宿州市省、市示范高中2022-2023學年度第二學期期中考試

高一數學試卷（人教版）

（時間：120分鐘，分值：150分）

命題：蕭縣中學張言貴校對：蕭縣中學王選

一、單選題

1.已知平面內作用于點°的三個力九力，力，且它們的合力為°,則三個力的分布圖可能是（）

【解析】

【分析】由平行四邊形法則判斷即可.

【詳解】因為+力=-力，所以.力與力的合力與力方向相反，長度相等，則由平行四邊形法則

可知，只有D項滿足.

故選：D

2.如圖，VAO7?'是水平放置的AAOB的直觀圖，但部分圖象被茶漬覆蓋，已知。為坐標原點，頂點

A'、均在坐標軸上，且AAOB的面積為12,則的長度為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

【分析】畫出AAOB的原圖，根據三角形AAOB的面積為12可得答案.

【詳解】畫出AAOB的原圖為直角三角形，且。A=O'A'=6,

因為』OBxQA=12,所以08=4,

2

所以O'B'=LO3=2.

2

故選：B.

3.蕭縣皇藏峪國家森林公園位于蕭縣城區東南30公里，是中國歷史文化遺產、中國最大古樹群落、國家

AAA4級旅游景區、國家森林公園.皇藏峪有“天然氧吧”之稱.皇藏峪，原名黃桑峪.漢高祖劉邦稱帝前，曾因

避秦兵追捕而藏身于此，故改名皇藏峪.景區內古樹繁多，曲徑通幽，庭院錯落有致.一庭院頂部可以看成

一個正四棱錐，其底面四邊形的對角線長是側棱長的正倍，則該正四棱錐的一個側面與底面的面積之比

為（）

A.—B.—C.立D.立

2423

【答案】B

【解析】

【分析】由己知條件和正四棱錐的定義，以及面積公式即可求解.

【詳解】如圖所示，

將庭院頂部可以看成一個正四棱錐P-A8CD,

P0是正四棱錐P-ABCD的高，

設底面邊長為。，則底面四邊形的對角線長為拒側棱長為。，

則底面面積為E=〃2,側面是正三角形，其面積邑=?"

由2

——a

.■c一4叵

"S,-a2V

故選：B.

4.歐拉是18世紀最偉大的數學家之一，在很多領域中都有杰出的貢獻.人們把歐拉恒等式“3"+1=0”與

麥克斯韋方程組并稱為“史上最偉大的公式”.其中，歐拉恒等式是歐拉公式：=cos9+isin夕的一種特

兀.5孔.

—1—1

66

殊情況.根據歐拉公式，則e+e()

A.2B.1C.6D.昱

2

【答案】B

【解析】

【分析】根據歐拉公式寫出對應復數的三角形式并化簡，即可求模.

_奈生兀..兀5兀..5兀??由1.61..

【詳解】由題設，e6+e6=cos—+isin—+cos一+isin一=----F—i-------F—i=1.

6666112222

故選：B

5.已知｛無,處可以作為平面向量的一組基底，集合A=｛d|&=；ly,/leR｝,

8=｛引+則關于集合A8說法正確的是（）

A.BAB.Ac-BC.0eAD.A=B

【答案】B

【解析】

【分析】向量的共線定理：4=?7；向量基本定理：平面內一組基底向量可表示出該平面內所有向量,

a=zlq+%，根據上述向量性質進行判斷兩集合元素范圍即可選出答案.

【詳解】根據向量的共線充要條件可知，集合A=｛與y共線的所有向量｝,

根據平面向量基本定理可知：集合B=｛平面內所有向量｝,故集合4是集合8子集.

故選：B

1

6.己知一ABC的重心為。，若向量60=mAB+—AC,則機=（）

3

22cli

A.----B.-C.—D.一

3333

【答案】A

【解析】

【分析】由三角形法則和平行四邊形法則求解即可.

【詳解】由三角形法則和平行四邊形法則可得

12712

8O=8A+AO=BA+±x-（AB+AC）=——AB+-AC,則利=一一.

