2022-2023學年河北省邢臺市重點高中高二(下)期中聯考數學

試卷

一、單選題(本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項)

1.設集合/={x|—2<x<3},B={x|言≥l},則4nB=()

A.(-2,3)B.(―2l4]C.(—1,3)D.[-1,4]

2.已知函數/(久)的導函數為/(%),若/(x)=2%∕'⑴+)工，則/'(1)=()

A.-1B.1C.—2D.2

3.若f(%)=(%+Q)Inllm為偶函數，則Q=()

1

A.-1B.0C.?D.1

4.2023年春，為了解開學后大學生的身體健康狀況，寒假開學后，學校醫療部門抽取部分

學生檢查后，發現大學生的舒張壓呈正態分布X?N(70.8,7.022)(單位：mm/Hgy且P(χ>

82.8)=0.1,若任意抽查該校大學生6人，恰好有k人的舒張壓落在(58.8,82.8)內的概率最大，

則k=()

A.3B.4C.5D.6

22

5.已知雙曲線C：a—4=1(。>0，b>0)的離心率為C，C的一條漸近線與圓(X-2)2+

(y-3)2=1交于4B兩點,貝IJMBI=()

A.等B.φC.φD.警

6.2023年春節期間有七部國產電影上映，其中有兩部動畫片，々茜江紅》、癡浪地球

的票房比較領先，兩部動畫片也取得了不錯的票房.甲、乙兩名同學計劃從這七部電影中各自

選擇三部電影觀看，若他們都準備觀看劉黃江紅》與禰浪地球2少中的一部，且都準備觀看

一部動畫片，則他們恰好觀看了兩部相同電影的所有可能情況有()

A.24種B.36種C.48種D.64種

7.已知(2—乎3=%+?+詈+…+翳+翳則黑+畀+…+等+c?2=()

A.-1B.0C.1D.2

8.已知隨機變量S?B(9,；),若對任意的實數工1，x2∈(m,+∞),滿足當與<%2時，

恒成立，則m的取值范圍()

232

A.[e,÷∞)B.[el+∞)C.[e,+∞)D.[e,e]

二、多選題(本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求)

9.已知隨機變量S的分布列如表所示，且滿足E(f)=O,則下列選項正確的是()

-1()2

1

Pab

2

A.D(f)=1B.D(IfI)=1C.D(2ξ+1)=4D.D(3∣f|-2)=5

10.(多選題)下面結論錯誤的是()

A.不等式Q2+廬≥2Q∕?與竽≥廠布成立的條件是相同的

B.函數y=%+：的最小值是2

C.函數y=s譏工+或》XE(Oq)的最小值是4

D.“％>0且y>0''是W+W≥2”的充分條件

λy

11.一個袋子中有編號分別為1,2,3,4的4個球，除編號外沒有其它差異.每次摸球后放回，

從中任意摸球兩次，每次摸出一個球.設“第一次摸到的球的編號為2”為事件4“第二次摸

到的球的編號為奇數”為事件B,“兩次摸到的球的編號之和能被3整除”為事件C,則下列

說法正確的是()

A.P(C)=?B.事件B與事件C相互獨立

C.P(CiA)=ID.事件4與事件B互為對立事件

12.已知函數/(X)及其導函數g(x)的定義域均為R.f(2x)=/(4-2x),/(x)+/(-x)=0,

當X∈[2,4]時，g'(x)<0,g(l)=l,則()

A./(x)的圖象關于X=1對稱

B.g(x)為偶函數

C.g(x)+g(x+4)=0

D.不等式g(〃)≥1的解集為(-8,0]u[ln(8∕c-l),ln(8fc+l)](∕c∈N*)

三、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.公司庫房中的某種零件的60%來自甲公司，40%來自乙公司，兩個公司的正品率分別為

98%和95%.從庫房中任取一個零件，它是正品的概率為.

14.某群體中的每位成員使用移動支付的概率都為p,各成員的支付方式相互獨立.設X為該

群體的10位成員中使用移動支付的人數，。(X)=2.4,P(X=4)<P(X=6),則P=.

