

售貨員演示通過(guò)調(diào)節(jié)扣加長(zhǎng)或縮短單層部分的長(zhǎng)度，可以使背帶的長(zhǎng)度(單層部分與雙

層部分長(zhǎng)度的和，其中調(diào)節(jié)扣所占長(zhǎng)度忽略不計(jì))加長(zhǎng)或縮短，設(shè)雙層部分的長(zhǎng)度為xa”,

單層部分的長(zhǎng)度為"如經(jīng)測(cè)量，得到表中數(shù)據(jù).

雙層部分長(zhǎng)度X(cm)281420

單層部分長(zhǎng)度y(C772)148136124112

(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)規(guī)律，求出y與x的函數(shù)關(guān)系式；

(2)按小文的身高和習(xí)慣，背帶的長(zhǎng)度調(diào)為130c機(jī)時(shí)為最佳背帶長(zhǎng).請(qǐng)計(jì)算此時(shí)雙層部

分的長(zhǎng)度；

(3)設(shè)背帶長(zhǎng)度為L(zhǎng)a”，求L的取值范圍.

【分析】（1）設(shè)出y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=fcv+6,代入表中數(shù)據(jù)求系數(shù)即可；

（2）根據(jù)函數(shù)關(guān)系式和背帶長(zhǎng)度為130cm列出二元一次方程組解方程組即可；

（3）根據(jù)x和y都為非負(fù)數(shù)求出L的最大值和最小值即可確定取值范圍.

【解答】解：（1）設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為丫=區(qū)+4

由題知（148=2k+b,

I136=8k+b

解得］k=-2,

lb=152

與x的函數(shù)關(guān)系式為y=-2X+152；

（2）根據(jù)題意知卜4y=13°，

|y=-2x+152

解得卜=22,

ly=108

二雙層部分的長(zhǎng)度為22cm；

（3）由題知，當(dāng)x=0時(shí)，y=152,

當(dāng)y=0時(shí)，x=76,

.?.76WLW152.

24.（8分）如圖，AB是。。的直徑，。為。。上一點(diǎn)，E為前的中點(diǎn)，點(diǎn)C在BA的延長(zhǎng)

線上，且NCDA=NB.

（1）求證：8是。。的切線；

（2）若DE=2,ZBDE=30°,求C￡>的長(zhǎng).

【分析】⑴連結(jié)0D,利用已知條件證明OO_LCZ）即可求證CD是00的切線;

⑵連結(jié)OE,根據(jù)NB￡?E=30°,E為面的中點(diǎn)即可求出NB。。度數(shù)以及求證三角形E。。

為等邊三角形，進(jìn)而求出NOOC度數(shù)，再利用tan/OOC的值即可求出CD的長(zhǎng).

【解答】解：（1）證明：連結(jié)OO,如圖所示：

「AB是直徑，

：.ZBDA=90°,

：.ZBDO+ZADO=90°,

又,：OB=OD,NCDA=/B,

:.NB=/BDO=NCDA,

：.ZCDA+ZADO=90°,

：.OD±CD,且。。為O。半徑,

.??CD是OO的切線；

(2)連結(jié)OE,如圖所示：

；NBDE=30°,

；.NBOE=2NBDE=6Q°,

又為面的中點(diǎn),

：.ZEOD=GO°,

...△E。。為等邊三角形，

：.ED=EO=OD=2,

又,.?/BOO=NBOE+/EOr>=120°,

；./OOC=180°-ZBOD=180°-120°=60°,

在Rt^OOC中，N￡>OC=60°,OD=2,

AtanZDOC=tan60o=里=空=?,

OD2

:.CD=20

25.(10分)如圖，△045的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為O(0,0),A(3,4),B(6,0),動(dòng)點(diǎn)P、

Q同時(shí)從點(diǎn)。出發(fā)，分別沿x軸正方向和y軸正方向運(yùn)動(dòng)，速度分別為每秒3個(gè)單位和

每秒2個(gè)單位，點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)3時(shí)點(diǎn)P、。同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).過(guò)點(diǎn)。作MN〃OB分別交AO、

AB于點(diǎn)M、N,連接PM、PN.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為/(秒).