23333

故選：A

7.已知向量a=（—,若a+26與2a-內垂直，則實數"?=（）

12727f1

A.或7B.—或-2C.或2D.

2222

【答案】C

【解析】

【分析】確定a+?=（2加—1,4）,2a—〃=（—2—%3）,根據垂直得到（4+26卜（24—6）=0,代入數

據計算得到答案.

【詳解】-1,2),8=(〃?/)，則a+2Z?=(2〃L1,4),2a-b=(-2-/n,3)>

d+2b與2a-b垂直，

則(a+20)-(2a-6)=(2加一1,4>(-2-加,3)=(2/M-l)(-2-m)+12=0,

7

解得加=2或加=——.

2

故選：C

8.將一直徑為56cm的圓形木板，截成一塊四邊形形狀的木板，且這塊四邊形木板的一個內角a滿足

3

cosa=g,則這塊四邊形木板周長的最大值為()

A.20cmB.20V3cmC.30gcmD.30cm

【答案】D

【解析】

【分析】根據正弦定理得|AC=2RsinO=5j^x[=4j^,進而由余弦定理結合基本不等式即可求解.

34

【詳解】如圖：不妨設a=/D,cosa=cosO=y，則sinO=1，由正弦定理可得

|AC|=2HsinO=56xm=46，

在三角形ACO中，由余弦定理可得

|AC|2=\ADf+\CDf-2\AD\-\CD\cosOn80=(\AD\+|CD|)2-y|AD|-|CD|,

由于IAOHCD區(|AD|：|CD|)，所以

2

(|AD|+|CD|)-8O=y|AZ)|-|C￡>|<yx(1皿；1卬)^>|A￡>|+|CD|<20，

當且僅當|叫=|。。=10時,等號成立，

3

在一ABC中，B-H-D,cos5=--,

由余弦定理可得|AC『=|AB|2+|CB|2-21/1B|?|CB|cosB80=(|>4B|+|CB|)2-11AB\?|Cfi|,

由于|A8|.|C8|?(W”卸，所以

2

八III\24,,II4(IABI+ICBI)IIII

(|AB|+|CB|)-80=-|AB|-|CB|<-X~~!<-=>|AB|+|CB|<IO>

當且僅當|AB|=|BC|=5時，等號成立，

故這塊四邊形的周長I陰+|。4+同回+忸。卜20+10=30,

所以這塊四邊形木板周長的最大值為30.

故選：D

二、多選題

9.在下面的四個命題中，正確的命題為（）

A.復數z=l-2i（i為虛數單位）的虛部為—2i

B.用平面去截一個圓錐，則截面與底面之間的部分為圓臺

C.角人民。為_45。三個內角，則“sinA〉sin'是"cosA<cos3”的充要條件

D.在復平面內，若復數z=x+yi（x,y均為實數），則滿足|z-i|<3的點z的集合表示的面積為9兀

【答案】CD

【解析】

【分析】由復數定義判斷A,由圓錐與圓臺的結構特征判斷B,根據三角形性質，結合充分、必要性定義判

斷C,由復數模的幾何意義，數形結合法判斷D.

【詳解】A：復數z=l—2i的虛部為一2,錯誤；

B：用平行于底面的平面去截一個圓錐，則截面與底面之間的部分為圓臺，錯誤；

C：在三角形中，由sinA>sinb知：A>B,

TTIT

若5cAe—時則cosAvcosB,若3<—<4時則cosA<cos5,故充分性成立；

22

兀

若cosB>cosA>0時，則B<A<—,故sinA>sinB：

2

兀兀

若8sB>0>cosA時，則8<—<A,此時一>7T-A>5,故sin（兀-A）=sinA>sin5,

22

所以必要性成立，正確；

D：由|z_i|=Jx2+（y_i）2W3,故f+（y—i）2w9,所以點Z在以（0,1）為圓心，半徑3的圓（含圓

內），其面積為9兀，正確.

