專題07五類新定義題型-2024年高考數(shù)學(xué)大題秒殺技巧及專項(xiàng)訓(xùn)練（解析版）【題型1數(shù)列新定義破解大法】【題型2集合新定義破解大法】【題型3導(dǎo)數(shù)新定義破解大法】【題型4三角函數(shù)新定義破解大法】【題型5平面向量新定義破解大法】題型1數(shù)列新定義破解大法高考對(duì)數(shù)列的考查常常涉及等差數(shù)列、等比數(shù)列中的一些基本問(wèn)題，如等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，求和公式，前項(xiàng)和與通項(xiàng)之間的關(guān)系，判斷等差數(shù)列、等比數(shù)列的方法等.另外，也要關(guān)注新定義與數(shù)列的結(jié)合，此類題往往涉及推理與證明的相關(guān)知識(shí)，對(duì)思維的要求較高，所以要注意多角度、全方位分析題目的條件和結(jié)論，拓寬看問(wèn)題的視野.新定義題型的特點(diǎn):通過(guò)給出一個(gè)新概念，或約定一種新運(yùn)算，或給出幾個(gè)新模型來(lái)創(chuàng)設(shè)全新的問(wèn)題情景，要求考生在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識(shí)和方法，實(shí)現(xiàn)信息的遷移，達(dá)到靈活解題的目的；遇到新定義問(wèn)題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點(diǎn)，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、驗(yàn)證、運(yùn)算，使問(wèn)題得以解決.下面介紹幾類數(shù)列新定義數(shù)列滿足：是等比數(shù)列，，且．(1)求；(2)求集合中所有元素的和；(3)對(duì)數(shù)列，若存在互不相等的正整數(shù)，使得也是數(shù)列中的項(xiàng)，則稱數(shù)列是“和穩(wěn)定數(shù)列”．試分別判斷數(shù)列是否是“和穩(wěn)定數(shù)列”．若是，求出所有的值；若不是，說(shuō)明理由．問(wèn)題1：根據(jù)已知及等比數(shù)列的定義求出的通項(xiàng)公式，由已知和求通項(xiàng)可得的通項(xiàng)公式，問(wèn)題2：根據(jù)等差數(shù)列及等比數(shù)列的求和公式可得結(jié)果，問(wèn)題3：根據(jù)“和穩(wěn)定數(shù)列”的定義可判定.破解：（1），又，，解得：因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，所以的公比，又當(dāng)時(shí)，，作差得：將代入，化簡(jiǎn)：，得：是公差的等差數(shù)列，（2）記集合的全體元素的和為，集合的所有元素的和為，集合的所有元素的和為，集合的所有元素的和為，則有對(duì)于數(shù)列：當(dāng)時(shí)，是數(shù)列中的項(xiàng)當(dāng)時(shí)，不是數(shù)列中的項(xiàng)，其中即（其中表示不超過(guò)實(shí)數(shù)的最大整數(shù)）（3）①解：當(dāng)時(shí)，是的正整數(shù)倍，故一定不是數(shù)列中的項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，，不是數(shù)列中的項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，，是數(shù)列中的項(xiàng)；綜上，數(shù)列是“和穩(wěn)定數(shù)列”，；②解：數(shù)列不是“和穩(wěn)定數(shù)列”，理由如下：不妨設(shè)：，則，且故不是數(shù)列中的項(xiàng).數(shù)列不是“和穩(wěn)定數(shù)列”.在正項(xiàng)無(wú)窮數(shù)列中，若對(duì)任意的，都存在，使得，則稱為階等比數(shù)列．在無(wú)窮數(shù)列中，若對(duì)任意的，都存在，使得，則稱為階等差數(shù)列．(1)若為1階等比數(shù)列，，求的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和；(2)若為階等比數(shù)列，求證：為階等差數(shù)列；(3)若既是4階等比數(shù)列，又是5階等比數(shù)列，證明：是等比數(shù)列．問(wèn)題1：根據(jù)題意可得為正項(xiàng)等比數(shù)列，求出首項(xiàng)與公比，再根據(jù)等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式即可得解；問(wèn)題2：由為階等比數(shù)列，可得，使得成立，再根據(jù)階等差數(shù)列即可得出結(jié)論；問(wèn)題3：根據(jù)既是4階等比數(shù)列，又是5階等比數(shù)列，可得與同時(shí)成立，再結(jié)合等比數(shù)列的定義即可得出結(jié)論.破解：（1）因?yàn)闉?階等比數(shù)列，所以為正項(xiàng)等比數(shù)列，設(shè)公比為，則為正數(shù)，由已知得兩式相除得，所以（舍去），所以，所以的通項(xiàng)公式為，前項(xiàng)和為；（2）因?yàn)闉殡A等比數(shù)列，所以，使得成立，所以，又，所以，即成立，所以為階等差數(shù)列；（3）因?yàn)榧仁?階等比數(shù)列，又是5階等比數(shù)列，所以與同時(shí)成立，所以與同時(shí)成立，又的各項(xiàng)均為正數(shù)，所以對(duì)任意的，數(shù)列和數(shù)列都是等比數(shù)列，由數(shù)列是等比數(shù)列，得也成等比數(shù)列，設(shè)，所以，所以是等比數(shù)列．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若數(shù)列滿足：①數(shù)列項(xiàng)數(shù)有限為；②；③，則稱數(shù)列為“階可控?fù)u擺數(shù)列”.(1)若等比數(shù)列為“10階可控?fù)u擺數(shù)列”，求的通項(xiàng)公式；(2)若等差數(shù)列為“階可控?fù)u擺數(shù)列”，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(3)已知數(shù)列為“階可控?fù)u擺數(shù)列”，且存在，使得，探究：數(shù)列能否為“階可控?fù)u擺數(shù)列”，若能，請(qǐng)給出證明過(guò)程；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.問(wèn)題1：根據(jù)和討論，利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和結(jié)合數(shù)列新定義求解即可；問(wèn)題2：結(jié)合數(shù)列定義，利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和及通項(xiàng)公式求解即可；問(wèn)題3：根據(jù)數(shù)列為“階可控?fù)u擺數(shù)列”求得，再利用數(shù)列的前項(xiàng)和得，然后推得與不能同時(shí)成立，即可判斷.破解：（1）若，則，解得，則，與題設(shè)矛盾，舍去；若，則，得，而，解得或，故或.（2）設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)椋瑒t，則，由，得，而，故，兩式相減得，即，又，得，所以.（3）記中所有非負(fù)項(xiàng)之和為，負(fù)項(xiàng)之和為，因?yàn)閿?shù)列為“階可控?fù)u擺數(shù)列”，則得，故，所以.若存在，使得，即，則，且.假設(shè)數(shù)列也為“階可控?fù)u擺數(shù)列”，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則因?yàn)?，所?所以；又，則.所以；即與不能同時(shí)成立.故數(shù)列不為“階可控?fù)u擺數(shù)列”.1．設(shè)數(shù)列的各項(xiàng)為互不相等的正整數(shù)，前項(xiàng)和為，稱滿足條件“對(duì)任意的，，均有”的數(shù)列為“好”數(shù)列.(1)試分別判斷數(shù)列，是否為“好”數(shù)列，其中，，并給出證明；(2)已知數(shù)列為“好”數(shù)列，其前項(xiàng)和為.①若，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；②若，且對(duì)任意給定的正整數(shù)，，有，，成等比數(shù)列，求證：.【答案】(1)是“好”數(shù)列，不是“好”數(shù)列，證明見解析(2)①；②證明見解析【詳解】（1）設(shè)，的前項(xiàng)和分別為，，若，則，所以，而，所以對(duì)任意的，成立，即數(shù)列是“好”數(shù)列.若，則，不妨取，，則，，此時(shí)，故數(shù)列不是“好”數(shù)列.（2）因?yàn)閿?shù)列為“好”數(shù)列，取，則，即，當(dāng)時(shí)，有，兩式相減，得，即，所以，所以，即，即，對(duì)于，當(dāng)時(shí)，有，即，所以，對(duì)任意的，恒成立，所以數(shù)列是等差數(shù)列.設(shè)數(shù)列的公差為，因?yàn)閿?shù)列的各項(xiàng)為互不相等的正整數(shù)，所以，①若，則，即，又，所以，，所以.②若，則，由，，，成等比數(shù)列，得，所以，化簡(jiǎn)得，即.因?yàn)槭侨我饨o定的正整數(shù)，所以要使，則，不妨設(shè)，由于是任意給定的正整數(shù)，所以.2．設(shè)滿足以下兩個(gè)條件的有窮數(shù)列為階“曼德拉數(shù)列”：①；②.