年廣西部分市高三數(shù)學(xué)第二次模擬聯(lián)考試卷（考試用時120分鐘，滿分150分）注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的考生號、姓名、考點學(xué)校、考場號及座位號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑．如需要改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．若，則（

）A．1 B． C． D．52．已知橢圓的離心率為，則（

）A．2 B．4 C． D．3．設(shè)是等比數(shù)列的前n項和，若，，則（

）A．2 B． C．3 D．4．從1，2，3，4，5這5個數(shù)中隨機地取出3個數(shù)，則該3個數(shù)的積與和都是3的倍數(shù)的概率為（

）A． B． C． D．5．已知函數(shù)為偶函數(shù)，則的最小值為（

）A．2 B．0 C．1 D．6．已知函數(shù)在區(qū)間上恰有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．記函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，的導(dǎo)函數(shù)為，則曲線的曲率．若函數(shù)為，則其曲率的最大值為（

）A． B． C． D．8．已知點P為雙曲線上的任意一點，過點P作雙曲線C漸近線的垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，則的面積為（

）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．已知實數(shù)a，b，c滿足，且，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．C． D．10．在銳角中，角A，B，C對邊分別為a，b，c，且，，則（

）A．的外接圓半徑為5B．若，則的面積為C．D．的取值范圍為11．已知函數(shù)的定義域與值域均為，且，則（

）A． B．函數(shù)的周期為4C． D．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知集合，，若，則實數(shù)．13．設(shè)實數(shù)x，，滿足1，3，4，x，y，的平均數(shù)與50%分位數(shù)相等，則數(shù)據(jù)x，y，的方差為．14．在三棱錐中，，，，的面積分別3，4，12，13，且，則其內(nèi)切球的表面積為．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．已知函數(shù)．(1)求曲線在點處的切線方程；(2)求的單調(diào)區(qū)間與極值．16．在正四棱柱中，已知，，點E，F(xiàn)，G，H分別在棱，，，上，且，．(1)證明：F，E，H，G四點共面；(2)求平面與平面夾角的余弦值．17．某高科技企業(yè)為提高研發(fā)成果的保密等級，設(shè)置了甲，乙，丙，丁四套互不相同的密碼保存相關(guān)資料，每周使用其中的一套密碼，且每周使用的密碼都是從上周未使用的三套密碼中等可能地隨機選用一種．已知第1周選擇使用甲密碼．(1)分別求第3周和第4周使用甲密碼的概率；(2)記前n周中使用了乙密碼的次數(shù)為Y，求．18．已知拋物線，過點作直線交拋物線C于A，B兩點，過A，B兩點分別作拋物線C的切線交于點P．(1)證明：P在定直線上；(2)若F為拋物線C的焦點，證明：．19．設(shè)，用表示不超過x的最大整數(shù)，則稱為取整函數(shù)，取整函數(shù)是法國數(shù)學(xué)家高斯最先使用，也稱高斯函數(shù)．該函數(shù)具有以下性質(zhì)：①的定義域為R，值域為Z；②任意實數(shù)都能表示成整數(shù)部分和純小數(shù)部分之和，即，其中為x的整數(shù)部分，為x的小數(shù)部分；③；④若整數(shù)a，b滿足，則.(1)解方程；(2)已知實數(shù)r滿足，求的值；(3)證明：對于任意的正整數(shù)n，均有．1．C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運算法則，求得，結(jié)合復(fù)數(shù)模的計算公式，即可求解.【詳解】由復(fù)數(shù)，可得，則.故選：C.2．A【分析】利用橢圓的離心率列出關(guān)系式，求解即可求得結(jié)果．