【拔尖特訓(xùn)】2022-2023學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)尖子生培優(yōu)必刷題【浙教版】專題4.8三角形的中位線大題專練（重難點(diǎn)培優(yōu)30題）班級(jí)：___________________姓名：_________________得分：_______________注意事項(xiàng)：本試卷試題解答30道，共分成三個(gè)層組：基礎(chǔ)過(guò)關(guān)題（第1-10題）、能力提升題（第11-20題）、培優(yōu)壓軸題（第21-30題），每個(gè)題組各10題，可以靈活選用．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級(jí)等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、解答題1．（2022春·浙江金華·八年級(jí)校考階段練習(xí)）已知：如圖，在△ABC中，CF平分∠ACB，CA=CD，AE=EB．求證：EF=1【答案】見解析【分析】由等腰三角形的性質(zhì)可證明F為AD的中點(diǎn)，可得EF為△ABD的中位線，可證得結(jié)論．【詳解】證明：∵CA＝CD，CF平分∠ACB，∴CF為AD邊上的中線，∴F為AD的中點(diǎn)，又AE＝EB，∴E為AB中點(diǎn)，∴EF為△ABD的中位線，∴EF＝12BD【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)和三角形中位線定理，利用等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)證得F為AD邊的中點(diǎn)，是解題的關(guān)鍵．2．（2022春·浙江紹興·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，等邊△ABC中，D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)F，使CF＝12BC，連接DE，CD，EF(1)求證：四邊形DCFE是平行四邊形．(2)若AB=6，求四邊形DCFE的周長(zhǎng)．【答案】(1)詳見解析(2)6+6【分析】（1）只要證明DE∥CF，DE=CF即可解決問(wèn)題；（2）由四邊形DCFE是平行四邊形，可得EF=DC，由等邊三角形的性質(zhì)和勾股定理求出CD的長(zhǎng)，即可得出答案．（1）證明：∵點(diǎn)D，E分別為AB，AC的中點(diǎn)，∴DE是△ABC的中位線，∴DE∥BC，DE=12BC∵CF=12BC∴DE=CF，又∵DE∥CF，∴四邊形DCFE是平行四邊形．（2）解：由（1）得：四邊形DCFE是平行四邊形，∴EF=DC．∵△ABC是等邊三角形，∴AB=BC=6，∵D為AB的中點(diǎn)，∴CD⊥AB，在Rt△BCD中，BC=6，∴CD=B∴EF=DC=33∴四邊形DCFE的周長(zhǎng)=23+3【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，三角形中位線定理、平行四邊形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)．3．（2022春·浙江舟山·八年級(jí)校考期中）如圖，點(diǎn)E在□ABCD外，連接BE，DE，延長(zhǎng)AC交DE于F，F(xiàn)為DE的中點(diǎn)．求證：AF//BE；【答案】見解析．【分析】連接BD交AC于點(diǎn)O，證明OF是△DBE的中位線，故可求解．【詳解】證明：如圖，連接BD交AC于點(diǎn)O，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴點(diǎn)O是BD的中點(diǎn)，∵F為DE的中點(diǎn)，∴OF是△DBE的中位線，∴OF//BE，∴AF//BE．【點(diǎn)睛】此題主要考查平行線的判定，解題的關(guān)鍵是熟知平行四邊形的性質(zhì)及中位線的判定定理．4．（2021春·浙江杭州·八年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)D，E分別是△ABC的邊AB，AC的中點(diǎn)，連接BE，過(guò)點(diǎn)C作CF//BE，交DE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，若EF=3．（1）求證：四邊形BCFE為平行四邊形．（2）求DE的長(zhǎng)．【答案】（1）見解析；（2）3【分析】（1）先證明DE為△ABC的中位線，即可證明四邊形BCFE為平行四邊形；（2）求出BC=EF=3，根據(jù)中位線定理即可求解．【詳解】解：（1）∵D、E分別是△ABC的邊AB、AC的中點(diǎn)，∴DE為△ABC的中位線，∴DE∥BC，DE=12BC∴EF∥BC，∵CF∥BE，∴四邊形BCFE為平行四邊形；（2）∵四邊形BCFE為平行四邊形，∴BC=EF=3，∴DE=12BC=3【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中位線定理，平行四邊形判定與性質(zhì)，熟知三角形中位線定理是解題關(guān)鍵．5．（2022春·浙江紹興·八年級(jí)嵊州市三界鎮(zhèn)中學(xué)校聯(lián)考期中）已知：D、E、F分別是△ABC三邊的中點(diǎn)，求證：AD與EF互相平分．【答案】見解析【分析】連接DE、DF，利用三角形的中位線定理可以證得：四邊形AEDF的兩組對(duì)邊分別平行，則是平行四邊形，然后根據(jù)平行四邊形的對(duì)角線互相平分即可證得結(jié)論．【詳解】證明：連接DE、DF．∵D、F分別是BC，AC的中點(diǎn)，∴DF是△ABC的中位線．∴DF?//?AB，同理，DE?//?AC．∴四邊形AEDF是平行四邊形．∴AD與EF互相平分．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的中位線的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟知上述圖形的判定與性質(zhì)是解題的基礎(chǔ)，根據(jù)題目特征，將AD與EF構(gòu)造在一個(gè)四邊形中是解題的關(guān)鍵．