(1)若某階“曼德拉數(shù)列”是等比數(shù)列，求該數(shù)列的通項(xiàng)（，用表示）；(2)若某階“曼德拉數(shù)列”是等差數(shù)列，求該數(shù)列的通項(xiàng)（，用表示）；(3)記階“曼德拉數(shù)列”的前項(xiàng)和為，若存在，使，試問(wèn)：數(shù)列能否為階“曼德拉數(shù)列”？若能，求出所有這樣的數(shù)列；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)或(2)或(3)不能，理由見解析【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為.若，則由①得，得，由②得或.若，由①得，，得，不可能.綜上所述，.或.（2）設(shè)等差數(shù)列的公差為，，，即，當(dāng)時(shí)，“曼德拉數(shù)列”的條件①②矛盾，當(dāng)時(shí)，據(jù)“曼德拉數(shù)列”的條件①②得，，，即，由得，即，.當(dāng)時(shí)，同理可得，即.由得，即，.綜上所述，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.（3）記中非負(fù)項(xiàng)和為，負(fù)項(xiàng)和為，則，得，，，即.若存在，使，由前面的證明過(guò)程知：，，，，，，，，且.若數(shù)列為階“曼德拉數(shù)列”，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則.，又，，.又，，，，，，又與不能同時(shí)成立，數(shù)列不為階“曼德拉數(shù)列”.3．設(shè)數(shù)列滿足：①；②所有項(xiàng)；③.設(shè)集合，將集合中的元素的最大值記為.換句話說(shuō)，是數(shù)列中滿足不等式的所有項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)的最大值.我們稱數(shù)列為數(shù)列的伴隨數(shù)列.例如，數(shù)列1，3，5的伴隨數(shù)列為1，1，2，2，3.(1)請(qǐng)寫出數(shù)列1，4，7的伴隨數(shù)列；(2)設(shè)，求數(shù)列的伴隨數(shù)列的前之和；(3)若數(shù)列的前項(xiàng)和（其中常數(shù)），求數(shù)列的伴隨數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)1，1，1，2，2，2，3(2)50(3)【詳解】（1）數(shù)列1，4，7的伴隨數(shù)列為1，1，1，2，2，2，3，（后面加3算對(duì)）（2）由，得∴當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，

∴（3）∵

∴

當(dāng)時(shí)，∴

由得：

因?yàn)槭沟贸闪⒌牡淖畲笾禐?，所?/p>

當(dāng)時(shí)：

當(dāng)時(shí)：

所以4．若某類數(shù)列滿足“，且”，則稱這個(gè)數(shù)列為“型數(shù)列”.(1)若數(shù)列滿足，求的值并證明：數(shù)列是“型數(shù)列”；(2)若數(shù)列的各項(xiàng)均為正整數(shù)，且為“型數(shù)列”，記，數(shù)列為等比數(shù)列，公比為正整數(shù)，當(dāng)不是“型數(shù)列”時(shí)，（i）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（ii）求證：.【答案】(1)，，證明見解析(2)（i）；（ii）證明見解析【詳解】（1），令，則，令，則；由①，當(dāng)時(shí)，②，由①②得，當(dāng)時(shí)，，所以數(shù)列和數(shù)列是等比數(shù)列.因?yàn)椋?，所以，因此，從而，所以?shù)列是“型數(shù)列”.（2）（i）因?yàn)閿?shù)列的各項(xiàng)均為正整數(shù)，且為“G型數(shù)列”，所以，所以，因此數(shù)列遞增.又，所以，因此遞增，所以公比.又不是“型數(shù)列”，所以存在，使得，所以，又公比為正整數(shù)，所以，又，所以，則.（ii），因?yàn)椋?，所以，令，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，5．已知數(shù)列為有窮數(shù)列，且，若數(shù)列滿足如下兩個(gè)性質(zhì)，則稱數(shù)列為的增數(shù)列：①；②對(duì)于，使得的正整數(shù)對(duì)有個(gè).(1)寫出所有4的1增數(shù)列；(2)當(dāng)時(shí)，若存在的6增數(shù)列，求的最小值.【答案】(1)所有4的1增數(shù)列有數(shù)列和數(shù)列1，3(2)7【詳解】（1）由題意得，則或，故所有4的1增數(shù)列有數(shù)列和數(shù)列1，3.（2）當(dāng)時(shí)，因?yàn)榇嬖诘?增數(shù)列，所以數(shù)列的各項(xiàng)中必有不同的項(xiàng)，所以且，若，滿足要求的數(shù)列中有四項(xiàng)為1，一項(xiàng)為2，所以，不符合題意，所以若，滿足要求的數(shù)列中有三項(xiàng)為1，兩項(xiàng)為2，符合的6增數(shù)列.所以，當(dāng)時(shí)，若存在的6增數(shù)列，的最小值為7.6．已知數(shù)列為有窮數(shù)列，且，若數(shù)列滿足如下兩個(gè)性質(zhì)，則稱數(shù)列為m的k增數(shù)列：①；②對(duì)于，使得的正整數(shù)對(duì)有k個(gè).(1)寫出所有4的1增數(shù)列；(2)當(dāng)時(shí)，若存在m的6增數(shù)列，求m的最小值；(3)若存在100的k增數(shù)列，求k的最大值.【答案】(1)1，2，1和1，3(2)7(3)1250【詳解】（1）由題意得，且對(duì)于，使得的正整數(shù)對(duì)有1個(gè)，由于或，故所有4的1增數(shù)列有數(shù)列1，2，1和數(shù)列1，3.（2）當(dāng)時(shí)，存在m的6增數(shù)列，即，且對(duì)于，使得的正整數(shù)對(duì)有6個(gè)，所以數(shù)列的各項(xiàng)中必有不同的項(xiàng)，所以且.若，滿足要求的數(shù)列中有四項(xiàng)為1，一項(xiàng)為2，所以，不符合題意，所以.若，滿足要求的數(shù)列中有三項(xiàng)為1，兩項(xiàng)為2，此時(shí)數(shù)列為，滿足要求的正整數(shù)對(duì)分別為，符合m的6增數(shù)列，所以當(dāng)時(shí)，若存在m的6增數(shù)列，m的最小值為7.（3）若數(shù)列中的每一項(xiàng)都相等，則，若，所以數(shù)列中存在大于1的項(xiàng)，若首項(xiàng)，將拆分成個(gè)1后k變大，所以此時(shí)k不是最大值，所以.當(dāng)時(shí)，若，交換，的順序后k變?yōu)椋源藭r(shí)k不是最大值，所以.若，所以，所以將改為，并在數(shù)列首位前添加一項(xiàng)1，所以k的值變大，所以此時(shí)k不是最大值，所以.若數(shù)列中存在相鄰的兩項(xiàng)，，設(shè)此時(shí)中有x項(xiàng)為2，將改為2，并在數(shù)列首位前添加個(gè)1后，k的值至少變?yōu)?，所以此時(shí)k不是最大值，所以數(shù)列的各項(xiàng)只能為1或2，所以數(shù)列為1，1，…，1，2，2，…，2的形式.設(shè)其中有x項(xiàng)為1，有y項(xiàng)為2，因?yàn)榇嬖?00的k增數(shù)列，所以，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，k取最大值為1250.7．將數(shù)列按照一定的規(guī)則，依順序進(jìn)行分組，得到一個(gè)以組為單位的序列稱為的一個(gè)分群數(shù)列，稱為這個(gè)分群數(shù)列的原數(shù)列．如，，…，是的一個(gè)分群數(shù)列，其中第k個(gè)括號(hào)稱為第k群．已知的通項(xiàng)公式為．(1)若的一個(gè)分群數(shù)列中每個(gè)群都含有3項(xiàng)；該分群數(shù)列第k群的中間一項(xiàng)為，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若的一個(gè)分群數(shù)列滿足第k群含有k項(xiàng)，為該分群數(shù)列的第k群所有項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)集，設(shè)，求集合M中所有元素的和．【答案】(1)(2)54【詳解】（1）由題意知該分群數(shù)列第k群的中間一項(xiàng)為．因?yàn)椋?，即．?）由題意知該分群數(shù)列第k群含有k項(xiàng)，所以該分群數(shù)列前7群為，，，，，，．又，，所以．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，或9，當(dāng)時(shí)，或5或4，當(dāng)時(shí)，或2，所以，故集合M中所有元素的各為．8．隨著信息技術(shù)的快速發(fā)展，離散數(shù)學(xué)的應(yīng)用越來(lái)越廣泛．差分和差分方程是描述離散變量變化的重要工具，并且有廣泛的應(yīng)用．對(duì)于數(shù)列，規(guī)定為數(shù)列的一階差分?jǐn)?shù)列，其中，規(guī)定為數(shù)列的二階差分?jǐn)?shù)列，其中．(1)數(shù)列的通項(xiàng)公式為，試判斷數(shù)列是否為等差數(shù)列，請(qǐng)說(shuō)明理由？(2)數(shù)列是以1為公差的等差數(shù)列，且，對(duì)于任意的，都存在，使得，求的值；(3)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，且為常數(shù)列，對(duì)滿足，的任意正整數(shù)都有，且不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值．