故選：CD

10.唐朝詩人羅隱在《詠蜂》中寫到：不論平地與大山，無限風光盡被占：采得百花成蜜后，為誰辛苦為

誰甜.蜜蜂的巢房是令人驚嘆的神奇天然建筑物.巢房是嚴格的六角柱狀體，它的一端是平整的六角形開

口，另一端是封閉的六角菱形的底，由三個相同的菱形組成.巢中被封蓋的是自然成熟的蜂蜜.如圖是一個

蜂巢的正六邊形開口ABCDEE,且其邊長為1.下列說法正確的是（）

3

A.AC-AE=BF^-AC+AE=-AD

C.ADAB^AB\2D.五邊形ABCDE的外接圓面積為乃

【答案】BCD

【解析】

【分析】根據正六邊形的特點，在圖中作出相關向量，對A利用向量減法運算結合圖形即可判斷，對B借

助圖形和共線向量的定義即可判斷，對C利用向量數量積公式和相關模長的關系即可判斷，由正六邊形的

特點確定五邊形ABCZ)E的外接圓的半徑，進而判斷D.

UUL1ULU1UUU

【詳解】對A,AC-AE=EC'顯然由圖可得EC與8F為相反向量，故A錯誤；

對B,由圖易得,目=|AC],直線平分角NE4C，

且/VICE為正三角形，根據平行四邊形法則有AC+AE=2AH與AD共線且同方向，

易知-EDH,AE”均為含煮的直角三角形，故怛“卜網叫,卜〃卜碼￡咋3回，則

西=4附，

?_,,_..21AHi33

而2AH=6。”，故一―|^=-,故AC+AE=—A。，故B正確；

1111\AD\22

對CZC=ZABC=—=|sc|=\DC\,

ZBDC=ZDBC=-,則ZAB￡)=工，又AD//BC.：.ZDAB^-,

623

|叫=2網，=網cos?=2網葭(=網2,故C正確；

對D,五邊形的外接圓就是正六邊形A6CD石廠的外接圓，其半徑為

r=；,耳=1,則五邊形ABCDE的外接圓面積為冗產=兀，故D正確；

故選：BCD

11.如圖，在海岸上有兩個觀測點C,D,C在。的正西方向，距離為2km,在某天10:00觀察到某航船在

A處，止匕時測得NA￡>C=30。，5分鐘后該船行駛至8處，此時測得乙4cB=60。，N8C￡>=45。，

ZADB=60°,則()

A.當天10:00時，該船位于觀測點C北偏西15。方向

B.當天10:00時，該船距離觀測點Cgkm

C.當船行駛至8處時，該船距觀測點C0km

D.該船在由A行駛至B的這5min內行駛了瓜km

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用方位角的概念判斷A,利用正弦定理、余弦定理求解后判斷BCD.

【詳解】A選項中，Z/lC￡>=ZACB+ZBCD=60o+45o=105o,因為C在力的正西方向，所以A在C的北偏

西15。方向，故A正確.

B選項中，在△AC。中，NAC￡）=105。，/AOC=30。，則/C4O=45。.

CDsinZADC

由正弦定理，得AC=—5/2，

sin/CW

故B正確.

C選項中，在ABC。中，ZBCD=45°,ZCDB=ZADC+ZADB=30°+60°=90°,即NC8￡)=45°,

貝|J8D=C￡>=2,于是BC=2&,故C不正確.

D選項中，在△ABC中,由余弦定理，得

即43=而km,故D正確.

故選：ABD.

12.如圖所示，一圓錐的底面半徑為人母線長為/,SA為圓錐的一條母線，AB為底面圓的一條直徑，

。為底面圓的圓心，設/!=/,則（）

A.過SA的圓錐的截面中，ASAB的面積最大

B.當4=,時，圓錐側面的展開圖的圓心角為不

2

C.當；1時，由A點出發繞圓錐側面旋轉一周，又回到A點的細繩長度最小值為6r

D.當丸=；時，點C為底面圓周上一點，且4。=正廠，則三棱錐O—S4C的外接球的表面積為17萬，

【答案】BD

【解析】

【分析】對于選項A,利用斜三角形面積公式即可判斷；對于選項B,由于圓錐側面的展開圖為扇形，可利

用扇形圓心角公式進行計算；對于選項C,由于圓錐側面的展開圖為扇形，利用兩點之間直線最短即可知，

由A點出發繞圓錐側面旋轉一周，又回到A點的細繩長度最小值為圓錐側面的展開圖得到的扇形的圓心角

所對的弦長；對于選項D,由三棱錐外接球的性質可知，此外接球的直徑為外接長方體的體對角線.

