第三章微分中值定理與導數的應用一、選擇題1、（）2、（）3、（）4、在區間[-1，1]上滿意羅爾定理條件的函數是（）(A)(B)(C)(D)5、設f(x)和g(x)都在x=a處取得極大值，F(x)=f(x)g(x)，則F(x)在x=a處（）(A)必取得極大值(B)必取得微小值(C)不取極值(D)不能確定是否取得極值6、（）(A)[-1,1](B)[0,1](C)[-2,2](D)7、的凹區間是（）(A)(B)(C)(D)8、函數在處連續，若為的極值點，則必有（）．(A)(B)(C)或不存在(D)不存在9、當a=()時，（）(A)1(B)2(C)(D)010、（）11、（）二、填空題1、．2、．3、_____________________．4、函數f（x）＝x在[0,3]上滿意羅爾定理的條件，由羅爾定理確定的羅爾中值點＝．5、設曲線y＝a以點（1，3）為拐點，則數組（a，b）＝．6、函數在區間[2,0]上的最大值為，最小值為．7、函數在[]上的羅爾中值點=．8、在區間[1，3]的拉格朗日中值點ξ=_______________．9、．10、。11、y＝x＋，－5的最小值為．12、的單調減區間是．13、在且僅在區間______________上單調増．14、函數f(x)＝x＋2cosx在區間[0,]上的最大值為．15、函數y＝的單調削減區間是．16、已知點（1，3）是曲線的拐點，則a=，b=．17、.三、計算題1、。2、求極限．3、求函數y＝2的單調區間、凹凸區間、拐點．4、設常數，試判別函數在內零點的個數．5、求函數的單調區間和極值．。6．．7．．8．求曲線的單調區間和凹凸區間.．9.求曲線的單調區間和凹凸區間.10．求函數圖形的凹凸區間及拐點．11、.12、求函數的單調區間、極值、凹凸區間和拐點．13、．14、15、探討函數的單調性和凹凸性．16、求曲線的凹凸區間和拐點．17.求函數在區間上的最大值與最小值．18.求函數在區間[-2，0]上的最大值和最小值．19.試確定常數a、b、c的值，使曲線在x=2處取到極值，且與直線相切于點（1，0）．綜合題(第1-2題每題6分，第3題8分，總計20分)1．證明：當x時，．2、．證明：．4、設在[0,1]上可導，f(x)＝(x－1)，求證：存在x(0，1)，使．5、試用拉格朗日中值定理證明：當時，．6、證明：當時，．7、．8、證明：當x>0時，有1+．9、證明當． 10、證明：若，則．11、12、證明：多項式在[0，1]內不行能有兩個零點．證明當.14、答案：選擇1、A2、D3、A4、D5、D6、B7、A8、C9、B10、A11、A填空1、 2、3、4、25、6、2,17、8、9、10、11、12、13、-1414、15、16、17、三、計算題1、解：令可得駐點：……2分列表可得函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為……5分極大值為微小值……7分2、解：原式＝……6分3、解：令可得駐點：……2分列表可得函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為……4分又令得.……5分所以凸區間為,凹區間為.拐點為.……7分4、解：……1分當時,,所以在上單調增加;……2分又,充分接近于0時,,……3分故在內有且僅有一個零點.……4分同理,在內也有且僅有一個零點.……6分5、解：解可得駐點：……2分列表可得函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為……5分極大值為微小值……7分6、解：原式＝……2分＝……4分＝……6分7、解：當單調增加時，函數單調削減，所以函數也是單調削減。……2分在區間函數是單調的減函數。所以當時，函數取得最大值；……4分所以當時，函數取得最小值。……6分8、解：令，于是。當時，，函數單調增加；當時，，函數單調削減。……2分所以函數的單調增區間為：；函數的單調減區間為：。……4分而令，于是。……5分函數的凸區間為：；函數的凹區間為：。……6分9、解：因為，所以令得到。……2分函數的單調增區間為：；函數的單調減區間為：。……4分又由于，于是函數的凸區間為：函數的凹區間為：。……6分10、解：因為：，……2分令，得到：。所以函數的單調增區間為：，函數的單調減區間為：。……4分函數的凸區間為：，函數的凹區間為：。函數的拐點為：。……6分11、解：……3分令得從而得曲線的可能為，又二階導數在該兩點左右異號。所以為曲線的拐點……6分12、解：令令……3分列表如下xx=1(1,2)x=2(2,3)x=3+0---0+---0+++y=f(x)單調增，凹極大值f(1)=0單調減，凹拐點（2，-2）單調減，凸微小值f(3)=-4單調增，凸……7分13、解：令……3分比較函數在端點和駐點處的函數值，得為……6分 14、解：令，得，…….3分列表如下x-1(-1,0)0(0,1)1---0+++-0+++0-單調遞減凹區間拐點單調遞減凸區間微小值點單調遞增凸區間拐點單調遞增凹區間……7分15、解：x(0,e)+0------0+單調遞增，凹函數極大值單調遞減，凹函數拐點單調遞減，凸函數…….6分16、解：，拐點為……4分凹區間為凸區間為（-1，1）……6分17、解：由于……2分所以，函數在[-1，3]上的駐點為。……3分當x=0時，y=2,x=2時，y=-14……5分而x=-1時，y=-2,x=3時，y=11……7分所以函數的最大值為11，最小值為-14……8分18、解：由于……2分所以，函數在[-2，0]上的駐點為。……3分當x=-1時，y=3，而x=--2時，y=--1,x=0時，y=1……5分所以函數的最大值為3，最小值為-1……6分19、解：依據已知條件得……4分解上面方程組得……7分四、綜合題（1）證：令，明顯在區間上連續的，可導的。并且……2分由于，對于隨意的，。所以函數在區間上單調增函數。……4分于是對于隨意的，有，即為：……6分（2）證：令所以（3）證：令……4分所以f(x)恒為常數，又，從而……6分（4）證：因為在[0,1]上可導，所以f(x)＝(x－1)在[0，1]上連續，在（0，1）內可導。……4分依據拉格朗日中值定理，至少存在一點x(0，1)，使……8分（5）證：設，則……1分對用拉格朗日中值定理得，其中……4分而，所以……6分（6）證：令……1分則。……3分因為當時，，……4分所以在上是嚴格單調連續遞增函數，并且，……5分故當時，，即。……6分（7）證：令……1分對利用柯西中值定理存在使得……3分即……4分又由于，，所以……6分（8）證：令……2分故時,即……5分從而……6分（9）證：令因為……4分故時,,即……6分（10）證：令……2分則在的范圍中是可導