【答案】(1)不是等差數(shù)列，是等差數(shù)列(2)(3)2【詳解】（1）因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，，故，，顯然，所以不是等差數(shù)列；因?yàn)?，則，，所以是首項(xiàng)為12，公差為6的等差數(shù)列.（2）因?yàn)閿?shù)列是以1為公差的等差數(shù)列，所以，故，所以數(shù)列是以公比為的正項(xiàng)等比數(shù)列，，所以，且對(duì)任意的，都存在，使得，即，所以，因?yàn)椋?，①若，則，解得（舍），或，即當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，都存在，使得.②若，則，對(duì)任意的，不存在，使得.綜上所述，.（3）因?yàn)闉槌?shù)列，則是等差數(shù)列，設(shè)的公差為，則，若，則，與題意不符；若，所以當(dāng)時(shí)，，與數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)矛盾，所以，由等差數(shù)列前項(xiàng)和公式可得，所以，因?yàn)椋裕驗(yàn)椋?，所以則當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，另一方面，當(dāng)時(shí)，令，，，則，，則，因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，即，不滿足不等式恒成立，綜上，的最大值為2.題型2集合新定義破解大法解決以集合為背景的新定義問(wèn)題，要抓住兩點(diǎn)：第一點(diǎn)：緊扣新定義，首先分析新定義的特點(diǎn)，把定義所敘述的問(wèn)題的本質(zhì)弄清楚，并能夠應(yīng)用到具體的解題過(guò)程之中，這是新定義型集合問(wèn)題難點(diǎn)的關(guān)鍵所在；第二點(diǎn)：用好集合的性質(zhì)，解題時(shí)要善于從試題中發(fā)現(xiàn)可以使用集合性質(zhì)的一些因素，在關(guān)鍵之外用好集合的運(yùn)算與性質(zhì).已知數(shù)集具有性質(zhì)：對(duì)任意的，，，使得成立．(1)分別判斷數(shù)集與是否具有性質(zhì)，并說(shuō)明理由；(2)若，求中所有元素的和的最小值并寫出取得最小值時(shí)所有符合條件的集合；(3)求證：．問(wèn)題1：由，所以數(shù)集不具有性質(zhì)，同理根據(jù)集合性質(zhì)的概念，可判斷具有性質(zhì)；問(wèn)題2：由（1）結(jié)合數(shù)集的性質(zhì)的概念，滿足，分類討論，即可求得數(shù)集；問(wèn)題3：根據(jù)數(shù)集的性質(zhì)的定義，可得，，，，滿足，，，，，累加即可證明.破解：（1）∵，∴數(shù)集不具有性質(zhì)．∵，，，∴數(shù)集具有性質(zhì)．（2）首先注意到，根據(jù)性質(zhì)P，得到，∴易知數(shù)集A的元素都是整數(shù)．構(gòu)造或者，這兩個(gè)集合具有性質(zhì)P，此時(shí)元素和為75．下面，證明75是最小的和：假設(shè)數(shù)集，滿足(存在性顯然，∵滿足的數(shù)集A只有有限個(gè))．第一步：首先說(shuō)明集合中至少有7個(gè)元素：∵集合具有性質(zhì)：即對(duì)任意的，，，使得成立，又，，∴，，，，∴，即，，，，，又，∴；∴；第二步：證明；若，設(shè)，∵，為了使得最小，在集合A中一定不含有元素，使得，從而；假設(shè)，根據(jù)性質(zhì)P，對(duì)，有，使得，顯然，∴，而此時(shí)集合A中至少還有4個(gè)不同于的元素，從而，矛盾，∴，進(jìn)而，且；同理可證：；(同理可以證明：若，則)．假設(shè)．∵，根據(jù)性質(zhì)P，有，使得，顯然，∴，而此時(shí)集合A中至少還有3個(gè)不同于的元素，從而，矛盾，∴，且；至此，我們得到了，根據(jù)性質(zhì)P，有，使得，我們需要考慮如下幾種情形：①，此時(shí)集合中至少還需要一個(gè)大于等于4的元素，才能得到元素8，則；②，此時(shí)集合中至少還需要一個(gè)大于4的元素，才能得到元素7，則；③，此時(shí)集合的和最小，為75；④，此時(shí)集合的和最小，為75．所以，中所有元素的和的最小值為75，此時(shí)或.（3）∵集合具有性質(zhì)：即對(duì)任意的，，，使得成立，又，，∴，，，，∴，即，，，，，累加得，化簡(jiǎn)得．已知數(shù)集具有性質(zhì)P：對(duì)任意的k，，使得成立．(1)分別判斷數(shù)集與是否具有性質(zhì)P，并說(shuō)明理由；(2)若，求A中所有元素的和的最小值并寫出取得最小值時(shí)所有符合條件的集合A；(3)求證：．問(wèn)題1：由，所以數(shù)集不具有性質(zhì)P，同理根據(jù)集合性質(zhì)P的概念，可判斷具有性質(zhì)P；問(wèn)題2：由（1）結(jié)合數(shù)集的性質(zhì)P的概念，滿足，分類討論，即可求得數(shù)集A；問(wèn)題3：根據(jù)數(shù)集的性質(zhì)P的定義，可得，所以，滿足，累加即可證明．破解：（1）因?yàn)?，所以?shù)集不具有性質(zhì)P，因?yàn)?，所以?shù)集具有性質(zhì)P；（2）由，所以A的元素都是整數(shù)，構(gòu)造或具有性質(zhì)P，此時(shí)元素和為75且是最小值；下面證明：假設(shè)集合滿足，（存在性顯然，因?yàn)闈M足的數(shù)集只有有限個(gè)）第一步：首先說(shuō)明集合中至少有7個(gè)元素，因?yàn)榧暇哂行再|(zhì)P：對(duì)任意的k，，使得成立，又，所以，所以，所以，，又，所以，所以；第二步：證明，若，設(shè)，因?yàn)?，為了使最小，在集合中一定不含有元素，使得，從而，假設(shè)，根據(jù)性質(zhì)P，對(duì)，有，使得，顯然，而，而此時(shí)集合中至少還有4個(gè)不同于的元素，從而，矛盾；所以，進(jìn)而；同理可證：，那么根據(jù)性質(zhì)P，有，使得，我們需要考慮如下幾種情況：①，此時(shí)集合中至少需要一個(gè)大于等于4的元素，才能得到8，所以A中所有元素的和大于76，②，此時(shí)集合中至少需要一個(gè)大于等于4的元素，才能得到7，所以A中所有元素的和大于76，③假設(shè)，同上，此時(shí)集合的和最小，為75；④當(dāng)，此時(shí)集合的和最小，最小值為75；所以A中所有元素的和最小，最小值為75，此時(shí)或；（3）因?yàn)榧暇哂行再|(zhì)P：即對(duì)任意的，使得成立，又因?yàn)椋?，所以，所以，，將上述不等式相加得：，所以．設(shè)集合，其中．若對(duì)任意的向量，存在向量，使得，則稱A是“T集”．(1)設(shè)，判斷M，N是否為“T集”．若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)已知A是“T集”．（i）若A中的元素由小到大排列成等差數(shù)列，求A；（ii）若（c為常數(shù)），求有窮數(shù)列的通項(xiàng)公式．問(wèn)題1：根據(jù)“T集”的定義判斷即可；問(wèn)題2：（i）寫出等差數(shù)列通項(xiàng)，得到向量的坐標(biāo)，再分類討論即可；（ii）設(shè)，利用三角數(shù)陣和等比數(shù)列定義即可.破解：（1）是“集”;不是“集”.理由：當(dāng)或時(shí)，只要橫縱坐標(biāo)相等即可，則滿足，當(dāng)，則；當(dāng)，則；當(dāng)，則；當(dāng)，則；綜上是“集”.對(duì)于向量，若存在，使得.則，故中必有一個(gè)為，此時(shí)另一個(gè)為或，顯然不符合，則不是“集”.（2）(i)因?yàn)橹械脑赜尚〉酱笈帕谐傻炔顢?shù)列，則該等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為2，故.則向量的坐標(biāo)中必含，設(shè)另一坐標(biāo)為，則或.所以或，故或，所以或，所以或，所以或即.此時(shí)，不滿足;或，滿足;所以只可能為.經(jīng)檢驗(yàn)是“集”，所以.(ii)設(shè).由，得，由條件可變形為.設(shè)集合設(shè)集合則是“集”當(dāng)且僅當(dāng)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.因?yàn)槭侵形ㄒ回?fù)數(shù)，共個(gè)數(shù)，所以也只有個(gè)數(shù).由于，所以，已有個(gè)數(shù).對(duì)以下三角數(shù)陣：注意到，所以.又為常數(shù))，故有窮數(shù)列為等比數(shù)列，且通項(xiàng)公式.1．已知集合，對(duì)于，，定義與之間的距離為．(1)已知，寫出所有的，使得；(2)已知，若，并且，求的最大值；(3)設(shè)集合，中有個(gè)元素，若中任意兩個(gè)元素間的距離的最小值為，求證：．【答案】(1)、、、；(2)；(3)見解析【詳解】（1）已知，，且，所以，的所有情形有：、、、；（2）設(shè)，，因?yàn)?，則，同理可得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.當(dāng)，時(shí)，上式等號(hào)成立.綜上所述，；（3）記，我們證明．一方面顯然有．另一方面，且，假設(shè)他們滿足．則由定義有，與中不同元素間距離至少為相矛盾．從而．這表明中任意兩元素不相等．從而．又中元素有個(gè)分量，至多有個(gè)元素．從而．2．對(duì)于數(shù)集，其中，，定義向量集，若對(duì)任意，存在，使得，則稱X具有性質(zhì)P．(1)設(shè)，請(qǐng)寫出向量集Y并判斷X是否具有性質(zhì)P（不需要證明）．(2)若，且集合具有性質(zhì)P，求x的值；(3)若X具有性質(zhì)P，且，q為常數(shù)且，求證：．【答案】(1)，具有性質(zhì)；(2)；(3)證明見解析.