2

15.已知數列｛α71｝滿足αrι=an+n,若滿足的<a2<a3<a4<as<c?且對任意落?

［9,+8),都有αn>αjl+r則實數a的取值范圍是.

16.若直線y=∕q(x+1)-1與曲線y=蠟相切，直線y=??(x+1)-1與曲線y="X相切，

則的期的值為.

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

已知函數/(X)=X3—ax2.

(1)若/'(1)=3,求函數/Q)在區間［0,2］上的最大值；

(2)若函數f(x)在區間［1,2］上為增函數，求實數ɑ的取值范圍.

18.(本小題12.0分)

某城市最近出臺一項機動車駕照考試的規定：每位考試者一年之內最多有4次參加考試的機會,

一旦某次考試通過，便可領取駕照，不再參加以后的考試，否則就一直考到第4次為止.李明

決定參加駕照考試，設他每次參加考試通過的概率依次為0.6,0.7,0.8,0.9.

(I)求在一年內李明參加駕照考試次數X的分布列和X的數學期望；

(H)求李明在一年內領到駕照的概率.

19.(本小題12.0分)

記Sn為數列｛α"的前兀項和，已知的=2,αrι+ι=S"5為正整數)?

(1)求數列｛ajl｝的通項公式；

(2)設匕=log2α∏,若b7n+%+ι+bnι+2H----Fbm+<3=145,求正整數Tn的值.

20.(本小題12.0分)

近年來，國際環境和局勢日趨嚴峻，高精尖科技圍堵和競爭更加激烈，國家號召各類高科技

企業匯聚科研力量，加強科技創新，大力增加研發資金，以突破我國在各個領域的“卡脖子”

關鍵技術，某市為了解本市高科技企業的科研投入和產出方面的情況，抽查了本市8家半導體

企業2018年至2022年的研發投資額》(單位：百億元)和因此投入而產生的收入附加額y(單位：

百億元)，對研發投資額Xi和收入附加額%進行整理，得到相關數據，并發現投資額X和收入

附加額y成線性相關.

投資額々(百億元)234568911

收入附加額%(百億元)3.64.14.85.46.27.57.99.1

(1)求收入的附加額y與研發投資額X的線性回歸方程(保留三位小數)；

(2)現從這8家企業中，任意抽取3家企業，用X表示這3家企業中收入附加額大于投資額的企

業個數，求X的分布列及數學期望.

參考數據:Ef=IXiyi=334.1,￡?=Iyi=48.6,∑f-1xf=356.

∑?=ι(&-%)(%?-y)_∑kι□%?一九%?y

b

附:在線性回歸方程ybx+α中，=Σ陶(須々)2-第*-戰2a=y—bx,

21.(本小題12。分)

在平面直角坐標系Xoy中，拋物線y2-2px(p>0)上一點P的橫坐標為4,且點P到焦點尸的距

離為5.

(1)求拋物線的方程；

(2)若直線I：X=Tny+t交拋物線于2,B兩點(位于對稱軸異側)，且6？?麗=',求證：直

線［必過定點.

22.(本小題12.0分)

函數f(x)=ln(x+t)+(,其中t,a,為實常數.

(1)若t=0時，討論函數f(x)的單調性；

(2)若g(x)=靖+*當t≤2時，證明：g(x)>f(x)?

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：對于B集合，-?≥1-即Ξ?≤0,

z+1x+1

?-1<x≤4,

??AΓ?B=(-1,3).

故選：C.

先求出B集合的具體區間，再根據交集的求法求解.

本題主要考查了分式不等式的解法，考查了集合的基本運算，屬于基礎題.

2.【答案】A

【解析】解：/(X)=2/(1)+3

令X=1,得到((I)=2/(1)+1,

解得：/'(I)=-L

故選：A.

對函數f(x)的解析式求導，得到其導函數，把X=I代入導函數中，列出關于1(1)的方程，進而得

到尸(1)的值.

本題主要考查導數的運算，屬于基礎題.

3.【答案】B

【解析】解：由嘉>0,得X*或

由/(x)是偶函數,

???/(-X)=/(X)，

得(-X+α)In∈∣∣^?=(X+α)In∣^y,

即(一X+α)ln∣^∣=(-X+α)ln(??)^1=(X-α)ln?≡7=(X+a)ln∣∣≡7'

?%—α=X+α,得一Q=α,

得α=0.

