機器學習-核函數根本概念§1多項式空間和多項式核函數(核或正定核)設是中的一個子集，稱定義在上的函數是核函數，如果存在一個從到Hilbert空間的映射()使得對任意的，()都成立。其中表示Hilbert空間中的內積。定義〔d階多項式〕設，那么稱乘積為的一個d階多項式，其中。有序齊次多項式空間考慮2維空間中〔〕的模式，其所有的2階單項式為，，，(1.3)注意，在表達式(1.3)中，我們把和看成兩個不同的單項式，所以稱式〔1.3〕中的單項式為有序單項式。這4個有序單項式張成的是一個4維特征空間，稱為2階有序齊次多項式空間，記為。相應地可建立從原空間到多項式空間的非線性映射(1.4)同理，從到階有序齊次多項式空間的映射可表示為(1.5)這樣的有序單項式的個數為，即多項式空間的維數。如果在中進行內積運算，當和都不太小時，多項式空間的維數會相當大。如當，時，維數可到達上億維。顯然，在多項式空間中直接進行內積運算將會引起“維數災難”問題，那么，如何處理這個問題呢？我們先來考查的情況，計算多項式空間中兩個向量的內積(1.6)假設定義函數(1.7)那么有(1.8)即4維多項式空間上的向量內積可以轉化為原始2維空間上的向量內積的平方。對于一般的從到階有序多項式空間的映射〔1.5〕也有類似的結論。考慮由式〔1.5〕定義的從到多項式空間的映射，那么在空間上的內積可表為(1.9)其中(1.10)證明：直接計算可得(1.11)上述定理說明，我們并不需要在高維的多項式空間中直接做內積運算，而利用式〔1.10)給出的輸入空間上的二元函數來計算高維多項式空間中的內積。2.有序多項式空間在式〔1.5〕定義的映射中，多項式空間的分量由所有的階有序單項式組成。如果把該多項式空間的分量擴充為所有不超過階的有序單項式，便得到從到有序多項式空間的映射(1.12)對于這個映射，我們有如下的定理：定理1.2考慮有式〔1.12〕定義的從到多項式空間的映射，那么空間上的內積可表為空間上的內積的函數，即假設定義兩個變量和的函數(1.13)那么有(1.14)上述有序多項式空間的一個簡單的例子是(1.15)3.無序多項式空間如果我們把式〔1.4〕中的和看作相同的單項式，那么我們就可以把從到4維多項式空間的映射〔1.4〕簡化為從到3維多項式空間的映射(1.16)將映射〔1.16〕調整為(1.17)那么相應的多項式空間稱為2階無序多項式空間，并且有(1.18)對式〔1.5〕所示的變換按下述方式操作：把中次序不同但因子相同的各分量合并為一個分量，并在該分量前增加一個系數，這個系數取為相應次序不同但因子相同的分量在中出現次數的平方根。這樣得到的從到階無序多項式空間的變換仍滿足關系式(1.19)其中(1.20)根據定義1.1，我們稱〔1.13〕和〔1.20〕分別為階多項式核函數和階齊次多項式核函數。比擬式〔1.4〕定義的變換和式〔1.17〕定義的可以發現，它們所映射到的多項式空間是不同的。前者是一個4維多項式空間，后者為一個3維多項式空間。但是內積是相同的，它們都可以表示為內積的函數。這說明：多項式空間不是由核函數唯一確定的。§2Mercer核1.半正定矩陣的特征展開給定向量集合，其中。設是上的對稱函數，我們定義(1.21)那么稱是關于的Gram矩陣。我們首先要研究的問題是：當Gram矩陣滿足什么條件時，函數是一個核函數。〔矩陣算子〕定義在上的矩陣算子：對，的分量由下式確定(1.22)定義1.3〔特征值和特征向量〕。稱為它的特征值，并稱為相應的特征向量，如果且(1.23)定義〔半正定性〕。稱它是半正定的，如果對，有(1.24)假設定義是半正定的，那么存在著個非負特征值和互相正交的單位特征向量，使得,5)證明：由于是對稱的，所以存在著正交矩陣和對角矩陣，使得6)這里是矩陣的第t個特征向量，它對應的特征值是。因為是半正定的，所以所有特征值均為非負數。于是由〔6〕推知7)引理1.2假設引理1.1的結論成立，那么存在著從到的映射，使得8)其中是特征空間的內積。因而是一個核函數。證明：定義映射(1.29)直接驗證可知引理1.2成立。引理1.3假設引理1.2的結論成立，那么矩陣是半正定的。證明：設不是半正定的，那么一定存在著與一個負特征值相對應的單位特征向量。定義中的向量z(1.30)那么有(1.31)顯然，這與是負特征值相矛盾。因此K必須是半正定的。設是有限集合，是定義在半正定，等價于可表示為(1.32)其中是矩陣(1.33)的特征值，為對應于的特征向量，也等價于是一個核函數，即，其中映射由式〔1.29〕定義。2.半正定積分算子的特征展開設輸入集合為中的緊集，并設是的連續對稱函數。我們要研究的問題是，當滿足什么條件時，它是一個核函數。