2020-2021學年唐山市高一上學期期末數學試卷

一、單選題(本大題共8小題，共40.0分)

1.己知全集U=R,4={x|0<x<2},B={x|xNl},則AU(CuB)=()

A.(0,1)B.(0,+oo)C.(-oo,l)D.(一8,2)

2.化簡sin(a+今?cos(a-當?tang-a)的結果是()

A.1B.sin2aC.-cos2aD.-1

3.下列命題正確的是()

A.在△ABC中，角4,B,C的對邊分別是a,b,c,則a>b是cos4<cosB的充要條件

B.已知p：W>°'則rP：^77-0

C.命題p：對任意的xeR,%2+x+1>0,則-ip：對任意的％eR,%2+x+1<0

D.存在實數xeR,使sinx+cosx=]成立

4.設m,nez,已知函數f(x)=log2(-|%|+4)的定義域是值域是[0,2],若函數g(x)=

2lx-“+TH+1有唯一?的零點，則m+n=()

A.2B.-1C.1D.0

5.已知集合4={x}2x>1},B={x|0<x<1),則。B=()

A.(0,1)B.(0,1]C.(l,+8)D.[l,+8)

6.已知基函數/(%)=由針的圖象過點(2,8),設a=f(V力,b=f(2),c=f(bi2),則()

A.c<a<bB.c<b<aC.b<c<aD.a<b<c

7.已知函數〃x)=2mx+4若在[一2,1]上存在%。，使f(Xo)=。，則實數小的取值范圍為()

A.[-1,4]B.(-oo,-2]U[1,+co)

C.[-1,2]D.[-2,1]

8.<Iny"是婚<4的()

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

二、多選題(本大題共4小題，共20.0分)

9.已知定義在R上的函數/(x)滿足/Xx)+/(-x)=0,+6)=-/(%),且對任意的%i，x2G

[-3,0],當時，都有Xl/Ol)+X2/XX2)<XJ(X2)+則以下判斷正確的是()

A.函數f(%)是偶函數B.函數/(%)在［-9,-6］單調遞增

C.%=3是函數/(%)的對稱軸D.函數/(%)的最小正周期是12

10.下列說法中，正確的有()

A,若a<b<0,則ab>b2

B.若a>b>0,貝修>：

ab

C.若對V%€(0,+8),x+恒成立，則實數m的最大值為2

D.若Q>0,b>0,a+b=l,則工+9的最小值為4

ab

11.若將函數/(乃=館5(2%+5)的圖象向右平移三個單位長度，得到函數9(?的圖象，則下列說法

正確的是()

A.g(x)的最小正周期為兀B.g(x)在［一弓，9上的最大值為1

C.久是函數g(x)圖象的對稱軸D.g(x)在區間［0苧上單調遞減

12.下列函數有兩個零點的有()

A./(%)=—x4+x2+2B.g(x)-xex—ex—x2+1

D.t(x)=(3x-3-x)ln|x|

三、單空題(本大題共3小題，共15.0分)

13.函數y=cosx+cos(x+彳)的最大值是

14.若動直線ax+by=1過點A(b,a),以坐標原點。為圓心，04為半徑作圓，則其中最小圓的面積

為.

15.在直角坐標系中，某等腰直角三角形的兩個頂點坐標分別為(1,1),(2,2),函數f(x)=Asin^x+

9)(4>0,0<3q,切<今的圖象經過該三角形的三個頂點，則/㈤的解析式為=

四、多空題(本大題共1小題，共5.0分)

16.某輛汽車購買時的費用是10萬元，每年使用的保險費、高速公路費、汽油費等約為2萬元，年維

修保養費用第一年0.1萬元，以后逐年遞增0.2萬元.設這輛汽車使用n(nGN*)年的年平均費用

為f(n).(年平均費用=買車費用+需瞿產生的費用)則f(n)與n的函數關系式/⑺=」1)_；這輛汽

車報廢的最佳年限約為_(2)_年.

