廈門一中2022-2023高二上學期10月考試

數學

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題所給出的四個備選項中，只

有一項是符合題目要求的.

1.已知空間向量3）,心=（2”—"），若則實數"+〃=（）

33

A.—B.---C.9D.—9

22

2.已知直線/的方向向量〃=（0,1,1）,平面。的一個法向量〃=（1,0,-1）,則直線/與平面。所成角為

（）

兀7in?5兀it?2兀

A.-B.-C.—或一D.一或一

366633

3.已知直線/:二一+—上一=1與兩坐標軸分別交于A,B兩點，則以A8為直徑的圓周長為（）

sin6cos0

717r一

A.—B.—C.兀D.2兀

42

4.已知A（l,2,0）,5（3,1,2）,C（2,0,4）,則點C到直線AB的距離為（）

A.2B.V5C.2>/3D.275

5.已知4,3兩點分別在兩條互相垂直的直線工一政=0和（3。-4）》+〉+。-2=0上，且AB中點坐標

為Ca-z）,則AB的長為（）

A.5B.V5C.2A/26D.V26

6.不論實數。取何值時，直線（2a—l）x+（—a+3）y—5=0,都過定點則直線2x—y+3=0關于點

M的對稱直線方程為（）

A.x-2y-6=0B,x-2y=0C,2x-y-9=0D.2x-y-3=0

7.在平面直角坐標系內，A（l,0）,B（2,0）,動點C在直線）'上，若圓M過A，B,C三點，則圓

M面積的最小值為（）

71712兀

A.—B.—C.兀D.

24T

8.如圖，在長方體ABCQ—A瓦GR中，AB=AD=3,44,=1,記M為棱8c的中點，若空間中動

點P滿足NAPZ）=NCPM,則點P的軌跡與側面CGA。相交所形成的曲線長為（）

A.0B.烏C.'D.三

2233

二、多選題：本大題共4小題，每小題5分，部分答對得2分，答錯得0分，共20分.把答

案填在答題卡相應位置.

9.在空間直角坐標系中，。為坐標原點，點P的坐標為（1,一2,2）,則（）

A.點p關于x軸對稱點的坐標（一1,一2,2）

B.點p關于平面。X），的對稱點坐標為（1,一2,-2）

C.點p到原點。距離是3

D.直線OP與y軸所在直線夾角的余弦值為:

io.下列說法中正確是（）

A.已知｛a,b,c｝可構成空間向量的一組基底，那么｛a+2b,6-2c,a+4c｝也可以構成空間向量的一組基

底

B.將直線/：x+-2=0繞點A（2,0）逆時針旋轉60°得到的直線與I關于“軸對稱

C.過（2,3）且斜率不存在的直線方程是y=3

D.直線Ax+8y+C=0的一個方向向量是（氏—A）

11.直線（加一2）x—（3加+l）y+3機+8=0與兩坐標軸圍成三角形Q43的面積記為S=/（m）,則

（）

A.S的最小值是12

B.對于所有的風＞12,方程〃根）=So有4個不等實數解

3

C.存在唯一實數m,使S=—

2

D.S=/（〃2）的值域是（0,+“）

12.著名數學家華羅庚曾說過“數缺形時少直觀，形少數時難入微”，事實上，很多代數問題都可以轉化為

幾何問題加以解決，如：對于形如a)2+(y_+y代數式，可以轉化為平面上點用(x,y)與

N(a,。)的距離加以考慮.結合綜上觀點，對于函數/(x)=Jf-iOx+34-―2x+10,下列說法

正確的是()

A.y=/(x)的圖象是軸對稱圖形

B.y=/(x)的值域是[0,4]

C.y=/(x)先遞減后遞增

D.方程/(/(%))=后一M有且僅有一個解

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡相應位置.

13.直線/：x+gy-3=0與4：x—Gy+l=0夾角的大小為.

14.由曲線f+j?=2國+2可圍成的圖形的面積為.