【詳解】，，所以，，，解得，.故選：A.3．D【分析】根據(jù)成等比數(shù)列，得到方程，求出，得到答案.【詳解】由題意得，，因為成等比數(shù)列，故，即，解得，故.故選：D4．B【分析】根據(jù)題意，得到基本事件的總數(shù)為種，再利用列舉法取得所求事件所包含的基本事件的個數(shù)，結(jié)合古典摡型的概率計算公式，即可求解.【詳解】從1，2，3，4，5這5個數(shù)中隨機地取出3個數(shù)，共有種不同的取法；其中這3個數(shù)的積與和都是3的倍數(shù)的有：，有4種取法，所以該3個數(shù)的積與和都是3的倍數(shù)的概率為.故選：B.5．A【分析】由函數(shù)為偶函數(shù)，求得，得到，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，進而求得函數(shù)的最小值，得到答案.【詳解】由函數(shù)，可得，因為函數(shù)為偶函數(shù)，可得，可得，即，當(dāng)時，函數(shù)取得最小值，最小值為.故選：A.6．D【分析】先由題意求得的取值范圍，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)得到關(guān)于的不等式，從而得解.【詳解】，，因為函數(shù)在上恰好有兩個零點，所以，解得.故選：D.7．C【分析】根據(jù)定義求解和，由曲率的定義求出曲率，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性求出最大值.【詳解】函數(shù)的定義域為，，，所以曲線的曲率，，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以當(dāng)時，曲率取得最大值.故選：C.8．B【分析】設(shè)點，計算的乘積以及，可求出的面積.【詳解】設(shè)點，滿足，即，又兩條漸近線方程分別為，即，故有，設(shè)漸近線的傾斜角為，則，，故選：B9．AD【分析】根據(jù)不等式的基本性質(zhì)和已知條件可逐項分析得到答案.【詳解】且，則，，則，A正確；因為，，所以，B錯誤；因為，，，當(dāng)時，，則；當(dāng)時，，則，當(dāng)時，，則，故C錯誤；因為，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，此時由可得，不符合，所以不成立，故，即，D正確.故選：AD10．BCD【分析】根據(jù)已知條件求得，，對A，由正弦定理運算可判斷；對B，由可得，求得，利用三角形面積公式求解；對C，由正弦定理可得，，可得，代入運算可判斷；對D，由余弦定理和數(shù)量積運算法則求出，換元后利用三角恒等變換得到，求出答案.【詳解】由，可得，因為為銳角，所以，所以，可得，.對于A，由正弦定理，，，故A錯誤；對于B，，，則，所以.故B正確；對于C，因為，，所以，，，又，，故C正確；對于D，由余弦定理得，即，又，所以，設(shè)，則，由正弦定理，其中銳角滿足，由銳角三角形可得，所以，又，所以，，又，所以，從而，而函數(shù)在上單調(diào)遞減，又，，所以的取值范圍.故D正確.故選：BCD.11．ACD【分析】根據(jù)抽象函數(shù)的性質(zhì)，巧妙利用賦值法解決.【詳解】令得，即①，令，得②，聯(lián)立①②，故A正確；令，得③，由①，，，將它們代入③整理可得，所以由，故D對；由可知為一元二次函數(shù)，設(shè)，則有，整理得，又由，所以，經(jīng)驗證滿足題設(shè)要求，故B錯C對，故選：ACD.【點睛】方法點睛：求兩個變量的抽象函數(shù)解析式要巧妙用賦值法.12．【分析】根據(jù)子集關(guān)系求出可能解，再利用集合中元素的互異性求出不能取的值即可得出m的值.【詳解】因為，所以或，或，又由集合中元素的互異性可知且且，且，綜上.故答案為：.13．##【分析】利用平均數(shù)與分位數(shù)相等，得，代入數(shù)據(jù)中得方差.【詳解】根據(jù)題意，數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，數(shù)據(jù)的分位數(shù)為，∴，即，代入數(shù)據(jù)，即為，此組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，∴數(shù)據(jù)的方差為.故答案：14．