6．（2020春·浙江·八年級(jí)期中）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，E、F分別是BC、AC的中點(diǎn)，延長(zhǎng)BA到點(diǎn)D，使AB=2AD，連接DE、DF、AE、EF，AF與DE交于點(diǎn)O．（1）試說(shuō)明AF與DE互相平分；（2）若AB=8,BC=12，求DO的長(zhǎng)．【答案】（1）理由見詳解；（2）OD=【分析】（1）由題意易得EF//AB，EF=12AB（2）由（1）可得∠EFA=90°，EO=OD，AO=OF，由勾股定理可得AC=45，進(jìn)而可得EF=4,AF=2【詳解】解：（1）∵E、F分別是BC、AC的中點(diǎn)，∴EF//AB，∵AB=2AD，∴EF∴四邊形AEFD是平行四邊形，∴AF與DE互相平分；（2）由（1）得：AF與DE互相平分，EF//AB，∵∠BAC=90°，∴∠EFA=90°，EO=OD，AO=OF，∵AB=8,BC=12，∴AC=B∴EF=4,AF=25∴AO=OF=5∴EO=E∴OD=21【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形中位線、平行四邊形的判定與性質(zhì)及勾股定理，熟練掌握三角形中位線、平行四邊形的判定與性質(zhì)及勾股定理是解題的關(guān)鍵．7．（2020春·浙江·八年級(jí)期末）已知：如圖，DE是△ABC的中位線，AF是BC邊上的中線，DE和AF交于點(diǎn)O．求證：DE與AF互相平分．【答案】見解析【分析】連接DF、EF，根據(jù)DE是中位線、AF是中線證DF、EF是△ABC的中位線，據(jù)此知DF∥AC，EF∥AB，從而得出四邊形ADFE是平行四邊形，即可得證．【詳解】解：證明：如圖所示，連接DF、EF，∵DE是△ABC的中位線，∴點(diǎn)D是AB中點(diǎn)、點(diǎn)E是AC中點(diǎn)，又∵AF是BC邊上的中線，∴F是BC中點(diǎn)，∴DF、EF是△ABC的中位線，∴DF∥AC，EF∥AB，∴四邊形ADFE是平行四邊形，∴DE與AF互相平分．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行四邊形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)及三角形中位線定理的運(yùn)用．8．（2021春·浙江杭州·八年級(jí)期中）如圖，在△ABC中，AB=13，AC=23，點(diǎn)D在AC上，若BD=CD=10，AE平分∠BAC．（1）求AE的長(zhǎng)；（2）若F是BC中點(diǎn)，求線段EF的長(zhǎng)．【答案】（1）12；（2）5【分析】（1）先根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得DE=5，根據(jù)勾股定理計(jì)算AE的長(zhǎng)即可；（2）根據(jù)三角形的中位線定理可得結(jié)論．【詳解】解：（1）∵AC=23，CD=10，∴AD=23-10=13，∵AB=13，∴AB=CD，∵AE平分∠BAC，∴DE=BE，AE⊥BD，∵BD=10，∴DE=5，∴AE=AD（2）∵E是BD的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC中點(diǎn)，∴EF=12CD=12【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的中位線定理和等腰三角形三線合一的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握這些性質(zhì)是關(guān)鍵．9．（2022秋·浙江溫州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，AB=AC=210，AD是邊BC上的高線，過(guò)點(diǎn)D作DE∥AC交AB(1)求證：△ADE是等腰三角形；(2)連接CE交AD于點(diǎn)H，若∠DCE=45°，求EH的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析；(2)2【分析】（1）利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出BD=CD，進(jìn)而證得DE是三角形中位線，根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得到結(jié)論．（2）作EG∥BC，交AD于G，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)定理，平行線分線段成比例以及等腰直角三角形的性質(zhì)，得出EH=12CH，AD=3DC，利用勾股定理求得CD【詳解】（1）證明：在△ABC中，AB=AC，∴△ABC是等腰三角形，∵AD⊥BC，∴BD=CD，∵DE∥∴AE=BE，∴DE=1∴△ADE是等腰三角形；（2）作EG∥BC，交AD于∵AE=BE，∴AG=DG，∴EG=1∵EG∥∴GH∴GH=12DH∵AD⊥BC，∠DCE=45°，∴△CDH是等腰直角三角形，∴DH=DC，∴AD=3DC，∵AB=AC=210，A∴40=9DC∴DC=2，∴DH=DC=2，∴CH=2∴EH=1∴EH的長(zhǎng)為2．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形中位線的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例，勾股定理，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．10．（2022秋·浙江紹興·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，△ABC中，BA=BC，CO⊥AB于點(diǎn)O，AO=2，BO=3．(1)求BC，AC的長(zhǎng)；(2)若點(diǎn)D是射線OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作DE⊥AC于點(diǎn)E，連接OE．當(dāng)點(diǎn)D在線段OB上時(shí)，若△AOE是以AO為腰的等腰三角形，請(qǐng)求出所有符合條件的OD的長(zhǎng)．