15.在空間直角坐標系中，過點P(x”X，zJ且法向量為〃=(4,4C)的平面方程為

a(x-%)+0(y-X)+c(z-zJ=0；過點。(馬,%，22)且方向向量為〃2=(",乂墳)("1m/0)的直線方

程為==口==.

UVW

根據上述知識，若直線/是平面x-2y+3=O與2y+3z+l=0的交線，則/的一個方向向量為

./與平面a:x+y+z+l=。所成角的正弦值為.

16.已知空間向量a，h>c兩兩夾角均為60°,且卜'=忖=1，卜|=2.若向量大,；滿足

x-yx+a\^x-b,y-(y+a)=y-c,則卜一)1的最大值是.

四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.在平面直角坐標系中，已知點4(—2,—3),5(1,-2).

(1)求以AB為直徑的圓的方程；

(2)若直線/經過點A,且點8到直線/的距離為3,求直線/的一般式方程.

18.在」18。中，8C邊上的高所在直線的方程為X一2丁+1=0,NA的平分線所在直線方程為y=。，

若點8的坐標為(1,2).

(1)求點。的坐標；

(2)求的面積.

19.如圖，三棱錐O—ABC中，ZAOB=ZBOC=ZAOC=60'。4=2,OB=3,OC=4,E是

OC中點，OF=、OB.

3

(1)以｛AE,AF,AB｝為基底表示oc；

(2)求異面直線AC,3E所成角的余弦值.

20.如圖，四邊形A3CD為平行四邊形，點E在A3上，AE=2EB=2,且DE1A5.，以。E為折痕

把VADE折起，使點A到達點尸的位置，且NEEB=60°.

(1)求證：平面8bl?平面BCD；

(2)若直線與平面BCD所成角的正弦值為姮，求點C到平面。￡戶的距離.

5

21.如圖，在底面是菱形的四棱錐P—A3C。中，ZABC=60°,R4=AC=1,PB=PD=y[i，點、E

在線段PD上，且滿足PE=2E￡>.

(1)求平面E4C與平面n4c夾角的余弦值；

(2)在線段PC是否存在一點Q,使得BQ平面AEC,若存在，請指出點。位置，若不存在,請說

明理由.

22.已知圓C過點A（2,6）,3（—1,3）,且圓心在直線y=x+l上.

（1）求圓。的方程；

（2）設點。在圓上運動，點￡（3,2）,記“為過。，E兩點的弦的中點，求M的軌跡方程；

（3）在（2）的條件下，若直線與直線/：丁=”一2交于點N,證明：1“歷卜|￡乂|恒為定值.

廈門一中2022-2023學年（上）高二10月考試

數學

1.C

2.B

3.C

4.B

5.A

6.D

7.A

8.D

9.BCD

10.BD

11.BCD

12.ACD

13.60°

14.8+4〃

15.①.（2,1,一g）（與此共線的向量都正確）；②.半

16.\/3H—

2

17.（1）由A（—2,—3）,2）知|/4用=,

故此圓以線段AB中點（一!，一與）為圓心，以眄=?為半徑，

I22）22

其標準方程可寫為+fV+-1=--

I2jI2）2

（2）因為直線/經過點A（—2,-3）,可設其為A（x+2）+3（y+3）=0,

\3A+B\

由點B到直線/距離為3,可知-!=3,

解得8=0或3A=45,

故直線/的一般式方程為x+2=0或4x+3y+17=0

18.(1)點A同時在8C邊上的高與/A的平分線上，故其為此兩直線的交點，

x-2y+l=01

聯立《/，得：A(-1,O),由8C邊上的高斜率為:，可知直線斜率為—2,

J=02

因為8(1,2),故直線的方程為y=-2x+4①，

2-0

=1及/4的平分線為丫=0,可知直線AC的斜率為-1,故其方程為y=-x-l

由AB斜率為1-(-1)

②,

由①②聯立可知。(5,-6).

|2x(-l)+0-4|6

(2)由(1)可知，點A到直線8。的距離d=

物+R忑'

又忸q=J(_5_—_1)_2_+_(—_6___2)_2=4下,故S詆=I皇BCl々=12.