故選:B.

求出函數的定義域，利用函數奇偶性的定義建立方程進行求解即可.

本題主要考查函數奇偶性的應用，利用偶函數的定義建立方程，利用對數的運算法則進行化簡是

解決本題的關鍵，是中檔題.

4.【答案】C

【解析】解：因為X?N(70.8,7.022),則P(58.8<X<82.8)=1-2P(X>82.8)=0.8,

由題意知：抽查該校大學生6人，

恰好有Zc人的舒張壓落在(58.8,82.8)內的概率為ClC?(0.2)6-k?(0.8)fe(∕c=1,2,-,5),要使此式的值

最大，

Mc”鼾??6-k≥Ct1-φk^1?φ7^k

，或?φk??6-k≥C經?φk+1-φ5-fc,

—____.Aβ-k>__________________Afc-ι.(l?7-k

A!?(6i)!I5JI5J-(∕c-l)!?(7→)!?7M殂2328

Ar41AlΛ1>JOfFT?-Z-<K<—>

_6!.Ak.?6-k>______z!______Afc+1.出5-k55

fc!(6-fc)!WW-(fc+l)!(5-k)!WW

?.?k∈{1,2,3,4,5},、

?*?/c—5.

故選：C.

利用正態分布計算出P(58.8<X<82.8),然后利用二項分布概率最大可得出關于k的不等式組,

解之即可.

本題主要考查正態分布的對稱性，考查轉化能力，屬于中檔題.

5.【答案】D

【解析】解：雙曲線C：會馬=1(。>0)>0)的離心率為，虧

可得c=√~^α,所以b=2a,

所以雙曲線的漸近線方程為：y=±2x,

一條漸近線與圓(x—2)2+(y-3)2=1交于4B兩點，圓的圓心(2,3),半徑為1,

圓的圓心到直線y=2尤的距離為：舞=寅，

所以MBl=2Jl-?=警.

故選：D.

利用雙曲線的離心率，求解漸近線方程，然后求解圓的圓心到直線的距離，轉化求解IaBI即可.

本題考查雙曲線的簡單性質的應用，直線與圓的位置關系的應用，是中檔題.

6.【答案】C

【解析】解：若他們觀看了舒肅江紅和而浪地球2?中的同一部，且都觀看了同一部動畫片,

則不同的情況有Gd寓=24（種）：

若他們中一人觀看第茜江紅沙、一人觀看面浪地球2》，但觀看的動畫片是同一部，則不同的情

況有九廢廢=12（種）；

若他們觀看的不是同一部動畫片，但觀看了?靖江紅》和?浪地球2?中的同一部，則不同的情

況有廢鹿廢=12（#）,

所以他們恰好觀看了兩部相同電影的所有可能情況有24+12+12=48（種）.

故選：C.

利用排列組合的知識和分類分步計數原理即可得出結果.

本題主要考查簡單計數問題，利用分類計數原理進行計算解決本題的關鍵，是基礎題.

7.【答案】D

【解析】解：由（2-323=劭+m+^+...+鬣+署，

則第=τ24=嗯?20?（-?）23=-*,得0?3=T,

22223,

令X=?,得O=α0+2?a1+2?α2+…+2?α22+2?α23

左右兩邊除以222,得。=攝+品---!■等+a??+2。23，

ZZ乙

所以攝+梟+…+等+α22=。一（-2）=2.

ZZL

故選：D.

先根據二項展開式的通項公式求得。23=-1，再利用賦值法，令X=2,進而即可求解.

本題考查二項式定理，屬于中檔題.

8.【答案】B

【解析】解：由題意，f?8（9鼻），則。（9=9xgx（1-；）=2,

???對任意的實數Xl，X∈（m,+∞）,滿足當與<外時，叱2:2加1>2恒成立，

2xlx2

.?.x1lnx2—x2lnx1<2x1—2x2,

由已知可得：X2>X1>0,

則空_也1<2_2

×2×ι×2×ι

化簡得：?∑2<?≡2ι

x2xI

即函數F(X)=哼?E(τn,+8)上單調遞減，

令/'(X)=3pi^-=0,解得X=e3>

則f(X)在(0,e3)上單調遞增，在作3,+8)上單調遞減，

所以m的取值范圍是e3,+8).