【答案】(1)5，2(2)2或2【分析】（1）根據(jù)BA=BC可得BC的長(zhǎng)，分別根據(jù)勾股定理可得OC和AC的長(zhǎng)；（2）分兩種情況：AO=OE和AO=AE時(shí)，分別畫圖，根據(jù)三角形的中位線定理和證明三角形全等可解決問(wèn)題．【詳解】（1）解：∵AO=2，BO=3，∴AB=5，∵BA=BC，∴BC=5，∵CO⊥AB，∴∠AOC=∠BOC=90°，由勾股定理得：CO=BAC=A（2）分兩種情況：i)當(dāng)AO=OE=4時(shí)，過(guò)O作ON⊥AC于N，如圖1所示：∴AN=EN，∵DE⊥AC，∴ON∥∴ON是△ADE的中位線，∴OD=AO=2；ii)當(dāng)AO=AE=4時(shí)，如圖2所示：在△CAO和△DAE中，∠A=∠AAO=AE∴△CAO≌△DAE(ASA∴AD=AC=25∴OD=AD-AO=25綜上所述，OD的長(zhǎng)為2或25【點(diǎn)睛】本題是三角形的綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、分類討論等知識(shí)；正確作出輔助線是等腰三角形是解題的關(guān)鍵．11．（2022春·浙江金華·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F分別為AD，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G，H在對(duì)角線BD上，且BG=DH．(1)求證：四邊形EHFG是平行四邊形．(2)如圖2，連AC交BD于點(diǎn)O，若AC=6，HG=2BH，求HF的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)HF=【分析】（1）利用平行四邊形的性質(zhì)證明△DEH≌△BFGSAS，可得EH=FG，∠EHD=∠FGB，再證明EH（2）證明HF是△OBC的中位線，從而可得答案．【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD=BC，AD∥∴∠EDH=∠FBG，∵E、F分別為?ABCD的邊AD、BC的中點(diǎn)，∴DE=BF，在△DEH與△BFG中，DE=BF∠EDH=∠FBG∴△DEH≌△BFGSAS∴EH=FG，∠EHD=∠FGB，∴∠EHG=∠FGH，∴EH∥∴四邊形EHFG是平行四邊形．（2）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，AC=6，∴OA=OC=3，OB=OD，∵BG=DH，∴BG-GH=DH-GH，即BH=DG，∴OB-BH=OD-DG，即OH=OG，∵HG=2BH，∴BH=OH，∵F為BC的中點(diǎn)，∴HF是△OBC的中位線，∴HF=1【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，三角形的中位線的定義與性質(zhì)，熟練的利用平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行證明是解本題的關(guān)鍵．12．（2022春·浙江溫州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，E、F分別是BC、AC的中點(diǎn)，延長(zhǎng)BA到點(diǎn)D，使AB＝2AD，連接DE、DF、AE、EF，AF與DE交于點(diǎn)O．(1)試說(shuō)明AF與DE互相平分；(2)若AB＝8，BC＝12，求DE的長(zhǎng)．【答案】(1)證明見解析；(2)2【分析】（1）結(jié)合已知條件推知四邊形AEFD是平行四邊形，在該平行四邊形的兩條對(duì)角線互相平分；（2）根據(jù)勾股定理求得AC的長(zhǎng)度，然后由平行四邊形的性質(zhì)和勾股定理來(lái)求DO的長(zhǎng)度，即可求得DE的長(zhǎng)．（1）證明：∵E、F分別是BC、AC的中點(diǎn)，∴EF是△ABC的中位線，∴EF∥AB且EF＝12AB又AB＝2AD，即AD＝12AB∴AD∥EF，AD＝EF，∴四邊形AEFD是平行四邊形，∴AF與DE互相平分；（2）∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，BC＝12，∴由勾股定理得AC=又由（1）知，OA＝OF，且AF＝CF，∴OA=1∴在△AOD中，∠DAO＝90°，AD＝12AB＝4，OA＝5∴由勾股定理得DO=D∴DE=2DO=221【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中位線定理，勾股定理，平行四邊形的判定與性質(zhì)．三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半．13．（2022春·浙江杭州·八年級(jí)校考期中）如圖，?ABCD的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)M，N分別是AB，AD的中點(diǎn)．(1)求證：四邊形AMON是平行四邊形；(2)若AC=8，BD=6，∠AOB=90°，求四邊形AMON的周長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)10【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AO=CO，BO=DO，AB∥CD，AD∥BC，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)得到MO∥BC,NO∥AB，根據(jù)平行四邊形的判定可證得結(jié)論；（2）由勾股定理求得AB=5，根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半得到OM=AM=MB=2.5，進(jìn)而可求得結(jié)論．（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AO=OC，BO=OD，AB∥CD，AD∥BC，∵點(diǎn)M，N分別是AB，AD的中點(diǎn)，∴MO，NO分別是△ABC和△ADB的中位線，∴MO∥BC,NO∥AB，∴MO∥AN,NO∥AM∴四邊形AMON是平行四邊形；（2）解：∵∠AOB=90°，四邊形ABCD是平行四邊形,∴?ABCD是菱形，AB=AD,∵AC=8，BD=6，∴AO=4，BO=3，∵∠AOB=90°，∴AB=A∴OM=AM=MB=2.5，ON=AN=ND=2.5,四邊形AMON的周長(zhǎng)為2.5×4=10．