高級中學名校試卷PAGEPAGE3浙江省慈溪市2023-2024學年高二上學期期末測試數學試卷說明：本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分．考試時間120分鐘，本次考試不得使用計算器，請考生將所有題目都做在答題卡上．第Ⅰ卷（選擇題，共60分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.在空間直角坐標系O-xyz中，點關于平面yOz對稱的點的坐標為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗點關于平面yOz對稱的點的坐標為，故選：B2.雙曲線的一個焦點坐標為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗雙曲線轉化為標準方程為，故，故焦點為和，故選：A3.已知曲線在點處的切線方程為，則（）A.1 B.0 C. D.〖答案〗D〖解析〗,則，又，所以，故，故選：D4.已知等差數列的前5項和，且，則公差（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由可得，，故，所以，解得.故選：C5.過點與圓相切的兩條直線的夾角為，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為，所以點在圓外，設圓心為，點為點，切點為，圓化為標準方程得，則圓心，半徑，在中，，所以，故，由圓的切線的性質可得，所以.故選：A.6.已知正四面體的棱長為2，是的中點，在上，且，則（）A. B. C.0 D.〖答案〗C〖解析〗由正四面體，得，則，由是的中點，得，由，得，則，所以.故選：C.7.已知A，B是橢圓E：（）的左右頂點，若橢圓E上存在點滿足，則橢圓E的離心率的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設，則，,故，所以，故離心率為，又，故，故選：B8.已知定義在上的函數的導函數為，若，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為，所以，即，令，則，所以函數是增函數，對于A，由，得，故A錯誤；對于B，由，得，所以，故B錯誤；對于C，由，得，所以，故C錯誤；對于D，由，得，所以，故D正確.故選：D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知直線的方程為，直線的方程為，（）A.則直線的斜率為 B.若，則C.若，則或 D.直線過定點〖答案〗CD〖解析〗對于A，當時，直線的斜率不存在，故A錯誤；對于B，若，則，解得或，經檢驗，兩個都符合題意，所以或，故B錯誤；對于C，若，則，解得或，故C正確；對于D，直線的方程化為，令，解得，所以直線過定點，故D正確.故選：CD.10.下列函數的導數計算正確的是（）A.若函數，則B.若函數（且），則C.若函數，則（e是自然對數的底數）D.若函數，則〖答案〗BCD〖解析〗對于A，，所以，A錯誤，對于B，，故B正確，對于C，，C正確，對于D，，D正確，故選：BCD11.任取一個正數，若是奇數，就將該數乘3再加上1；若是偶數，就將該數除以2．反復進行上述兩種運算，經過有限次步驟后，必進入循環圈1→4→2→1．這是數學史上著名的“冰雹猜想”（又稱“角谷猜想”等）．現給出冰雹猜想的遞推關系如下：已知數列滿足：（m為正整數），（）．若，記數列的前n項和為，則（）A.或16 B. C. D.〖答案〗ABD〖解析〗因為，由“冰雹猜想”可得，①若為偶數，則，所以，當為偶數時，則，所以，即，當為奇數時，則，解得（舍去），②若為奇數，則，解得，當為偶數時，則，所以，即，當為奇數時，則，解得（舍去），綜上所述，或16，故A正確；當時，由，得，所以數列從第三項起是以為周期的周期數列，因為，所以，，當時，由，，所以數列從第三項起是以為周期的周期數列，因為，所以，，綜上所述，，或，故B正確，C錯誤；對于D，數列從第三項起是以3為周期的周期數列，所以，故D正確.故選：ABD.12.