故選：B.

由隨機變量f服從二項分布，可得D(f)=2,代入不等式中并化簡，將已知條件轉化為函數f(X)=

平在(m,+8)上單調遞減，求導判斷單調性，可得m的取值范圍.

本題考查導數的應用，考查二項分布的方差，屬于中檔題.

9.【答案】ACD

1

α=-

ɑ+6+?=13

【解析】解:依題意1

6=-

-IXa+0x^+2Xb=O6

所以，的分布列為:

e-102

111

P

326

則。(f)=?×(-1-O)2+I×(0-O)2+?×(2-O)2=1,則D(2f+1)=22Z)(f)=4；

所以IfI的分布列為：

Kl102

111

P

326

。(3Ifl-2)=32。(IfI)=5；

故選：ACD.

依題意根據分布列的性質及期望公式求出α,b,即可求出D(f),再根據方差的性質得到D(2f+1),

再求出團分布列,即可求出D(IfI)與。(3團一2).

本題主要考查離散型隨機變量的分布列和方差，屬于中檔題.

10.【答案】ABC

【解析】解：不等式a?+墳≥2αb成立的條件是α,b∈R；竽≥?ra成立的條件是α≥0,b≥0,

A錯；

由于X∈(-8,0)u(0,+8),故函數y=X+(無最小值，B錯；

由于S譏X=-T-H4sinx=2無解，故y=sinx+-^―的最小值不為4,C錯；

當K>0且y>0時，^>θ,>0,

由基本不等式可得9+3≥2,當且僅當％=y時等號成立；

λy

而"+3≥2”的充要條件是“xy>0”，

λy

因為X>0,y>0=xy>(KiLxy>0推不出X>。且y>0,所以。正確.

故答案為：ABC.

在應用基本不等式的時候要注意基本不等式的成立條件.

本題考查基本不等式的應用，屬于中檔題.

11.【答案】AC

【解析】解：根據題意，從4個球中任意摸球兩次，每次摸球后放回，則有4X4=16個基本事件,

則事件4包含4個基本事件,事件B包含8個基本事件，

事件C包含：(3,3)、(1,2)、(2、1),(4,2)、(2,4),共5個基本事件，

由此分析選項：

對于4,易得P(C)=得；

對于B,P(B)=W,P(BC)=P(B)P(C)≠P(BC),B錯誤；

Zo

對于C,P(A)=;,P(AC)=?=?.則P(CIA)

對于D,事件4、B可能同時發生，不是對立事件，。錯誤.

故選：AC.

根據題意，分析全部的基本事件數目以及事件4、B、C包含的基本事件數目，由此依次分析選項

是否正確，綜合可得答案.

本題考查條件概率的計算，涉及相互獨立事件、對立事件的判斷，屬于基礎題.

12.【答案】BCD

【解析】解：由/(2x)=/(4—2x)可得/^(x)=/(4-X),故可知∕^(x)的圖象關于X=2對稱，故A

錯誤；

由/(χ)+/(-χ)=O得/'GO-f'(-χ)=0,由/'(χ)=g(χ)得g(χ)-g(-χ)=。，故g(χ)為偶函數,

故3正確；

由/(X)=/(4-X)可得/'(X)=—f'(4-X),所以g(x)=-g(4—%),

又g(x)為偶函數，所以g(x)=-g(4-%)=-g(x-4)=g(x)+g(x-4)=0,即g(x)+g(x+

4)=0,故C正確；

由g(x)為偶函數且g(x)+g(x+4)=O可得g(x)=-g(x+4)=-[-g(x+8)]=g(x+8),所以

g(x)是周期函數，且周期為8,

又當XC[2,4]時，g(x)<0,可知g(x)在X6[2,4]單調遞減，

故結合g(x)的性質可畫出符合條件的g(x)的大致圖象：

由g(l)=1得g(e*)≥1=g(l),故一1+8k<e*<1+8k,k€Z,

當k<0且k€Z時，-l+8k≤ex≤l+8k,此時無解，

當Zc=O時，-I≤e*≤l,解得X≤0,

當k>0且k∈Z時，由一1+8k<ex≤l+8k,得ln(-l+8fc)≤x≤?n(l+8k),

綜上可得g(e*)≥1的解集為(一8,0]u[ln(8∕c-l),ln(8∕c+l)](∕c∈N*),故土正確.