五、解答題(本大題共6小題，共70.0分)

17.計算下列各式:

1122

⑴(24一(一9.6)。一(3》一三+(1.5廠2；

(2)log3器+句25+國4+7*2

2

(3)求函數y=log2(x-2x+3)的值域，并寫出其單調區間.

18.(本小題滿分14分)

已知集合4={x|log2(X-a)W2}，8力

(1)若3e＜，求實數4的取值范圍；

(2)若(CRB)u.d，求實數a的取值范圍.

19.已知函數/(%)=2cosx-sin(x+$+sinx-(cosx—V3sinx).

(1)求函數f(x)的最小正周期和單調遞減區間；

(2)在銳角△ABC中，a,b,c分別是角4、B、C的對邊，若/(C)=l,c=VL求△ABC面積的最大

值.

20.某工廠建造一間地面面積為12nl2的背面靠墻的長方體倉庫，其頂部總造價為5800元，正面造價

為1200元/爪2,側面造價為800元/瓶2,如果墻高為3m,且不計背面及底面的費用，設正面底

部邊長為x米，則正面底部邊長為多少米時，建造此倉庫的總造價最低，最低造價是多少元？

21.已知函數/(x)=x2-2\x\-1(—3<x<3).

(1)證明/(X)是偶函數；

(2)畫出這個函數的圖象；

(3)求函數f(x)的值域.

22.已知cosO=3,8G(0,^).

(1)求cos(0+￡)的值；

(2)求比m2。的值.

參考答案及解析

I.答案：D

解析：解：???U=R,B=[x\x>1),

={x|x<1}>

又4={x|0<x<2}.

AU(CyB)=(-00,2).

故選：D.

直接利用交、并、補集的混合運算求解得答案.

本題考查交、并、補集的混合運算，是基礎題.

2.答案：C

解析：解：sin(a+-cos(a-y)-tan(^-a)

=cosa?(—sina)-cota

=—cos2a.

故選：C.

利用誘導公式即可化簡得解.

本題主要考查了誘導公式在三角函數化簡求值中的應用，考查了轉化思想，屬于基礎題.

3.答案：A

解析：

本題考查充要條件的性質和應用，解題時要注意余弦函數單調性的合理運用，全稱命題與特稱命題

的相互轉化.要注意兩點：1)全稱命題變為特稱命題；2)只對結論進行否定.

選項A因為4、8是三角形的內角，所以力、BC(0,兀)，在(0,兀)上，y=cosx是減函數.由此知AABC

中，“4>B"?ucosA<cosB”,即可得答案；

選項B,根據命題的否定求解可知不正確：

選項C,根據命題“對任意的x2+x+l>0"是全稱命題，其否定是對應的特稱命題，從

而得出答案.

選項D,sinx+cosx的最大值為近，而三>或，從而可得結論.

解：對于A,在△ABC中，a>b<^A>B<^>cosA<cosB,

可得a>b是cos4<cosB的充要條件，A正確.

對于B,p：x>-1,則「p：x<-1,而*W0的解集是％V-1,B不正確；

對于C,命題p：對任意的x￡R,%2+x+1>0,

則->p：存在xWR,%2+%+1<0,。不正確；

對于。，5譏%+。0$%=7^5也(％+45。)最大值為近，??'1>奩，，。不正確.

故選：A.

4.答案：C

解析：解：??,/(%)=log2(-|x|+4)的值域是[0,2],

???(一|%|+4)W[1,4]，

一|》|E[—3,0],

|%|e[0,3]—①

若若關于x的方程21xTl+m+l=。有唯一的實數解，

則m=-2,

又由函數/'(%)=log2(-|x|+4)的定義域是[?n,n],

結合①可得n=3,

即：m+n=1,

故選C.

由關于％的方程2l"il+m+1=0有唯一的實數解，我們易得m的值，然后根據函數=

log2(-|x|+4)的定義域是值域是[0,2]，結合函數/'(x)=Iog2(-|x|+4)的性質，可求出n的

值，進而得到答案.

本題考查的知識點是根的存在性及根的個數的判斷，對數函數的定義域及對數函數的值域，其中利

用關于x的方程2"可+m+1=0有唯一的實數解，變形得到關于x的方程211-幻+1=一小有唯一的

實數解，即一m為函數y=2lirl+i的最值，是解答本題的關鍵.