【詳解】（1）根據(jù)向量集的定義可得：，若，則存在，使得，同理亦可證明對(duì)任意，也滿足性質(zhì)，故具有性質(zhì)P．（2）對(duì)任意a，，都存在c，，使得，即對(duì)于，都存在，使得，其中a，b，c，，因?yàn)榧暇哂行再|(zhì)P，選取，，則有，假設(shè)，則有，解得，這與矛盾，假設(shè)，則有，解得，這與矛盾，假設(shè)，則有，解得，這與矛盾，假設(shè)，則有，解得，滿足，故；經(jīng)檢驗(yàn)，集合具有性質(zhì)P．（3）證明：取，設(shè)且滿足，由得，從而s，t異號(hào)，∵－1是x中唯一的負(fù)數(shù)，∴s，t中一個(gè)為－1，另一個(gè)為1，故．因?yàn)?，所以，X具有性質(zhì)P，取，，設(shè)，因?yàn)?，且c，d中的正數(shù)大于等于1，所以只能，所以，．又X中只有個(gè)大于1的正數(shù)，即，且，這個(gè)大于1的正整數(shù)都屬于集合X，所以只能，，…，即，即．3．定義兩個(gè)維向量，的數(shù)量積，，記為的第k個(gè)分量（且）.如三維向量，其中的第2分量.若由維向量組成的集合A滿足以下三個(gè)條件：①集合中含有n個(gè)n維向量作為元素；②集合中每個(gè)元素的所有分量取0或1；③集合中任意兩個(gè)元素，，滿足（T為常數(shù)）且.則稱A為T的完美n維向量集.(1)求2的完美3維向量集；(2)判斷是否存在完美4維向量集，并說(shuō)明理由；(3)若存在A為T的完美n維向量集，求證：A的所有元素的第k分量和.【答案】(1)(2)不存在完美4維向量集，理由見解析(3)證明見解析【詳解】（1）由題意知，集合中含有3個(gè)元素（），且每個(gè)元素中含有三個(gè)分量，因?yàn)?，所以每個(gè)元素中的三個(gè)分量中有兩個(gè)取1，一個(gè)取0.所以，，，又，所以2的完美3維向量集為.（2）依題意，完美4維向量集B含有4個(gè)元素（），且每個(gè)元素中含有四個(gè)分量，，（i）當(dāng)時(shí)，，與集合中元素的互異性矛盾，舍去；（ii）當(dāng)時(shí)，，不滿足條件③，舍去；（iii）當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，故與至多有一個(gè)在B中，同理：與至多有一個(gè)在B中，與至多有一個(gè)在B中，故集合B中的元素個(gè)數(shù)小于4，不滿足條件①，舍去；（iv）當(dāng)時(shí)，，不滿足條件③，舍去；（v）當(dāng)時(shí)，，與集合中元素的互異性矛盾，舍去；綜上所述，不存在完美4維向量集.（3）依題意，的完美維向量集含有個(gè)元素（），且每個(gè)元素中含有個(gè)分量，因?yàn)?，所以每個(gè)元素中有個(gè)分量為1，其余分量為0，所以（*），由（2）知，，故，假設(shè)存在，使得，不妨設(shè).（i）當(dāng)時(shí)，如下圖，由條件③知，或（），此時(shí)，與（*）矛盾，不合題意.（ii）當(dāng)時(shí)，如下圖，記（），不妨設(shè)，，，下面研究，，，，的前個(gè)分量中所有含1的個(gè)數(shù).一方面，考慮，，，，中任意兩個(gè)向量的數(shù)量積為1，故，，，（）中至多有1個(gè)1，故，，，，的前個(gè)分量中，所有含1的個(gè)數(shù)至多有個(gè)1（**）.另一方面，考慮（），故，，，，的前個(gè)分量中，含有個(gè)1，與（**）矛盾，不合題意.故對(duì)任意且，，由（*）可得.4．設(shè)自然數(shù)，由個(gè)不同正整數(shù)構(gòu)成集合，若集合的每一個(gè)非空子集所含元素的和構(gòu)成新的集合，記為集合元素的個(gè)數(shù)(1)已知集合，集合，分別求解．(2)對(duì)于集合，若取得最大值，則稱該集合為“極異集合”①求的最大值（無(wú)需證明）．②已知集合是極異集合，記求證：數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1),；(2)①；②證明見解析【詳解】（1）已知集合的非空子集有15個(gè)：計(jì)算可得，即．集合的非空子集有15個(gè)：計(jì)算可得，即（2）①集合共有個(gè)非空子集，的最大值為②，即證不妨設(shè)，即的非空子集中元素和最小的子集的為，最大的為集合是極異集合，，代表有個(gè)不同的正整數(shù)，即，所以中有個(gè)元素，由元素互異性可得又，即可得，因此數(shù)列的前項(xiàng)和.5．設(shè)k是正整數(shù)，A是的非空子集（至少有兩個(gè)元素），如果對(duì)于A中的任意兩個(gè)元素x，y，都有，則稱A具有性質(zhì)．(1)試判斷集合和是否具有性質(zhì)？并說(shuō)明理由．(2)若．證明：A不可能具有性質(zhì)．(3)若且A具有性質(zhì)和．求A中元素個(gè)數(shù)的最大值．【答案】(1)不具有性質(zhì)，具有性質(zhì)，理由見解析(2)證明見解析(3)920【詳解】（1）因?yàn)椋?，但，所以集合不具有性質(zhì)，因?yàn)?，又，但，所以集合具有性質(zhì).（2）將集合中的元素分為如下個(gè)集合，，所以從集合中取個(gè)元素，則前個(gè)集合至少要選10個(gè)元素，所以必有個(gè)元素取自前個(gè)集合中的同一集合，即存在兩個(gè)元素其差為，所以A不可能具有性質(zhì).（3）先說(shuō)明連續(xù)11項(xiàng)中集合中最多選取5項(xiàng)，以為例.構(gòu)造抽屜，，，，，，.①同時(shí)選，因?yàn)榫哂行再|(zhì)和，所以選5則不選；選6則不選；選7則不選；則只剩.故中屬于集合的元素個(gè)數(shù)不超過(guò)5個(gè).②選2個(gè)，若只選，則不可選，又只能選一個(gè)元素，可以選，故中屬于集合的元素個(gè)數(shù)不超過(guò)5個(gè).若選，則只能從中選，但不能同時(shí)選，故中屬于集合的元素個(gè)數(shù)不超過(guò)5個(gè).若選，則不可選，又只能選一個(gè)元素，可以選，故中屬于集合的元素個(gè)數(shù)不超過(guò)5個(gè).③中只選1個(gè)，又四個(gè)集合，，，每個(gè)集合至多選1個(gè)元素，故中屬于集合的元素個(gè)數(shù)不超過(guò)5個(gè).由上述①②③可知，連續(xù)11項(xiàng)自然數(shù)中屬于集合的元素至多只有5個(gè)，如取.因?yàn)?023=183×11+10，則把每11個(gè)連續(xù)自然數(shù)分組，前183組每組至多選取5項(xiàng)；從2014開始，最后10個(gè)數(shù)至多選取5項(xiàng)，故集合的元素最多有個(gè).給出如下選取方法：從中選??；然后在這5個(gè)數(shù)的基礎(chǔ)上每次累加11，構(gòu)造183次.此時(shí)集合的元素為：；；；；，共個(gè)元素.經(jīng)檢驗(yàn)可得該集合符合要求，故集合的元素最多有個(gè).6．已知集合，其中都是的子集且互不相同，記的元素個(gè)數(shù)，的元素個(gè)數(shù).(1)若，直接寫出所有滿足條件的集合；(2)若，且對(duì)任意，都有，求的最大值；(3)若且對(duì)任意，都有，求的最大值.【答案】(1)或或或(2)(3)【詳解】（1）因?yàn)?，則和的元素個(gè)數(shù)均為1，又因?yàn)?，則，若，，則或；若，，則或；綜上或或或.（2）集合共有32個(gè)不同的子集，將其兩兩配對(duì)成16組，使得，則不能同時(shí)被選中為子集，故.選擇的16個(gè)含有元素1的子集:，符合題意.綜上，.（3）結(jié)論:，令，集合符合題意.證明如下：①若中有一元集合，不妨設(shè)，則其它子集中都有元素1，且元素都至多屬于1個(gè)子集，所以除外的子集至多有個(gè)，故.②若中沒有一元集合，但有二元集合，不妨設(shè).其它子集分兩類:或，和或，其中互不相同，互不相同且均不為1，2.若，則，有若，則由得每個(gè)集合中都恰包含中的1個(gè)元素（不是2)，且互不相同，因?yàn)橹谐?外至多還有2個(gè)元素，所以.所以.③若均為三元集合，不妨設(shè).將其它子集分為三類：，其中.若，則(除1，2，3外，其它元素兩個(gè)一組與1構(gòu)成集合)，所以.若，不妨設(shè)，則由得每個(gè)集合中都或者有4、或者有5，又中除1外無(wú)其它公共元素，所以.所以.綜上，.7．給定整數(shù)，由元實(shí)數(shù)集合定義其隨影數(shù)集.若，則稱集合為一個(gè)元理想數(shù)集，并定義的理數(shù)為其中所有元素的絕對(duì)值之和.(1)分別判斷集合是不是理想數(shù)集；（結(jié)論不要求說(shuō)明理由）(2)任取一個(gè)5元理想數(shù)集，求證：；(3)當(dāng)取遍所有2024元理想數(shù)集時(shí)，求理數(shù)的最小值.注：由個(gè)實(shí)數(shù)組成的集合叫做元實(shí)數(shù)集合，分別表示數(shù)集中的最大數(shù)與最小數(shù).【答案】(1)集合是理想數(shù)集，集合不是理想數(shù)集(2)證明見解析(3)1024144【詳解】（1）設(shè)的隨影數(shù)集分別為，則，所以集合是理想數(shù)集，集合不是理想數(shù)集.（2）不妨設(shè)集合且，即.為理想數(shù)集，，則，且，使得.當(dāng)時(shí)，.當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)，等號(hào)成立；當(dāng)時(shí)，.當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)，等號(hào)成立；當(dāng)時(shí)，.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.綜上所述：.（3）設(shè).為理想數(shù)集.，且，使得.對(duì)于，同樣有.下先證對(duì)元理想數(shù)集，有.不妨設(shè)集合中的元素滿足.即.為理想數(shù)集，，且，使得.