【詳解】對于選項A：設點。是底面圓上異于點5的任意一點，則SasA8=g/2sinNASB,

SAMCsin/ASC.且ZASB>ZASC.

當0<ZASB<90時，sinZASB>sinZASC,此時△SAB的面積最大；

當90<NAS8<180時，若NASC=90，則sinNASB<sinNASC,此時△SAB的面積不是最大;

故選項A錯誤.

11

對于選項B：當4=—時:r—=—,即/=2r.

2I2

圓錐側面的展開圖的圓心角為a=—

I2r

故選項B正確.

對于選項C：如圖，由A點出發繞圓錐側面旋轉一周，又回到A點的細繩長度最小值為圓錐側面的展開圖

得到的扇形的圓心角所對的弦長AA'.

1r1

當4=—時，一=—,即/=3八

3I3

2兀r2冗丫2

圓錐側面的展開圖的圓心角為==——=——=—"，

/3r3

此時的弦長為2人皿工=2?3/411工=3百r,

33

故選項C錯誤.

1y]

對于選項D：當4=—時，一=—,即/=4r.

4I4

當=?時，ZAOC=9().

因為SO=>JSA2-AO2=a一產=一產=后，,

所以三棱錐O-SAC的外接球的半徑為《戶十戶+(、后廠)=姮廠,

~2~^rr

則三棱錐O—S4C的外接球的表面積為4717"

故選項D正確.

故選：BD.

【點睛】方法點睛：幾何體內接于球的問題，解題時要認真分析圖形，明確接點的位置，確定有關元素間

的數量關系。如長方體內接于球，長方體的頂點均在球面上，長方體的體對角線長等于球的直徑.

三、填空題

13.在JRC中，若命題p：二=二"=三，命題q：是等邊三角形，則命題p是命題q的

條件(指充分必要性).

【答案】必要非充分

【解析】

【分析】根據正弦定理與充分條件、必要條件的概念進行正反推理，對充分性與必要性分別加以討論，可得

由命題。不可以推出命題q成立，命題q可以推出命題。成立，可得答案.

【詳解】解：先看充分性，當三=3=二成立時即滿足正弦定理，ABC是任意三角形，即命題q

sinAsmBsmC

不成立，故充分性不成立；

再看必要性，若一ABC是等邊三角形，則a=b=c且A=B=C=],

由此可得三=&=三成立，即命題，成立，故必要性成立.

smAsmBsmC

因此，命題〃是命題q的必要非充分條件.

故答案為：必要非充分.

14.在復平面內，復數2=(0051-5]叫+6畝2-852)](1為虛數單位)的共軌復數對應的點在第

__________象限.

【答案】三

【解析】

【分析】先由已知條件寫出Z的共軌復數，再根據它所對應的點來判斷所在象限即可.

[詳解】由復數Z=(cosl-sinl)+(sin2-cos2)i,(i為虛數單位)的共軌復數為：

z=(cosl—sin!)—(sin2—cos2)i,

所以對應的點為((cosl-sinl),-(sin2-cos2)),

因為工<1〈二，

42

所以sinl>cosl,所以cosl-sinl<0,

TT

因為一<2<兀，

2

所以sin2>cos2,所以一(sin2—cos2)<0,

故復數z的共輾復數對應的點在第三象限，

故答案為：三.

rrr兀rr「i?

15.已知平面內非零向量a,"滿足<a+"a>=§,|a|=2,|a+b|=l,則卜一葉=.

