7.1.2全概率公式1.結合古典概型，會利用全概率公式計算概率.2.了解貝葉斯公式.

通過上一節的學習，我們知道，在求一個復雜事件的概率時，可以先將其表示為一些簡單事件運算的結果，然后利用概率的加法公式和乘法公式求其概率.下面，我們再看一個求復雜事件概率的問題.思考：從有a個紅球和b個籃球的袋子中，每次隨機摸出1個球，摸出的球不再放回.顯然，第1次摸到紅球的概率為.那么第2次摸到紅球的概率是多大？如何計算這個概率呢？分析：因為抽簽具有公平性，所以第2次摸到紅球的概率也應該是.但是這個結果并不顯然，因為第2次摸球的結果受第1次摸球結果的影響.下面我們給出嚴格的推導過程.

用Ri表示事件“第i次摸到紅球”，Bi表示事件“第i次摸到籃球”，i=1，2.如圖所示，事件

R2

可按第1次可能的摸球結果表示為兩個互斥事件的并，即.P(R2|R1)P(B2|R1)P(R2|B1)P(B2|B1)

利用概率的加法公式和乘法公式，得

上述過程采用的方法是：按照某種標準，將一個復雜事件表示為兩個互斥事件的并，再由概率的加法公式和乘法公式求得這個復雜事件的概率.

一般地，設A1，A2，···，An是一組兩兩互斥的事件，

，且

，

，則對任意的事件

，有全概率公式我們稱上面的公式為全概率公式.

全概率公式是概率論中最基本的公式之一.對全概率公式的理解使用全概率公式計算目標事件

B的概率，必須是找到樣本空間Ω的一個事件組

A1，A2，…，An，它們滿足：①兩兩互斥；②

，而這一事件組恰恰可以理解為是事件

B產生的幾個原因．全概率公式相當于將產生

B的全部原因一一進行考察，將每一個可能性都考慮進來，這就是“全”的含義所在．直觀解釋為如圖，B

發生的概率與

有關，且

B

發生的概率等于所有這些概率的和，即例1.某次社會實踐活動中，甲、乙兩個班的同學共同在一個社區進行民意調查．參加活動的甲班的人數占總數的

，乙班的人數占總數的

，其中甲班中女生占甲班人數的

，乙班中女生占乙班人數的

.

求該社區居民遇到一位進行民意調查的同學恰好是女生的概率．兩個事件的全概率公式解：設A1=“調查的是甲班的同學”，A2=“調查的是乙班的同學”，B=“調查的同學是女生”

，則

，且

A1，A2互斥，

，由題意可知，

，

，且

，

，由全概率公式可知

全概率問題求解策略(1)拆分：將樣本空間拆分成對立的兩部分，如A1，A2(或

A

與

)；(2)計算：利用乘法公式計算每一部分的概率；(3)求和：所求事件的概率就是各種可能情形

Ai發生的可能性與已知在

Ai發生的條件下事件

B發生的可能性的乘積之和，即

．解：設A1=“第1天去A餐廳用餐”，B1=“第1天去B餐廳用餐”，A2=“第2天去A餐廳用餐”，則

，且A1與B1互斥.根據題意得

，

，.由全概率公式，得因此，王同學第2天去A餐廳用餐的概率為0.7.多個事件的全概率公式例2.有3臺車床加工同一型號的零件，第1臺加工的次品率為6%，第2，3臺加工的次品率均為5%，加工出來的零件混放在一起.已知第1，2，3臺車床加工的零件分別占總數的25%，30%，45%.(1)任取一個零件，計算它是次品的概率；(2)如果取到的零件是次品，計算它是第1臺車床加工的概率.解：設B=“任取一個零件為次品”，Ai=“零件為第i臺車床加工”(i=1，2，3)，則

，且A1，A2，A3兩兩互斥.根據題意得

，

，

，

，.(1)由全概率公式，得

(2)“如果取到的零件是次品，計算它是第1臺車床加工的概率”，就是計算在B發生的條件下，事件A1

發生的概率.類似地，可得

，.“化整為零”求全概率問題(1)已知事件B的發生有各種可能的情形Ai(i=1，2，3)，事件B發生的可能性，就是各種可能情形

Ai發生的可能性與已知在

Ai發生的條件下事件

B發生的可能性的乘積之和，即.(2)在上例中，P(Ai)是試驗之前就已知的概率，它是第i臺車床加工的零件所占的比例，稱為先驗概率.當已知抽到的零件是次品(B發生)，

是這件次品來自第i臺車床加工的可能性大小，通常稱為后驗概率.如果對加工的次品，要求操作員承擔相應的責任，那么

，

，

就分別是第1，2，3臺車床操作員應承擔的份額.將上例中的問題一般化，就可以得到貝葉斯公式.

貝葉斯公式：設A1，A2，...，An是一組兩兩互斥的事件，

，且

，則對任意的事件

，

，有變式2.假設某市場供應的智能手機中，市場占有率和優質率的信息如下表所示：(1)在該市場中任意買一部智能手機，求買到的是優質品的概率；(2)如果買到的是優質品，計算它是品牌甲的概率.品牌甲乙其他市場占有率50%30%20%優質率95%90%70%解：設B=“任買一個手機為優質品”，A1

=“手機為甲品牌”，A2

=“手機為乙品牌”，A3

=“手機為其他品牌”，則

，且A1，A2，A3兩兩互斥.根據表格得

，

，

，

，

，.(1)由全概率公式，得

(2)“如果買到的手機是優質品，計算它是甲品牌的概率”，就是計算在B發生的條件下，事件A1

發生的概率.1.已知事件A，B，且

，

，

，則()A. B. C. D.解：C2．兩臺機床加工同樣的零件，第一臺的廢品率為，第二臺的廢品率為，加工出來的零件混放，并設第一臺加工的零件是第二臺加工零件的2倍，現任取一零件，則它是合格品的概率為(

)A．0.21B．0.06C．0.94D．解：令B=“取到的零件為合格品”，Ai=“零件為第i臺機床的產品”，i=1，2.由全概率公式得：D3．甲袋中有3個白球2個黑球，乙袋中有4個白球4個黑球，今從甲袋中任取2球放入乙袋，再從乙袋中任取一球，則該球是白球的概率為_______．解：設A＝“從乙袋中取出的是白球”，Bi

＝“從甲袋中取出的2球恰有

i

個白球”，i＝0，1，2.

由全概率公式4．設某公路上經過的貨車與客車的數量之比為2∶1，貨車中途停車修理的概率為，客車為，今有一輛汽車中途停車修理，則該汽車是貨車的概率為________．解：設

B

表示一輛汽車中途停車修理，A1表示該車是貨車，A2表示該車是客車，則B＝A1B∪A2B，由貝葉斯公式有5．一項血液化驗用來鑒別是否患有某種疾病，在患有此種疾病的人群中通過化驗有95%的人呈陽性反應，而健康的人通過化驗也會有1%的人呈陽性反應，某地區此種病患者占人口數的0.5%，則：(1)某人化驗結果為陽性的概率為________；(2)若此人化驗結果為陽性，則此人確實患有此病的概率為________．解：(1)設

A＝“呈陽性反應”，B＝“患有此種病”．P(A)＝0.5%×95%＋99.5%×1%＝1.47%.(2)6.某商店收進甲廠生產的產品30箱，乙廠生產的同種產品20箱，甲廠每箱裝100個，廢品率為，乙廠每箱裝120個，廢品率為，求：(1)任取一箱，從中任取一個為廢品的概率；(2)若將所有產品開箱混放，求任