第23課時矩形、菱形、正方形

1.掌握矩形、菱形、正方形的概念和性質(zhì)，了解它們之間的關(guān)系. 2.掌握四邊形是矩形、菱形、正方形的判定方法.分類矩形的判定矩形的性質(zhì)邊(定義)有一個內(nèi)角是______的平行四邊形是矩形矩形的對邊______且______角有三個角是________的四邊形是矩形矩形的四個角是________1.矩形的判定和性質(zhì)直角平行相等直角直角分類矩形的判定矩形的性質(zhì)對角線對角線________的平行四邊形是矩形矩形的對角線_________________對稱性矩形既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形；對稱中心是對角線的交點，有____條對稱軸(續(xù)表)相等互相平分且相等2分類菱形的判定菱形的性質(zhì)邊(定義)有一組鄰邊_______的平行四邊形是菱形；四條邊都_______的四邊形是菱形菱形的對邊_____________，四邊______角—菱形的對角_________，鄰角________2.菱形的判定和性質(zhì)相等相等平行且相等相等相等互補(bǔ)分類菱形的判定菱形的性質(zhì)對角線對角線互相________的平行四邊形是菱形菱形的對角線____________平分且平分每一組對角對稱性菱形既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形；對稱中心是對角線的交點，有____條對稱軸(續(xù)表)垂直互相垂直2分類正方形的判定正方形的性質(zhì)邊(定義)有一組鄰邊________的矩形是正方形正方形的對邊______，四邊______角有一個角是________的菱形是正方形正方形的四個角都是______3.正方形的判定和性質(zhì)相等平行相等直角直角分類正方形的判定正方形的性質(zhì)對角線對角線________的菱形是正方形對角線____________的矩形是正方形正方形的對角線________且互相垂直平分，并平分每一組對角對稱性正方形既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形；對稱中心是對角線的交點，有____條對稱軸(續(xù)表)相等互相垂直相等4矩形的性質(zhì)與判定1.(2022·陜西)在下列條件中，能夠判定?ABCD為矩形的是()B.AC⊥BDD.AC＝BDA.AB＝ACC.AB＝AD答案：D

2.(2022·深圳)(1)發(fā)現(xiàn)：如圖1所示，在正方形ABCD中，E為AD邊上一點，將△AEB沿BE翻折到△BEF處，延長EF交CD邊于點G.求證：△BFG≌△BCG.

(2)探究：如圖2所示，在矩形ABCD中，E為AD邊上一點，且AD＝8，AB＝6.將△AEB沿BE翻折到△BEF處，延長EF交BC邊于點G，延長BF交CD邊于點H，且FH＝CH，求AE的長.

(3)拓展：如圖3所示，在菱形ABCD中，AB＝6，E為CD邊上的三等分點，∠D＝60°.將△ADE沿AE翻折得到△AFE，直線EF交BC于點P，求PC的長.圖1圖2圖3(1)證明：∵將△AEB沿BE翻折到△BEF處，四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BF，∠BFE＝∠A＝90°，∴∠BFG＝90°＝∠C，∵AB＝BC＝BF，BG＝BG，∴Rt△BFG≌Rt△BCG(HL).(2)解：延長

BH，AD交于點Q，如圖.設(shè)FH＝HC＝x，在Rt△BCH中，BC2＋CH2＝BH2，∴82＋x2＝(6＋x)2，Q作QH⊥CD于點H，如圖1.圖1設(shè)DQ＝x，QE＝y(tǒng)，則AQ＝6－x，∵CP∥DQ，∴△CPE∽△QDE，∴CP＝2x.∵△ADE沿AE翻折得到△AFE，∴EF＝DE＝2，AF＝AD＝6，∠QAE＝∠FAE，∴AE是△AQF的角平分線，

的延長線于點Q′，過點Q′作Q′H′⊥CD，交CD的延長線于點H′，如圖2.

設(shè)DQ′＝x′，Q′E＝y(tǒng)′，

則AQ′＝6＋x′，同理∠Q′AE＝∠EAF，圖2菱形的性質(zhì)與判定3.(2022·廣東)菱形的邊長為5，則它的周長是________.答案：204.下列條件中，能判定?ABCD是菱形的是()B.AB⊥BCD.AC⊥BDA.AC＝BDC.AD＝BD答案：D