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)，等號(hào)成立；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)，等號(hào)成立；當(dāng)時(shí)，.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立...當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立..理數(shù).當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)，等號(hào)成立.理數(shù)的最小值為.8．已知集合A為非空數(shù)集.定義：(1)若集合，直接寫出集合S，T；(2)若集合且．求證：；(3)若集合記為集合A中元素的個(gè)數(shù)，求的最大值.【答案】(1)，(2)證明見解析(3)1350.【詳解】（1）由已知，則，；（2）由于集合且，所以T中也只包含四個(gè)元素，因?yàn)榧辞?，即，又，所以，從而，此時(shí)滿足題意，所以；（3）設(shè)滿足題意，其中，2，，∵，∴，又中最小的元素為0，最大的元素為，則設(shè)，，則，因?yàn)?，可得，即，故m的最小值為675，于是當(dāng)時(shí)，A中元素最多，即時(shí)滿足題意，綜上所述，集合A中元素的個(gè)數(shù)的最大值是1350.題型3導(dǎo)數(shù)新定義破解大法函數(shù)新定義，以及理由導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)，不等式的綜合應(yīng)用問(wèn)題，本題的關(guān)鍵是理解函數(shù)的定義，并結(jié)合構(gòu)造函數(shù)，不等式關(guān)系，進(jìn)行推論論證.特別注意1：解題關(guān)鍵是掌握新定義“好點(diǎn)”的含義，對(duì)函數(shù)的“好點(diǎn)”，實(shí)質(zhì)就是解方程組，因此凡是出現(xiàn)“好點(diǎn)”，解題時(shí)就是由此方程組求解．這樣就把新定義轉(zhuǎn)化一般的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)問(wèn)題．特別注意2：明確階泰勒展開式的具體定義；在證明不等式成立時(shí)的關(guān)鍵是能夠根據(jù)原函數(shù)與其在處的階泰勒展開式的大小關(guān)系，利用放縮的方法將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化.給出以下三個(gè)材料：①若函數(shù)可導(dǎo)，我們通常把導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做的二階導(dǎo)數(shù)，記作.類似地，二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做三階導(dǎo)數(shù)，記作，三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做四階導(dǎo)數(shù)……一般地，階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做階導(dǎo)數(shù)，記作.②若，定義.③若函數(shù)在包含的某個(gè)開區(qū)間上具有階的導(dǎo)數(shù)，那么對(duì)于任一有，我們將稱為函數(shù)在點(diǎn)處的階泰勒展開式.例如，在點(diǎn)處的階泰勒展開式為.根據(jù)以上三段材料，完成下面的題目：(1)求出在點(diǎn)處的階泰勒展開式，并直接寫出在點(diǎn)處的階泰勒展開式；(2)比較（1）中與的大小.(3)證明：.問(wèn)題1：根據(jù)在點(diǎn)處的階泰勒展開式的定義可直接求得結(jié)果；問(wèn)題2：令，利用導(dǎo)數(shù)可求得在上單調(diào)遞增，結(jié)合可得的正負(fù)，由此可得與的大小關(guān)系；問(wèn)題3：令，利用導(dǎo)數(shù)可求得，即；①當(dāng)時(shí)，由，，可直接證得不等式成立；②當(dāng)時(shí)，分類討論，由此可證得不等式成立.破解：（1），，，，，，，即；同理可得：；（2）由（1）知：，，令，則，，，在上單調(diào)遞增，又，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；，，在上單調(diào)遞增，又，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；綜上所述：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；（3）令，則，，在上單調(diào)遞增，又，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，即；在點(diǎn)處的階泰勒展開式為：，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，①當(dāng)時(shí)，由（2）可知，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以；②當(dāng)時(shí)，設(shè)，，，，當(dāng)，由（2）可知，所以，，即有；當(dāng)時(shí)，，所以，時(shí)，單調(diào)遞減，從而，即．綜上所述：.英國(guó)數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了如下公式：其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，.以上公式稱為泰勒公式.設(shè)，根據(jù)以上信息，并結(jié)合高中所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，解決如下問(wèn)題.(1)證明：；(2)設(shè)，證明：；(3)設(shè)，若是的極小值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.問(wèn)題1：首先設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題；問(wèn)題2：首先由泰勒公式，由和，再求得和的解析式，即可證明；問(wèn)題3：分和兩種情況討論，求出在附近的單調(diào)區(qū)間，即可求解.破解：（1）設(shè)，則.當(dāng)時(shí)，：當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.因此，，即.（2）由泰勒公式知，①于是，②由①②得所以即.（3），則，設(shè)，由基本不等式知，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.所以當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增.又因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，且，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.因此，是的極小值點(diǎn).下面證明：當(dāng)時(shí)，不是的極小值點(diǎn).當(dāng)時(shí)，，又因?yàn)槭巧系呐己瘮?shù)，且在上單調(diào)遞增,所以當(dāng)時(shí)，.因此，在上單調(diào)遞減.又因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，且，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.因此，是的極大值點(diǎn)，不是的極小值點(diǎn).綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.①在微積分中，求極限有一種重要的數(shù)學(xué)工具——洛必達(dá)法則，法則中有結(jié)論：若函數(shù)，的導(dǎo)函數(shù)分別為，，且，則.②設(shè)，k是大于1的正整數(shù)，若函數(shù)滿足：對(duì)任意，均有成立，且，則稱函數(shù)為區(qū)間上的k階無(wú)窮遞降函數(shù).結(jié)合以上兩個(gè)信息，回答下列問(wèn)題：(1)試判斷是否為區(qū)間上的2階無(wú)窮遞降函數(shù)；(2)計(jì)算：；(3)證明：，.問(wèn)題1：根據(jù)函數(shù)為區(qū)間上的k階無(wú)窮遞降函數(shù)的定義即可判斷；問(wèn)題2：通過(guò)構(gòu)造，再結(jié)合即可得到結(jié)果；問(wèn)題3：通過(guò)換元令令，則原不等式等價(jià)于，再通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)題干中函數(shù)為區(qū)間上的k階無(wú)窮遞降函數(shù)的定義證出，即可證明結(jié)論.破解：（1）設(shè)，由于，所以不成立，故不是區(qū)間上的2階無(wú)窮遞降函數(shù).（2）設(shè)，則，設(shè)，則，所以，得.（3）令，則原不等式等價(jià)于，即證，記，則，所以，即有對(duì)任意，均有，所以，因?yàn)?，所以，所以，證畢!1．已知常數(shù)為非零整數(shù)，若函數(shù)，滿足：對(duì)任意，，則稱函數(shù)為函數(shù).(1)函數(shù)，是否為函數(shù)﹖請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)若為函數(shù)，圖像在是一條連續(xù)的曲線，，，且在區(qū)間上僅存在一個(gè)極值點(diǎn)，分別記、為函數(shù)的最大、小值，求的取值范圍；(3)若，，且為函數(shù)，，對(duì)任意，恒有，記的最小值為，求的取值范圍及關(guān)于的表達(dá)式.