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定、菱形的性質(zhì)與判定、三角形中位線的性質(zhì)，直角三角形斜邊的中線的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．14．（2022春·浙江寧波·八年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別是邊AB，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F，G是邊AC的三等分點(diǎn)，DF，EG的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)H．(1)求證：四邊形FBGH是平行四邊形．(2)求證：四邊形ABCH是平行四邊形．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)三角形中位線定理可得FH∥BG．GH∥BF，即可求證；（2）連結(jié)BH，交FG于點(diǎn)O，根據(jù)四邊形FBGH是平行四邊形．可得OB=OH,OF=OG．從而得到OA=OC，即可求證．（1）證明：∵點(diǎn)F，G是邊AC的三等分點(diǎn)，∴F，G分別是AG，CF的中點(diǎn)．∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，∴DF∥BG，即FH∥BG．同理：GH∥BF，∴四邊形FBGH是平行四邊形．（2）證明：連結(jié)BH，交FG于點(diǎn)O，∵四邊形FBGH是平行四邊形，∴OB=OH,OF=OG．∵AF=CG，∴OA=OC，∴四邊形ABCH是平行四邊形．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理，熟練掌握平行四邊形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理是解題的關(guān)鍵．15．（2022春·浙江金華·八年級(jí)校考期中）如圖，在?ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，E、F分別是BO、DO的中點(diǎn)，G、H分別是AD、BC的中點(diǎn)，順次連接G、E、H、F．(1)求證：四邊形GEHF是平行四邊形；(2)若BD＝2AB．①探究四邊形GEHF的形狀，并說(shuō)明理由；②當(dāng)AB＝2，∠ABD=60°時(shí)，求四邊形GEHF的面積．【答案】(1)見解析(2)①四邊形GEHF是矩形，理由見解析；②3【分析】（1）先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得OA=OC，再根據(jù)三角形中位線定理可得GF∥OA,GF=12OA,EH=（2）①連接GH，先根據(jù)平行四邊形的判定證出四邊形ABHG是平行四邊形，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AB=GH，根據(jù)線段中點(diǎn)的定義可得BD=2EF，從而可得GH=AB=EF，然后根據(jù)矩形的判定即可得出結(jié)論；②先根據(jù)等邊三角形的判定與性質(zhì)可得OA=AB=2，則GF=1，再利用勾股定理可得GE=3（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC，∵E、F分別為BO、DO的中點(diǎn)，G、H分別是AD、BC的中點(diǎn)，∴GF為△AOD的中位線，EH為△BOC的中位線，∴GF∥OA,GF=1∴EH∥GF,EH=GF，∴四邊形GEHF是平行四邊形．（2）解：①四邊形GEHF是矩形，理由如下：如圖，連接GH，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OB＝OD，AD∥BC，AD＝BC，∵G、H分別是AD、BC的中點(diǎn)，∴AG＝BH，AG∥BH，∴四邊形ABHG是平行四邊形，∴AB＝GH，∵E、F分別是BO、DO的中點(diǎn)，∴BE＝OE＝OF＝DF，∴BD＝2EF，∵BD＝2AB，∴EF＝AB，∴GH＝EF，由（1）得：四邊形GEHF是平行四邊形，∴平行四邊形GEHF是矩形；②由①得：GH＝EF＝OB＝AB＝2，四邊形GEHF是矩形，∴∠EGF=90°，∵∠ABD=60°，∴△ABO是等邊三角形，∴OA＝AB＝2，由（1）得：GF=1∴GE=E∴矩形GEHF的面積為GE?GF=3【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握三角形中位線定理是解題關(guān)鍵．16．（江蘇揚(yáng)州市梅嶺中學(xué)2018-2019學(xué)年八年級(jí)下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題）已知，如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且EF∥DC，（1）求證：四邊形CDEF是平行四邊形；（2）若EF＝2cm，求AB的長(zhǎng)．【答案】（1）見解析；（2）4cm．【分析】（1）根據(jù)三角形中位線定理可得ED∥FC；結(jié)合已知條件EF∥DC，即可得結(jié)論；（2）根據(jù)直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半得到AB=2DC．【詳解】（1）證明：如圖，∵D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，∴ED是Rt△ABC的中位線，∴ED∥FC．又EF∥DC，∴四邊形CDEF是平行四邊形；（2）解：由（1）知，四邊形CDEF是平行四邊形，則DC＝EF＝2cm．∵點(diǎn)D是Rt△ABC斜邊AB的中點(diǎn)，∴DC＝12AB∴AB＝2DC＝4cm．故答案為（1）見解析；（2）4cm．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線．