故選：BCD.

根據/(x)=/(4-X)可判斷4求導即可根據/(x)=g(x)判斷B；由g(x)為偶函數以及對稱可判

斷C；根據函數的性質畫出大致圖象，即可由一1+8k≤X≤1+8k,keZ時，g(x)≥1求解O.

本題主要考查抽象函數的及其應用，考查數形結合思想與運算求解能力，屬于中檔題.

13.【答案】0.968

【解析】解：公司庫房中的某種零件的60%來自甲公司，40%來自乙公司，

兩個公司的正品率分別為98%和95%,

從庫房中任取一個零件，它是正品的概率為：

P=60%X98%+40%X95%=0.968.

故答案為：0.968.

利用全概率公式直接求解.

本題考查全概率公式等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題.

14.【答案】0.6

【解析】解：由題意，使用移動支付的人數X服從二項分布，

則D(X)=10p(l-P)=2.4,解得P=0.4或P=0.6,

664

又P(X=4)<P(X=6),即Cfop4Q-P)<Cf0P(1一P)>

化簡得(l-p)2<p2,解得p>g,

所以P=0.6.

故答案為：0.6.

說明使用移動支付的人數X服從二項分布，利用。(X)=2.4,求出概率，通過P(X=4)<P(X=6),

列出不等式，判斷概率即可.

本題考查離散型隨機變量的期望與方差的求法，考查轉化思想以及計算能力，是基礎題.

15.【答案】(一白,一白)

(a<01

【解析】解：由題意可得K1八，，解得一白1<。<一白，

I?.J<——<1119

I2a

即實數Q的取值范圍是(-今,-2)?

故答案為:(-?,-?).

(a<0

由題意可得1口一1/QL解出α的取值范圍即可.

I?,?<——<y,D

本題主要考查了數列的函數特征，屬于基礎題.

16.【答案】1

【解析】解:設X)=e，則f'(x)=e%設切點為(與,％),則瓦=eZ,

xιX1X1

則切線方程為y-乃=e(x—x1),即y—e=e(x—x1),

直線y=k1(x+1)-1過定點(-1,-1)，

所以-I-e%=e*ι(-l-%ι),所以XleXI=1,

設g(x)=?X,則g'(x)=工，設切點為O2,丫2)，則七=占，

χx2

則切線方程為y-%4(X-X2)，即y-Inx=^-(x-%),

x22x22

直線y=fc1(x+1)-1過定點(-1,一1),

1

所以一1一m工2=不(―1一％2)，所以％2仇%2=1，

則》i，&是函數/(%)=靖和g(%)=的圖象與曲線y=g交點的橫坐標，

易知/0)與g(x)的圖象關于直線y=X對稱，而曲線y=：也關于直線y=%對稱，

因此點OI,yι),。2，乃)關于直線y=X對稱，

從Γ∏］%2=，??=∕zι%2，

所以的優=吧=1.

xZ

故答案為：1.

構造函數f(%)=e*,設切點為QLy1),設g(x)=)設切點為(%2，乃)，結合條件得到%i，&是

函數/(x)=e*和g(x)="尤的圖象與曲線y=:交點的橫坐標，利用對稱性得出(Xl,y",O?y2)關

于直線y=X對稱，從而得出Λ?=e*ι,x1=Inx2,然后計算出Alk2?

本題主要考查利用導數研究曲線上某點的切線方程，考查運算求解能力，屬于中檔題.

