十字相乘法分解因式之答祿夫天創作創作時間：二零二一年六月三十日同學們都知道，爐+5+幻工+網型的二次三項式是分解因式中的罕見題型,那么此類多項式該如何分解呢？觀察gpNx+G= 1+（尸+幻元+陽，可知￥+5+幻工+廣守=（元+戶）（工+G.這就是說，對二次三項式才+助+占，如果常數項b可以分解為p、q的積，而且有p+q=a,那么公+皿+占=（元+加（工+外.這就是分解因式的十字相乘法.下面舉例具體說明怎樣進行分解因式.例1、 因式分解工士-"56.wX7分析：因為先一87x+ （-8x）=-x解：原式二（x+7）（x-8）例2、 因式分解公-lOx+15.xX-2分析：因為工-2x+（-8x）=-10x解：原式二（x-2）（x-8）例3、 因式分解歹+1匕+0分析：該題雖然二次項系數不為1,但也可以用十字相乘法進行因式分解.2yx3因為打$9y+ 10y=19y解：原式二(2y+3)(3y+5)例4、 因式分解14#+我-27.2元X3分析：因為九一921x+(-18x)=3x解：原式二(2x+3)(7x-9)例5、 因式分解13+2『一295+2)+10.分析：該題可以將(x+2)看作一個整體來進行因式分解.2(z+2)_-5因為空土支上-25(x+2)+[-4(x+2)]=-29(x+2)解：原式二[2(x+2)-5][5(x+2)-2]=(2x-1)(5x+8)例6、 因式分解3f尸-14(^-^)+24.分析：該題可以先將(1一m)看作一個整體進行十字相乘法分解,接著再套用一次十字相乘.因為]=]==—i4][-12]=]=-]=-14(1一公 a+ (-2a)a3a+(-4a)=-a解：原式二[d-3-2][(1-3-12](a+1)(a-2)(a+3)(a-4)從上面幾個例子可以看出十字相乘法對二次三項式的分解因式十分方便,年夜家一定要熟練掌握.但要注意,其實不是所有的二次三項式都能進行因式分解，如/-2史上在實數范圍內就不能再進一步因式分解了因式分解的一點彌補——十字相乘法宜昌九中尤啟平教學目標1．使學生掌握運用十字相乘法把某些形如ax2+bx+c的二次三項式因式分解；2．進一步培養學生的觀察力和思維的敏捷性.教學重點和難點重點：正確地運用十字相乘法把某些二次項系數不是1的二次三項式因式分解.難點：靈活運用十字相乘法因分解式.教學過程設計一、導入新課前一節課我們學習了關于x2+(p+q)x+pq這類二次三項式的因式分解,這類式子的特點是：二次項系數為1,常數項是兩個數之積,一次項系數是常數項的兩個因數之和.因此，我們獲得x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).課前練習：下列各式因式分解1．-x2+2x+15 2．(x+y)2-8(x+y)+48；3．x4-7x2+18； 4．x2-5xy+6y2.答：1．-(x+3)(x-5)； 2．(x+y-12)(x+y+4)；3．(x+3)(x-3)(x2+2)； 4．(x-2y)(x-3y).我們已經學習了把形如x2+px+q的某些二次三項式因式分解,也學習了通過設輔助元的方法把能轉化為形如x2+px+q型的某些多項式因式分解.對二次項系數不是1的二次三項式如何因式分解呢？這節課就來討論這個問題，即把某些形如ax2+bx+c的二次三項式因式分解.二、新課例1 把2x2-7x+3因式分解.分析：先分解二次項系數,分別寫在十字交叉線的左上角和左下角,再分解常數項,分別寫在十字交叉線的右上角和右下角,然后交叉相乘,求代數和,使其即是一次項系數.分解二次項系數(只取正因數)：2=1X2=2X1；分解常數項：3=1X3=3X1=(-3)X(-1)=(-1)X(-3).用畫十字交叉線方法暗示下列四種情況：TOC\o"1-5"\h\z1 1 1 3 1 -11 -32X3 2X1 2X-32X-1 1X3+2X11X1+2X3 1X(-3)+2X(-1) 1X(-1)+2X(-3)=5 =7 =-5=-7經過觀察,第四種情況是正確有.這是因為交叉相乘后,兩項代數和恰即是一次項系數-7.解2x2-7x+3=(x-3)(2x-1).一般地，對二次三項式ax2+bx+c(aW0),如果二次項系數a可以分解成兩個因數之積，即a=a1a2,常數項c可以分解成兩個因數之積，即c=c1c2,把a1,%c1,c2排列如下：a1 c1 a2Xc2a1c2+a2c1按斜線交叉相乘,再相加,獲得a1c2+a2c1,若它正好即是二次三項式ax2+bx+c的一次項系數b,即a1c2+a2c1=b,那么二次三項式就可以分解為兩個因式a1x+c1與a2x+c2之積，即ax2+bx+c= ( a1x+c1 )(a2x+c2).像這種借助開十字交叉線分解系數,從而幫手我們把二次三項式分解因式的方法,通常叫做十字相乘法.例2把6*2-7*-5分解因式.分析：依照例1的方法,分解二次項系數6及常數項-5,把它們分別排列,可有8種分歧的排列方法,其中的一種2 1 3 X-52X(-5)+3X1=-7是正確的,因此原多項式可以用直字相乘法分解因式.解6x2-7x-5=(2x+1)(3x-5).指出：通過例1和例2可以看到,運用十字相乘法把一個二次項系數不是1的二次三項式因式分解,往往要經過屢次觀察,才華確定是否可以用十字相乘法分解因式.