如圖，在直三棱柱中，，，，M是AB的中點，N是的中點，P是與的交點．Q是線段上動點，是線段上動點，則（）A.當Q為線段中點時，PQ∥平面B.當Q為重心時，到平面的距離為定值C.當Q在線段上運動時，直線與平面所成角的最大角為D.過點P平行于平面的平面截直三棱柱的截面周長為〖答案〗BD〖解析〗以為原點，以，，所在直線為坐標軸建立空間直角坐標系，設，則,0,，,0,，,2,，,1,，,1,，,1,，所以，設平面法向量為，則，令，可得，設，則，當Q為線段中點時，，則，故此時不平行平面，A錯誤，當Q為重心時，則所以，即，，此時，此時PQ∥平面，由于是線段上點，故到平面的距離即為到平面的距離，故為定值，B正確，由于，設直線與平面所成角為，則，由于所以，所以，故C錯誤對于D，取的中點，連接,由于均為中點，所以,而平面，平面，而平面，平面，故平面，平面，平面，故平面平面，故過點P平行于平面的平面即為平面，故截面為三角形，由于,故截面周長為，D正確，故選：BD第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知圓C的方程為，則圓C的半徑為______.〖答案〗〖解析〗由可得，所以半徑為，故〖答案〗為：14.已知等比數列的前n項和為，且，，則______.〖答案〗〖解析〗由題意可得成等比數列，由，，得，得，所以，則，所以.故〖答案〗為：.15.已知函數有兩個極值點，則實數的取值范圍是_________．〖答案〗〖解析〗，，令,函數有兩個極值點,則在區間上有兩個實數根.,當時,,則函數在區間單調遞增,因此在區間上不可能有兩個實數根,應舍去.當時,令,解得.令,解得,此時函數單調遞增;令,解得,此時函數單調遞減.當時,函數取得極大值.當趨近于0與趨近于時,,要使在區間上有兩個實數根,只需,解得.故〖答案〗為：.16.設為拋物線的焦點，直線l與拋物線交于兩點，且，則的面積最小值為______.〖答案〗〖解析〗由已知，設直線的方程為，聯立，消得，，則，由，得，即，所以，化簡得，所以，化簡得，解得或，則，則或，所以或，，所以當時，，所以的面積最小值為.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知函數．（1）當時，求函數的單調區間；（2）當時，求函數的最大值．解：（1）的定義域為，當時，，，當，解得：，當，解得：．在上為增函數；在上為減函數；（2）的定義域為，，當時，令，得，令時，得，的遞增區間為，遞減區間為．.18.已知圓內有一點，直線l過點M，與圓交于A，B兩點．（1）若直線l的傾斜角為120°，求；（2）若圓上恰有三個點到直線l的距離等于1，求直線l的方程．解：（1）直線過點，且斜率為，直線的方程為，即，圓心到直線的距離為，；（2）圓上恰有三點到直線的距離等于1，圓心到直線的距離為，當直線垂直于軸時，直線方程為，不合題意；當直線不垂直于軸時，設直線的方程為，即，由，可得，解得或，故直線的方程為或．19.如圖，在直四棱柱中，底面是正方形，，，分別是棱上的動點．（1）若分別為棱中點，求證：平面；（2）若，且三棱錐的體積為，求平面與平面的夾角的余弦值．解：（1）如圖，以點為原點建立空間直角坐標系，則，故，因為，所以，又平面，所以平面；（2）因為，解得或，又因為，所以，故，所以，設平面的法向量為，則有，可取，設平面的法向量為，則有，可取，所以，所以平面與平面的夾角的余弦值為．20.已知數列首項，且滿足（）．（1）求證：數列為等比數列；（2）若，令，求數列的前n項和．解：（1）由，得，所以數列是以為首項，為公比的等比數列；（2）由（1）得，所以，所以，設數列的前項和為，則，，兩式相減得，所以，令，則，令，則，故當時，，當時，，所以當時，，當時，，綜上所述，.21.已知函數（）．（其中是自然對數的底數）（1）若對任意的時，都有，求實數a的取值范圍；（2）若，求證：．（參考數據：，）解：（1）對任意的時，都有，即對任意的時，都有，令，則函數在上單調遞增，則在上恒成立，即在上恒成立，因為當時，，所以，經檢驗符合題意，所以實數a的取值范圍為；（2）要證，即證，令，則，令，則，所以函數在上單調遞增，又，因為，所以，所以，所以，故存在，使得，即，當時，，當時，，所以函數在上單調遞減，在上單調遞增，所以，因為，所以，所以，因為，所以，即，又因為，所以，所以若，．