解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)以及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．17．（內(nèi)蒙古巴彥淖爾市杭錦后旗四校聯(lián)考2018-2019學(xué)年八年級(jí)下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別是邊BC、AC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AF∥BC交DE的延長(zhǎng)線于F點(diǎn)，連接AD、CF．（1）求證：四邊形ADCF是平行四邊形；（2）當(dāng)△ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形圖ADCF是菱形？為什么？【答案】（1）見解析；（2）當(dāng)△ABC是直角三角形，且∠BAC=90°時(shí)，四邊形ADCF是菱形，理由見解析．【分析】（1）首先利用平行四邊形的判定方法得出四邊形ABDF是平行四邊形，進(jìn)而得出AF=DC，利用一組對(duì)邊相等且平行的四邊形是平行四邊形，進(jìn)而得出答案；（2）利用直角三角形的性質(zhì)結(jié)合菱形的判定方法得出即可．【詳解】（1）證明：∵點(diǎn)D、E分別是邊BC、AC的中點(diǎn)，∴DE∥AB，BD=CD，∵AF∥BC，∴四邊形ABDF是平行四邊形，∴AF=BD，則AF=DC，∵AF∥BC，∴四邊形ADCF是平行四邊形；（2）解：當(dāng)△ABC是直角三角形，且∠BAC=90°時(shí)，四邊形ADCF是菱形，理由：∵△ABC是直角三角形，且∠BAC=90°又∵點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，∴AD=DC，∴平行四邊形ADCF是菱形．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的判定與性質(zhì)以及菱形的判定，熟練應(yīng)用平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．18．（江蘇省宿遷市宿城區(qū)鐘吾初級(jí)中學(xué)2020-2021學(xué)年八年級(jí)下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）如圖，D、E分別是不等邊三角形ABC（即AB≠BC≠AC）的邊AB、AC的中點(diǎn)．O是△ABC內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，連接OB、OC，點(diǎn)G、F分別是OB、OC的中點(diǎn)，順次連接點(diǎn)D、G、F、E．(1)求證：四邊形DGFE是平行四邊形；(2)若四邊形DGFE是菱形，則OA與BC應(yīng)滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由.【答案】(1)證明見解析(2)OA＝BC，理由見解析【分析】（1）首先利用三角形中位線的性質(zhì)得出DE∥BC，DE＝12BC，GF∥BC，GF＝12BC，從而得出DE∥GF，DE＝GF，即可證得四邊形（2）由四邊形DGFE是菱形，可得DG＝GF，再根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)可得DG＝12OA，GF＝12BC，從而得出OA＝（1）證明：∵D、E分別是邊AB、AC的中點(diǎn)．∴DE∥BC，DE＝12BC∵點(diǎn)G、F分別是OB、OC的中點(diǎn)，∴GF∥BC，GF＝12BC∴DE∥GF，DE＝GF．∴四邊形DEFG是平行四邊形；（2）解：OA＝BC，理由如下：連接OA．∵四邊形DEFG是菱形，∴DG＝GF，∵D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)G、F分別是OB、OC的中點(diǎn)，∴DG＝12OA，GF＝12∴OA＝BC．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，平行四邊形的判定，菱形的判定以及平行四邊形與菱形的關(guān)系，熟記相關(guān)的定理和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．19．（江蘇省泰州市泰州中學(xué)附屬初級(jí)中學(xué)2021-2022學(xué)年八年級(jí)下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題）如圖，在□ABCD中，點(diǎn)E是AB邊的中點(diǎn)，(1)僅用一把無(wú)刻度的直尺畫出CD邊的中點(diǎn)F；(2)在（1）的條件下，求證：EF=BC．【答案】(1)見詳解(2)見詳解【分析】（1）連接AC、BD，兩者交于點(diǎn)G，連接EG并延長(zhǎng)交CD與點(diǎn)F，即可．（2）證明四邊形ADFE是平行四邊形即可．（1）作圖如下：點(diǎn)F即為所求，證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB∥DC，CD=AB，對(duì)角線交點(diǎn)G平分對(duì)角線∴點(diǎn)G為AC、BD的中點(diǎn)，∵E點(diǎn)為AB中點(diǎn)，∴EG為△ABD的中位線，∴AD∥EG，即∵AB∥∴四邊形ADFE是平行四邊形，∴AE=DF，∵E點(diǎn)為AB中點(diǎn)，∴AE=BE=1∴DF=12AB∴F點(diǎn)為DC中點(diǎn)，即F點(diǎn)滿足要求．（2）證明：在（1）中已證明有：四邊形ADFE是平行四邊形，∴AD=EF，∵AD=BC，∴EF=BC，結(jié)論得證．【點(diǎn)睛】本題主要考查了基本作圖，平行四邊形的判定與性質(zhì)、中位線的判定與性質(zhì)等知識(shí)，掌握平行四邊形的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．注意作圖只能用無(wú)刻度直尺，并非尺規(guī)作圖．20．