17.【答案】解：(1)尸(X)=3爐一2也,因為f'(l)=3,所以3-2α=3,所以α=0,

∕,(x)=3x2≥0,在［0,2］上恒成立，所以函數f(x)在區間［0,2］上單調遞增，

所以fθ)mɑx=∕(2)=8;

(2)因為函數/(x)在區間［1,2］上為增函數，

所以尸QO=3χ2-2ax≥0在［1,2］上恒成立,

所以αW∣x在［1,2］上恒成立，所以α≤∣.

實數α的取值范圍為(-8,|］.

【解析】(1)先對函數求導，根據((1)=3求出α=0,根據函數f(x)的單調性即可得;

(2)根據題意知f'(x)≥0,分離參數即可得.

本題考查利用導數研究函數單調性求最值，屬于基礎題.

18.【答案】解:

(I)X的取值為1,2,3,4.

P(X=1)=0.6,

P(X=2)=(1-0.6)X0.7=0.28,

P(X=3)=(1—0.6)×(1-0.7)X0.8=0.096,

P(X=4)=(1-0.6)×(1-0.7)×(1-0.8)=0.024.

??.X的分布列為：

X1234

P0.60.280.0960.024

所以,EX=IXO.6+2X0.28+3×0.096+4×0.024=1.544.

(II)李明在一年內領到駕照的概率為：

P=I-(I-0.6)×(1-0.7)×(1-0.8)×(1-0.9)=0.9976.

【解析】(I)X的取值為1,2,3,4.分別求出P(X=1),P(X=2),P(X=3),P(X=4)的值，

由此能求出X的分布列和EX.

(II)利用間接法，能夠求出李明在一年內領到駕照的概率.

本題考查離散型隨機變量的分布列和數學期望，是歷年高考的必考題型之一.解題時要認真審題,

仔細解答，注意概率知識的合理運用.

19.【答案】解:(1)己知的=2,αrι+ι=Sn(n為正整數),

WJcιn=Sn-ι>(n≥2)>

兩式相減可得ajl+ι-即=

即<?+ι=2αn,(n≥2),

又@2=Sl=Ql=2,

s

K!∣α∏={2n-1n>2

(2)因為bn=Iog2αn.

所以%=[1'"；1'丁

nin—l,n≥2

又%+br∏+ι+bm+2+…+bm+g=145,

當?n=1時，%+尻+歷"*---1-b?o=1+(I+：)、。=46,

即Tn=I不滿足題意,

即m≥2,

(τn-l+τn+8)×10_

則brn+bm+1+bm+2+…+?τn+9-

即m=22,

即正整數Wl的值22.

【解析】(1)由己知可得α71+ι=2αrι,(n≥2),又。2=51=%=2,則即=2'得解；

(2)由(1)可得b=e'njl?),然后討論當m=l時和m≥2時兩種情況，結合等差數列的通項

ITl一L九NZ

公式求解即可.

本題考查了利用數列的遞推式求數列的通項公式，重點考查了等差數列的求和公式，屬基礎題.

2+3+4+5+6+8+9+11-1γ∣848.6

20.【答案】解：(1)由1=r6.075,

8=6,y=θ∑i=xyi=?

j_∑kXiyi一叼334.1-8x6x6.075

=0.625,

得:-356-8×36~

由a=歹一成得α=6.075-0.625×6=2.325,

所以年收入的附加額y與投資額X的線性回歸方程為y=o,625x+2,325.

(2)8個投資額中，收入附加額大于投資額的企業個數為5,

故X的所有可能取值為0，1,2,3,

P(X=O)=4=總

，或56

P(X=I)=??

P(X=2)=等=費

P(X=3)W=*

則X的分布列為:

X0123

115155

P

56562828

故E(X)=Ixj∣+2x焉+3x￡=系

【解析】(1)根據所給數據，利用參考公式計算b，α即可得出線性回歸方程;

(2)根據超幾何分布計算對應隨機變量的概率，列出分布列、計算期望即可.

本題考查線性回歸方程以及超幾何分布相關知識，屬于中檔題.

21.【答案】解：(1)由題可知，點P到拋物線準線的距離為5,

因為拋物線的準線方程為X=-5點P的橫坐標為4,

所以4+g=5,解得p=2,所以拋物線的方程為y2=4x;

(2)證明：設