【答案】(1)是，理由見解析(2)(3)，【詳解】（1）是函數(shù)，理由如下，對(duì)任意，，，故（2）（?。┤魹樵趨^(qū)間上僅存的一個(gè)極大值點(diǎn)，則在嚴(yán)格遞增，在嚴(yán)格遞減，由，即，得，又，，則，（構(gòu)造時(shí)，等號(hào)成立），所以；（ⅱ）若為在區(qū)間上僅存的一個(gè)極小值點(diǎn)，則在嚴(yán)格遞減，在嚴(yán)格增，由，同理可得，又，，則，（構(gòu)造時(shí)，等號(hào)成立），所以；綜上所述：所求取值范圍為；（3）顯然為上的嚴(yán)格增函數(shù)，任意，不妨設(shè)，此時(shí)，由為函數(shù)，得恒成立，即恒成立，設(shè)，則為上的減函數(shù)，，得對(duì)恒成立，易知上述不等號(hào)右邊的函數(shù)為上的減函數(shù)，所以，所以的取值范圍為，此時(shí)，法1：當(dāng)時(shí)，即，由，而，所以為上的增函數(shù)，法2：，因?yàn)椋?dāng)，，所以為上的增函數(shù)，由題意得，，.2．已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若對(duì)任意恒成立，則稱函數(shù)為“線性控制函數(shù)”.(1)判斷函數(shù)和是否為“線性控制函數(shù)”，并說(shuō)明理由；(2)若函數(shù)為“線性控制函數(shù)”，且在上嚴(yán)格增，設(shè)為函數(shù)圖像上互異的兩點(diǎn)，設(shè)直線的斜率為，判斷命題“”的真假，并說(shuō)明理由；(3)若函數(shù)為“線性控制函數(shù)”，且是以為周期的周期函數(shù)，證明：對(duì)任意都有.【答案】(1)不是，理由見解析(2)真命題，理由見解析(3)證明見解析【詳解】（1），故是“線性控制函數(shù)”；，故不是“線性控制函數(shù)”.（2）命題為真，理由如下：設(shè)，其中由于在上嚴(yán)格增，故，因此由于為“線性控制函數(shù)”，故，即令，故，因此在上為減函數(shù)，綜上所述，，即命題“”為真命題.（3）根據(jù)（2）中證明知，對(duì)任意都有由于為“線性控制函數(shù)”，故，即令，故，因此在上為增函數(shù)因此對(duì)任意都有，即當(dāng)時(shí)，則恒成立當(dāng)時(shí)，若，則，故若時(shí)，則存在使得故1，因此綜上所述，對(duì)任意都有.（事實(shí)上，對(duì)任意都有，此處不再贅述）3．已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)記函數(shù)的圖象為曲線，設(shè)點(diǎn)、是曲線上兩個(gè)不同點(diǎn)，如果曲線上存在，使得：①；②曲線在點(diǎn)處的切線平行于直線，則稱函數(shù)存在“中值相依切線”.試問(wèn)：函數(shù)是否存在中值相依切線，說(shuō)明理由.【答案】(1)增區(qū)間為、(2)不存在，理由見解析【詳解】（1）解：函數(shù)的定義域?yàn)椋?，因?yàn)?，則，由可得或，所以，函數(shù)的增區(qū)間為、.（2）解：假設(shè)函數(shù)存在“中值相依切線”，設(shè)、是曲線上不同的兩個(gè)點(diǎn)，且，則，，則，因?yàn)?，則，由可得，即，則，令，則，則，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，故在上無(wú)解，假設(shè)不成立，綜上，假設(shè)不成立，所以函數(shù)不存在“中值相依切線”.4．定義：如果函數(shù)在定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)，使成立，其中為大于0的常數(shù)，則稱點(diǎn)為函數(shù)的級(jí)“平移點(diǎn)”.已知函數(shù).(1)若，求曲線在處的切線方程；(2)若在上存在1級(jí)“平移點(diǎn)”，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，.，.故曲線在處的切線方程為（2）因?yàn)樵谏洗嬖?級(jí)“平移點(diǎn)”，所以存在，使.由，得，即，即與圖象有公共點(diǎn)，令，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，因?yàn)?，所以，，所以，所以，所?5．記，分別為函數(shù)，的導(dǎo)函數(shù)．若存在，滿足且，則稱為函數(shù)與的一個(gè)“好點(diǎn)”．(1)判斷函數(shù)與是否存在“好點(diǎn)”，若存在，求出“好點(diǎn)”；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明珵由；(2)若函數(shù)與存在“好點(diǎn)”，求實(shí)數(shù)的值；(3)已知函數(shù)，，若存在實(shí)數(shù)，使函數(shù)與在區(qū)間內(nèi)存在“好點(diǎn)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)存在，(2)(3)【詳解】（1），，假設(shè)存在滿足，代入得，解得；所以存在存在“好點(diǎn)”，且“好點(diǎn)”為1；（2），，設(shè)“好點(diǎn)”為，滿足，代入得，；（3）由已知，，依題意可得：存在滿足，代入得，解得，由，又，故解得，令，則，在上增函數(shù)，，時(shí)，，且當(dāng)時(shí)，，所以，所以．6．已知函數(shù)(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(3)若對(duì)任意的實(shí)數(shù)，函數(shù)與直線總相切，則稱函數(shù)為“恒切函數(shù)”．當(dāng)時(shí)，若函數(shù)是“恒切函數(shù)”，求證：．【答案】(1)有極小值，無(wú)極大值.(2)答案見解析(3)證明見解析【詳解】（1）函數(shù),,當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，故有極小值，無(wú)極大值.（2），當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，,，,且為增函數(shù)，時(shí)，，在單調(diào)遞增；時(shí)，，在單調(diào)遞減；綜上得：當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減；（3）當(dāng)時(shí)，函數(shù)是“恒切函數(shù)”，且,設(shè)函數(shù)與直線切點(diǎn),則,故，即，，，，所以是方程的根，設(shè)，,,當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；且,，，是方程的根，所以或,或故.7．用數(shù)學(xué)的眼光看世界就能發(fā)現(xiàn)很多數(shù)學(xué)之“美”．現(xiàn)代建筑講究線條感，曲線之美讓人稱奇．衡量曲線彎曲程度的重要指標(biāo)是曲率，曲線的曲率定義如下：若是的導(dǎo)函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的曲率．(1)求曲線在點(diǎn)處的曲率的值；(2)求正弦曲線曲率的最大值．【答案】(1)(2)1【詳解】（1）由得，，故，所以曲線在點(diǎn)處的曲率；（2）由題意得，故，令，則，令，則，故在上單調(diào)遞減，則，即的最大值為1，由題意知曲線在點(diǎn)處的曲率，即，故的最大值為1.8．給出定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱為函數(shù)的“拐點(diǎn)”.經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)所有的三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”，且該“拐點(diǎn)”也是函數(shù)圖象的對(duì)稱中心.(1)若函數(shù)，求函數(shù)圖象的對(duì)稱中心；(2)已知函數(shù)，其中.（?。┣蟮墓拯c(diǎn)；（ⅱ）若，求證：.【答案】(1)(2)（i）；（ii）證明見解析【詳解】（1）因?yàn)椋裕?令，解得，又，所以函數(shù)的“拐點(diǎn)”為，所以函數(shù)圖象的對(duì)稱中心為.（2）（ⅰ）因?yàn)椋?，所以，，且，令，則在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，又，由零點(diǎn)存在性定理知，有唯一的零點(diǎn)，所，且，當(dāng)時(shí)，，所以的拐點(diǎn)為.（ⅱ）證明：由（i）可知，在上單調(diào)遞增，，∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，∴在上恒成立，∴在上單調(diào)遞增，又，，所以.題型4三角函數(shù)新定義破解大法三角函數(shù)新定義問(wèn)題；主要把握住三角函數(shù)與其它知識(shí)點(diǎn)之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系即可，熟記三角恒等變換的有關(guān)公式；求取值范圍轉(zhuǎn)換為函數(shù)問(wèn)題.特別注意：新定義“伴隨函數(shù)”得出函數(shù)的表達(dá)式，然后利用三角函數(shù)性質(zhì)求解．對(duì)于函數(shù)一般借助輔助角公式進(jìn)行變形，即，其中，．我們知道：對(duì)于函數(shù)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取其定義域D中的任意值時(shí)，有，且成立，那么函數(shù)叫做周期函數(shù)．