（江蘇省無(wú)錫市宜興市丁蜀實(shí)驗(yàn)中學(xué)2022年八年級(jí)下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題）如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分別是AC，CD的中點(diǎn)，連接BM，MN，BN．(1)求證：BM=MN；(2)若∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2．①求∠BMN的度數(shù)；②求BN的長(zhǎng)．【答案】(1)答案見解析(2)①∠BMN=90°；②BN=2【分析】（1）在△CAD中，由中位線定理得到MN∥AD，且MN=12AD，在Rt△ABC中，因?yàn)镸是AC的中點(diǎn)，故BM=12（2）①由∠BAD=60°且AC平分∠BAD，得到∠BAC=∠DAC=30°，由（1）知，BM=12AC=AM=MC，得到∠BMC=60°，由平行線性質(zhì)得到∠NMC=∠DAC=30°，故∠BMN=90°；②因?yàn)椤螧MN=90°，由勾股定理得到，BN2=BM2+MN2，再由MN=BM=1，得到BN（1）解：在△CAD中，∵M(jìn)、N分別是AC、CD的中點(diǎn)，∴MN∥AD，且MN=12AD在Rt△ABC中，∵M(jìn)是AC的中點(diǎn)，∴BM=12AC又∵AC=AD，∴MN=BM；（2）①∵∠BAD=60°且AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC=30°，由（1）知，BM=12AC=AM=MC∴∠BMC=∠BAM+∠ABM=2∠BAM=60°，∵M(jìn)N∥AD，∴∠NMC=∠DAC=30°，∴∠BMN=∠BMC+∠NMC=90°；②∵∠BMN=90°，∴BN2=BM2+MN2，而由（1）知，MN=BM=12AC=12∴BN==1【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中位線定理、直角三角形斜邊中線定理、三角形的外角、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半．21．（2022春·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)哈爾濱市第四十七中學(xué)校考階段練習(xí)）在△ABC中，AD⊥BC，垂足為點(diǎn)D，點(diǎn)E是AB邊的中點(diǎn)，DG∥AB，EG交AD于點(diǎn)F，EF=FG，連接DG．(1)如圖1，求證：四邊形BEGD是平行四邊形；(2)如圖2，連接DE、BF、CG，若AC=BF，CD=DF，在不添加任何輔助線的情況下，請(qǐng)直接寫出圖2中長(zhǎng)度為CG的2倍的線段．【答案】(1)見解析；(2)圖2中長(zhǎng)度為CG的2倍的線段是BD、EG、AD．【分析】（1）證明EF是△ABD的中位線，由三角形中位線定理得出BD=2EF，證出BD=EG，得出四邊形BEGD是平行四邊形；（2）由HL證明Rt△BDF和Rt△ADC，得出BD=AD，CD=DF=12AD，BD=EG=2FG，得出CD=FG【詳解】（1）證明：∵DG∥AB，∴∠EAF=∠GDF，在△EAF與△GDF中，∠EAF=∠GDF∠AFE=∠DFG∴△EAF≌△GDF，∴AF=DF∴F是AD的中點(diǎn)，∵點(diǎn)E是AB邊的中點(diǎn)，∴EF是△ABD的中位線，∴BD=2EF，BD∥EG∵EF=FG，∴BD=EG，∴四邊形BEGD是平行四邊形；（2）解：BD=EG=AD=2CG；理由如下：∵AD⊥BC，∴∠BDF=∠ADC=90°，在Rt△BDF和Rt△ADC∴Rt△BDF≌Rt△ADC∴BD=AD，∵CD=DF=12AD∴CD=FG，又∵FG∥CD，∴四邊形CDFG是平行四邊形，∴CG=DF=1∴BD=EG=AD=2CG，即圖2中長(zhǎng)度為CG的2倍的線段是BD、EG、AD．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理；熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解決問(wèn)題（2）的關(guān)鍵．22．（2023秋·山東煙臺(tái)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知：如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是邊AB的中點(diǎn)，DE∥BC，交AC于點(diǎn)E，求證：AE=EC（請(qǐng)用兩種方法進(jìn)行證明）【答案】見解析【分析】方法一：過(guò)點(diǎn)B作BM∥AC，交ED的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，證明△ADE≌△BDM，得出AE=BM，利用平行四邊形的判定和性質(zhì)解答即可；方法二：取BC中點(diǎn)M，連接DM，易知DM是△ABC的中位線，得到DM∥AC，DM=1【詳解】證明：方法不唯一，答案僅供參考：方法一：過(guò)點(diǎn)B作BM∥AC，交ED的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，∴∠A=∠DBM，∵點(diǎn)D是邊AB的中點(diǎn),∴AD=BD∵∠ADE=∠BDM∴△ADE≌△BDM（ASA），∴AE=BM∵BM∥AC，DE∥BC，∴四邊形BCEM是平行四邊形∴EC=BM∴AE=EC