對二次項系數是1的二次三項式,也可以用十字相乘法分解因式,這時只需考慮如何把常數項分解因數.例如把x2+2x-15分解因式,十字相乘法是1 -3 1X51X5+1X(-3)=2所以x2+2xT5=(x-3)(x+5).例3 把5x2+6xy-8y2分解因式.分析：這個多項式可以看作是關于x的二次三項式，把-8y2看作常數項,在分解二次項及常數項系數時,只需分解5與-8,用十字交叉線分解后,經過觀察,選取合適的一組,即1 2 5X-41X(-4)+5X2=6解 5x2+6xy-8y2=(x+2y)(5x-4y).指出：原式分解為兩個關于x,y的一次式.例4把(x-y)(2x-2y-3)-2分解因式.分析：這個多項式是兩個因式之積與另一個因數之差的形式,只有先化簡,進行多項式的乘法運算,把變形后的多項式再因式分解.問：兩個乘積的式子有什么特點,用什么方法進行多項式的乘法運算最簡便？答：第二個因式中的前兩項如果提出公因式2,就釀成2(x-y),它是第一個因式的二倍，然后把(x-y)看作一個整體進行乘法運算，可把原多項式變形為關于(x-y)的二次三項式，就可以用址字相乘法分解因式了.解(x-y)(2x-2y-3)-2=(x-y)[2(x-y)-3]-2 1-2=2(x-y)2-3(x-y)-2 2X+1=[(x-y)-2] [2(x-y)+1]1X1+2X(-2)=-3=(x-y-2)(2x-2y+1).指出：把(x-y)看作一個整體進行因式分解，這又是運用了數學中的“整體”思想方法.三、課堂練習1．用十字相乘法因式分解：(1)2x2-5x-12； (2)3x2-5x-2； (3)6x2-13x+5；(4)7x2-19x-6； (5)12x2-13x+3； (6)4x2+24x+27.2．把下列各式因式分解：(1)6x2-13x+6y2； (2)8x2y2+6xy-35；(3)18x2-21xy+5y2； (4)2(a+b)2+(a+b)(a-b)-6(a-b)2.謎底：1.(1)(x-4)(2x+3)； (2)(x-2)(3x+1)；(3)(2x-1)(3x-5)； (4)(x-3)(7x+2)；(5)(3x-1)(4x-3)； (6)(2x+3)(2x+9).2.(1)(2x-3y)(3x-2y)； (2)(2xy+5)(4xy-7)；(3)(3x-y)(6x-5y)； (4)(3a-b)(5b-a).四、小結.用十字相乘法把某些形如ax2+bx+c的二次三項式分解因式時,應注意以下問題：(1)正確的十字相乘必需滿足以下條件：a1c1在式子 中，豎向的兩個數必需滿足關系a1a2=a,c1c2=c；在上式中，斜a2 c2向的兩個數必需滿足關系a1c2+a2c1=b,分解思路為“看兩端,湊中間.”(2)由十字相乘的圖中的四個數寫出分解后的兩個一次因式時，圖的上一行兩個數中，a1是第一個因式中的一次項系數，c1是常數項；在下一行的兩個數中，a2是第二個因式中的一次項的系數，c2是常數項.(3)二次項系數a一般都把它看作是正數(如果是負數，則應提出負號,利用恒等變形把它轉化為正數),只需把經分解在兩個正的因數.2．形如x2+px+q的某些二次三項式也可以用十字相乘法分解因式.3.凡是可用代換的方法轉化為二次三項式ax2+bx+c的多項式,有些也可以用十字相乘法分解因式,如例4.五、作業1．用十字相乘法分解因式：(1)2x2+3x+1； (2)2y2+y-6； (3)6x2-13x+6； (4)3a2-7a-6；(5)6x2-11xy+3y2； (6)4m2+8mn+3n2； (7)10x2-21xy+2y2；(8)8m2-22mn+15n2.2．把下列各式分解因式：(1)4n2+4n-15； (2)6a2+a-35； (3)5x2-8x-13；

（4）4x2+15x+9；（5）15x2+x-2；（6）6y2+19y+10；（7）20-9y-20y（4）4x2+15x+9；（5）15x2+x-2；（6）6y2+19y+10；（7）20-9y-20y2；（8）7（x-1）2+4（x-1）（y+2）-20（y+2）2.謎底：1．（1）（2x+1）（x+1）；（2y-3）；（3）（2x-3）（3x-2）；（3a+2）；（5）（2x-3y）（3x-y）；（2m+3n）；（7）（x-2y）（10x-y）；（4m-5n）.（2）（y+2）（4）（a-3）（6）（2m+n）（8）（2m-3n）2．（1）（2n-3）（2n+5）；（2）（2a+5）（3）（x+1）（5x-13）；（4x+3）；（5）（3x-1）（5x+2）；（3y+2）；（7）-（4y+5）（5y-4）；（7x-10y-27）.（4）（x+3）（6）（2y+5）（8）（x+2y+3）（4）（x+3）（6）（2y+5）（8）（x+2y+3）1．為了使學生切實掌握運用十字相乘法把某些二次三項式因式分解的思路和方法,在教學設計中,先通過例1,較祥盡地講解借助畫十字交叉線分解系數的具體方法,在此基礎上再進一步概括如何運用十字相乘法把二次三項式ax2+bx+c進行因式分解的一般思路和方法.只有使學生掌握了十字相乘法的一般法則,才華進一步指導解決各種具體的問題,這種從特殊到一般,再從一般到特殊的認識問