正方形的性質(zhì)與判定

5.(2022·廣州)如圖所示，正方形ABCD的面積為3，點E在邊CD上，且CE＝1，∠ABE的平分線交AD于點F，點M，N分別是BE，BF的中點，則MN的長為()答案：D6.如圖，在正方形ABCD中，P為對角線BD上一點，PE⊥BC，垂足為E,PF⊥CD，垂足為F，求證：EF＝AP.證明：連接PC，圖略.∵四邊形ABCD為正方形，∴AB＝BC，∠ABP＝∠CBP.∵BP＝BP，∴△ABP≌△CBP(SAS)，∴AP＝PC.∵PE⊥BC，PF⊥DC,∠BCD＝90°，∴四邊形PECF為矩形，∴EF＝PC，∴EF＝AP.平行四邊形、矩形、菱形與正方形之間的關(guān)系.1.(2023·麗水)如圖，在菱形ABCD中，AB＝1，∠DAB＝60°，則AC的長為()答案：D2.(2021·無錫)如圖，D，E，F(xiàn)分別是△ABC各邊的中點，則以下說法錯誤的是()A.△BDE和△DCF的面積相等B.四邊形AEDF是平行四邊形C.若AB＝BC，則四邊形AEDF是菱形D.若∠A＝90°，則四邊形AEDF是矩形答案：C3.如圖，菱形ABCD的頂點A，B的坐標(biāo)分別為(3，0)，(－2，0)，點D在y軸上，則點C的坐標(biāo)是()B.(－4，5)D.(－4，－5)A.(－5，4)C.(－5，－4)答案：A)4.(2021·河南)關(guān)于菱形的性質(zhì)，以下說法不正確的是(A.四條邊相等B.對角線相等C.對角線互相垂直D.是軸對稱圖形答案：B5.(2022·安徽)兩個矩形的位置如圖所示，若∠1＝α，則∠2＝()

B.α－45°D.270°－αA.α－90°C.180°－α答案：C

6.如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD交于點O，AB＝6，BC＝8，過點O作OE⊥AC，交AD于點E，過點E作EF⊥BD，垂足為F，則OE＋EF的值為()

48A. 5B.32 5C.24 5D.12 5答案：C

7.(2023·常德)如圖，在正方形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，E，F(xiàn)分別為AO，DO上的一點，且EF∥AD，連接AF，DE.若∠FAC＝15°，則∠AED的度數(shù)為()A.80°B.90°C.105°D.115°答案：C

8.(2022·泰州)如圖所示，正方形ABCD的邊長為2，E為與點D不重合的動點，以DE為一邊作正方形DEFG.設(shè)DE＝d1，點F，G與點C的距離分別為d2，d3，則d1＋d2＋d3的最小值為(

)答案：C

9.(2022·吉林)如圖所示，在矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，點E是邊AD的中點，點F在對角線AC上，且AF

10.(2023·濱州)如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，點E，F(xiàn)分別是線段OB，OA上的點.若AE＝BF，AB＝5，AF＝1，BE＝3，則BF的長為__________.答案：

11.(2022·鞍山)如圖所示，菱形ABCD的邊長為2，∠ABC＝60°，對角線AC與BD交于點O，E為OB中點，F(xiàn)為AD中點，連接EF，則EF的長為________.答案：12.如圖，已知正方形ABCD的邊長為1，連接AC，BD，CE平分∠ACD交BD于點E，則DE＝________.答案：13.(2023·張家界)如圖，已知點A，D，C，B在同一條直線上，且AD＝BC，AE＝BF，CE＝DF.(1)求證：AE∥BF.(2)若DF＝FC時，求證：四邊形DECF是菱形.證明：(1)∵AD＝BC，∴AD＋CD＝BC＋CD.∴AC＝BD.∴△AEC≌△BFD(SSS).∴∠A＝∠B.∴AE∥BF.(2)∵△AEC≌△BFD，∴∠ECA＝∠FDB.∴EC∥DF.∵EC＝DF，∴四邊形DECF是平行四邊形，∵DF＝FC，∴四邊形DECF是菱形.

14.(2022·云南)如圖所示，在平行四邊形ABCD中，連接BD，E為線段AD的中點，延長BE與CD的延長線交于F，連接AF，∠BDF＝90°.(1)求證：四邊形ABDF是矩形.(2)若AD＝5，DF＝3，求四邊形ABCF的面積S.(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BA∥CD，∴∠BAE＝∠FDE.∵點E是AD的中點，∴AE＝DE.∴△BEA≌△FED(ASA)，∴EF＝EB.又∵AE＝DE，∴四邊形ABDF是平行四邊形.∵∠BDF＝90°.∴四邊形ABDF是矩形.(2)解：由(1)得四邊形ABDF是矩形，∴∠AFD＝90°，AB＝DF＝3，AF＝BD，∴S矩形ABDF＝DF·AF＝3×4＝12，BD＝AF＝4.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴CD＝AB＝3，∴四邊形ABCF的面積S＝S矩形ABDF＋S△BCD＝12＋6＝18.答：四邊形ABCF的面積S為18.

15.(2023·大慶)如圖，在平行四邊形ABCD中，E為線段CD的中點，連接AC，AE，延長AE，BC交于點F，連接DF，∠ACF＝90°.(1)求證：四邊形ACFD是矩形.(2)若CD＝13，CF＝5，求四邊形ABCE的面積.(1)證明：∵在?ABCD中，AD∥BC，∴∠ADE＝∠FCE，∠DAE＝∠CFE.∵E為CD的中點，∴DE＝CE.在△ADE和△FCE中，∴△ADE≌△FCE(AAS).∴AE＝FE.∴四邊形ACFD是平行四邊形.∵∠ACF＝90°，∴四邊形ACFD是矩形.(2)解：∵CD＝13，CF＝5，∴BC＝AD＝CF＝5.∵四邊形ACFD是矩形，∴∠CFD＝90°，AC＝DF.

16.(2021·牡丹江)如圖1，四邊形ABCD是正方形，點E是邊BC的中點，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分線CF于點F，過點F作FG⊥BC于點G，連接AC.