22.已知雙曲線的漸近線方程為，且點在上．（1）求的方程；（2）點在上，且為垂足．證明：存在點，使得為定值．解：（1）設雙曲線的方程為，因為點在上，所以，解得，所以的方程為；（2）設，當直線的斜率為時，則，因為點在上，所以，則，由，得，即，，解得或（舍去），故直線的方程為，當直線的斜率不等于時，設直線的方程為，當的斜率不存在時，則的斜率為，此時直線的方程，直線的方程為，聯立，解得（舍去），聯立，解得（舍去），所以，則，所以直線的方程為，令，則，故直線過點，同理可得當的斜率不存在時，則的斜率為，此時直線的方程為，直線過點，當直線的斜率都存在且都不等于零時，因為，所以，由，得，所以，由，得，則，所以，所以，整理得即，所以所以，所以直線得方程為，所以直線過定點，綜上所述，直線過定點，因為，所以存在的中點，使得.浙江省慈溪市2023-2024學年高二上學期期末測試數學試卷說明：本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分．考試時間120分鐘，本次考試不得使用計算器，請考生將所有題目都做在答題卡上．第Ⅰ卷（選擇題，共60分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.在空間直角坐標系O-xyz中，點關于平面yOz對稱的點的坐標為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗點關于平面yOz對稱的點的坐標為，故選：B2.雙曲線的一個焦點坐標為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗雙曲線轉化為標準方程為，故，故焦點為和，故選：A3.已知曲線在點處的切線方程為，則（）A.1 B.0 C. D.〖答案〗D〖解析〗,則，又，所以，故，故選：D4.已知等差數列的前5項和，且，則公差（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由可得，，故，所以，解得.故選：C5.過點與圓相切的兩條直線的夾角為，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為，所以點在圓外，設圓心為，點為點，切點為，圓化為標準方程得，則圓心，半徑，在中，，所以，故，由圓的切線的性質可得，所以.故選：A.6.已知正四面體的棱長為2，是的中點，在上，且，則（）A. B. C.0 D.〖答案〗C〖解析〗由正四面體，得，則，由是的中點，得，由，得，則，所以.故選：C.7.已知A，B是橢圓E：（）的左右頂點，若橢圓E上存在點滿足，則橢圓E的離心率的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設，則，,故，所以，故離心率為，又，故，故選：B8.已知定義在上的函數的導函數為，若，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為，所以，即，令，則，所以函數是增函數，對于A，由，得，故A錯誤；對于B，由，得，所以，故B錯誤；對于C，由，得，所以，故C錯誤；對于D，由，得，所以，故D正確.故選：D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知直線的方程為，直線的方程為，（）A.則直線的斜率為 B.若，則C.若，則或 D.直線過定點〖答案〗CD〖解析〗對于A，當時，直線的斜率不存在，故A錯誤；對于B，若，則，解得或，經檢驗，兩個都符合題意，所以或，故B錯誤；對于C，若，則，解得或，故C正確；對于D，直線的方程化為，令，解得，所以直線過定點，故D正確.故選：CD.10.下列函數的導數計算正確的是（）A.若函數，則B.若函數（且），則C.若函數，則（e是自然對數的底數）D.若函數，則〖答案〗BCD〖解析〗對于A，，所以，A錯誤，對于B，，故B正確，對于C，，C正確，對于D，，D正確，故選：BCD11.任取一個正數，若是奇數，就將該數乘3再加上1；若是偶數，就將該數除以2．