對(duì)于一個(gè)周期函數(shù)，如果在它的所有周期中存在一個(gè)最小正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做函數(shù)的最小正周期．對(duì)于定義域?yàn)镽的函數(shù)，若存在正常數(shù)T，使得是以T為周期的函數(shù)，則稱為正弦周期函數(shù)，且稱T為其正弦周期．(1)驗(yàn)證是以為周期的正弦周期函數(shù)．(2)已知函數(shù)是周期函數(shù)，請(qǐng)求出它的一個(gè)周期．并判斷此周期函數(shù)是否存在最小正周期，并說(shuō)明理由．(3)已知存在這樣一個(gè)函數(shù)，它是定義在R上嚴(yán)格增函數(shù)，值域?yàn)镽，且是以T為周期的正弦周期函數(shù)．若，，且存在，使得，求的值．問(wèn)題1：根據(jù)正弦周期函數(shù)的定義求解；問(wèn)題2：結(jié)合正弦、余弦函數(shù)性質(zhì)由周期函數(shù)定義求解．問(wèn)題3：從是嚴(yán)格遞增函數(shù)，時(shí)，進(jìn)行推理可得．破解：（1），證畢．（2），易知是它的一個(gè)周期，因?yàn)椋旅孀C明是的最小正周期，時(shí)，是增函數(shù)，時(shí)，是減函數(shù)，又，，所以，即函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以當(dāng)時(shí)，不可能是函數(shù)的周期，假設(shè)函數(shù)有小于的正周期，則，取，與時(shí)，函數(shù)的單調(diào)性相同，但，而在這兩個(gè)區(qū)間上單調(diào)性相反，假設(shè)錯(cuò)誤．所以是的最小正周期．（3）因?yàn)槭侵芷诤瘮?shù)，是它的一個(gè)周期，，，又由題意，,因?yàn)?，，是?yán)格遞增函數(shù)，所以，又時(shí)，，，，因?yàn)槭菄?yán)格遞增函數(shù)，所以與是一一對(duì)應(yīng)的，因此，．人臉識(shí)別就是利用計(jì)算機(jī)分析人臉視頻或者圖像，并從中提取出有效的識(shí)別信息，最終判別人臉對(duì)象的身份.在人臉識(shí)別中為了檢測(cè)樣本之間的相似度主要應(yīng)用距離的測(cè)試，常用的測(cè)量距離的方式有曼哈頓距離和余弦距離.已知二維空間兩個(gè)點(diǎn)、，則其曼哈頓距離為，余弦相似度為，余弦距離：.(1)若、，求、之間的余弦距離；(2)已知，、,，若,，求、之間的曼哈頓距離.問(wèn)題1：利用題中定義可求得點(diǎn)、間的余弦距離；問(wèn)題2：利用兩角和與差的正弦、余弦公式可求出點(diǎn)、的坐標(biāo)，結(jié)合題中定義可求得、之間的曼哈頓距離.破解：（1）解：因?yàn)椤?，所以，所以、間的余弦距離為.（2）解：因?yàn)椋?因?yàn)?，所?因?yàn)?，所?因?yàn)椋瑒t，所以.因?yàn)?，，所?因?yàn)?，，所?因?yàn)椋浴⒅g的曼哈頓距離是.人臉識(shí)別技術(shù)在各行各業(yè)的應(yīng)用改變著人類的生活，所謂人臉識(shí)別，就是利用計(jì)算機(jī)分析人臉視頻或者圖像，并從中提取出有效的識(shí)別信息，最終判別對(duì)象的身份，在人臉識(shí)別中為了檢測(cè)樣本之間的相似度主要應(yīng)用距離的測(cè)試，常用測(cè)量距離的方式有曼哈頓距離和余弦距離.若二維空間有兩個(gè)點(diǎn)，，則曼哈頓距離為：，余弦相似度為：，余弦距離為(1)若，，求A，B之間的曼哈頓距離和余弦距離；(2)已知，，，若，，求的值問(wèn)題1：根據(jù)公式直接計(jì)算即可.問(wèn)題2：根據(jù)公式得到，，計(jì)算得到答案.破解：（1），，故余弦距離等于；（2）；故，，則. 1．設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，定義非零向量的“相伴函數(shù)”為．向量稱為函數(shù)的“相伴向量”．(1)記的“相伴函數(shù)”為，若函數(shù)與直線有且僅有四個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；(2)已知點(diǎn)滿足，向量的“相伴函數(shù)”在處取得最大值當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)時(shí)，求的取值范圍．(3)當(dāng)向量時(shí)，伴隨函數(shù)為，函數(shù)，求在區(qū)間上最大值與最小值之差的取值范圍；【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）由題知：，，由，得，令，得，令，得，由，得，令，得，令，得，所以在和上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減，且∵圖像與有且僅有四個(gè)不同的交點(diǎn)，所以實(shí)數(shù)k的取值范圍為；

（2），其中，，∴當(dāng)即時(shí)，取得最大值，此時(shí)，令，則由，顯然，則，解得，，因?yàn)楹瘮?shù)在上都是增函數(shù)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以；（3）由題意，則，設(shè)函數(shù)在區(qū)間上最大值與最小值之差為，由，得，①當(dāng)，即時(shí)，，，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以；②?dāng)，即時(shí)，，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以；③?dāng)，即時(shí)，，所以，因?yàn)椋?，所以，所以；④?dāng)，即時(shí)，，所以，因?yàn)椋?，所以，所以；⑤?dāng)，即時(shí)，，所以，因?yàn)椋?，所以，所以；⑥?dāng)，即時(shí)，，所以，因?yàn)?，所以，所以，所?綜上所述，，所以在區(qū)間上最大值與最小值之差的取值范圍為.2．對(duì)于分別定義在，上的函數(shù)，以及實(shí)數(shù)，若任取，存在，使得，則稱函數(shù)與具有關(guān)系.其中稱為的像.(1)若，；，，判斷與是否具有關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)若，；，，且與具有關(guān)系，求的像；(3)若，；，，且與具有關(guān)系，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)不具有，理由見解析；(2)或或；(3)或，【詳解】（1）與不具有關(guān)系，理由如下：時(shí)，，，所以，則與不具有關(guān)系；（2）由題意可知，所以，又，所以，解之得或或，即的像為或或；（3）對(duì)于，則，所以，即，因?yàn)榕c具有關(guān)系，所以要滿足題意需，使得即可.令，令，則，設(shè)，①若，即時(shí)，，則，②若，即時(shí)，，則，③若，即時(shí)，，則或，顯然無(wú)解，④若，即時(shí)，，則或，顯然無(wú)解，綜上所述：或，3．對(duì)于集合和常數(shù)，定義：為集合A相對(duì)的的“余弦方差”.(1)若集合，求集合A相對(duì)的“余弦方差”；(2)若集合，是否存在，使得相對(duì)任何常數(shù)的“余弦方差”是一個(gè)與無(wú)關(guān)的定值？若存在，求出的值：若不存在，則說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)存在，；理由見解析【詳解】（1）因?yàn)榧?，所?（2）假設(shè)存在，使得相對(duì)任何常數(shù)的“余弦方差”是一個(gè)與無(wú)關(guān)的定值.由“余弦方差”的定義得：.要使是一個(gè)與無(wú)關(guān)的定值，應(yīng)有成立，則，即，整理可得.又因?yàn)?，則，，，所以，所以，則，所以，，即，整理可得，.又因?yàn)?，所以，，所以，假設(shè)成立，當(dāng)時(shí)，相對(duì)任何常數(shù)的“余弦方差”是一個(gè)與無(wú)關(guān)的定值，定值為.4．人臉識(shí)別技術(shù)在各行各業(yè)的應(yīng)用改變著人類的生活，所謂人臉識(shí)別，就是利用計(jì)算機(jī)分析人臉視頻或者圖像，并從中提取出有效的識(shí)別信息，最終判別對(duì)象的身份，在人臉識(shí)別中為了檢測(cè)樣本之間的相似度主要應(yīng)用距離的測(cè)試，常用測(cè)量距離的方式有曼哈頓距離和余弦距離.若二維空間有兩個(gè)點(diǎn)，，則曼哈頓距離為：，余弦相似度為：，余弦距離為(1)若，，求A，B之間的曼哈頓距離和余弦距離；(2)已知，，，若，，求的值(3)已知，、，，若，，求、之間的曼哈頓距離.【答案】(1)，余弦距離等于(2)(3)【詳解】（1），，故余弦距離等于；（2）；故，，則.（3）因?yàn)椋?，所?因?yàn)?，所?因?yàn)?，所?因?yàn)椋瑒t，所以.因?yàn)椋?，所?因?yàn)椋?因?yàn)?，所以、之間的曼哈頓距離是.5．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)于函數(shù)，稱向量為函數(shù)的相伴特征向量，同時(shí)稱函數(shù)為向量的相伴函數(shù).(1)設(shè)函數(shù)，試求的相伴特征向量；(2)記向量的相伴函數(shù)為，當(dāng)時(shí)，求的值域；(3)已知為的相伴特征向量，，請(qǐng)問(wèn)在的圖象上是否存在一點(diǎn)，使得.若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)(3)存在，【詳解】（1）由題意可的，，所以的伴隨特征向量.（2）向量的伴隨函數(shù)為，所以，，，即，的值域?yàn)?（3）由為的伴隨特征向量知：，所以.設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，滿足.在圖像上存在點(diǎn)，使得.