〔積分算子〕定義積分算子為按下式確定的在上的積分算子(1.34)〔特征值和特征函數，稱為它的特征值，為相應的特征函數，如果(1.35)定義1.7〔半正定性。稱它是半正定的，如果對，有(1.36)引理1.4假設定義是半正定的，那么存在著可數個非負特征值和相應的互相正交的單位特征函數，使得可表示為上的一致收斂的級數(1.37)假設引理1.4的結論成立，那么存在著到Hilbert空間的映射，使得，(1.38)其中是上的內積。因而是一個核函數。證明：定義映射(1.39)那么可驗證引理1.5成立。引理那么積分算子是半正定的。〔Mercer定理〕令是上的一個緊集，是半正定，(1.40)等價于可表示為的一致收斂序列(1.41)其中是的特征值，是對應的特征函數。它也等價于是一個核函數(1.42)其中映射由式〔〕定義，而是Hilbert空間上的內積。〔Mercer核〕稱函數為Mercer核，如果是定義在上的連續對稱函數，其中是的緊集，且由定義1.5給出的積分算子是半正定的。設為上的緊集，是上的連續對稱函數，那么積分算子半正定的充要條件是關于任意的的Gram矩陣半正定。§3正定核定理1.6設是的子集。假設是定義在上的正定核，那么對，函數關于的Gram矩陣都是半正定的。證明：是定義在上的正定核，因此存在著從X到Hilbert空間H的映射，使得(1.43)任取，構造關于的Gram矩陣。顯然，根據由式〔1.43〕可以斷言，對,我們有(1.44)這說明關于的Gram矩陣是半正定的。假設集合S由所有的以下元素組成(1.45)其中為任意的正整數，,,那么S為一個向量空間。證明：由于集合S中的元素對于加法和數乘封閉，所以S構成一個向量空間。假設對S中的兩元素和(1.46)定義運算(1.47)并由此定義在上的函數，那么該函數關于的Gram矩陣都是半正定的。證明：由知：假設任意選取，記函數相應的Gram矩陣為。顯然它是對稱矩陣。由〔1.47〕可知對有：(1.48)這說明Gram矩陣是半正定的。具有如下性質：對于，有(1.49)證明：任取,那么關于的Gram矩陣為(1.50)因為可知：0〕是半正定的，其行列式非負。由此可知(1.51)引理1.10是S上的內積運算，因而可記為(1.52)證明：直接驗證可知該運算具有內積運算應滿足的如下性質：對和有(1.53)(1.54)(1.55)(1.56)只需證明：假設，那么有。事實上，假設(1.57)那么按運算規那么〔1.47〕知，對，有(1.58)由于(1.59)所以(1.60)此式意味著當時，對，都有，即為零元素。假設H是引理1.7中的集合S在引理1.8中定義的內積運算意義下的閉包，那么H是一個Hilbert空間。定理1.7設是定義在上的對稱函數。假設對，函數關于的Gram矩陣都是半正定的，那么是一個正定核。證明：定義映射(1.61)由引理1.7和1.11知，該映射是從X到某一Hilbert空間的映射。由式〔1.58〕可得到(1.62)是內積運算。利用式〔1.61〕可得到(1.63)是正定核。〔正定核的等價定義〕設是的子集。稱定義在上的對稱函數為一個正定核，如果對，相對于的Gram矩陣都是半正定的。〔再生核的Hilbert空間〕令是一個非空的集合，是一個由函數組成的，內積由式〔1.47〕定義以及范數由定義的Hilbert空間。稱是一個再生核Hilbert空間〔簡稱RKHS〕,如果存在滿足如下性質具有再生性，即對，有(1.64)特別地(1.65)張成空間，即(1.66)其中表示集合A的閉包。假設函數是Mercer核，那么對，有因此，一定是一個正定核。因為Mercer是正定的，所以它是再生核。§4核函數的構造根據正定核的等價定義，我們可以從簡單的核來構造復雜的核。定理1.8設是上的核。假設是從到的映射，那么是上的核。特別地，假設矩陣B是半正定的，那么是的核。證明：任取，那么相應的Gram矩陣為(1.67)記，，那么有(1.68)由是上的正定核可知：上式右端矩陣是半正定的。從而左端矩陣半正定。所以是正定核。當B為半正定矩陣時，它可分解為(1.69)定義上的核，令，那么有(1.70)從而是正定核。定理1.9假設是定義在上的實值函數，那么是正定核。證明：只需把雙線性形式重寫如下1)0設和是上的核，。設常數，那么下面的函數均是核：〔1〕2)〔2〕3)〔3〕4)證明:對給定的一個有限集合，令和分別是和相對于這個集合的Gram矩陣。對,有5)所以是半正定的，因而是核函數。〔2〕是核函數。〔3〕設為對應于的Gram矩陣，那么的元素是和對應元素的乘積6)現證明是半正定矩陣。令,，那么7)1設是上的核。又設是系數全為正數的多項式。那么下面的函數均是核。〔1〕8)〔2〕