方法二：取BC中點(diǎn)M，連接DM，∵點(diǎn)D是邊AB的中點(diǎn)∴DM是△ABC的中位線，∴DM∥AC，DM=1∵DE∥BC，∴四邊形DMCE是平行四邊形∴DM=EC∴EC=12∴AE=EC，方法三：延長(zhǎng)ED至M，使DM=DE，連接BM，（如圖1，方法略）．方法四：過(guò)點(diǎn)D作DM∥AC，交BC于點(diǎn)M，（如圖2，方法略）．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的中位線，熟練掌握平行四邊形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．23．（2023秋·山東淄博·八年級(jí)校考期末）求證：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半．已知：如圖，點(diǎn)D、E分別是ΔABC的邊AB、AC的中點(diǎn)，連接DE求證：DE∥BC，且（要求：尺規(guī)作圖畫出D點(diǎn)和E點(diǎn)，只保留作圖痕跡，不寫作法）【答案】見解析【分析】根據(jù)垂直平分線的作法，分別作線段AB和線段AC的垂直平分線，交點(diǎn)分別為點(diǎn)D和E，延長(zhǎng)DE到F，使EF=DE，連接FC，證明△ADE≌△CFE(SAS)，得出∠ADE=∠F，AD=CF，再證明四邊形【詳解】證明：分別作線段AB和線段AC的垂直平分線，交點(diǎn)分別為點(diǎn)D和E，如圖所示：∵D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，∴AD=BD，AE=CE，在△ADE與△CFE中，AE=CE∠AED=∠CEF∴△ADE≌△CFE(SAS∴∠ADE=∠F，AD=CF，∴CF∥AB，∴四邊形BCFD是平行四邊形，∴DF=BC，DF∥∴DE=1【點(diǎn)睛】本題主要考查了尺規(guī)尺規(guī)線段的垂直平分線，三角形中位線定理的證明，平行四邊形的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握尺規(guī)作線段的垂直平分線，平行四邊形的判定方法．24．（2022秋·北京房山·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，△ABC中，AB<AC，點(diǎn)D為BC邊中點(diǎn)，∠BAD=α．作點(diǎn)B關(guān)于直線AD的對(duì)稱點(diǎn)B'，連接BB'交AD于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作CF∥AB(1)依題意補(bǔ)全圖形，并直接寫出∠AB'E和∠AFC(2)用等式表示線段AB，AF，CF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】(1)圖見解析，∠AB'E=90°-α(2)AB+CF=AF，證明見解析．【分析】（1）根據(jù)題意，補(bǔ)全圖形，再利用軸對(duì)稱的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)，求解即可；（2）連接B'C，通過(guò)平行線的性質(zhì)證明∠FB【詳解】（1）解：如下圖所示：由題意可得：AB=AB'，∴△ABB'為等腰三角形，∴∠AB'E=∠ABE=90°-∠BAD=90°-α∵CF∥∴∠BAF+∠AFC=180°，∴∠AFC=180°-∠BAF=180°-2α；（2）AB+CF=AF，證明如下：連接B'由題意可得：BE=B'E，∴DE∥∴∠BB∴∠B'∵CF∥∴∠ABC+∠FCB=180°，∴∠ABB又∵∠AB∴∠FB∴B'∵AB∴AB+CF=AF【點(diǎn)睛】此題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)基本性質(zhì)．25．（2022春·上海奉賢·八年級(jí)校考期末）已知：如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在AB上，BD=AC，E、F、G分別是BC、AD、CD的中點(diǎn)，EF、CA的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)H．求證：(1)∠CGE=∠ACD+∠CAD；(2)AH=AF．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）由題目的已知條件可得EG是△BDC的中位線，所以EG∥BD，由此可得∠CGE=∠BDC，再根據(jù)三角形外角和定理即可證明（2）連接FG，易證△FGE是等腰三角形，所以∠GFE=∠GEF，再根據(jù)平行線的性質(zhì)以及對(duì)頂角相等可證明∠H=∠AFE，進(jìn)而可得：AH=AF，【詳解】（1）證明∵E，G分別是BC，CD的中點(diǎn)，∴EG是△BDC的中位線，∴EG∥∴∠CGE=∠BDC，∵∠BDC=∠ACD+∠CAD，∴∠CGE=∠ACD+∠CAD；（2）解：連接FG，∵E，F(xiàn)，G分別是BC，AD，CD的中點(diǎn)，∴EG=12BD∵BD=AC，∴GE=GF，∴∠GFE=∠GEF，∵FG∥∴∠GFE=∠H，∵∠GEF=∠BFE=∠AFH，∴∠H=∠AFE，∴AH=AF．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的中位線定理，中位線是三角形中的一條重要線段，解題的關(guān)鍵是掌握中位線的性質(zhì)．26．（2022秋·浙江寧波·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，△ABC中，BA=BC，CO⊥AB于點(diǎn)O，AO=2，BO=3．(1)求BC，AC的長(zhǎng)；(2)若點(diǎn)D是射線OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作DE⊥AC于點(diǎn)E，連結(jié)OE.當(dāng)點(diǎn)D在線段OB上時(shí)，若△AOE是以AO為腰的等腰三角形，請(qǐng)求出所有符合條件的OD的長(zhǎng)．【答案】(1)BC=5，AC=2(2)OD的長(zhǎng)為2或2【分析】（1）由題意BA=BC=5，先由勾股定理求出CO的值，再根據(jù)勾股定理求出AC的值；（2）分兩種情況AO=OE和AO=AE，根據(jù)三角形的中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半和證明△CAO≌△DAE，即可求出所有符合條件的OD的長(zhǎng)．【詳解】（1）解：∵AO=2，BO=3，∴AB=5，∵BA=BC，∴BC=5，∵CO⊥AB，∴∠AOC=∠BOC=90°，由勾股定理得：CO=BAC=A∴BC的長(zhǎng)為5，AC的長(zhǎng)為2（2）解：分兩種情況：①當(dāng)AO=OE時(shí)，過(guò)O作ON⊥AC于N，如圖1所示：∴AN=EN，∵DE⊥AC，∴ON//DE，∴ON是△ADE的中位線，∴OD=AO=2；②當(dāng)AO=AE時(shí)，如圖2所示：在△CAO和△DAE中，∠A=∠AAO=AE∴△CAO≌△DAE(ASA∴AD=AC=25∴OD=AD-AO=2綜上所述，OD的長(zhǎng)為2或25【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，中位線定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，以及勾股定理，牢固掌握其性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．