##【分析】根據(jù)題中所給數(shù)據(jù)特征：，再類比勾股定理，由面推及至空間幾何體可知三棱錐是一個墻角模型，所以，設(shè)PA=x，PB=y，PC=z，則可由題中所給面積數(shù)據(jù)求出側(cè)棱長，再依據(jù)內(nèi)切球公式計算相關(guān)量即可求出內(nèi)切球.【詳解】因為，所以類比勾股定理由面推及到空間幾何體可知三棱錐是一個墻角模型，所以，設(shè)三棱錐的三條側(cè)棱PA，PB，PC長分別為PA=x，PB=y，PC=z，則由題意有①，所以有，，所以代入①式，所以，設(shè)三棱錐的內(nèi)切球半徑為，則，所以，，所以內(nèi)切球的表面積為.故答案為：.15．(1)(2)單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；極大值為，極小值為【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求得答案；（2）由函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷正負，即可判斷函數(shù)的單調(diào)性，繼而判斷出函數(shù)極值點，求得極值.【詳解】（1）由，可知，所以，又，所以在點處的切線方程為，即；（2），的定義域為，由，得，或，當(dāng)或時，，在上均單調(diào)遞增；當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減；所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和；單調(diào)遞減區(qū)間為，故函數(shù)在處取得極大值，極大值為；在處取得極小值，極小值為.16．(1)證明見解析；(2).【分析】（1）以點為原點，建立空間直角坐標系，利用空間向量坐標表示及運算可得共面，即可推理得解.（2）由（1）中坐標系，求出兩個平面的法向量，進而求出平面與平面所成角的余弦.【詳解】（1）在正四棱柱中，以點為原點，直線分別為建立空間直角坐標系，則，，因此，即共面，又有公共點，所以F，E，H，G四點共面.（2）由（1）知，，，，，設(shè)平面的法向量，則，令，得，而平面的法向量為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為.17．(1)第3周和第4周使用甲密碼的概率分別為和(2)【分析】（1）根據(jù)題干分析第四周使用甲密碼的情況，用全概率公式即可求解；（2）根據(jù)第周與第k使用甲密碼的概率的關(guān)系，利用遞推關(guān)系，結(jié)合數(shù)列知識，得到第k使用甲密碼的概率，從而得到前n周中使用了甲密碼的次數(shù)的數(shù)學(xué)期望，再由四套密碼地位相同得到前n周中使用了乙密碼的次數(shù)的數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）設(shè)第k周使用甲密碼的概率為，因為，，所以，，所以第3周和第4周使用甲密碼的概率分別為和．（2）因為第k周使用甲密碼的概率為，則第周使用甲密碼的概率為，整理得，因為，所以，所以數(shù)列是以為首項，公比為的等比數(shù)列，所以，即．設(shè)第k周使用甲密碼的次數(shù)為，則服從分布，所以．所以前n周中使用甲密碼次數(shù)的均值，又因為乙、丙、丁地位相同，所以．18．(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）設(shè)出，，求出直線的方程，與拋物線聯(lián)立，由與都和拋物線相切，得到兩條切線的方程聯(lián)立證明即可；（2）要證．即證，求出向量的坐標證明即可.【詳解】（1）證明：設(shè)，，則，直線的方程為，即，又因為直線過點，所以，即，設(shè)直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，解得或，又因為直線與拋物線相切，所以，即，所以直線的方程為，即，同理直線的方程為，由，解得，即，故點P在直線上．（2）證明：∵，，注意到兩角都在內(nèi)，可知要證．即證.而，，所以，又，所以，同理，即有，故．19．(1)或(2)743(3)證明見解析【分析】（1）令，則方程可化為，根據(jù)高斯函數(shù)的定義，即可求解得答案；（2）設(shè)，則可判斷中n以及的個數(shù)，從而可得，結(jié)合高斯函數(shù)定義，即可求得答案；（3）由所要證明不等式的形式，可構(gòu)造不等式，當(dāng)時，有成立；設(shè)，推出，從而得到，再結(jié)合當(dāng)，2時，不等式成立，即可證明結(jié)論.【詳解】（