【答案】V13

【解析】

分析】由已知條件可求得由1=6，2。，=-6,將卜-同平方展開代入求值即可得答案.

【詳解】解：因為<a+b,a>=：,|a|=2,|a+》|=l,

rri,

所以[(5+0)一』『=|A+bF+1a|2—21a+Z?|?|a|?cos=3,

所以|笳=退，

又因|。+口=1,兩邊平方得：|E『+|力|2+2=3=1,

解得2a-b=-6'

所以1一￡(=桿+山2—25.3=4+3+6=13,

所以,_可=J曰.

故答案為：y/13

16.甲烷分子式為CH「其結構抽象成的立體幾何模型如圖所示，碳原子位于四個氫原子的正中間位置,

四個碳氫鍵長度相等，用C表示碳原子的位置，用“|‘“2，“3，”4表示四個氫原子的位置，設

a=(CH[,CH、,則cos2a=.

7

【答案】一§

【解析】

【分析】設正四面體的棱長為“，外接球半徑為r,計算/?=逅&,根據余弦定理得到cosa=-L,再

43

利用二倍角公式計算得到答案.

【詳解】根據題意知三棱錐耳-42”3at為正四面體，。為正四面體外接球球心，

延長“C與平面相交于則M為△"2"3"4的中心，連接”4時，

設正四面體的棱長為。，外接球半徑為r,則〃走ax2=@a，

4233

?平面％&“4，平面”244，故“附上凡用，

則cosa=r+r~a=I--4=1--=--,cos2a=2cos2=

2r22產339

7

故答案為：——

9

四、解答題

17.如圖所示，在平面四邊形48C。中，AB±AD,AB=BC=2,B^n（）,AD=2y/3.

(1)求tanNACD的值:

（2）將四邊形ABC。繞著邊AO所在的直線旋轉一周所形成的幾何體為。，求C的體積.

【答案】(1)tan/ACD=G

⑵2

3

【解析】

【分析】（1）由余弦定理得出AC=4O,結合三角形ABC為正三角形得出tanNACD的值；

（2）幾何體。為：上面一個圓錐，下面為一個圓臺，根據體積公式求解即可.

【小問1詳解】

連接AC，在三角形ABC中，由余弦定理知：AC=AB1+BC2-2AB-BC-cosZABC=2^>

易知/&4C=3O,ABLAD,

故ND4C=60.又AC=">,故三角形ABC為正三角形.所以tan/ACD=JL

【小問2詳解】

幾何體。為：上面一個圓錐，下面為一個圓臺,

圓錐的底面的半徑為2員與3，

故C的體積為V=兀x2?+71x3?+V971X4TTjxy/3+^nx32x='

18.蕭縣的蕭窯、淮南的壽州窯和蕪湖的繁昌窯是安徽三大名窯.2015年，安徽省啟動對蕭縣歐盤村窯址的

考古發掘，大量瓷器的出土和窯爐遺跡的揭露，將蕭窯的歷史提溯至隋代.為進一步摸清蕭窯窯址的分布狀

況、時空框架以及文化內涵等，經國家文物局批準，2021年3月，正式對簫縣白土寨窯址進行主動性考古

發掘.如圖，為該地出土的一塊三角形瓷器片，其一角已破損.為了復原該三角形瓷器片，現測得如下數

據：=34.64cm,AZ）=10cm,BE=14cm,A=B=m?（參考數據：取百=1.732）

（1）求三角形瓷器片另外兩邊的長；

（2）求兩點之間的距離.

【答案】（1）兩邊的長皆為20cm

（2）14cm

【解析】

【分析】（1）根據數據，利用正弦定理求解；

（2）根據數據，利用余弦定理求解.

【小問1詳解】

解：如圖，

延長交于點C,

TT27r

因為A=8=±,所以C=上，

63

認ACBCAB

sinBsinAsinC

即另外兩邊的長皆為20cm；

【小問2詳解】

27r

由題意得CD=20-10=10,CE=20-14=6,C=—,

3

故OE=VCD2+CE2-2CD-CEcosC=7136+60=V196=14（cm）,

故兩點之間距離為14cm.