27．（2022秋·福建廈門·八年級(jí)福建省廈門集美中學(xué)校考期中）如圖1，在△ABC中，分別以AB，AC為直角邊向△ABC外作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，其中，AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE=∠90°，連接DE．(1)求證：∠DAE=∠ABC+∠ACB；(2)如圖2，若點(diǎn)M為BC中點(diǎn)，連接AM，判斷AM與DE的數(shù)量與位置關(guān)系．【答案】(1)見解析(2)AM=12【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，又根據(jù)周角的性質(zhì)得到∠BAC+∠DAE=180°等量代換即可得到結(jié)論；（2）延長(zhǎng)CA至F，使FA=AC，并連接BF，證明△FBA≌△EDA，得出FB=DE，利用中位線的性質(zhì)得出AM=12FB，從而得出AM=12DE，再延長(zhǎng)MA交【詳解】（1）證明：∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，又∵∠BAC+∠DAE=360°-90°-90°=180°，∴∠DAE=∠ABC+∠ACB；（2）解：延長(zhǎng)CA至F，使FA=AC，并連接BF，∵△ABD和△ACE為等腰直角三角形，∴AB=AD，AE=AC，

∵FA=AC，∴FA=AE，∵∠FAB=∠ABC+∠ACB，由（1）得∠DAE=∠ABC+∠ACB，∴∠FAB=∠DAE，在△FAB和△EAD中，F(xiàn)A=AE∠FAB=∠DAE∴△FBA≌△EDA，∴BF=DE，∠BFC=∠DEA，∵M(jìn)為BC中點(diǎn)，A為FC中點(diǎn)，∴MA為△FBC的中位線，∴AM=12BF∴AM=1延長(zhǎng)MA交DE于點(diǎn)G，∵∠BFC=∠DEA，∴∠MAC=∠DEA，∵∠EAC=90°，∴∠MAC+∠GAE=90°，∴∠DEA+∠GAE=90°，∴∠AGE=90°，∴MG⊥DE，即AM⊥DE，故AM與DE的數(shù)量與位置關(guān)系為：AM=12DE【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、中位線的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．28．（2022秋·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖1，在等腰Rt△ABC中，∠A=90°，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，AD=AE，連接，點(diǎn)M、P、N分別為DE、DC、BC的中點(diǎn)．(1)觀察猜想：圖1中，線段PM與PN的數(shù)量關(guān)系是______，位置關(guān)系是______；(2)探究證明：把△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到圖2的位置，連接MN，BD，判斷△PMN的形狀，并說(shuō)明理由；(3)拓展延伸：把△ADE繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若AD=4，AB=10，求△PMN面積的最大值．【答案】(1)PM=PN，PM⊥PN(2)△PMN是等腰直角三角形，理由見解析(3)49【分析】（1）利用三角形的中位線定理得出PM=12CE，PN=12BD，進(jìn)而得出BD=CE，即可得出結(jié)論，再利用三角形的中位線定理得出（2）先判斷出△ABD≌△ACE(SAS)，得出BD=CE，同（1）的方法得出PM=12CE，PN=12BD，（3）由等腰直角三角形可知，當(dāng)PM最大時(shí)，△PMN面積最大，而BD的最大值是AB+AD=14，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：∵P、N分別為DC、BC的中點(diǎn)，∴PN∥BD，PN=1∵點(diǎn)M、P分別為DE、DC的中點(diǎn)，∴PM∥CE，PM=1∵AB=AC，AD=AE，∴BD=CE，∴PM=PN，∵PN∥BD，PM∥CE，∴∠DPN=∠ADC，∠DPM=∠DCA，∵∠BAC=90°，∴∠ADC+∠ACD=90°，∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCA+∠ADC=90°，∴PM⊥PN．故答案為：PM=PN，PM⊥PN．（2）解：△PMN是等腰直角三角形，理由如下．由旋轉(zhuǎn)可知，∠BAD=∠CAE，∵AB=AC，AD=AE，∴△ABD≌△ACE(SAS∴∠ABD=∠ACE，BD=CE，由三角形的中位線定理得，PN=12BD，∴PM=PN，∴△PMN是等腰三角形，同（1）的方法可得，PM∥CE，PN∥BD，∠DPM=∠DCE，∠PNC=∠DBC，∵∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC，∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC，=∠BCE+∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DBC=∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC，∵∠ACB+∠ABC=90°，∴∠MPN=90°，∴△PMN是等腰直角三角形．（3）解：由（2）可知，△PMN是等腰直角三角形，PM=PN=1∴當(dāng)PM最大時(shí)，△PMN面積最大，∴點(diǎn)D在BA的延長(zhǎng)線上，∴BD=AB+AD=14