(1)求點(diǎn)M的坐標(biāo)(用含r的式子表示)；

(2)求四邊形MN8P面積的最大值或最小值：

(3)是否存在這樣的直線/,總能平分四邊形MNBP的面積？如果存在，請(qǐng)求出直線I

的解析式；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(4)連接AP,當(dāng)NOAP=NBPN時(shí),求點(diǎn)N到。4的距離.

【分析】(1)過(guò)點(diǎn)A作x軸的垂線，分別交MN和x軸于點(diǎn)E和點(diǎn)F,利用三角形相似

寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；

(2)四邊形的面積可以用分割法求解，①△MNP和△BNP的面積之和；②四邊形MNBO

和△OMP的面積之差，其它方法亦可；

(3)先判斷四邊形MNBP的形狀，就可知道平分四邊形MNBP的直線經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo)

(用含，的式子表示)，然后消去/,得到直線/的解析式；

(4)利用三角形相似解題，由NOAP=/8PN和(由題意可知)，得證

△AOPs/\PBN,再利用相似的性質(zhì)求出對(duì)應(yīng)的f值，再由等面積法求高，求出點(diǎn)N到

OA的距離.

【解答】解：(1)過(guò)點(diǎn)A作x軸的垂線，交.MN于一點(diǎn)、E,交08于點(diǎn)F,

由題意得：0Q=2f,OP=3f,P8=6-3f,

VO(0,0),A(3,4),B(6,0),

：.OF=FB=3,4尸=4,OA=AB=^32+42=5,

'：MN//OB,

：.ZOQM=ZOFA,ZOMQ=ZAOF,

...△OQMs/XAF。，

.OQ_QM

"AF"Of'

?.?-2--t-~--Q-M-,

43

：.QM=3.t,

2

.,.點(diǎn)M的坐標(biāo)是(*,2t).

(2)'JMN//OB,

...四邊形QEF。是矩形，

：.QE=OF,

：.ME=OF-QM=3-

2X

'：OA=AB,

：.ME=NE,

：.MN=2ME=6-3t,

:.S四邊形MNBP=S2\MNP+SZJ?NP

=J_MN?OQ+上?8P?OQ

22

=/(6-3t)-2t蔣?(6-3t)?2t

=-6p+12f

=-6(r-l)2+6,

???點(diǎn)尸到達(dá)點(diǎn)3時(shí)，P、。同時(shí)停止，

???0WW2,

?1=1時(shí)，四邊形的最大面積為6.

(3)*：MN=6-3t,BP=6-3t,

:.MN=BP,

,:MN〃BP,

：.四邊形MNBP是平行四邊形，

平分四邊形MNBP面積的直線經(jīng)過(guò)四邊形的中心，即MB的中點(diǎn),

設(shè)中點(diǎn)為，（X,y）,

?:嗚t,2t)B(6,0),

=/t+3,

、,=2t+0

■一^--t-

.3

,.X--^-y+3,

化簡(jiǎn)得：y=9x-4，

3

...直線/的解析式為：y-Ax_4.

3

(4)'：OA=AB,

：.NAOB=NPBN,

又,：NOAP=ZBPN,

：.△AOPsAPBN,

???0—A=O—P,

BPBN

._5___3t

,*6-3t=5'

T

解得：t=lL.

18

,:MN=6-3/,AE=AF-OQ,ME=3-

：.MN=6-3X11.=-25,

186

設(shè)點(diǎn)N到OA得距離為h,

"：SAAMN=—,MN'AE=^AM'H,

22

???1—?25?25=1—?1-2-5,

269236

解得：〃=坨.

3

.?.點(diǎn)N到。A得距離為世.

26.（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，如果一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等，則稱該點(diǎn)為“雁點(diǎn)”.例

如（1,1）,（2021,2021）…都是“雁點(diǎn)”.

（1）求函數(shù)y=2圖象上的“雁點(diǎn)”坐標(biāo)；

X

（2）若拋物線,上有且只有一個(gè)“雁點(diǎn)”E,該拋物線與x軸