19.平面內給定三個向量a=（2,2）1=（〃+l,4）,c=（A,3）,且（a+2c）〃伍—a）.

（1）求實數A關于〃的表達式；

（2）如圖，在一ABC中，G為中線AM的中點，過點G的直線與邊分別交于點P,Q（P,Q不

與A重合）.設向量4尸=（攵+3）4仇4。=加4（7,求2加+〃的最小值.

【答案】（1）Z=2〃—3

9

2X

I-

Z8

【解析】

【分析】（1）根據向量的坐標運算分別表示出a+2c和〃_“，利用平行的坐標表示可得答案；

1111

（2）利用向量運算得到AG=—AP+——AQ,結合三點共線得到一+—=1,再結合基本不等式可求

8〃4m8〃4m

答案.

【小問1詳解】

因為a+2c=（2+2攵,8）,匕一“-1,2）,（a+2c）//{b-aj,

所以2（2+2攵）=8（〃-1）,即左=2〃一3.

【小問2詳解】

由⑴可知，AP=（k+3）AB^2nAB,AQ=mAC,由題意可知6,〃>0.

因為AG=LAM=LAB+」AC,AB=—AP,AC=—AQ,

2442nm

-1.1

所以AG=—AP+——AQ；

8〃4m

因為P,G,Q三點共線，所以=1.

8〃4m

1rz腎5\9

〃-

->-2一+---

42-8

<m7

3

當且僅當m="=一時，取等號，

8

4-8-9

即AB^-AP,AC^-AQ時，2機+〃取最小值-.

338

20.在斜三角形A8C中，內角4,B,C的對邊分別為a,b,c,且滿足

asinA+4加inCcos2A=bsinB+csinC.

（1）求角A的大??；

（2）若a=2,且3c上的中線A￡>長為百，求斜三角形ABC的面積.

【答案】（1）A=/

⑵上

【解析】

【分析】（1）根據正弦定理將已知式子進行化簡，再利用余弦定理即可求出角A的大?。?/p>

（2）根據為A。為BC上的中線得AQ=g（A8+AC）,結合余弦定理求出權'=4,進而求出面積.

【小問1詳解】

因為〃sirL4+4/?sinGcos2A=Z?sin3+csinC，

所以由正弦定理可得：a2-i-4hccos2A=h2+c2,

即4/7CCOS2A=h2+c2-a2^

所以2cos~A=----------=cosA，

2hc

711

又Aw—,所以cosA.——,

22

所以A=,

【小問2詳解】

因為AO為8c上的中線，所以AO=g（A8+4C）,

21/\2

即AZ）=-^AB+ACj,

所以4仞2=

B|J12=c2+2bccosA+b2>

所以12=〃+%+。2①，

由余弦定理可得：a2-b2+c2-2Z?ccosA>

所以4=〃+c2—A②

①-②得：be=4,

所以SABc=g"csinA=6.

21.（1）證明：平行四邊形的四邊平方和等于對角線的平方和；

（2）在平行四邊形A8CO中，若AC?+3。2=20,求一ABC面積的最大值.

【答案】（1）證明見解析；（2）-

2

【解析】

【分析】（1）由平面向量的四則運算即可證明；

（2）利用（1）中結論，并根據基本不等式和三角形面積公式計算可得.

【詳解】（1）證明：由向量的加法和減法運算得：AC=AB+AD，BD=AD-AB'

所以有：AC+BD=（AB+AD）2+（A￡）-A5）2=2AB+AD

即2（/32+4。2）=4。2+3。2,故平行四邊形的四邊平方和等于對角線的平方和.

（2）由⑴的結論知：2（AB2+AD2）=AC2+BD2,由己知有：AC2+BD2=20,

所以+A02=8。-=]0,故由基本不等式有，

2

ABBC=ABAD<AB+AD=—=5,當且僅當A8=A￡>=逐時，取等號，

22

所以SABC='A6-.sin/ABC<^\AB