5.答案：D

解析：

分別求出關于4、8的不等式，求出B的補集即可.

本題考查了集合的補集的運算，考查解指數不等式問題，是一道基礎題.

解：A={x\2x>1]={x\x>0],

B={x|0<x<1],

CAB={x\x>1},

故選D.

6.答案：A

解析：解：塞函數f(x)=mxn的圖象過點(2,8),

所嗯工，

解得m=1,n=8,

所以/(x)=X3,且為定義域R上的增函數；

又仇2<V2<2>

所以/(伍2)</(V2)</(2),

即c<a<b.

故選：A.

根據基函數/(x)的圖象過點(2,8)求出m、n的值，寫出f(x)的解析式，

判斷函數單調性，再判斷函數值的大小.

本題考查了事函數的定義與性質的應用問題，是基礎題.

7.答案：B

解析：解：由題意知m于0,.?./")是單調函數，

又在［-2,1］上存在&，使/(&)=0，

⑴<0,

即(一4m+4)(2m+4)<0,解得m<-2或m>1.

故選：B.

由題意知函數/(x)必是單調函數，在［-2,1］上存在零點，應有〃-2)與/⑴異號，建立不等關系解不

等式求出數m的取值范圍.

本題考查函數的單調性、單調區間，及函數存在零點的條件.解答的關鍵是根據題意轉化成：

人-2?⑴<0.

8.答案：A

解析：解：由bix<"y"得0<x<y,由靖<6、得x<y,

則0<x<y是x<y的充分不必要條件，

即仇x<lny,r是e*<的充分不必要條件，

故選：A.

根據對數函數和指數函數的單調性求出不等式的等價條件，結合充分條件和必要條件的定義進行判

斷即可.

本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結合不等式的關系是解決本題的關鍵.

9.答案：BCD

解析：解：因為/"(%)+f(—x)=0,=-/(%),所以函數為奇函數，故A選項錯誤；

因為+6)=一/(久)，而/(—x)=所以/(x+6)=/(-X),所以函數的對稱軸為x=等=3,

故C選項正確；

因為/(%+6)=-/(*),所以f(x+12)=-f(x+6)=〃x),即/0+12)=/(x),所以f(x)的最小

正周期是12,故。選項正確；

因為對任意的Xi，X2G［-3,0］,當4］刈*2時，都有+%2/(尤2)<+*2/(*1)，

由Xj(Xl)+X2/(X2)<Xi/(X2)+(/)化簡得Q1-必)?(/(X1)-/(%2))<0,

所以［3,0］時,/(x)為減函數，

因為函數為奇函數，所以工€［0,3］時,/(%)為減函數,

又因為函數/'(x)關于久=3對稱，所以xe［3,6］時，f(x)為增函數.

因為的最小正周期是12,所以x￡［一9,一6］的單調性與xe［3,6］時的單調性相同.

故xe［-9,一6］時，f(x)單調遞增，故B選項正確.

故選：BCD.

分別函數的奇偶性、周期性、對稱性，單調性判斷即可.

本題考查了函數的奇偶性、周期性、對稱性，單調性，屬于中檔題.

10.答案：ACD

解析：

利用不等式的性質判斷4B；根據基本不等式求最值判斷C、D.

本題考查命題的真假判斷，不等式的基本性質以及基本不等式的應用，是基礎題.

解：若a<b<0,則ab—〃=b(a—b)>0,則ab〉/,所以A正確；

若a>6>0,則2_巴=巴貯<0,所以&<\所以B不正確：

ababab

對V%E(0,4-oo),%4-i>2lx--=2>m恒成立(當且僅當％=1時取等號)，則實數m的最大值為2,

xyjX

所以C正確;

若a>0,b>0,a+b=l,則}+*=(：+}(Q+b)=2+：+注4,當且僅當Q=b=1時取等

號，所以工+：的最小值為4,所以。正確；

ab

故選：ACD.