反復進行上述兩種運算，經過有限次步驟后，必進入循環圈1→4→2→1．這是數學史上著名的“冰雹猜想”（又稱“角谷猜想”等）．現給出冰雹猜想的遞推關系如下：已知數列滿足：（m為正整數），（）．若，記數列的前n項和為，則（）A.或16 B. C. D.〖答案〗ABD〖解析〗因為，由“冰雹猜想”可得，①若為偶數，則，所以，當為偶數時，則，所以，即，當為奇數時，則，解得（舍去），②若為奇數，則，解得，當為偶數時，則，所以，即，當為奇數時，則，解得（舍去），綜上所述，或16，故A正確；當時，由，得，所以數列從第三項起是以為周期的周期數列，因為，所以，，當時，由，，所以數列從第三項起是以為周期的周期數列，因為，所以，，綜上所述，，或，故B正確，C錯誤；對于D，數列從第三項起是以3為周期的周期數列，所以，故D正確.故選：ABD.12.如圖，在直三棱柱中，，，，M是AB的中點，N是的中點，P是與的交點．Q是線段上動點，是線段上動點，則（）A.當Q為線段中點時，PQ∥平面B.當Q為重心時，到平面的距離為定值C.當Q在線段上運動時，直線與平面所成角的最大角為D.過點P平行于平面的平面截直三棱柱的截面周長為〖答案〗BD〖解析〗以為原點，以，，所在直線為坐標軸建立空間直角坐標系，設，則,0,，,0,，,2,，,1,，,1,，,1,，所以，設平面法向量為，則，令，可得，設，則，當Q為線段中點時，，則，故此時不平行平面，A錯誤，當Q為重心時，則所以，即，，此時，此時PQ∥平面，由于是線段上點，故到平面的距離即為到平面的距離，故為定值，B正確，由于，設直線與平面所成角為，則，由于所以，所以，故C錯誤對于D，取的中點，連接,由于均為中點，所以,而平面，平面，而平面，平面，故平面，平面，平面，故平面平面，故過點P平行于平面的平面即為平面，故截面為三角形，由于,故截面周長為，D正確，故選：BD第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知圓C的方程為，則圓C的半徑為______.〖答案〗〖解析〗由可得，所以半徑為，故〖答案〗為：14.已知等比數列的前n項和為，且，，則______.〖答案〗〖解析〗由題意可得成等比數列，由，，得，得，所以，則，所以.故〖答案〗為：.15.已知函數有兩個極值點，則實數的取值范圍是_________．〖答案〗〖解析〗，，令,函數有兩個極值點,則在區間上有兩個實數根.,當時,,則函數在區間單調遞增,因此在區間上不可能有兩個實數根,應舍去.當時,令,解得.令,解得,此時函數單調遞增;令,解得,此時函數單調遞減.當時,函數取得極大值.當趨近于0與趨近于時,,要使在區間上有兩個實數根,只需,解得.故〖答案〗為：.16.設為拋物線的焦點，直線l與拋物線交于兩點，且，則的面積最小值為______.〖答案〗〖解析〗由已知，設直線的方程為，聯立，消得，，則，由，得，即，所以，化簡得，所以，化簡得，解得或，則，則或，所以或，，所以當時，，所以的面積最小值為.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知函數．（1）當時，求函數的單調區間；（2）當時，求函數的最大值．解：（1）的定義域為，當時，，，當，解得：，當，解得：．在上為增函數；在上為減函數；（2）的定義域為，，當時，令，得，令時，得，的遞增區間為，遞減區間為．.18.已知圓內有一點，直線l過點M，與圓交于A，B兩點．（1）若直線l的傾斜角為120°，求；（2）若圓上恰有三個點到直線l的距離等于1，求直線l的方程．解：（1）直線過點，且斜率為，直線的方程為，即，圓心到直線的距離為，；（2）圓上恰有三點到直線的距離等于1，圓心到直線的距離為，當直線垂直于軸時，直線方程為，不合題意；當直線不垂直于軸時，設直線的方程為，即，由，可得，解得或，故直線的方程為或．19.如圖，在直四棱柱中，底面是正方形，，，分別是棱上的動點．（1）若分別為棱中點，求證：平面；（2）若，且三棱錐的體積為，求平面與平面的夾角的余弦值．解：（1）如圖，以點為原點建立空間直角坐標系，則，故，因為，所以，又平面，所以平面；（2）因為，解得或，又因為，所以，故，所以，設平面的法向量為，則有，可取