6．已知函數(shù)的圖象相鄰兩條對(duì)稱軸間的距離為，且過(guò)點(diǎn).(1)若函數(shù)是偶函數(shù)，求的最小值；(2)令，記函數(shù)在上的零點(diǎn)從小到大依次為、、、，求的值；(3)設(shè)函數(shù)，，如果對(duì)于定義域D內(nèi)的任意實(shí)數(shù)，對(duì)于給定的非零常數(shù)，總存在非零常數(shù)，若恒有成立，則稱函數(shù)是上的級(jí)周期函數(shù)，周期為.是否存在非零實(shí)數(shù)，使函數(shù)是上的周期為的級(jí)周期函數(shù)？請(qǐng)證明你的結(jié)論.【答案】(1)(2)(3)存在，且滿足題意，其中滿足，證明見解析【詳解】（1）解：因?yàn)楹瘮?shù)圖象的相鄰兩對(duì)稱軸間的距離為，所以，函數(shù)的最小正周期為，因?yàn)?，則，所以，，又因?yàn)楹瘮?shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，則，因?yàn)椋裕?，因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，所以，，解得，故當(dāng)時(shí)，取最小值，且其最小值為.（2）解：由，可得，因?yàn)?，則，令，則，所以，，，設(shè)，如下圖所示：

由圖可知，直線與函數(shù)在上的圖象有四個(gè)交點(diǎn)，點(diǎn)、關(guān)于直線對(duì)稱，點(diǎn)、關(guān)于直線對(duì)稱，點(diǎn)、關(guān)于直線對(duì)稱，所以，，，，即，即，解得.（3）解：因?yàn)?，所以，，假設(shè)存在非零實(shí)數(shù)，使得函數(shù)是上的周期為的級(jí)周期函數(shù)，即，恒有，則，恒有成立，則，恒有成立，當(dāng)時(shí)，，則，，所以，，，要使得恒成立，則有.當(dāng)時(shí)，則，即，令，其中，則，，且函數(shù)在上的圖象是連續(xù)的，由零點(diǎn)存在定理可知，函數(shù)在上有唯一的零點(diǎn)，此時(shí)，恒成立，則，即；當(dāng)時(shí)，則，即，作出函數(shù)、的圖象如下圖所示：

由圖可知，函數(shù)、的圖象沒有公共點(diǎn)，故方程無(wú)實(shí)數(shù)解.綜上所述，存在滿足題意，其中滿足.7．對(duì)于函數(shù)，，如果存在一組常數(shù)，，…，（其中k為正整數(shù)，且）使得當(dāng)x取任意值時(shí)，有則稱函數(shù)為“k級(jí)周天函數(shù)”.(1)判斷下列函數(shù)是否是“2級(jí)周天函數(shù)”，并說(shuō)明理由：①；②；(2)求證：當(dāng)時(shí)，是“3級(jí)周天函數(shù)”；(3)設(shè)函數(shù)，其中b，c，d是不全為0的實(shí)數(shù)且存在，使得，證明：存在，使得.【答案】(1)是，不是；理由見解析(2)證明見解析(3)證明見解析【詳解】（1）令，，則，所以是“2級(jí)周天函數(shù)”；，不對(duì)任意x都成立，所以不是“2級(jí)周天函數(shù)”；（2）令，，，則所以是“3級(jí)周天函數(shù)”；（3）對(duì)其進(jìn)行分類討論：1°若，則，此時(shí)取，則；2°若，采用反證法，若不存在，使得，則恒成立，由（2）可知是“3級(jí)周天函數(shù)”，所以，所以，因?yàn)?，，，所以，再由恒成立，所以，進(jìn)而可得，這與b，c，d是不全為0矛盾，故存在，使得；3°若，由，，得，所以存在，使得，所以命題成立.8．定義有序?qū)崝?shù)對(duì)(a,b)的“跟隨函數(shù)”為．(1)記有序數(shù)對(duì)(1,－1)的“跟隨函數(shù)”為f(x)，若，求滿足要求的所有x的集合；(2)記有序數(shù)對(duì)(0,1)的“跟隨函數(shù)”為f(x)，若函數(shù)與直線有且僅有四個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；(3)已知，若有序數(shù)對(duì)(a,b)的“跟隨函數(shù)”在處取得最大值，當(dāng)b在區(qū)間(0,]變化時(shí)，求的取值范圍．【答案】(1)；(2)；(3)【詳解】（1）由題意，，，，又，所以或，即所求集合為；（2）由題意，則，時(shí)，，時(shí)，，作出函數(shù)，的圖象，如圖，在和上遞增，在和上遞減，，，由圖象可知，時(shí)，函數(shù)的圖象與直線有且僅有四個(gè)不同的交點(diǎn)，所以的范圍是；（3）由題意，其中，，易知時(shí)，，，，同理，，，時(shí)，函數(shù)是增函數(shù)，因此，從而，即．題型5平面向量新定義破解大法平面向量新定義一般與三角恒等變換相結(jié)合合，充分理解新定義，且熟練掌握向量和三角函數(shù)知識(shí)才能解決此類題，特別是求長(zhǎng)度，要設(shè)出向量，表達(dá)出，先證明充分性，再證明必要性已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)于函數(shù)，稱向量為函數(shù)的相伴特征向量，同時(shí)稱函數(shù)為向量的相伴函數(shù).(1)記向量的相伴函數(shù)為，若當(dāng)且時(shí)，求的值；(2)設(shè)，試求函數(shù)的相伴特征向量，并求出與共線的單位向量；(3)已知，，為函數(shù)的相伴特征向量，，請(qǐng)問(wèn)在的圖象上是否存在一點(diǎn)，使得?若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.問(wèn)題1：根據(jù)向量的伴隨函數(shù)求出，再將所求角用已知角表示，結(jié)合三角恒等變換即可求解；問(wèn)題2：化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，根據(jù)相伴特征向量的定義即可求得，繼而進(jìn)一步計(jì)算即可；問(wèn)題3：根據(jù)題意確定的值，繼而得到函數(shù)，繼而得到，設(shè)點(diǎn)，再根據(jù)向量的垂直關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，結(jié)合三角函數(shù)的有界性得到答案.破解：（1）根據(jù)題意知，向量的相伴函數(shù)為，當(dāng)時(shí)，，又，則，所以，故.（2）因?yàn)?，故函?shù)的相伴特征向量，則與共線單位向量為.（3）因?yàn)椋湎喟樘卣飨蛄浚?，所以，則，，設(shè)點(diǎn)，又，，所以，若，則，即，，因?yàn)?，故，又，故?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，成立，故在的圖象上存在一點(diǎn)，使得.n個(gè)有次序的實(shí)數(shù)，，…，所組成的有序數(shù)組稱為一個(gè)n維向量，其中稱為該向量的第i個(gè)分量.特別地，對(duì)一個(gè)n維向量，若，稱為n維信號(hào)向量.設(shè)，，則和的內(nèi)積定義為，且.(1)直接寫出4個(gè)兩兩垂直的4維信號(hào)向量；(2)證明：不存在10個(gè)兩兩垂直的10維信號(hào)向量；(3)已知k個(gè)兩兩垂直的2024維信號(hào)向量，，…，滿足它們的前m個(gè)分量都是相同的，求證：.問(wèn)題1：根據(jù)題意，結(jié)合兩兩垂直的定義，即可求解；問(wèn)題2：根據(jù)題意，不妨設(shè)，得到有5個(gè)分量為，設(shè)的前5個(gè)分量中有r個(gè)，得到5個(gè)分量中有個(gè)，進(jìn)而求得r的值，即可求解；問(wèn)題3：任取，得到，設(shè)的第個(gè)分量之和為，結(jié)合，列出不等式，即可求解.破解：（1）兩兩垂直的4維信號(hào)向量可以為：，，，.（2）假設(shè)存在10個(gè)兩兩垂直的10維信號(hào)向量，，…，，因?yàn)閷⑦@10個(gè)向量的某個(gè)分量同時(shí)變號(hào)或?qū)⒛硟蓚€(gè)位置的分量同時(shí)互換位置，任意兩個(gè)向量的內(nèi)積不變，所以不妨設(shè)，，因?yàn)?，所以?個(gè)分量為，設(shè)的前5個(gè)分量中有r個(gè)，則后5個(gè)分量中有個(gè)，所以，可得，矛盾，所以不存在10個(gè)兩兩垂直的10維信號(hào)向量.（3）任取，計(jì)算內(nèi)積，將所有這些內(nèi)積求和得到S，則，設(shè)，，…，的第個(gè)分量之和為，則從每個(gè)分量的角度考慮，每個(gè)分量為S的貢獻(xiàn)為，所以，令，所以，所以.元向量（）也叫維向量，是平面向量的推廣，設(shè)為正整數(shù)，數(shù)集中的個(gè)元素構(gòu)成的有序組稱為上的元向量，其中為該向量的第個(gè)分量．元向量通常用希臘字母等表示，如上全體元向量構(gòu)成的集合記為．對(duì)于，記，定義如下運(yùn)算：加法法則，模公式，內(nèi)積，設(shè)的夾角為，則．(1)設(shè)，解決下面問(wèn)題：①求；②設(shè)與的夾角為，求；(2)對(duì)于一個(gè)元向量，若，稱為維信號(hào)向量．規(guī)定，已知個(gè)兩兩垂直的120維信號(hào)向量滿足它們的前個(gè)分量都相同，證明：．問(wèn)題1：根據(jù)條件得到，再利用題設(shè)定義的運(yùn)算，即可求出結(jié)果；問(wèn)題2：任取，，得到，設(shè)的第個(gè)分量之和為，結(jié)合，即可求出結(jié)果.破解：（1）因?yàn)?，所以，①，②因?yàn)椋?，所?（2）任取，，計(jì)算內(nèi)積，設(shè)這些內(nèi)積之和為，則，設(shè)的第個(gè)分量之和為，又因?yàn)?，故，所以又，所以，即，所?1．已知集合.對(duì)于，給出如下定義：①；②；③A與B之間的距離為.說(shuō)明：的充要條件是.(1)當(dāng)時(shí)，設(shè)，求；(2)若，且存在，使