11.答案：ABC

解析：解：將函數f(x)=cos(2x+勺的圖象向右平移g個單位長度，得到函數g(x)=cos(2x*+

")=cos(2x—》的圖象，

故g(x)的最小正周期7=零=兀，故A正確；

當工€[-？勺，2x-JGf-=當2x—=0時，g(x)取得最大值為1,故2正確；

當％=工時，g(x)=l,是最值，故C正確；

當xe[0,J2x-=e[-^，5,g(x)沒有單調性，故￡>錯誤；

故選：ABC.

由題意利用函數y=4sin(3x+9)的圖象變換規律，得到g(x)的解析式，再利用正弦函數的圖象和

性質，得出結論.

本題主要考查函數y=4sin(3x+@)的圖象變換規律，正弦函數的圖象和性質，屬于中檔題.

12.答案：ABD

解析:解:對于4,令—X4+%2+2=0,即——x2—2=0,亦即(/-2)(x2+1)=0,解得x=+>/2>

符合題意；

x

對于B,令xe*-e*—/+1=o,gp(x—l)(e—%—1)=0,解得x=1或x=0,符合題意；

對于C,令詈=0,解得x=-l,不符合題意；

對于D,令(3》-3-z)ln|x|=0,則吏-3r=0或ln|x|=0,解得x=0(舍去)或x=±1,符合題意.

故選：ABD.

令解析式為0,然后解方程即可作出結論.

本題考查函數零點與方程根的關系，考查運算求解能力，屬于中檔題.

13.答案：V3

解析：

本題主要考查兩角和與差的余弦公式的應用和與余弦函數的性質，屬于基礎題.

先根據兩角和與差的余弦公式進行展開合并，最后根據余弦函數的性質可得到答案.

解：vy—cosx+cos(x4-§

1V3.

=cosx+-cosx———sinx

3V3

=-cosx———sinx

22

=V3cos(x+》

故y=cosx+cos(%+g)的最大值是舊

故答案為：V3

14答案:7T

解析：試題分析：把點A代入直線方程，求得好的值，進而根據均值不等式求得圓的半徑的最小值,

進而求得最小圓的面積.

直線a%+by=1過點4(b,a)

???2ab=1

???ab=-

2

2

OA=Q2+爐>=2ab=1

**?Smm=71。/2—TT

故答案為：n

15.答案：2sin(^x-^)

Jo

解析：解：等腰直角三角形的第三個頂點可能y

A

的位置如圖中的點A,B,C,D,E,F,3

盧

其中力，B,C,。與己有的兩個頂點的橫坐標重B

2'x1

A

復，舍去，F

1)

若為點E,則點E與點(2,2)的中間位置的點不可

/0

//\

能為(1,1),因此點E也舍去，只有點尸滿足題意.-2-10123\4*

此時點(2,2)為最大值點，所以/(為=

+(p),

-2

又0<3<M則?=F>1，

242co

所以點(1,1)，(2,2)之間的圖象單調,

將(1,1),(2,2)代入/"(乃的表達式有「"1(3+。)=5,

(sin(2d)+0)=1

3+尹=巳+2kn

所以［6〃,fcez,

2a)+9=—+2kn

*2

n

o)=-

3由1*1<3知8=一￡,

所以Zo

(p=------F2kn,k￡Z

\6

因此/(x)=2sin(^x-g.

3D

故答案為：2sin(^x-^).

3O

根據圖象確定三角形的第三個頂點位置，再由三角函數的圖象與性質求解即可.

本題主要考查三角函數的圖象與性質，考查學生的識圖能力和運算求解能力，考查的核心素養為邏

輯推理與數學運算，屬于中檔題.

16.答案:尹丹+2

10

解析：解：根據題意，年維修保養費用構成以0.1為首項，0.2為公差的等差數列;

???n年的維修保養費用為0.In+的羅?0.2；

10+2n+0.1n+n(--1)0.2n2+100n,10,

/(n)=----------------=-------,Fn2=--1----1-2，

n107110n

即f(m=^+T+2,neN*；

???加4,當*學即r=10時取“=”；

.?.這輛汽車報廢的最佳年限約為10年.