133/??\3!

19.(1)由0/=一。8可知，AO=AB+BO=AB+-BF=AB+-(AF-AB]=-AF一一AB,

322、,22

因此，OC=2O￡=2(A￡-AO)=2l+j=2A￡-3AF+A5.

(2)依題意可知，QAO8=2X3XL=3,O8-OC=3X4X'=6,0c?QA=4x2x'=4,

222

1

又AC=OC-04，BE=OE-OB^-OC-OB,

2

J16+4-8=2>/3,忖⑷二-OC-OB|=,4+9—6=V7，

OC-OA^\^OC-OBI21

-OC——OCOA-OBOC+OAOB

所以cos〈AC,BE)=產j=_22

|A/叫“卜|阿

8-2-6+3_3__叵

26.幣—2下).幣—14'

因此，異面直線AC,BE所成角的余弦值為立I

14

20.(1)證明：因為。E1AB，所以DELE&DELE/7,

因為EB,EFu平面EF=E,所以￡)￡；_/,平面班F,

因為BEu平面3EF，所以DELBF，

因為AE=2￡B=2,所以EF=2,E8=1,

因為NFEB=60°,

所以在/XBEF中，由余弦定理得8尸=VfF2+￡S2-2EF-EB-cosZFEB=百-

所以成2=殖2+8尸2,所以由勾股定理逆定理得跖，石B，

因為。石,硝<=平面88,。￡：'EB=E,所以防_L平面BCQ，

因為BEu平面3CR,所以平面BCFL平面BCD,

(2)以8為原點，84所在的直線為>軸，在平面ABCD過點8作A3的垂線為x軸，所在的直線

為Z軸，建立空間直線坐標系，如圖所示，

設DE=a(a>0),則￡)(a,1,0),E(0,1,0),產倒,0,百)，DF=(-<2,-1,磯

平面BCDE的一個法向量〃=(0,0,1),

由直線DF與平面BCOE所成角的正切值為理，可知cos〈〃,。尸〉=IM73J6

n||DFJ/+44

解之得。=2,二￡。=(2,0,0),。尸=卜2,—1,6),。。=(0,—3,0),

設平面DEF的法向量〃z=(x,y,z),則

\l取z=l,得，"=0,6,1,

mDF=-2x-y+yj3z=0

\DC-m\3G

故點C到平面DEF的距離d=1?,1=+

IH2

21.(1)底面ABC。是菱形，NA5C=60。，.?.AB=AD=AC=1，：.PA2+AB2PB2>

由勾股定理逆定理知：PA±AB,同理，PA±AD,

AB,ADu平面ABC。，ABcAD=A，.?.A4_L平面ABCD,

以A為原點，AO為y軸，過點A且與AB垂直的線為x軸，建立如圖的空間直角坐標系,

則A（0,0,0）,Cd，。，P（（）,（M），0（0,1，。），：PE=2EO,???《01，；

\/1

設平面E4c的一個法向量A=（x,y,z）,

21

n-AE=—y+—z=0

nlAE33

則《令x=l,得"=(1,一6,26b

nJ,ACn-AC-^-x+—y-0

22-

易知平面ZMC的一個法向量加=（0,0,1）,

..m-nJ3

???cos(m,n)=,,=—,/.平面EAC與平面DAC所成角的余弦值是

22

Gi,

（2）設尸。=小。=(0</<1),Q----1,-1—t

22

(73in”八(乖1t-也t+i,

122ylI22

由(1)知，平面E4c的法向量〃=(1,一6,26),

當BQ平面A￡C時，nlBQ,:.n-BQ=0,+2同7)=0，

???f=g，即。為PC中點時，BQIn,且6Q(Z平面AEC,滿足BQ,平面AEC.

22.(1)圓心在y=x+l上，.,.可設圓心C(a,a+1),Q|AC|=|BC|,

7(?-2)2+(a+l-6)2=7(?+l)2+(?+l-3)2>解得：a=2,/.C(2,3),r=|AC|=3,

故圓。的方