故答案為：-^-+—+2,10.

10n

根據條件可以看出年維修保養費用構成以0.1為首項，0.2為公差的等差數列，由等差數列的前n項和

公式即可求出n年的維修保養費用，而n年的險費、高速公路費、汽油費等為2n萬元，從而可以得出

這輛汽車使用n年的總費用，從而可以得出/(n)=E+T+2,n€N*,而根據基本不等式即可求出

n=10時，f(n)取最小值，即得出這輛汽車報廢的最佳年限約為10年.

考查等差數列的概念，以及等差數列的前n項和公式，根據實際問題建立函數關系式的方法，基本不

等式用于求最值，清楚基本不等式等號成立的條件.

17.答案：W：(1)(27)-(-9.6)°-(3^)~3+(1.5)~2

48

=$^-1-[(|)3]-5+(|)-2

=1-1-(1)-2+(1)-2

_1

=2；

(2)log3等+句25+旬4+7%2

3

=10g3y+lg(25x4)+2

=log33_4+IglOO+2

=---F4

4

=—15?

41

(3)令t=x2-2x+3,則tN2

2

函數y=Iog2(x-2x+3)=log2t>1,

2

故函數y=log2(x-2x+3)的值域為[1,+8),

Xvt=x2-2x+3在(一8,1]上為減函數，在口,+8)上為增函數，

y=log2t為增函數，

2

故函數y=log2(x-2x+3)的單調遞增區間為口,+8),單調遞減區間為(一8,1].

解析：(1)根據指數的運算性質，代入可得答案；

(2)根據對數的運算性質，代入可得答案；

(3)利用換元法，結合二次函數的圖象和性質及對數函數的圖象和性質，可得函數的值域；進而根據

復合函數單調性“同增異減”的原則，可得函數的單調區間.

本題考查的知識點是指數的運算性質，對數的運算性質，復合函數單調性，難度中檔.

18.答案:解：(1)若3€力,

則log2(3-<7)<2,

所以0<3-￡7<4，

解得-l<dr<3.

(2)J4={x|log2(r-<3?)<2}=(e7,<?+4],

所以CRB=[0,2],

因為CRB=4,所以a<0且a+4"2,

解得-24a<0.

解析：本題主要考查集合的基本運算，以及利用集合關系求參數問題.

(1)利用3e4把x=3代入集合4中的不等式，解關于含a的對數不等式即可得解;

(2)先求CRB,再根據CRB=A,即可求得a的取值范圍.

19.答案：解：(1)根據題意，

/(x)=2cosx-sin(x+g)+s<-nx'(cosx—yfSsinx)

=2cosx(^sinx+孚cosx)+sinx-cosx—V3sin2x

=sin2x+\p3cos2x=2sin(2x+g),

???函數/(X)的最小正周期為7=y=7T,

令

2/C7TH—2W2x4—3W22/CTT4,k&Z<

解得ZOT+<X<fc/r+V(keZ),

即函數f(X)單調遞減區間為即+$而+等(keZ)；

⑵由/'?=2sin{2C+》=1,解得sin(2C+$*，

?；ce(唱，

2C+^=-,得C=[,

364

由余弦定理，得2=a2+Z?2—2ab?.>2ab—\[2ab，

???ab￡&=2+/，(當且僅當Q=b=，中方時取等號)

因此，△ABC面積的最大值為S=-ab-sinC=ix(2+V2)x—=叵i.

221722

解析：本題給出三角函數的表達式，求函數的周期與單調區間，并依此求三角形面積的最值.著重

考查了三角函數的圖象與性質、余弦定理和基本不等式求最值等知識，屬于中檔題.

(1)利用三角恒等變換公式，化簡得f(x)=2sin(2x+》再由三角函數的周期公式和單調區間的公式

解不等式，可得/(x)的最小正周期和單調遞減區間；

(2)由函數/(X)的表達式，解出C=*利用余弦定理,2=￡12+川-2(1加05(7的式子，結合基本不等式

解出ab<2+&.由此利用三角形的面積公式，可得△4BC的面積的最大